TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA AL- GÉBRICA: O GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO. Tulipa Gabriela Guilhermina Juvenal da Silva

Transcrição

1 TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA AL- GÉBRICA: O GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Tulipa Gabriela Guilhermina Juvenal da Silva JOINVILLE, 2014

2

3 Tulipa Gabriela Guilhermina Juvenal da Silva INTRODUÇÃO À TOPOLOGIA ALGÉBRICA: O GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO Trabalho de Graduação apresentado ao Curso de Licenciatura em Matemática do Centro de Ciências Tecnológicas, da Universidade do Estado de Santa Catarina, como requisito parcial para a obtenção do grau de Licenciatura em Matemática. Orientador: Prof. Me. Rodrigo de Lima JOINVILLE, SC 2014

4

5

6

7 Agradecimentos A todos os parentes, amigos e professores que me auxiliaram e incentivaram. Em especial, agradeço ao meu orientador, Rodrigo de Lima e meu irmão, Nelson Juvena. Pois, sem eles este trabalho jamais seria possível.

8

9 Resumo SILVA, Tulipa da. Introdução à topologia algébrica: grupo fundamental do círculo páginas. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, A topologia algébrica associa a um determinado espaço topológico uma estrutura algébrica. O grupo fundamental, por exemplo, associa grupos a espaços topológicos conexos por caminhos. Este tipo de tratamento matemático é capaz de fornecer observações e propriedades referentes a grupos, o que não seria possível anteriormente. Tomando o grupo quociente de homotopia por caminhos em um espaço topológico, os quais começam e terminam em um escolhido ponto base, teremos um grupo com a operação produto entre caminhos. A este grupo dá-se o nome de grupo fundamental. O grupo fundamental é invariante topológico. Neste trabalho, foi feito um estudo teórico de todas as definições topológicas necessárias para a compreensão do grupo fundamental do círculo, e uma aplicação ao demonstrar o Teorema fundamental da álgebra utilizando grupos fundamentais. Este estudo teve como elemento base o livro intitulado Topology de James Munkres. Palavras-chave: Topologia. Topologia quociente. Topologia algébrica. Grupo fundamental do círculo.

10

11 Abstract SILVA, Tulipa da. Algebraic Topology: Fundamental Group of the Circle páginas. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) - Universidade do Estado de Santa Catarina, Joinville, The algebraic topology associates a topological space an algebraic structure. The fundamental group, for example, associates related topological spaces to path connectedness spaces. Thus, this type of treatment mathematician is able to provide observations regarding properties of groups, what would not possible previously. Taking the quotient group of homotopy by paths them a topological space whose begin and end in a chosen base point, we obtain a group with a concatenation operation. To these group we we the fundamental group. The fundamental group is a topological invariant. In this work, we had studied theoretical of all topological definitions needed to understanding the fundamental the group of circle, and their application demonstrating the basic theorem of algebra. This study was based on the book named Topology by James Munkres. Key-words: Topology. Quotient topology. Algebraic topology. Fundamental group of the circle.

12

13 Lista de ilustrações Figura 1 Diagrama de representação do Teorema (3.9) 55 Figura 2 Diagrama de representação do Teorema (3.10) 56 Figura 3 Curva do seno Figura 4 Homotopias por caminho Figura 5 Diagrama de lavantamento

14

15 Lista de símbolos B n N Z Q R R n C S 1 Bola fechada em R n de centro na origem e raio unitário Conjunto dos números naturais Conjunto dos números inteiros Conjunto dos números racionais Conjunto dos números reais Conjunto R... R n vezes Conjunto dos números complexos Círculo unitário 0 Elemento nulo do espaço em questão S n I R 2 Esfera unitária de dimensão n Intervalo [0, 1] pertencente aos reais Plano R R

16

17 Sumário 1 INTRODUÇÃO A ESPAÇOS TOPOLÓGICOS ESPAÇOS TOPOLÓGICOS BASES TOPOLÓGICAS SUBBASE TOPOLOGIAS NA RETA REAL TOPOLOGIAS IMPORTANTES TOPOLOGIA DA ORDEM TOPOLOGIA PRODUTO TOPOLOGIA DO SUBESPAÇO CONJUNTOS FECHADOS ESPAÇOS DE HAUSDORFF CONTINUIDADE DE FUNÇÕES FUNÇÕES CONTÍNUAS HOMEOMORFISMO ESPAÇOS MÉTRICOS TOPOLOGIA QUOCIENTE ESPAÇOS CONEXOS CONEXIDADE LOCAL ESPAÇOS COMPACTOS GRUPO FUNDAMENTAL HOMOTOPIA GRUPO FUNDAMENTAL ESPAÇOS DE RECOBRIMENTO

18 4.4 GRUPO FUNDAMENTAL DO CÍRCULO TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 94 CONCLUSÃO Referências

19 17 1 INTRODUÇÃO A ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 1.1 ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Nesta seção estudaremos alguns elementos de topologia que são essenciais ao que se trata o trabalho. Neste capítulo foram utilizados como bibliografia prioritaria Munkres (2000), Lima (2009) e D Ambrósio (1977). Definição 1.1. Uma topologia em um conjunto X é uma coleção T de subconjuntos de X com as seguintes propriedades: i) e X pertencem a T ; ii) A união dos elementos de qualquer subcoleção de T pertence a T ; iii) A interseção dos elementos de qualquer subcoleção finita de T pertence a T. Um espaço topológico é um par ordenado (X,T ), com X um conjunto e T uma topologia em X. Definição 1.2. Seja X um espaço topológico com topologia T. Dizemos que um subconjunto U de X é um aberto em X quando U pertence a coleção T. Exemplo 1.1. Dado o conjunto X = {a, b, c, d, e} temos que:

20 18 Capítulo 1. INTRODUÇÃO A ESPAÇOS TOPOLÓGICOS T 1 = {, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e} é uma topologia em X. T 2 = {, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {b, c, d}} não é uma topologia em X, pois {a, c, d} {b, c, d} = {a, b, c, d} T 3. T 3 = {, X, {a}, {c, d}, {a, c, d}, {a, b, d, e}} não é uma topologia em X, pois {a, c, d} {a, b, d, e} = {a, d} T 4. T 4 = {, X} é uma topologia em X. T 5 = P(X), conjunto das partes de X é também uma topologia em X. Em geral, se X é um conjunto qualquer, a coleção de todos os subconjuntos de X é uma topologia em X, denominada topologia discreta. E a topologia dada por T = {, X} é chamada de topologia trivial. Exemplo 1.2. Sejam X um conjunto e T f a coleção de todos os subconjuntos U de X tais que X U é finito ou todo X. Vamos mostrar que T f é uma topologia em X. Observamos que X e pertencem a T f, uma vez que X X = é finito e X = X. Seja {U α } α λ uma família arbitrária, não vazia, de elementos de T f. Temos que X α λ U α = X ( ) c U α = X ( = α λ α λ ( X ) Uα c α λ = α λ(x U α ), U c α ) onde o conjunto (X U α ) é finito por se tratar de interseção de conjuntos finitos. Assim, X U α é finito e, portanto, pertence a T f. E ainda, seja {U i } n i=1 um coleção finita de aberto de T f,

21 1.1. ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 19 então n X U i = X ( ) n c U i = X ( n i=1 = i=1 n (X Ui c ) = i=1 i=1 i=1 n (X U i ), i=1 onde n (X U i ) é uma união finita de conjuntos finitos, impli- cando que X n U i T f. i=1 Da mesma forma, a coleção T c de todos os subconjuntos U de X tal que X U é enumerável ou é todo X é uma topologia em X. De fato, X e pertencem a T c. Utilizando o fato de que a interseção de conjuntos enumeráveis é enumerável e a união finita de conjuntos enumeráveis é enumerável i=1 i=1 (Veja Lima (2004)), temos que X U α = (X U α ) T c e X n U i = n (X U i ) T c, sendo {U α } uma família arbitrária, de elementos de T c e {U i } uma família finita de elementos de T c. Definição 1.3. Suponha que T e T são duas topologias em um dado conjunto X : Se T T, dizemos que T é mais fina que T ; Se T T, dizemos que T é menos fina que T. Em particular, sejam T i e T d as topologias trivial e discreta respectivamente, então dada qualquer topologia T temos que T i T T d. Dizemos que T e T são comparáveis se T T ou T T. U c i )

22 20 Capítulo 1. INTRODUÇÃO A ESPAÇOS TOPOLÓGICOS 1.2 BASES TOPOLÓGICAS Definição 1.4. Seja X é um conjunto qualquer. Uma base para uma topologia em X é uma coleção B de subconjuntos de X, chamados elementos base, tal que: i) Para cada x X, existe pelo menos um elemento base B contendo x; ii) Se x pertence a interseção de dois elementos base B 1 e B 2, então existe um elemento base B 3 contendo x tal que B 3 B 1 B 2, Se B satisfaz as condições acima, definimos a topologia T, gerada por B como segue: Um subconjunto U de X é dito ser aberto em X (ou seja, um elemento de T ) se para cada x U, existe um elemento base B x B tal que x B e B x U. Precisamos verificar que a coleção T gerada pela base B é de fato uma topologia em X. O conjunto vazio pertence a T por vacuidade e o conjunto X pertence a T pelo item (i) da Definição (1.4). Sejam {U α } α J uma família arbitrária de elementos de T e U = U α J U α. Dado x U, existe algum α J tal que x U α. Como U α T, existe um elemento base B tal que x B U α. Logo, para cada x U, existe um elemento base que contenha x e está contido em U, ou seja, U T. Dados dois elementos U 1 e U 2 de T e x U 1 U 2, temos que x U 1 e x U 2. Podemos tomar elementos base B 1 e B 2 tais que x B 1 U 1, e x B 2 U 2. Pelo item (ii) Definição (1.4), existe um elemento base B 3 tal que B 3 B 1 B 2. Assim,

23 1.2. BASES TOPOLÓGICAS 21 B 1 B 2 U 1 U 2 e B 3 U 1 U 2. Ou seja, a interseção entre dois elementos de T pertence a T. Agora esse resultado será estendido por meio de indução finita para uma interseção de elementos de T. Suponha que, se n 1 são abertos em X e que U = T. Então, U 1 U 2 {U} n 1 i=1... U n = (U 1... U n 1 ) U n = U U n pertence a T por se i=1 tratar da interseção entre dois elementos de T. Exemplo 1.3. Sejam X um conjunto qualquer. A coleção B de todos os subconjuntos unitários de X forma uma base para a topologia discreta em X. De fato, para todo elemento x de X existe um elemento da base que contém x,a saber o conjunto {x}. Além disso, se x pertence a interseção de dois elementos base B 1 = {y} e B 2 = {z}, então B 1 = B 2 = {x}. Tomando B 3 = {x}, temos que x B 3 B 1 B 2, satisfazendo a condição (ii) da Definição (1.4). Portanto B, é uma base de X. Exemplo 1.4. Se B é uma coleção de todas as regiões circulares (interior aos círculos) no plano, então B é uma base topológica no plano. De fato, para todo ponto do plano podemos obter um círculo com este ponto interior. Além disso, para todo ponto na interseção entre dois círculos podemos obter um terceiro círculo contido na interseção e que contenha este ponto. Ver detalhes em Munkres (2000, p. 81). Uma outra forma de descrever a topologia gerada por uma base é dada pelo: Lema 1.1. Sejam X um conjunto e B uma base para topologia T em X. Então, T é igual a coleção de todas as uniões de elementos de B.

24 22 Capítulo 1. INTRODUÇÃO A ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Demonstração: Dada B α uma coleção de elementos de B, temos que cada B α é também um elemento da topologia t, então a B α pertence a T, ou seja, a união de elementos bases é um aberto em X. Agora, dado U T escolhemos, para cada x U, um elemento base B x B tal que x B x U, de onde vem que U = x U B x, e portanto, a igualdade é satisfeita. Como já era de se esperar, todo conjunto aberto de X pode ser representado como a união de elementos da base topológica. No entanto, esta representação não é única. O lema a seguir apresenta a obtenção de bases a partir de topologias conhecidas. Lema 1.2. Seja (X, T ) um espaço topológico. Suponha C uma coleção de conjuntos abertos de X tal que para cada conjunto aberto U de X e cada x em U, existe um elemento C C tal que x C U. Então C é uma base para topologia em X. Demonstração: Primeiro precisamos mostrar que C é uma base. O primeiro item da Definição (1.4) é imediato pois, X é aberto por definição e então, para cada elemento x X, existe C C tal que x C X. Para o item (ii), seja x C 1 C 2 com C 1, C 2 C. Então C 1 e C 2 são abertos e, portanto, sua interseção também é aberta. Assim, por hipótese, existe um elemento C 3 em C tal que x C 3 C 1 C 2. Logo, C é uma base para uma topologia em X. Sejam T a topologia gerada por C e T a coleção dos conjuntos abertos de X, vamos mostrar que T = T. Seja U T. Se x U, então existe C C tal que x C U. Isto implica que U T e assim, T T. Por outro lado, se W T, então pelo Lema (1.1), W é uma união dos elementos de C. Como cada elemento de C pertence a topologia T, segue

25 1.3. SUBBASE 23 que W também pertence a T. E assim a inclusão contrária é satisfeita. Lema 1.3. Sejam B e B bases das topologias T e T, respectivamente em X, as seguintes afirmações são equivalentes: 1. T é mais fina que T. 2. Para cada x X e cada elemento base B B contendo x, existe um elemento base B B tal que x B B. Demonstração: (1) (2) Sejam x X e B B contendo x. Por definição B T. Por (1) B T. Como T é gerado por B, segue que existe um elemento B B, tal que x B B. (2) (1) Sejam U elemento de T. Sendo B uma base de T, para cada x U existe um elemento B em B tal que x B U. Como B é base de T, então existe um elemento B em B tal que x B U. Pela condição (2), existe para cada x um elemento B x B tal que x B B. O que implica que em x B U. Portanto, U = B x, ou seja, U T. 1.3 SUBBASE Definição 1.5. Uma subbase S para uma topologia em X é uma coleção de subconjuntos de X tal que sua união é igual a X. A topologia gerada pela subbase S é definida como sendo a coleção T de todas uniões de interseções finitas de elementos de S.

26 24 Capítulo 1. INTRODUÇÃO A ESPAÇOS TOPOLÓGICOS Vamos verificar que T é uma topologia em X. Para isso basta mostrar que a coleção B de todas as interseções finitas de elementos de S é uma base pois, isto implicaria pelo Lema (1.1) que T é uma topologia em X. Dada x X, x pertence a um elemento de S (a união dos elementos de S é X) e portanto x pertence a um elemento de B. Assim, a primeira condição para base está satisfeita. Para a segunda condição, sejam B 1 = S 1 S 2... S n e B 2 = S 1 S 2... S m dois elementos de B. B 1 B 2 = S 1... S n S 1... S m também será uma interseção finita de elementos de S e portanto, pertencente a B 1.4 TOPOLOGIAS NA RETA REAL Nesta seção vamos apresentar três topologias diferentes para o conjunto dos números reais e mostrar qual a relação entre elas. Definição 1.6. Se B é a coleção de todos os intervalos abertos na reta real (a, b) = {x a < x < b}, então a topologia gerada por B é chamada topologia usual na reta real. Quando não é especificada a topologia em R subentendese que a topologia é a usual. Definição 1.7. Se B é a coleção de todos os intervalo semiabertos na reta real [a, b) = {x a x < b}, a topologia gerada por B é chamada topologia do limite inferior em R. Esta topologia é representada por R l.

27 1.4. TOPOLOGIAS NA RETA REAL 25 Definição 1.8. Seja K o conjunto formado por todos os elementos da forma 1 n, com n Z +. Seja B a coleção de todos os intervalos abertos do tipo (a, b) = {x a < x < b} juntamente com todos os conjuntos da forma (a, b) K. A topologia gerada por B é denominada K-topologia, denotada por R K. R. Vamos mostrar que B, B e B são bases topológicas em Dado x R e tomando a, b R tal que a < x < b, os elementos base da forma (a, b), [a, b) e (a, b) das bases B, B e B, respectivamente, contêm x. Para a segunda condição da definição de base vamos mostrar caso a caso. No caso da topologia usual, dados dois intervalos abertos B 1 = (a, b) e B 2 = (c, d) elementos base de B e x (a, b) (c, d). Temos que as interseções desses dois conjuntos podem ser: (c, b) se a < c < b < d; (a, d) se c < a < d < b; (a, b) se c < a < b < d; (c, d) se a < c < d < b. Em todos os casos (a, b) (c, d) B e contêm x. Uma análise similar pode ser feita no caso da interseção entre quaisquer intervalos [a, b) e [c, d), onde para todo x [a, b) [c, d), temos que [a, b) [c, d) B. Agora, no caso de B, podemos ter elementos base da forma (a, b) ou (a, b) K. Tomando dois intervalos abertos (a, b)

28 26 Capítulo 1. INTRODUÇÃO A ESPAÇOS TOPOLÓGICOS e (c, d) recaímos na topologia usual. Tomando B 1 = (a, b) e B 2 = (c, d) K, temos que B 1 B 2 = (a, b) [(c, d) K] = [(a, b) (c, d) K c ] = [(a, b) (c, d)] K que resultará em: (c, b) K se a < c < b < d; (a, d) K se c < a < d < b; (a, b) K se c < a < b < d; (c, d) K se a < c < d < b. E todos pertencem a B. Para finalizar, se B 1 = (a, b) K e B 2 = (c, d) K, temos que B 1 B 2 = (a, b) K c (c, d) K c = (a, b) (c, d) K c = (a, b) (c, d) K, recaindo na situação anterior. Uma das implicações dessas definições é que os abertos usuais de R são abertos em R l e R K, ou seja, as topologias R l e R K contém propriamente a topologia usual em R e assim, mais finas que a topologia em usual em R. Porém, não são comparáveis entre si. A demonstração detalhada está em Munkres (2000, p.81).

29 27 2 TOPOLOGIAS IMPORTAN- TES 2.1 TOPOLOGIA DA ORDEM Num conjunto X ordenado pode-se definir uma topologia a partir da relação de ordem < de X. Dados a, b X, e usando a relação de ordem, são quatro os subconjuntos de X, chamados intervalos, determinados por a e b: Intervalo aberto: (a, b) = {x a < x < b}; Intervalo fechado: [a, b] = {x a x b}; Intervalos semi-abertos: (a, b] = {x a < x b} e [a, b) = {x a x < b}. Definição 2.1. Seja X um conjunto, não unitário, com uma relação de ordem, e seja B a coleção de todos os seguintes conjuntos: i) Todos os intervalos abertos (a, b) em X; ii) Todos os intervalos da forma [a 0, b), onde a 0 é o mínimo (se houver) de X; iii) Todos os intervalos da forma (a, b 0 ], onde b 0 é o máximo (se houver) de X. A coleção B é uma base para topologia em X denominada Topologia da ordem.

30 28 Capítulo 2. TOPOLOGIAS IMPORTANTES De fato, todo elemento de X que não é máximo nem mínimo pertence a algum intervalo do tipo (i), já o máximo, pertence a todos os intervalos do tipo (iii) e o mínimo a todos os intervalos do tipo (ii). Além disso, as interseções entre intervalos serão intervalos ou o conjunto vazio, e portanto para todo elemento na interseção haverá um intervalo que o contenha e está contido na interseção. Exemplo 2.1. A topologia usual de R, apresentada na Definição (1.6), é a topologia induzida por uma relação de ordem em R. Exemplo 2.2. O conjunto Z + é um conjunto ordenado que possui o mínimo 1. Tomando a base B = {(n 1, n + 1) n Z + e n > 1} [1, 2). A topologia da ordem gerada por esta base é a topologia discreta. Exemplo 2.3. O conjunto X = {1, 2} Z + é também um conjunto ordenado, pela relação de ordem do dicionário, que possui (1, 1) como mínimo. No entanto, a topologia da ordem em X não é a topologia discreta pois, não há intervalo aberto que contenha apenas o elemento (2, 1). 2.2 TOPOLOGIA PRODUTO Definição 2.2. Sejam X e Y espaços topológicos. A topologia produto em X Y é a topologia tendo como base a coleção B de todos os conjuntos da forma U V, onde U é aberto em X e V é aberto em Y. Realmente, a coleção B, acima mencionada é uma base para X Y. Para cada (x, y) X Y, tome o próprio conjunto X Y como um elemento de B, uma vez que tanto X quanto

31 2.2. TOPOLOGIA PRODUTO 29 Y são abertos em si mesmos. Agora, considere B 1 e B 2 abertos em X Y e (x, y) B 1 B 2. Temos que B 1 B 2 = (U 1 V 1 ) (U 2 V 2 ), com U 1 e U 2 são abertos em X e V 1 e V 2 são abertos em Y. Segue que B 1 B 2 é um elemento base que contêm (x, y) e está contido em B 1 B 2. Portanto, pela Definição (1.4), B é base de X Y, como queríamos. Teorema 2.1. Se B é uma base para topologia em X e C uma base para topologia em Y, então a coleção D = {B C B B e C C} é uma base para a topologia de X Y. Demonstração: Dado um aberto W em X Y e um elemento (x, y) W, por definição da topologia produto, existe um elemento base U V tal que (x, y) U V W. Como B e C são bases de X e Y respectivamente, podemos escolher um elemento B de B tal que x B U e C de C tal que y C V. Assim, (x, y) B C U V W e implica que a coleção D satisfaz as hipóteses do Lema (1.2) e, portanto, D é uma base para X Y. A topologia usual em R 2 é gerada pelo produto da topologia usual em R com ela mesma, ou seja, a base é a coleção dos produto cartesiano de todos os intervalos abertos em R. Pelo teorema anterior, tomando a coleção dos produtos (a, b) (c, d) está também servirá como base da topologia em R 2 Definição 2.3. Seja π 1 : X Y X a função definida por π 1 (x, y) = x e π 2 : X Y Y a função definida por π 1 (x, y) = y. A imagem de π 1 e π 2 são chamadas projeções de X Y em cada um dos fatores, respectivamente. Se U é um subconjunto de X, então o conjunto π 1 1 (U)

32 30 Capítulo 2. TOPOLOGIAS IMPORTANTES é precisamente o conjunto U Y o qual é um aberto em X Y. Da mesma forma, se V é aberto em Y, então π2 1 (V ) = X V que é aberto em X Y. Teorema 2.2. A coleção S = {{π1 1 (U) U é aberto em X} (V ) V é aberto em Y }} é uma subbase para a topologia {π 1 2 produto em X Y. Demonstração: Seja T a topologia produto em X Y e T a topologia gerada por S. Todo elemento de S pertence a T pois é a união de elementos de T. Assim T T. Por outro lado, todo elemento base U V de T é uma interseção finita de elementos de S. Pelo Lema (1.2), U V = π1 1 (U) π 1 2 (V ) implica que T T. 2.3 TOPOLOGIA DO SUBESPAÇO Sejam (X, T ) um espaço topológico e Y X. A coleção T Y = {Y U U T } é uma topologia em Y. De fato, Y, T Y pois, = Y e Y = Y X. A interseção finita de abertos de Y pertence a T Y pois, (Y U 1 ) (Y U n ) = Y (U 1 U n ). A união arbitrária de abertos de Y pertence a T Y pois, (U α Y ) = ( U α ) Y = U Y. α J α J Definição 2.4. Sejam (X, T ) um espaço topológico e Y A. A coleção T Y = {Y U U T } é uma topologia de Y. Chamamos o par (Y, T Y ) de subespaço topológico de (X, T ).

33 2.3. TOPOLOGIA DO SUBESPAÇO 31 Lema 2.1. Se B é uma base para a topologia em X, então a coleção B Y = {B Y B B} é uma base para a topologia do subespaço em Y. Demonstração: Dado y U Y, onde U é aberto em X, podemos escolher um elemento base B de X tal que y B U. Assim, y B Y U Y. Segue, pelo Lema (1.2), que esta coleção é uma base para a topologia do subespaço Y. Seja Y um aberto do espaço topológico (X, T ). Todo aberto na topologia do subespaço T Y será também um aberto na topologia em X. De fato, se U é aberto em Y, então U = V Y para algum V aberto em X. Daí tem-se que U é aberto por ser uma interseção entre dois abertos de X. Teorema 2.3. Se A é subespaço topológico de X e B subespaço topológico de Y, então a topologia produto em A B é a mesma topologia que A B herda como um subespaço de topológico de X Y. Demonstração: Sejam U e V abertos de X e Y respectivamente. Então, U V é um elemento base para a topologia produto de X Y. O elemento (U V ) (A B) é um elemento base da topologia do subespaço em A B. Sabendo que (U V ) (A B) = (U A) (V B), e que U A é aberto na topologia do subespaço em A e V B é aberto na topologia do subespaço em B então o conjunto (U A) (V B) é um elemento base para a topologia produto em A B. Desta forma, as bases para a topologia do subespaço em A B e a topologia produto em A B são as mesmas. O que implica que as topologias são a mesma.

34 32 Capítulo 2. TOPOLOGIAS IMPORTANTES Definição 2.5. Seja X um conjunto, um subconjunto Y de X é convexo em X se para cada par de pontos de X, estes podem ser unidos por uma linha reta contida em X. Para o caso de X ser um conjunto ordenado, basta que para cada par de pontos a, b Y e a < b, todo o intervalo (a, b) de pontos de X está contido em Y. Com essa definição, é imediato que intervalos e raios de X são convexos em X. Exemplo 2.4. Dado o subconjunto Y = [0, 1) {2} de R. Na topologia do subespaço o conjunto {2} é aberto pois, podemos obtê-lo de Y ( 3 2, 5 2 ). Porém, na topologia da ordem em Y, {2} não é aberto. Todo elemento base da topologia da ordem necessariamente contém valores de Y menores que 2, pois na topologia da ordem em Y os elementos base são da forma {x x Y e a < x 2} 2.4 CONJUNTOS FECHADOS Definição 2.6. Seja A um subconjunto do espaço topológico X. O conjunto A é dito fechado se o conjunto X A é aberto. O interior ( denotado por Int A) de A é a união de todos os abertos contidos em A. O fecho de A ( denotado por A) é a interseção de todos os conjuntos fechados que contém A. Exemplo 2.5. Na topologia apresentada no Exemplo (1.2), os conjuntos finitos de X são fechados.

35 2.4. CONJUNTOS FECHADOS 33 Além disto, um conjunto pode ser fechado e aberto ao mesmo tempo como por exemplo o conjunto vazio. A definição de topologia pode ser escrita em termos de conjuntos fechados, como pode ser visto no Teorema 2.4. Seja X um espaço topológico. Então tem-se que: i) e X são fechados; ii) Interseções arbitrárias entre conjuntos fechados é fechado; iii) Uniões finitas de conjuntos fechados são fechados. Demonstração: i. X = X e X = e ambos são abertos. ii. Como já foi apresentado no Exemplo (1.2), X A α = (X A α ). Como a união entre abertos é um aberto, α J é fechado pois, seu complementar é aberto. α J A α α J iii. Ainda pelos resultados obtidos no Exemplo (1.2), X n A i = n (X A i ) que são abertos pela definição de i=1 i=1 topologia. Portanto, n A i é fechado. i=1 Segue que IntA é aberto por se tratar da união de abertos e A é fechado por se tratar da interseção entre fechados pelo Teorema (2.4). Além disto, Int A A A o que implica que, se A é aberto, então A = Int A e se A é fechado, então A = A. Definição 2.7. Se U é um aberto de X que contém x. Neste caso, dizemos que U é uma vizinhança de x.

36 34 Capítulo 2. TOPOLOGIAS IMPORTANTES Definição 2.8. Dizemos que x X é um ponto de acumulação de A se para toda vizinhança U de x temos que U A {x}. Um exemplo intuitivo para tais definições é um intervalo de R. O conjunto (a, b] não é aberto nem fechado, seu fecho é [a, b] e seu interior é (a, b). Onde a, b R e a < b. Além disto, a é um ponto de acumulação que não pertence ao conjunto e b um ponto de acumulação que pertence ao conjunto (a, b]. Dado um subespaço Y de um espaço topológico X, então todo fechado em Y é da forma Y (Y U) = Y (U c ), onde U é um aberto em X. Em outras palavras, um conjunto é aberto na topologia do subespaço se, e somente se, é da forma Y V, com V um conjunto fechado em X. Teorema 2.5. Sejam Y um subespaço de X, A um subconjunto de Y e A o fecho de A em X. Então o fecho de de A em Y é igual a A Y. Demonstração: Seja B o fecho de A em Y. O conjunto A é fechado em X e portanto A Y é fechado em Y. Como A Y contém A e B é a interseção de todos os subconjuntos fechados de Y contendo A, devemos ter B A Y. Agora, sendo B fechado em Y, então B = C Y para algum C fechado em X contendo A. Como A é a interseção de todos os subconjuntos fechados de X que o contenha, A C. Daí tem-se que A Y C Y = B Teorema 2.6. Seja A um subconjunto do espaço topológico X. Então x A se, e somente se, para todo conjunto aberto U contendo x temos que A {x} U é diferente do conjunto vazio.

37 2.4. CONJUNTOS FECHADOS 35 Demonstração: Vamos provar a ida e a volta por contradição. Usando a contra positiva, ou seja, x A se, e somente se, existe um aberto U contendo x tal que U A =. Supondo que x A, o conjunto U = X A é um conjunto aberto que comtém x e U A =, pois U A e A A que não intersecta A. Reciprocamente, considerando que existe um conjunto U aberto em X contendo x e que A U =, segue que X U é um conjunto fechado contendo A. Pela definição de fecho, X U contém A e consequentemente, U A = e x A. Teorema 2.7. Seja A um subconjunto do espaço topológico X. Se a topologia de X é gerada por uma base, então x A se, e somente se, todo elemento base B contendo x tem interseção não vazia com A. Demonstração: Se todo conjunto aberto que contém x intersecta A, então todo elemento base B contendo x também intersecta A, pois os elementos base são abertos. Por outro lado, se todo elemento base contendo x intersecta A, então todo conjunto aberto U contendo x também o faz pois, U contém um elemento base que contém x. Teorema 2.8. Seja A um subconjunto do espaço topológico X, seja A o conjunto de todos os pontos de acumulação de A. Então A = A A. Demonstração: Se x A, toda vizinhança de x intersecta A em um ponto diferente de x. Portanto, pelo Teorema (2.7), x A implica que A A. Como, por definição, A A,

38 36 Capítulo 2. TOPOLOGIAS IMPORTANTES então A A A.Para a inclusão contrária seja x A, se x A não há nada a provar, seja então x A. Por estar no fecho toda vizinhança U de x, este intersecta A, mas como x A existe outro ponto na interseção, o que implica que x A A Corolário 2.1. Um subconjunto de um espaço topológico é fechado se, e somente se, contém todos os pontos de acumulação. 2.5 ESPAÇOS DE HAUSDORFF Na reta real, com a topologia usual, todo conjunto unitário {x} tal que x R é fechado, pois R {x} = (, x) (x, + ) que são abertos em R. No entanto, isso não necessariamente vale em um espaço topológico qualquer. Nesta seção veremos as condições necessárias para que esta propriedade seja satisfeita. Definição 2.9. Uma sequência de pontos x 1, x 2,... de um espaço topológico X, converge para um ponto x X, se para toda vizinhança U x existe um natural N tal que x n U x para todo n > N. Exemplo 2.6. Sejam X = {a, b, c}, T = {X, {b}, {a, b}, {b, c}, } e uma sequência x n = b para todo n N. Esta sequência converge para b, pois todo aberto que contém b existe um natural N = 1 tal que x n U b para todo n > 1. No entanto, a sequência também converge para a pois, para todo aberto que contém a (X, {a, b}) existe um natural N tal que x n U a para todo n > 1. Da mesma forma x n converge para c. Além disto, {b} não é fechado, pois X {b} / T e, portanto, X {b} não é aberto. Definição Um espaço X é dito espaço de Hausdorff se para cada par x 1 e x 2 de pontos distintos de X existem vizinhanças U 1 e U 2 de x 1 e x 2 respectivamente que são disjuntas.

39 2.5. ESPAÇOS DE HAUSDORFF 37 Exemplo 2.7. Seja X um conjunto ordenado um conjunto aberto na topologia da ordem é um intervalo da forma (a, b). Se x e y são pontos distintos neste intervalo (por simplicidade admita x < y), x é o sucessor imediato de y ou existe z tal que a < x < z < y < b. No primeiro caso os intervalos (a, y) e (x, b) e no segundo caso os intervalos (a, z) e (z, b) são vizinhanças disjuntas de x e y respectivamente. Ou seja, todo espaço ordenado é um espaço de Hausdorff com a topologia da ordem. Exemplo 2.8. Sejam X e Y espaços de Hausdorff, tome x 1 y 1 e x 2 y 2 pontos distintos de X Y. Tomando U 1 e U 2 vizinhanças disjuntas de x 1 e x 2 respectivamente, e V 1 e V 2 vizinhanças disjuntas de y 1 e y 2 respectivamente, as vizinhanças U 1 V 1 e U 2 V 2 são vizinhanças disjuntas de x 1 y 1 e x 2 y 2 respectivamente. E assim, o produto cartesiano entre dois espaços de Hausdorff é um espaço de Hausdorff. Observação 2.1. Sejam Y um subespaço de um espaço de Hausdorff X e x, y Y pontos distintos. Se U e V são vizinhanças disjuntas em X de x e y respectivamente então Y U e Y V são vizinhanças disjuntas em Y na topologia do subespaço de x e y respectivamente. Desta forma, um subespaço de um espaço de Hausdorff é um espaço de Hausdorff.

40

41 39 3 CONTINUIDADE DE FUN- ÇÕES 3.1 FUNÇÕES CONTÍNUAS Definição 3.1. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma aplicação f : X Y é dita contínua se, para todo aberto V de Y sua imagem inversa f 1 (V ) é um aberto em X. Observação 3.1. Sejam β = {β α } α λ uma base para a topologia em Y, f : X Y uma aplicação e V um aberto em Y. Tem-se que V = β α o que implica que, f 1 (V ) = f 1 (β α ) e por- α J α J tanto, a imagem inversa de um aberto V de Y é aberto em X se a imagem inversa de cada elemento base, cuja união é V, é aberta em X. Observação 3.2. Sejam S uma subbase para a topologia em Y, f : X Y uma aplicação e B um elemento base para Y. Pela Definição (1.5), elemento B pode ser escrito como uma interseção finita de elementos da subbase. B = S 1... S n f 1 (B) = f 1 (S 1 )... f 1 (S n ) Portanto, a imagem inversa de um elemento base B para Y é aberto em X se a imagem inversa de cada elemento da subbase, cuja interseção finita é B, é aberta em X. Exemplo 3.1. Sejam X e Y espaços topológicos discretos, então qualquer aplicação f : X Y é contínua.

42 40 Capítulo 3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Exemplo 3.2. Se f : R l R tal que f(x) = x (função identidade, então f é contínua. Basta ver que todo aberto (a, b) de R é também aberto de R l. No entanto, definindo f : R R l, temos que a função f não é contínua, pois [0, 1) é um conjunto aberto em R l, mas f 1 ([0, 1)) = [0, 1) que não é aberto em R. Definição 3.2. Dizemos que uma aplicação f : X Y é contínua no ponto x 0 X quando para cada aberto V Y, com f(x 0 ) V, existe um aberto U X com x 0 U tal que f(u) V. A definição para função contínua aqui apresentada é equivalente a habitual apresentada em Análise Real. Sejam f : R R uma aplicação e x 0 R. Diz-se que f é contínua no ponto x 0 se, dado ε > 0 existe δ > 0 tal que x 0 δ < x < x 0 + δ implica em f(x 0 ) ε < f(x) < f(x 0 ) + ε (LIMA, 2004). Vamos verificar que a definição acima coincide com a Definição (3.2). Considere f : R R contínua. Dado x 0 R e ε > 0, o intervalo V = (f(x 0 ) ε) é um aberto em R e f(x 0 ) V. Assim, x 0 f 1 (V ) e é um conjunto aberto em R. Como x 0 f 1 (U) e f 1 (U) é aberto, segue que f 1 (U) contém algum elemento base (a, b), com a < x 0 < b. Escolhendo δ o menor dos números x 0 a e b x 0, então se x 0 δ < x < x 0 +δ implica que o ponto x (a, b) tal que f(x) V, ou seja, f(x 0 ) ε < f(x) < f(x 0 ) + ε. Teorema 3.1. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X Y uma função, são equivalentes as seguintes afirmações: i) f é contínua;

43 3.1. FUNÇÕES CONTÍNUAS 41 ii) Para todo subconjunto A de X, tem-se que, f( A) f(a); iii) Para todo B fechado de Y, tem-se que, f 1 (B) é fechado em X. Demonstração: (i ii) Tome x A. Se x A, então f(x) f(a) f(a). Como x A, tome V uma vizinhança de f(x). Então f 1 (V ), por hipótese, é aberto em X contendo x e como x A, segue que f 1 (V ) A. Desta forma, existe y f 1 (V ) A tal que y x. Podemos concluir que qualquer vizinhança V de f(x) tem interseção não vazia com f(a) em um ponto f(y) V f(x) e portanto, f(x) f(a) para todo x A, o que implica que f( A) f(a). (ii iii) Sejam B fechado em Y e A = f 1 (B). Queremos mostrar que f 1 (B) é fechado, para isto vamos provar que A é igual ao seu fecho. Precisamos mostrar apenas que A A, pois a inclusão contrária vem da definição de fecho. Sabemos que f(a) = f(f 1 (B)) e que, f(f 1 (B)) B (f(a) B). Portanto, se x A, então f(x) f( A). Por hipótese f( A) f(a), mas B é fechado e contém f(a) e assim, f(a) B = B. Ou seja, f(x) f( A) f(a) B = B. O que implica que f(x) f 1 (B) = A. A = A como desejado. (iii i) Seja V um aberto de Y. Tome B = Y V, então B é fechado e f 1 (B) = f 1 (Y ) f 1 (V ) = X f 1 (V ). Como f 1 (B) é fechado em X, significa que f 1 (V ) é aberto em X e portanto, f é contínua. Teorema 3.2. Sejam X e Y espaços topológicos. Uma função f : X Y é contínua se, e somente se, para cada x 0 X e cada

44 42 Capítulo 3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES vizinhança V de f(x) existe uma vizinhança U de x 0, U X, tal que f(u) V. Demonstração: Seja x X e V uma vizinhança de f(x). Supondo que f é contínua, temos que o conjunto U = f 1 (V ) é uma vizinhança de x tal que f(u) = f(f 1 (V )) V. Por outro lado, consideremos que f é contínua em cada ponto x 0 X. V um conjunto aberto de Y, com x f 1 (V ). Precisamos mostrar que U é aberto em X. Para cada x U = f 1 (U), temos que f(x) pertence a V, e por hipótese, existe uma vizinhança U x de x tal que f(u x ) V, implicando que U x f 1 (f(u x )) = f 1 (V ). Segue que, U = f 1 (U) = (U x ), x f 1 (V ) ou seja, U é escrito como a união das respectivas vizinhanças para cada x f 1 (V ) e, portanto, U é aberto. 3.2 HOMEOMORFISMO Definição 3.3. Sejam X e Y espaços topológicos. f : X Y uma bijeção. Se ambas f e f 1 : Y X são contínuas então f é chamada homeomorfismo. Como f é bijeção então f(f 1 (V )) = V para todo V Y. Assim, é possível dizer que f é um homeomorfismo quando U é um conjunto aberto em X se, e somente se, sua imagem é um conjunto aberto em Y. Isto significa dizer que um homeomorfismo não é apenas uma bijeção entre os espaços topológicos, mas também entre a coleção de seus abertos. Ou seja, o homeomorfismo preserva a estrutura topológica envolvida. Desta forma, dois espaços homeomorfos têm as mesmas propriedades topológicas.

45 3.2. HOMEOMORFISMO 43 Exemplo 3.3. A função identidade definida id : R R é um homeomorfismo. Se a definirmos id : R l R ou id : R R l ela não será mais um homeomorfismo, pela não continuidade da função com domínio R e imagem R l Exemplo 3.4. A função f : R R com f(x) = x 3 é contínua. Exemplo 3.5. Todo intervalo aberto (a, b) R é homeomorfo a R. Tome a função f : ( 1, 1) R definida por f(x) = x 1 x 2, então f é um homeomorfismo, ou seja, é sobrejetora e todo intervalo (elemento base na topologia usual em R) tem com imagem um aberto e vice-versa. Sua inversa é dada por f 1 2y (y) =. Seja g : (a, b) ( 1, 1) definida por 1+ (1+4y 2 ) f(x) = 2(x b) b a + 1. A função g também é um homeomorfismo. Assim, a função F : (a, b) R definida por F (x) = (g f)(x) é bijetora e contínua, bem como sua inversa, como desejado. O resultado do Exemplo (3.5) será utilizado com frequência daqui em diante pois, a função g nele definida diz que todos os intervalos da reta são homeomorfos entre si. Além disto, utilizando a função g vemos que todos os intervalos fechados da reta são homeomorfos entre si. Por esse motivo, futuramente, quando definirmos homotopia por caminhos basta fazê-lo no intervalo [0, 1]. É imediato que a função constante e a composta entre funções contínuas é contínua. E, restringir o domínio ou a imagem de uma função contínua não altera o fato de ser contínua. No entanto, a formulação local de continuidade e o lema da colagem, que são os próximos resultados, serão demonstrados devido a sua importância para o desenvolvimento deste trabalho.

46 44 Capítulo 3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Teorema 3.3. Sejam X, Y espaços topológicos. A aplicação f : X Y é contínua se X pode ser escrito como a união de abertos U α tais que, para cada α, f restrita a U α é contínua. Demonstração: Seja V um aberto em Y. Então f 1 (V ) U α = α (f U α ) 1 (V ) representam o conjunto de todos os x U α para os quais f(x) V. Pela continuidade de f restrita a U α, f 1 (V ) é um aberto em U α e portanto, f 1 (V ) = α f 1 (V ) U α é um aberto em X Teorema 3.4. (Lema da colagem) Sejam X = A B, onde A e B são fechados em X, f : A Y e g : B Y contínuas. Se f(x) = g(x), para todo x A B, então a função h : X Y f(x), se x A definida da forma h(x) = é contínua. g(x), se x B Demonstração: Seja C um subconjunto fechado de Y, então h 1 (C) = f 1 (C) g 1 (C). Além disso, f 1 (C) é fechado em A e g 1 (C) fechado em B, pela continuidade de f e g, então f 1 (C) e g 1 (C) são em X, consequentemente h 1 (C) é fechado em X, pois a união de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado. Assim, h 1 (C) é contínua, pelo Teorema (3.2). Outro tipo de aplicação contínua, muito importante para definir homotopia, é a aplicação em produtos cartesianos. Teorema 3.5. Seja f : A X Y dada por f(a) = (f 1 (a), f 2 (a)). Então f é contínua se, e somente se, as aplicações f 1 : A X e f 2 : A Y são contínuas.

47 3.3. ESPAÇOS MÉTRICOS 45 Demonstração: Seja π 1 : X Y X e π 2 : X Y Y as projeções em X e Y, respectivamente, ou seja, π 1 (x, y) = x e π 2 (x, y) = y. Essas aplicações são contínuas, realmente, se U e V são abertos em X e Y, respectivamente, então π1 1 (U) = U Y e π1 1 (V ) = X V são abertos em X Y. Além disso, para cada a A temos que f 1 (a) = π 1 (f(a)) e f 2 (a) = π 2 (f(a)). As funções coordenadas f 1 e f 2 assim definidas, são compostas entre funções contínuas e portanto, são contínuas. Por outro lado, suponha que f 1 e f 2 são contínuas. Tome um elemento base U V da topologia produto de X Y. Um ponto a f 1 (U V ) se, e somente se, f 1 (a) U e f 2 (a) V. Portanto, f 1 (U V ) = f (U) f2 (V ) com ambos f1 (U) e f 1 2 (V ) abertos, e portanto f 1 (U V ) é aberto em A e é contínua. Um homeomorfismos importante é entre a circunferência e o quadrado, que do ponto de vista topológico são equivalentes. Exemplo 3.6. Sejam S 1 = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 = 1} a circunferência com centro na origem e raio unitário e T = {(x, y) R 2 x + y = 1} o quadrado centrado na origem e lado medindo 2. Deste modo, S 1 e T são homeomorfos, ( de fato, ) a aplicação f : S 1 x T dada por f(x, y) = x + y, y x + y é contínua, ( bijetora, e com inversa f 1 x (x, y) =, y ). x2 +y 2 x2 +y ESPAÇOS MÉTRICOS Os espaços métricos são um dos tipos de espaços mais interessantes de serem estudados, não somente por serem muito úteis e aplicáveis mas também pela quantidade de teoremas e

48 46 Capítulo 3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES características específicas de tais conjuntos. No entanto, nem sempre um conjunto é metrizável. Definição 3.4. Uma métrica em um conjunto X é a função d : X X R com as seguintes propriedades: 1. d(x, y) > 0 se x y e d(x, y) = 0 se x y; 2. d(x, y)=d(y,x) para todo x, y X; 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) para todo x,y, z X (desigualdade triangular). O número d(x, y) é distância entre x e y na métrica d e (M, d) é denominado um espaço métrico. Definição 3.5. Sejam (M, d) um espaço métrico e x X. Dado ε > 0 o conjunto B d (x, ε) = {y d(x, y) < ε} (todos os pares (x, y) cuja distância é menor que ε) é chamada bola aberta centrada em x. Definição 3.6. Seja d é uma métrica em X. A coleção de todas as bolas abertas B d (x, ε), para x X e ε > 0 é uma base para a topologia em X, chamada topologia induzida pela métrica d. Afirmamos que, de fato, o conjunto de todas as bolas abertas de X forma uma base para a topologia em X. Se x X, temos que, para qualquer ε > 0, definindo δ = ε d(x, y) para todo x, y X temos que B(y, δ) B(x, ε). Em particular, se z B(y, δ) então d(y, z) < ε d(x, y) e d(x, z) < d(x, y)+d(y, z) < ε, ou seja, em toda interseção não vazia entre elementos base, é possível obter um ε tal que existe um elemento base contido nesta interseção.

49 3.3. ESPAÇOS MÉTRICOS 47 Exemplo 3.7. A métrica usual em R induz a mesma topologia da ordem. Basta notar que cada elemento base (a, b) da topologia da ordem é um elemento base da topologia da métrica tomando B(x, ε), onde x = a+b 2 e ε = b a 2. Por outro lado toda ε bola é o intervalo aberto (x ε, x + ε). Definição 3.7. Seja X um espaço métrico com métrica d. Um subconjunto A de X é dito ser limitado se existir algum número M tal que d(a 1, a 2 ) < M, para todo para de pontos a 1 e a 2 de A. Se A é limitado e não vazio, o diâmetro de (A) é definido como o número diama = sup{d(a 1, a 2 ) a 1, a 2 A}. A limitação de um conjunto não é uma propriedade exclusivamente topológica, depende também da métrica envolvida. Lema 3.1. Seja d e d duas métricas em X e T e T suas respectivas topologias induzidas. Então, T é mais fina que T se, e somente se, para cada x X e ε > 0, existe δ > 0 tal que B d (x, δ) B d (x, ε). Demonstração: Suponha T T. Dado B d (x, ε) T, pelo Lema (1.2), existe B T tal que x B B d (x, ε). Então podemos encontrar uma bola aberta da forma B d (x, δ) centrada em x. Para o caminho inverso, suponha a condição δ ε válida. Então, dado um elemento base B de T contendo x, podemos encontrar B d (x, ε). Por hipótese existe δ tal que B d (x, δ) B d (x, ε), o que implica pelo Lema (1.2) que T T. Definição 3.8. Dado x = (x 1,..., x n ) R n definimos: i) Norma de x: x = x 2 1,..., x2 n;

50 48 Capítulo 3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES ii) Métrica euclidiana: d(x, y) = x y = (x 1 y 1 ) 2,..., (x n y n ) 2 ; iii)métrica quadrada: ρ(x, y) = max{ x 1 y 1,..., x 2 y 2 }. Teorema 3.6. As topologias em R n induzidas pelas métricas euclidiana d e quadrada ρ coincidem com a topologia produto em R n. Demonstração: Sejam x = (x 1,..., x n ) e y = (y 1,..., y n ) dois pontos de R n então existe i 1,..., n tal que ρ(x, y) = x y = [(x i y i ) 2 ] 1 2 [(x 1 y 1 ) (x i y i ) (x n y n ) 2 ] 1 2 e, por outro lado d(x, y) = [(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2 ] 1 2 [n(x i y i ) 2 ] 1 2 = nρ(x, y). Portanto, ρ(x, y) d(x, y) nρ(x, y). E, B d (x, ε) B ρ para todo x e ε, pois se d(x, y) < ε então ρ(x, y) < ε. E, B ρ (x, ε n ) B d(x, ε), para todo x e ε. Assim, as topologias induzidas por d e ρ são a mesma topologia. Agora, tome B = (a 1, b 1 )... (a n, b n ) um elemento da base da topologia produto. Se x é um elemento de B, para cada i existe um ε i tal que (x i ε i, x i + ε i ) (a i, b i ). Escolha ε = min{ε i, i = 1,..., n}. Então, teremos B ρ (x, ε) B. Por outro lado, seja B ρ um elemento da topologia induzida por ρ, o próprio conjunto B ρ (x, ε) é um elemento da topologia produto pois, B ρ (x, ε) = (x 1 ε, x 1 + ε) (x n ε, x n + ε).

51 3.3. ESPAÇOS MÉTRICOS 49 Um caso particular deste teorema se dá quando n = 2 e temos que d(x, y) = [(x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) 2 ] 1 2 e B ρ = max{ x 1 y 1, x 2 y 2 } induzem a mesma topologia que a topologia da ordem em R 2. Ou seja, está provado que as métricas do Exemplo (1.4) são a mesma. Um subespaço de um espaço métrico é um espaço métrico, basta restringir a métrica d ao subespaço. Lema 3.2. (Lema da sequência) Sejam X um espaço topológico e A X, se existe uma sequência de pontos de A convergindo para x A, então x A. A recíproca será válida quando X é metrizável. Demonstração: Suponha x n uma sequência convergindo para x A. Então, toda vizinhança U x de x contém pontos de A diferentes de x, assim, x é um ponto de acumulação de A e pertence ao seu fecho. Para a recíproca, suponha X metrizável e x A. Seja d a métrica que induz uma topologia em X. Para cada n N tome a vizinhança B d (x, 1 n ) e escolha x n como sendo um ponto da interseção com A. Esta sequência converge para x e toda vizinhança U x de x contém uma ε bola B d (x, ε) centrada em x. Se tomarmos N de forma que 1 N < ε, então U x A contém x i para todo i N (A contém todos os abertos U x para N grande o bastante). Por argumentos de ε δ temos que as operações de adição, substração e multiplicação em R são funções contínuas de R R R e a operação de divisão é uma função contínua de R R {0} R. (LIMA, 2004) Teorema 3.7. Se X é um espaço topológico qualquer e f, g : X R são funções contínuas, então f + g, f g e fg são

52 50 Capítulo 3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES contínuas. Se g(x) 0 para todo x então f g é contínua. Demonstração: A aplicação h : X R R definida por h(x) = f(x) g(x) é contínua pelo Teorema (3.5). A função f + g é igual a composição de h com a operção de adição de R R R. E, portanto contínua. Analogamente a subtração, multiplicação e divisão. 3.4 TOPOLOGIA QUOCIENTE Esta topologia nasceu da ideia de recortar e colar superfícies, por exemplo, permite transmutar um disco em uma esfera ou um retângulo em um toro. Definição 3.9. Sejam X e Y espaços topológicos e p : X Y uma aplicação sobrejetiva. A aplicação p é dita quociente se, para qualquer subconjunto U de Y, tem-se que U é aberto se, e somente se p 1 (U) é aberto em X Definição Dizemos que um conjunto C de X é saturado em relação a aplicação p se C é igual a toda imagem inversa de um subconjunto de Y. Desse modo, C contém todos os conjuntos p 1 {y} que intersecta. Em particular, todos os f 1 (U) com U aberto em Y então são saturados em X, bem como suas uniões e interseções finitas. Definição Uma aplicação f : X Y é dita aberta se para cada aberto U de X o conjunto f(u) é aberto em Y e é dita fechada se se para cada fechado U de X o conjunto f(u) é fechado em Y.

53 3.4. TOPOLOGIA QUOCIENTE 51 Da própria definição de aplicação quociente temos que, se uma aplicação é sobrejetora, contínua e aberta (fechada) então é uma aplicação quociente (aplica abertos saturados em abertos). No entanto, a recíproca nem sempre é verdadeira. Exemplo 3.8. Seja X = [0, 1] [2, 3] e Y = [0, 2] subespaços de R, a aplicação p : X Y definida da forma p(x) = x, se x [0, 1] é sobrejetora, contínua, e fechada. E, x y, se x [2, 3] portanto uma aplicação quociente, mas não é uma aplicação aberta, pois a imagem do [0, 1] conjunto aberto em X não é aberto em Y. Se A = {[0, 1) [2, 3]} então aplicação q : A Y obtida restringindo p em A, é contínua, sobrejetora, mas não é aplicação quociente, pois o conjunto [2, 3] é aberto em A, saturado em relação a q, mas sua imagem não é aberta em Y. Exemplo 3.9. Seja π 1 : R R R a projeção na primeira coordenada, então π 1 é uma aplicação quociente. Pois se U V é um elemento base não vazio de R R então π 1 (U V ) = U que é aberto em R. Assim, π 1 é contínua, sobrejetora e aberta. Mas π 1 não é uma aplicação fechada pois, seja C = {(x, y) xy = 1} é fechado e π 1 (C) = R {0} que é aberto em R. Definição Seja X é um espaço e A um conjunto, se p : X A é uma aplicação sobrejetora, então existe exatamente uma topologia T em A relativa a qual p é uma aplicação quociente, chamada topologia quociente induzida. De fato p 1 ( ) = e p 1 (A) = X, pela sobrejetividade de p, e também para uma coleção U α em A se tem p 1 ( α U α) = α p 1 (U α ) e p 1 ( n U i ) = n p 1 (U i ) pela continuidade de p. i=1 i=1 satisfazendo as condições de topologia.

54 52 Capítulo 3. CONTINUIDADE DE FUNÇÕES Exemplo A aplicação p : R A, A = {a, b, c} definida a, se x < 0 por p(x) = b, se x = 0 é uma aplicação quociente. Seus c, se x > 0. conjuntos saturados são f 1 (a), f 1 (b), f 1 (c), e suas interseções e uniões. De forma que se resumem a (, 0) (0, ), [0], (, 0) e (0, ) que exceto por [0] são aberto e devem ter imagem aberta na topologia quociente, enquanto que fechados terão imagem fechada. Daí tem-se que, a topologia quociente será T = {{a, b}, {b}, {a}, {a, b, c}, } Definição Seja X um espaço topológico e X * uma partição de X. Seja p : X X * uma aplicação sobrejetora que leva cada ponto de X para o elemento conjunto de X * que o contém. Chamamos o espaço X * de espaço quociente de X na topologia quociente induzida por p. Dado X * existe uma relação de equivalência para o qual os elementos de X * são classes de equivalência. Exemplo Seja X o retângulo [0, 1] [0, 1]. Definindo a partição X * de X como a classe dos pontos interiores, dos pontos da borda do quadrado que estão sobre os lados paralelos ao eixo x e não estão nos cantos do quadrado, os pontos das bordas paralelas ao eixo y que não estão nos cantos do quadrado e o cunjunto dos cantos do quadrado. Em notação matemática o conjunto de todos os {(x, y)} com 0 < x < 1 e 0 < y < 1, o conjunto dos {x 0, x 1} com 0 < x < 1, {y 0, y 1} com 0 < y < 1 e o conjunto {0 0, 0 1, 1 0, 1 1}. Nesta topologia uma vizinhança de um dos cantos do quadrado é também vizinhança de todos os outros cantos, ou um vazinhança de uma das bordas