1 Noções preliminares

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1 Álgebras, subálgebras e endomorfirsmos Ana Cristina - MAT/UFMG Durante este texto, vamos considerar F um corpo de característica zero. Iniciaremos com algumas definições da teoria de anéis que serão importantes no decorrer dos resultados. 1 Noções preliminares 1.1 R-Módulos e R-homomorfismos Dado um anel R (com unidade, mas não necessariamente comutativo, recordemos que um grupo abeliano (aditivo M é um R-módulo à esquerda (que nos referiremos simplesmente como um R-módulo se R age linearmente sobre M, ou seja, se existe uma aplicação R M M dada por (r, m rm tal que (i r(m 1 + m 2 = rm 1 + rm 2, (ii r(sm = (rsm, (iii (r + sm = rm + sm, (iv 1m = m, para quaisquer m, m 1, m 2 M e r, s R. Analogamente, podemos definir um R-módulo à direita. Notamos que se R é um corpo então um R-módulo é o mesmo que um espaço vetorial sobre R. Definição 1.1 Um R-submódulo N de um R-módulo M é um subgrupo que é fechado sob a multiplicação por elementos de R. De fato, sabemos que um subconjunto não vazio N de M é um R-submódulo se, e somente se, n 1 + n 2 N e rn N, para todos n, n 1, n 2 N e r R. O grupo abeliano M/N herda uma estrutura de R-módulo definido por r(m+n = rm+n, onde r R e m M e temos assim, o R-módulo quociente de M por N. Definição 1.2 Uma aplicação entre R-módulos ϕ : M M é um R-homomorfismo se ϕ(m 1 + m 2 = ϕ(m 1 + ϕ(m 2 e ϕ(rm 1 = r.ϕ(m 1, para quaisquer m 1, m 2 M e r R. O núcleo de ϕ é o conjunto ker(ϕ = {m M ϕ(m = 0} e este é um submódulo de M. A imagem de ϕ é o conjunto Im(ϕ = ϕ(m = {ϕ(m m M} que é um submódulo de M. Obviamente ϕ é injetiva se, e somente se, ker(ϕ = 0 e quando ϕ é bijetiva temos um isomorfismo entre M e M, ou seja, M = M. Além disso, temos o teorema do homomorfismo de módulos que garante que se ϕ : M M é um R-homomorfismo então M/ker(ϕ = Im(ϕ. Denotaremos por Hom R (M, N o conjunto de todos os R-homomorfismos entre os R- módulos M e N e por End R (M caso tenhamos M = N. Exercício: Prove o Teorema do homomorfismo de módulos. 1

2 Exercício: Recordemos que um R-módulo M é dito simples se M 0 e seus únicos submódulos são 0 e M. 1. Mostre que se M é simples e φ : M N é um R-homomorfismo não nulo então φ é um monomorfismo. Além disso, mostre que se N também é simples então φ é um isomorfismo. 2. Mostre que se M é um R-módulo simples então End R (M é um anel de divisão (ou seja, demonstre o conhecido Lema de Schur. 1.2 Álgebras Definição 1.3 Um F -espaço vetorial A é dito uma álgebra sobre F (ou uma F-álgebra se A está equipado de uma operação binária que satisfaz as seguintes condições para todos a, b, c A e para todo α F : (i (a + b c = a c + b c, (ii a (b + c = a b + a c, (iii α(a b = (αa b = a (αb. Fica claro então que a noção de F -álgebra generaliza a noção de espaço vetorial e de anel e mais do que isto, generaliza a noção de F -módulo. Note ainda que nossa definição não exige que (a b c = a (b c, ou seja, uma álgebra pode ser não-associativa. No entanto usaremos a palavra álgebra para designar uma álgebra associativa. Vejamos um exemplo de álgebra não-associativa. Definição 1.4 Uma F -álgebra A munida de sua operação binária é uma álgebra de Lie se para todos a, b, c A valem: (i a a = 0 (lei de anticomutatividade (ii (a b c + (b c a + (c a b = 0 (identidade de Jacobi. Exercício: Mostre que a lei de anticomutatividade em uma álgebra de Lie R implica em a b = (b a, a, b R. Exercício: Mostre que se F é um corpo de característica zero e A é uma F -álgebra de Lie para a qual existem elementos a, b, c A tais que a (b c 0 então A não é associativa. No próximo exemplo, vemos que podemos construir álgebras de Lie a partir de álgebras associativas. 2

3 Exemplo 1.5 Se R é uma álgebra (associativa então consideramos R ( como sendo R munido de uma nova multiplicação (comutador de Lie definida por: Temos que R ( é uma álgebra de Lie. [a, b] = ab ba, a, b R. Exercício: Mostre que o espaço vetorial tridimensional R 3 é uma álgebra de Lie com respeito ao produto vetorial, ou seja, u v= (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1, onde u= (x 1, x 2, x 3, v= (y 1, y 2, y 3 R 3. Definição 1.6 Dada uma F -álgebra A, dizemos que (i A é unitária se A tem uma unidade 1 = 1 A com a propriedade 1a = a1 = a, para todo a A. (ii A é comutativa se ab = ba, para todos a, b A. (iii A é nilpotente se existe um natural m tal que A m = 0. Neste caso, A obviamente não é unitária. Exemplo 1.7 São exemplos de álgebras associativas: 1. A álgebra M n (F das matrizes n n com entradas em F é unitária e nãocomutativa. 2. A álgebra UT n = UT n (F das matrizes n n triangulares superiores com entradas em F. Exercício: Mostre que o subconjunto J n de UT n formado por matrizes com diagonal nula é uma álgebra nilpotente. A dimensão de uma álgebra é a sua dimensão como espaço vetorial sobre F. Dizemos ainda que A é a álgebra gerada por um de seus subconjuntos, digamos S = {s i } i I, se todo elemento a A pode ser escrito como uma combinação linear sobre F de produtos da forma s i1 s it, onde s ij S. Neste caso denotaremos A = S. Exemplo 1.8 Dados um grupo G e um anel R com unidade, consideremos o conjunto RG de somas formais α = α g g, com α g R e g G, onde (α g g G é uma seqüência quase nula, isto é, apenas um número finito de coeficientes (α g g G são diferentes de zero. Definimos a soma e o produto em RG por: 1. α g g + β g g = (α g + β g g, 2. α g g β h h = α g β h gh. 3

4 Com as operações definidas acima, temos que RG é um anel denominado anel de grupo de G sobre R. Seja λ R. Definindo o produto por escalar em RG por: ( λ αg g = λα g g, é fácil verificar que RG é um R-módulo. Além disto, quando R = F é um corpo, F G é uma F -álgebra, a álgebra de grupo de G sobre F e sua dimensão é igual a G. Exercício: Mostre que o conjunto das n n matrizes de traço zero: sl n (F = {(a ij M n (F n a ii = 0} i=1 munido da multiplicação [A, B] = AB BA é uma F -álgebra não-unitária e determine sua dimensão. 1.3 Subálgebras e endomorfismos Definição 1.9 Um subespaço S da álgebra A é chamado uma subálgebra se é fechado para a multiplicação de R, isto é, se s 1, s 2 S implica que s 1 s 2 S. Uma subálgebra I de R é chamada um ideal à esquerda de A se RI I (isto é, ri I quando r R e i I. Similarmente define-se ideal à direita e ideal bilateral (ou simplesmente um ideal que deve ser um ideal à esquerda e à direita simultaneamente. Exemplo UT n é uma subálgebra de M n (F. 2. M 1 = e M 2 = são subálgebras de UT M 3 = M 6 = ( F F 0 0 {( a b c 0 a d ( a F F 0 F F ( 0 F 0 F } a, b, c, d F, M 4 = e M 7 = {( a b c 0 0 d 0 0 a ( F F F ( 0 F F 0 0 F, M 5 = 0 0 F, F } a, b, c, d F são subálgebras de UT 3. Definição 1.11 Uma aplicação φ : A 1 A 2 entre álgebras A 1 e A 2 é um homomorfismo (de álgebras se para todos a, b A 1 e α F temos (i φ(a + b = φ(a + φ(b, (ii φ(ab = φ(aφ(b, (iii φ(αa = αφ(a. 4

5 Se φ é bijetor dizemos que φ é um isomorfismo e que A 1 e A 2 são álgebras isomorfas. Um endomorfismo de uma álgebra A é um homomorfismo de A em A. Um automorfismo de A é um endomorfismo bijetor de A. Dado um homomorfismo de álgebras ϕ : A B, o conjunto Ker(ϕ := {a A ϕ(a = 0} é chamado de núcleo de ϕ. Note que Ker(ϕ é um ideal de A. Teorema 1.12 (Teorema do homomorfismo de álgebras A álgebra quociente A/Ker(ϕ é isomorfa a Im(ϕ = {ϕ(a a A}. 1.4 Álgebras livres e a álgebra de Grassmann Uma F -álgebra A é livre sobre um subconjunto X (livremente gerada por X se para qualquer álgebra R e qualquer aplicação f : X R existe um único homomorfismo de álgebras f : A R que estende f, ou seja, f X = f. A cardinalidade de X é dita o posto de A. Considerando um conjunto infinito e enumerável X = {x 1, x 2,...} de elementos não comutativos, ditos variáveis, a álgebra F X é o espaço vetorial que tem uma base formada por todas as sequências x i1 x i2...x in em X, com n 0, munido com a multiplicação natural definida por justaposição, onde a sequência com n = 0 denota a unidade 1 F. A álgebra F X é livremente gerada por X e é chamada a álgebra livre dos polinômios sobre X. Terminamos esta seção com o exemplo de uma álgebra de dimensão infinita que tem papel fundamental na teoria das PI-álgebras. Exemplo 1.13 A álgebra de Grassmann E de dimensão infinita. Esta álgebra é construída da seguinte maneira: tomamos I F X tal que I = {x i x j + x j x i : i, j 1} e para cada i = 1, 2, fazemos e i = x i + I. Assim, E é definida como a álgebra gerada por 1, e 1, e 2,, ou seja, E = 1, e 1, e 2, : e i e j = e j e i. Podemos considerar subálgebras de dimensão finita da álgebra E ao restringir o número de geradores. Deste modo, para cada k 1, temos as álgebras: de dimensão k + 1 sobre F. E k = 1, e 1, e 2,, e k : e i e j = e j e i 5