Introdução à Linguagem da Topologia

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1 Introdução à Linguagem da Topologia Corpos Define-se corpo por um conjunto K, munido de duas operações básicas chamadas de adição e multiplicação. São os axiomas do corpo: Axiomas da Adição Associatividade: Sejam os elementos x, y, z, K, tem-se(x+y)+z = x+(y+z) Comutatividade: Sejam os elementos x,y,z, K, tem-se x+y = y +x Elemento Neutro: Existe 0 K tal que 0+x = x x K Simétrico: Todo elemento x K possui um simétrico tal que o resultado da soma fornece o Elemento Neutro: x+( x) = 0 Axiomas da Multiplicação Associatividade: Sejam os elementos x,y,z, K, tem-se (x y) z = x (y z) Comutatividade: Sejam os elementos x,y,z, K, tem-se x y = y x Elemento Neutro: Existe 1 K tal que 1 x = x, x K. Inverso Multipĺicativo: Todo elemento x K possui um Inverso Multiplicativo x 1 tal que o resultado da multiplicação fornece-nos o elemento Neutro: x (x 1 ) = 1 Teorema. Sejam x, a elementos de um corpo K. as seguintes afirmações são equivalentes: a x a x a e x a x a

2 Produto Interno ou Produto Escalar Vamos definir o produto interno para ambos os vetores no espaço R n : x = (x 1,x 2,x 3...x n ) e y = (y 1,y 2,y 3...y n ) por n < x,y >= x i y i i=1 O comprimento dos vetores são dados por x = n x 2 i e y = n i=1 i=1. São as propriedades do produto interno: < x,x >= x 2 < x,y >=< y,x > < ax+by,z >= a < x,z > +b < y,z > y 2 i (Verifique) Desigualdade de Cauchy-Schwarz Seja x,y R n, então < x,y > x y Prova: < x,y > = ( n i=1 x iy i ) 2 = n i=1 x2 iy 2 i +2 i<j x iy i x j y j i<j x2 iy 2 j < x,y > (x 2 1 +x2 2 +x x2 n )(y2 1 +y2 2 +y y2 n ) Desigualdade Triangular Seja x,y R n, então x+y x + y Prova: Usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz: x+y 2 x 2 + y 2 +2 x y x,y R n, então x+y 2 x 2 + y 2

3 Espaços Métricos Espaço Métrico é um par (M,d), onde M é um conjunto não vazio e d uma função d : M M R, que associa cada par ordenado de elementos (x,y) M a um número real d(x, y) que chamaremos de distância. Ou seja, d(x,x) = 0 Se x difere de y, então d(x,y) > 0 d(x,y) = d(y,x) d(x,z) d(x,y)+d(y,z) (desigualdade triangular)

4 Bolas e esferas Bola Aberta de centro em a e raio em r é o conjunto B(a;r) dos pontos de M cuja distância em ao ponto a é menor do que r. B(a;r) = {x M;d(x,a) < r} Quando a dimensão for n = 1 a bola aberta B(a;r) na reta R será o intervalo aberto (a r,a+r) Quando adimensão for n = 2 abolaaberta B(a;r)será ocírculo (disco) aberto Quando a dimensão for n > 2 a bola aberta B(a;r) será... Seja X R n. Quando toda bola aberta de centrada em a R n contém algum ponto de X, diferente do ponto a, é dito ponto de acumulação: ǫ > 0/ 0 < x a < ǫ com x X O conjunto dos pontos de acumulação é conhecido como X :conjunto derivado de X Bola Fechada de centro em a e raio em r é o conjunto B[a;r] dos pontos de M cuja distância em ao ponto a é menor ou igual a r. B[a;r] = {x M;d(x,a) r} Quando a dimensão for n = 1 a bola fechada B(a;r) na reta R será o intervalo fechado [a r,a+r] Quando a dimensão for n = 2 a bola fechada B[a;r] será o círculo (disco) fechado Quando a dimensão for n > 2 a bola fechada B[a;r] será... Esfera de centro em a e raio em r é o conjunto S(a;r), formado pelos pontos x M tal que a distância seja d(x,a) = r é o próprio valor r. S[a;r] = {x M;d(x,a) = r} Quando a dimensão for n = 1 a esfera S(a;r) na reta R será dada pelos pontos extremos a r ; a+r Quando a dimensão for n = 2 a esfera S[a;r] será a circunferência centrada em a de raio r Quando a dimensão for n > 2 a esfera S[a;r] será...

5 Ponto Interior, Exterior e Fronteira Seja a X um ponto interior a X quando o ponto a é centro de uma bola aberta: r > 0 tal que d(x,a) < r x X. Por outro lado, chamamos de ponto interior de X em R ao conjunto formado pelos pontos interiores a X. Figura 1 IntX; Int(M X), X [GUIDORIZZI] A afirmativa que b X não é interior de X significa dizer que toda bola aberta de centro em b contém algum ponto que não pertence a X. dizemos que o ponto b pertence à fronteira de X. Ou seja, a fronteira de X em M é o conjunto X. Ou seja, podemos interpretar o ponto de fronteira como X X R n r > 0; B(a;r) X φ e B(a;r) X C φ O espaço métrico M pode ser entendido como M = intx X int(m X) Quando o limite de uma sequência de de pontos de um conjunto X R n for um ponto a R n dizemos que a é um ponto aderente, ou seja, limx k = a k N. O conjunto de pontos aderentes a X chama-se de fecho de X ou X. Definition 1 Seja X um espaço topológico e T um subconjunto desse espaço (T X). Um ponto x T é dito ponto interior de T quando existe um aberto A de X tal que x A T. O conjunto de pontos interiores de T é definido como interior de S, ou simplesmente ints.

6 Resumo: Ponto interior: int(x); define-se por a R n é interior de X R n B(a;r) X Ponto exterior: int(m x) ou ext(x); define-se por X R n B(a;r) X = φ Ponto de fronteira x; define-se por X R n B(a;r) X φ e B(a;r) (M X) φ Ponto aderente X; define-se por a = limx k, com x k = a para todo k N, ou seja, a é um ponto aderente a X se é limite de uma sequência de pontos de X Ponto de acumulação: Dizemos que a é um ponto acumulação de X se toda vizinhança do ponto a contém um ponto de X diferente de a

7 Exercise 2 Seja A = {(x,y) R 2 x 0 e y 0}. Verifique se a afirmativa é verdadeira ou falsa, explique. a) Todo (x,y), com x > 0 e y > 0, é ponto interior de A b) Todo (x,y), com x = 0 e y = 0, não é ponto interior de A (GUIDORIZZI) DEFINIÇÃO; Seja A um subconjunto não vazio de R2. Dizemos que A é um conjunto aberto se todo ponto de A for ponto interior. Exercise 3 Responda: O conjunto vazio φ é um conjunto aberto? Exercise 4 Dado o conjunto dos pontos X = {(x,y,x) R 3 ;x 2 +y 2 +z 2 < 9} determine os conjuntos intx, int(m X), X (Obs. X é uma bola aberta com centro 0 e raio 3). Exercise 5 Dado o conjunto dos pontos X = {(x,y,x) R 3 ;x 2 +y 2 +z 2 = 9} determine os conjuntos intx, int(m X), X.

8 Ponto de Acumulação Chamamos de entôrno hiperesférico de raio r centrado em P 0 (a 1,a 2,a 3,...,a n ) de um espaço S n que verifica a desigualdade 0 < (x 1 a 1 ) 2 +(x 2 a 2 ) 2 +(x 3 a 3 ) 2 +(x 4 a 4 ) (x n a n ) 2 + < r ou 0 < (x i a i ) 2 < r i Figura 2 Ponto de Acumulação Isto é uma bola aberta? Seria um conjunto aberto? Um ponto P pertencente ou não a um conjunto X de um espaço S n é dito ponto de acumulação do conjunto quando em seu entôrno existem infinitos pontos. Por exemplo, considere o subconjunto X R e o ponto a R. Chamamos de ponto de acumulação a do conjunto X para todo o intervalo aberto (a ǫ,a+ǫ), sendo ǫ > 0, centrado em a, contém algum ponto x X que difere do centro a (ELON LAGES LIMA). ǫ > 0, x X;0 < x a < ǫ O(s) ponto(s) que define (ou definem) a acumulação do conjunto recebe o nome de conjunto derivado X Example 6 Considerando a sequência X = {1;1/2;1/3;...;1/n;...} temos que X =? R. Temos que X = 0 é o ponto de acumulação à direita, mas não a esquerda de X (ELON LAGES LIMA). Theorem 7 (Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto infinito limitado S R n tem um ponto de acumulação.

9 Conjuntos: Limitados, Aberto, Fechado, Compacto Conjunto Limitado:Se, e somente se, um conjunto X estiver contido em uma bola será limitado X R n ; X B(a;r) ou X R n ; X B[a;r] Também será considerado um conjunto limitado se x R c > 0 tal que x < c; x X onde c é uma constante (limitadora) Conjunto Aberto: Umconjunto X R chama-seaberto se todososseus pontos são interiores. De fato, se x X, então δ > 0 tal que B(x,δ) X intx = X X é aberto. Figura 3 Conjunto Aberto:X = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 < 1} Definition 8 X R n é aberto, X = int(x) Exercise 9 Será que uma bola aberta é um exemplo de um conjunto aberto? Theorem 10 Propriedades dos Conjuntos Abertos no espaço R n O conjunto vazio φ é aberto Todo o conjunto dos reais R n é aberto A interseção de um número finito de conjuntos abertos também é um conjunto aberto A reunião A = λ L A λ de uma família qualquer (A λ ) λ L de conjuntos abertos A λ é um conjunto aberto.

10 Sabemos que se x R n < x <, então R n é aberto. Observe a definição: Um conjunto X R chama-se aberto se todos os seus pontos são interiores ; mas se o conjunto contiver algum ponto que não é interior deixará de ser aberto. O conjunto vazio φ não tem ponto nenhum, portanto exclui que não seja interior (negar a negação), isto é, o conjunto vazio é aberto. PROPOSIÇÃO: Em qualquer espaço métrico M, uma bola aberta B(a;r) é um conjunto aberto. Conjunto Fechado: Um conjunto X R chama-se fechado quando contém todos os seus pontos aderentes: X = X [ELON LAGES LIMA]. Lembrando... Quando o limite de uma sequência de de pontos de um conjunto X R n for um ponto a R n dizemos que a é um ponto aderente. Chamamos de fecho X o conjunto dos pontos aderentes. Figura 4 Conjunto Fechado:X = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 1} Definition 11 X R n é fechado, X = X Obs. X é o conjunto dos pontos de acumulação de X, ou seja, é o conjunto derivado de X. Exercise 12 Mostre que o fecho de um conjunto aberto (a,b) é um conjunto fechado [a,b]. Resp. a = lim n (a+ 1 n ) b = lim n (b 1 n ) Theorem 13 Um conjunto é dito fechado se, e somente se, o seu complementar é aberto. O conjunto vazio φ e o espaço inteiro R n são fechados A reunião de um número finito de conjuntos fechados é um conjunto fechado

11 A interseção A = λ L F λ de uma família qualquer (F λ ) λ L de conjuntos fechados F λ é um conjunto fechado. Conjunto Compacto: O conjunto é dito compacto se for um conjunto fechado e limitado. Exemplo: Bolas e Esferas no R n Theorem 14 Seja f : X R n, for uma aplicação contínua no conjunto K R m. Todo subconjunto compacto K X terá a sua imagem f(k) um conjunto compacto. Theorem 15 Se f : X R n, for uma aplicação contínua e K X é um conjunto compacto, ǫ > 0, existe um δ > 0, tal que x X e y K,ou seja, x y < δ f(x) f(y) < ǫ Conjunto Conexo Se uma reta puder unir dois pontos quaisquer de um conjunto então o conjunto é conexo. Isto é, X R n ; (x,y) X uma linha poligonal que une os pontos x e y, totalmente contida em X. Figura 5 Exemplo de um conjunto desconexo Região: Aberta e Fechada Região Aberta: Uma região aberta em R n é um conjunto conexo ilimitado. Figura 6 Região Aberta e Conjunto Fechado:(X = X ), para 2x y 6

12 Figura 7 Região Aberta e Conjunto Aberto:(X = intx), para 2x y 6 Região Fechada: Uma região é dita fechada em R n quando é um conjunto conexo e limitado. Figura 8 Região Fechada e Conjunto Fechado:(X = X ), para o conjunto X = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 1} Figura 9 Região Fechada e Conjunto Aberto:(X = int(x), para o conjunto X = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 < 1}

13 Conexidade e conjunto conexo Suponha uma decomposição X = A B com A B = φ ocasionada por uma cisão do conjutno X R n (A,B são abertos em X). Considere dois tipos de cisões: Cisão trivial: X = X φ Cisão não trivial: R = R {0} = (0, ) (0,+ ) No mínimo, todo conjunto admite a cisão não trivial. Quando o conjunto não admite qualquer outra cisão, se não a trivial, dizemos que o conjunto é conexo. Por exemplo, X = A B; X A = φ ou B = φ Basta uma cisão não trivial que o conjunto é desconexo. Exercise 16 Mostre que o conjunto W = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 1 ou x 2 +y 2 > 16} é desconexo. Ou seja, dizemos que um conjunto (no plano) é conexo se dois pontos quaisquer podem ser unidos por uma linha contínua tal que os extremos ligados pertencem ao conjunto. Um conjunto S R n será dito simplesmente conexo se, e somente se, S é um conjunto aberto S é um conjunto conexo Toda curva fechada em S contempla apenas pontos pertencentes ao conjunto Exercise 17 Quais desses conjuntos é simplesmente conexo? W = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 1} S = {(x,y) R 2 /0 < x 2 +y 2 < 1} T = {(x,y) R 2 /x 2 +y 2 < 1} Podemos definir o domínio como um conjunto aberto simplesmente conexo.

14 Exercise 18 Faça o esboço do gráfico. Classifique se a Região é aberta ou fechada e se o conjunto é aberto (X = intx) ou fechado (X = X ): 1) X = {(x,y) R n /x y 1} 2) X = {(x,y) R n /x y > 1} 3) X = {(x,y) R n /x 2 +y 2 1} 4) X = {(x,y) R n /x 2 +y 2 < 1} Exercise 19 Resolva os exercícios 6.5 da página 114 a 115 da referência Guidorizzi Hamilton Luiz; Um Curso de Cálculo - Volume2. LTC-5 a Edição. Exercise 20 Verifique se os conjuntos são abertos no R 2 a) {(x,y) R 2 x 2 +y 2 < 1} b) {(x,y) R 2 x+y 1} c) {(x,y) R 2 x 2 +y 2 < 1 e x+y > 3} d) {(x,y) R 2 x = 1 e 1 < y < 3} e) {(x,y) R 2 x 2 +xy +y 2 < 0} f) {(x,y) R 2 x+y > 3 e x 2 +y 2 < 16} g) {(x,y) R 2 x y > 0} h) {(x,y) R 2 x 0 e y > 1 2 } Exercise 21 Determine os posntos de acumulação dos conjuntos dados: 1) {(x,y) R 2 x 2 +y 2 < 1} 2) {(x,y) R 2 x e y inteiros} 3) {(x,y) R 2 ( 1 n,1) n 0inteiros} Exercise 22 Sejam A e B dois conjuntos no R n. Prove que se A e B forem abertos, então A B e A B também serão

15 Referências GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo: Volume 2. Rio de Janeiro: LTC, p. LIMA, E. L.Curso de Análise: Vol.1. Rio de Janeiro: Projeto Euclides, p. LIMA, E. L.Curso de Análise: Vol.2. Rio de Janeiro: Projeto Euclides, p. LIMA, E. L.Espaços Métricos. Rio de Janeiro: Projeto Euclides, p.