normados 1 Alexandre L. Madureira

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1 Introdução à Análise em espaços métricos e normados 1 Alexandre L. Madureira Laboratório Nacional de Computação Científica LNCC, Brasil URL: alm Fundação Getúlio Vargas FGV, Brasil 1 11 de maio de 2018

2 Resumo. Estas notas de aula são relativas à primeira metade do curso de Análise II da Escola de Pós-Graduação em Economia da Fundação Getúlio Vargas (EPGE FGV). Elas seguem [6] de perto, acrescidas de algumas demonstrações. O estilo é o mesmo de [5]. Há vários outros livros excelentes cobrindo o mesmo material, e alguns são listados na bibliografia. Os tópicos a serem discutidos são Espaços Métricos definição conjuntos limitados, abertos e fechados sequências; sequências de Cauchy espaço completo, separável e compacto Espaços Vetoriais Normados Euclidiano; Banach e Hilbert exemplos Funções Contínuas propriedades homeomorfismos continuidade uniforme; contração Teorema da Contração e Aplicações existência de solução de EDO método de Bellman

3 Sumário Capítulo 1. Espaços Métricos Definição e Exemplos Conjuntos abertos, fechados em espaços métricos Sequências Conjuntos Compactos Conjuntos conexos Exercícios 22 Capítulo 2. Continuidade e Funções Contínuas Propriedades locais Propriedades globais Funções Uniformemente Contínuas Homeomorfismo Aplicações Exercícios 37 Apêndice A. Miscellanea 41 A.1. Desigualdade de Hölder e Minkowisk 41 A.2. Séries 41 Apêndice. Referências Bibliográficas 43 iii

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5 CAPíTULO 1 Espaços Métricos 1 Neste capítulo introduzimos a noção de espaços métricos e discutimos algumas de suas propriedades Definição e Exemplos Um espaço métrico é um conjunto M munido de uma métrica (também chamada de distância), que nada mais é do que uma função d : M M R tal que para todo x, y, z M, (1) d(x,x) = 0 (2) d(x,y) > 0 se x y (3) d(x,y) = d(y,x) (simetria) (4) d(x,z) d(x,y)+d(y,z) (desigualdade triangular) Note que não há necessidade de M possuir operações entre seus elementos ou multiplicação por escalar. Seguem abaixo alguns exemplos de espaços métricos. Exemplo 1.1. Dado um conjunto arbitrário M, o exemplo mais simples de distância é dada pela métrica discreta ou zero-um, onde { 0 se x = y, (1.1.1) d(x, y) = 1 se x y. Exemplo 1.2. Se M é um espaço métrico com a métrica d(, ), então qualquer subconjunto M M é um espaço métrico com a mesma métrica. Exemplo 1.3. O conjunto dos reais R munido da distância d(x,y) = x y é um espaço métrico. Então [0,1) e [0,1) {3} munidos da mesma medida também são espaços métricos Exemplo 1.4. Se M é espaço métrico com a métrica d(, ), então para todo número α > 0 temos que αd(, ) também é um métrica. Exemplo 1.5. Dados dois espaços métricos M e M, com métricas dadas por d M (, ) e d M (, ), então M M é um espaço métrico com qualquer uma das distâncias abaixo: (1.1.2) d 1 (x,y) = d M (x,y)+d M (x,y ), d 2 (x,y) = [d M (x,y)] 2 +[d M (x,y )] 2, d (x,y) = max{d M (x,y),d M (x,y )}, onde x = (x,x ) e y = (y,y ) M M. A generalização para um produto cartesiano finito de espaços métricos é imediata. Note que R n = R R R é um caso particular deste exemplo. 1 Última Atualização: 03/05/2018 1

6 2 1. ESPAÇOS MÉTRICOS Figura 1. Bolas unitárias nas normas 1, 2 e Espaço vetoriais normados. Um espaço vetorial é um conjunto cujos elementos são denominados vetores, onde as operações de soma de vetores e multiplicação por um escalar são bem-definidas. Uma norma é um caso particular de métrica. O exemplo mais comum de espaço vetorial é o R n. Exemplo 1.6. O R n é um espaço métrico com a distância euclidiana d(x,y) = x y 2, onde x 2 = n x 2 i. Quando p 1, podemos definir (1.1.3) x p = n p x i p, e a norma euclidiana acima é um exemplo particular para p = 2. Casos particulares importantes além de p = 2 são p = 1 e p = (OK, este não é um caso particular, mas pode ser obtido fazendo-se p ): n x 1 = x i (norma de Manhattan ou do taxista), Ver Figura 1. i=1 x = max{ x i : i = 1,...,n} (norma infinito, ou do sup, ou do máximo) O Exemplo 1.6 é um caso particular de espaço vetorial normado. Relembramos aqui as definições pertinentes [5, Seção 2.2]. Definição Um espaço vetorial V sobre os reais é um conjunto cujos elementos chamamos de vetores, com duas operações binárias, soma vetorial e multiplicação por escalar tais que (1) x+y = y+x, para todo x,y V (2) (x+y)+z = y+(x+z), para todo x,y,z V (3) Existe um elemento 0 V tal que 0+x = x, para todo x V (4) Para todo x V, existe um elemento y V tal que y+x = 0 (5) 1x = x, para todo x V i=1 i=1

7 1.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 3 (6) (α+β)x = αx+βx, para todo α, β R e para todo x V (7) α(βx) = (αβ)x, para todo α, β R e para todo x V (8) α(x+y) = αx+αy, para todo α R e para todo x,y V A definição de norma sobre V segue abaixo. Definição Dado um espaço vetorial V, uma norma é uma função de V em R, denotada por x x, e tal que (1) x+y x + y para todo x, y V (desigualdade triangular) (2) αx = α x para todo x V, e para todo α R (3) x > 0 para todo x V tal que x 0 Dizemos que V é normado se possui uma norma V a ele associada. Exemplo 1.7. Seja V espaço vetorial normado com norma V. Então V é espaço métrico com a distância d(x,y) = x y V. A propriedade mais difícil a ser checada é a desigualdade triangular. No caso, dados x, y, z V temos d(x,z) = x z x y + y z = d(x,y)+d(y,z). Consideramos abaixo dois espaços de funções. Note a semelhança das normas e 1 com as respectivas normas do R n. Exemplo 1.8. Seja X um conjunto não vazio, e F (X) o espaço das funções f : X R limitadas, isto é, se f F (X), então existe c f R tal que f(x) c f para todo x X. Então F (X) é espaço vetorial e normado com f,x = sup{ f(x) : x X}. De forma análoga, seja I um intervalo não vazio da reta, e F 1 (I) o espaço das funções contínuas f : I R tal que f seja integrável. Então f 1,I = f(x) dx define uma norma 2. Exemplo 1.9. Considere o espaço l das sequências em R limitadas, e a norma Sendo uma norma, induz a distância para todas sequências (x k ) k N, (y k ) k N l. (x k ) k N = sup{ x k : k N}. d ( (x k ) k N,(y k ) k N ) = sup{ xk y k : k N} 2 Note que 1 não define uma norma num espaço que admita funções descontínuas. Uma função f que seja igual a zero em I a menos de finitos pontos tem integral zero sem ser identicamente nula, e portanto f 1 = 0 mas f 0. Esta dificuldade é contornada identificando-se funções que sejam diferentes apenas em conjuntos de medida nula. I

8 4 1. ESPAÇOS MÉTRICOS Exemplo Dado p 1 considere o espaço l p das sequências (x k ) k N tais que x k p <, k=1 isto é, a série converge. Podemos então introduzir a norma (x k ) k N p = p k=1 x k p. Exemplo Note que se (x k ) k N l p, para p <, então x k 0. Isto implica em particular que as sequências constantes não nulas não estão em l p, em particular, (1,1,1,...) / l p. Entretanto (1,1,1,...) l, e l p l, isto é, toda sequência em l p está em l. Exemplo E quanto a l p l q? Isto é verdade desde que 1 p q. Considere por exemplo, p = 1 e q = 2. Veja que a sequência (1/j) j N l 2 pois 1 j <, 2 j=1 mas j=1 1/j não converge e portanto (1/j) j N / l 1. Logo l 2 l 1. Para ver que 1 p q = l p l q basta considerar 1 p q <, pois l p l foi discutido no Exemplo Seja então (x j ) j N l p. Então é limitada pois x j 0; seja c tal que x j q p < c (isto só é possível porque p q). Note que, para todo J N, J J J x j q = x j p x j q p c x j p c x j p = c (x j ) j N p p. j=1 j=1 j=1 Portanto a sequência das somas parciais é monótona crescente e limitada superiormente; então converge e (x j ) j N l q. Uma importante noção matemática quando se trabalha em espaços vetoriais é a de produtos internos. Definição Seja V espaço vetorial sobre os reais. Um produto interno é uma função de V V R, denotado por x,y x y e tal que (1) x x > 0 para todo x V com x 0 (2) x y = y x para todo x, y V (3) (αx) y = α(x y) para todo α R e todo x, y V (4) (x+y) z = x z+y z para todo x, y, z V Note que da definição acima concluímos imediatamente que para todo x V, j=1 0 x = (00) x = 0(0 x) = 0. Exemplo Considere o espaço vetorial das funções contínuas em [0, 1]. Então a operação dada pela integral de Riemann f g = define um produto interno deste espaço. 1 0 f(x)g(x)dx

9 1.1. DEFINIÇÃO E EXEMPLOS 5 O resultado abaixo é importante pois mostra que todo produto interno induz uma norma. Teorema Seja V um espaço vetorial com produto interno. Então x = x x define uma norma em V. Além disto, vale a identidade do paralelograma x+y 2 V + x y 2 V = 2( x 2 V + y 2 V) para todo x,y V, e vale a desigualdade de Cauchy Schwartz (1.1.4) x y x y para todo x,y V. Demonstração. Como o produto interno garante que sempre teremos x x 0, então a operação acima está bem definida. Mostraremos primeiro (1.1.4). Seja z = x (x y)y/ y 2. Então z y = x y x y y 2y y = 0, e Logo 0 z 2 = z z = z x = x x x y y 2x y. (x y) 2 x 2 y 2, e (1.1.4) vale. Para mostrar a propriedade (1) da definição de norma, note que x+y 2 = (x+y) (x+y) = x x+2x y+y y x 2 +2 x y + y 2 = ( x + y ) 2, e assim temos (1). As propriedade (2) e (3) seguem-se imediatamente da definição e das propriedades do produto interno. A identidade do paralelograma segue-se das propriedades de produto interno. Observação. Note pela demonstração acima que a igualdade x y = x y vale se e somente se x = αy para algum α R. Exemplo No R n, o produto interno canônico é dado por n x y = x i y i. i=1 De forma similar, em l 2 temos o produto interno (1.1.5) (x j ) j N (y j ) j N = x i y i. Enquanto o produto interno canônico em R n está claramente bem-definido para todo x, y R n, o mesmo não é claro em (1.1.5), i.e., temos que provar que a série à direita converge sempre que (x j ) j N, (y j ) j N l 2. i=1

10 6 1. ESPAÇOS MÉTRICOS Exemplo Considere o conjunto as funções sin 2πkx, para k N. Então para i j temos que sin2πix e sin2πjx são ortogonais em relação ao produto interno (vide Exemplo 1.13) pois f g = f(x)g(x)dx sin2πixsin2πjxdx = δ i,j = { 1 se i = j, 0 se i j. Além disto, temos que estas funções têm norma unitária (na norma induzida pelo produto interno acima). Logo elas pertencem à esfera de raio um, a ser definida na Seção Conjuntos abertos, fechados em espaços métricos Para definirmos o que é um conjunto aberto num espaço métrico, necessitamos das chamadas bolas. Dado um espaço métrico M munido da distância d(, ), e x M, dizemos que a bola aberta de raio r e centro x é dada por B r (x) = {y M : d(x,y) < r}. De forma similar, chamamos de bola fechada de raio r e centro x, e de esfera de raio r e centro x os conjuntos {y M : d(x,y) r}, {y M : d(x,y) = r}. Exemplo Considere os espaços métricos M = R e M = [0,1) munidos da métrica induzida pelo valor absoluto. Então, dado ǫ > 0, temos B ǫ (0) = ( ǫ,ǫ) em M, e B ǫ (0) = [0,ǫ) em M. Portanto, as bolas dependem do espaço M nos quais elas estão inseridas. Exemplo Considere o espaço de funções F (R) definido no Exemplo 1.8, com a métrica induzida pela norma f,r = sup{ f(x) : x R}. Logo, dado f F (R) e ǫ > 0 temos que se g B ǫ (f) então a função g é tal que sup{ f(x) g(x) : x R} < ǫ. Graficamente, g pertence à vizinhança tubular de tamanho ǫ > 0 em torno de f, como indicado na Figura 2. Podemos agora definir conjuntos abertos em M. Definição Um conjunto A M é aberto em M se para todo x A existe ǫ > 0 tal que B ǫ (x) A. Em geral chamaremos conjuntos abertos simplesmente de abertos quando o espaço M ao qual nos referirmos for claro. Exemplo M é aberto por vacuidade. Além disto, M é aberto em M (ver Exercício 1.8). Exemplo Seja A = [0,1). Então A não é aberto em R mas é aberto em [0,1).

11 1.2. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS EM ESPAÇOS MÉTRICOS 7 f(x)+ǫ f(x) f(x) ǫ Figura 2. Vizinhança tubular de raio ǫ em torno da função f. Observação. Note que a definição de abertos coincide com a definição usada em R n, a distância sendo dada pela norma euclidiana [5]. É importante ressaltar que a escolha de norma não implica em nenhuma escolha de topologia, pois em espaços de dimensão finita, todas as normas são equivalentes, i.e., se define uma norma em R n, então existem contantes positivas c e C dependendo apenas de n (dimensão do espaço) tais que (1.2.1) c x x C x para todo x R n. Isto implica em que um aberto numa norma será aberto em outra (ver Exercício 1.7). Lema Duas propriedades fundamentais de conjuntos abertos são (1) A união arbitrária de abertos é aberta. (2) A interseção finita de abertos é aberta. Demonstração. Para mostrar (1), seja Λ um conjunto de índices, e {G λ : λ Λ} uma família arbitrária de abertos, e seja G = λ Λ G λ e x G. Então x G λ0 para algum λ 0 Λ. Como G λ0 é aberto, então existe ǫ > 0 tal que B ǫ (x) G λ0. Logo B ǫ (x) λ Λ G λ = G e então G é aberto. Para mostrar (2), sejam G 1,,G k abertos e G = k i=1g i. Seja x G. Logo x G i para todo i N. Como G i é aberto, seja ǫ i > 0 tal que B ǫi (x) G i. Definindo ǫ = min{ǫ 1,,ǫ k }, temos ǫ > 0 e B ǫ (x) G 1 G k = G. Logo G é aberto. Observação. O Lema prova em particular que todo espaço métrico é um espaço topológico (ver Exercício 1.11). A definição de um expaço topológico é a seguinte. Seja X um conjunto. Uma topologia para X é uma coleção T de subconjuntos de X tal que (1), X T (2) Uniões arbitrárias de conjuntos de T pertencem a T

12 8 1. ESPAÇOS MÉTRICOS (3) Interseções finitas de conjuntos de T pertencem a T Os elementos de T são chamados de conjuntos abertos de X, e chamamos (X,T ) de espaço topológico. Exemplo A interseção infinita de abertos pode não ser aberta. Por exemplo j N ( 1/j,1/j) = {0}. Ver [5, Exemplo 2.24]. O resultado abaixo relaciona abertos relativos de subconjuntos. Lema Seja(M,d)espaçométricoeM M espaçométricocomamétricainduzida por d. Então G M é aberto em M se e somente se existe aberto G M tal que G = G M. Demonstração. ( ) Seja G M aberto em M. Então para todo x G existe ǫ x > 0 tal que B ǫ x (x) = {y M : d(x,y ) < ǫ x } G. Seja G = x G B ǫx (x) = x G {y M : d(x,y ) < ǫ x }. Então G é aberto em M pois é união de abertos, e G M G. Mas por construção, B ǫx (x) M G para todo x G. Portanto, G = M G. ( ) Se G = G M, onde G é aberto em M, então para todo x G existe ǫ > 0 tal que B ǫ (x) G. Mas B ǫ(x) = B ǫ (x) M e portanto B ǫ(x) = B ǫ (x) M G M = G. Um outro importante conceito é o de conjuntos fechados, e temos a seguinte definição. Definição Um conjunto F M é fechado em M se seu complemento é aberto. C(F) = M\F = {x M : x / F} Para mostrar que um conjunto G é aberto em M, basta mostrar que para todo x G existe ǫ > 0 tal que B ǫ (x) G. Para mostrar que F é fechado, basta mostrar que para todo x / F existe ǫ > 0 tal que B ǫ (x) F =. Note que para mostrar que um determinado conjunto é aberto (fechado), não basta mostrar que seu complemento não é fechado (aberto), pois há conjuntos que não são nem abertos nem fechados. Exemplo Os conjuntos M e são fechados em M, pois seus complementares C( ) = M e C(M) = são abertos em M. Exemplo Para M = ( 2, 1) (1,2) com a métrica induzida pelo valor absoluto, temos que tanto ( 2, 1) como (1,2) são abertos. E cada um destes intervalos é também fechado, pois seus complementares são abertos. Exemplo Para todo x R n e r > 0, as esferas e as bolas fechadas de centro x e raio r são conjuntos fechados em R n. Corolário Como consequência do Lema temos: (1) A interseção arbitrária de fechados é fechada. (2) A união finita de fechados é fechada.

13 1.2. CONJUNTOS ABERTOS, FECHADOS EM ESPAÇOS MÉTRICOS 9 Demonstração. Utilizamos nas duas demonstrações a regra de De Morgam [5, Apêndice B]. (1) Seja {F λ : λ Λ} uma coleção de fechados em R n, e seja F = λ Λ F λ. Então C(F) = λ Λ C(F λ ) é uma união de abertos. Logo C(F) é aberto e, por definição, F é fechado. (2) SeF 1,...,F n sãofechadosemr n ef = F 1 F n,entãoc(f) = C(F 1 ) C(F n ). Como a interseção finita de abertos é aberta, e C(F i ) são abertos, então C(F) é aberto. Logo F é fechado Outras caracterizações de conjuntos abertos e fechados. Outras noções que podem ser úteis quando precisamos caracterizar conjuntos abertos ou fechados vêm a seguir. Definição Seja M espaço métrico e X M. Dado x M, dizemos que (1) uma vizinhança aberta de x é um conjunto aberto em M que contenha x. (2) x é ponto interior de X se existe uma vizinhança aberta de x contida em X. O conjunto de pontos interiores é chamado de interior de X e denotado por int(x) ou X. (3) x é ponto de fronteira de X se toda vizinhança aberta de x contém ponto de X e do complementar C(X) = M X. O conjunto de pontos de fronteira é chamado de fronteira de X e denotado por X. (4) x é ponto exterior de X se existe uma vizinhança aberta de x contida em C(X). (5) x é ponto de aderência de X se para todo ǫ > 0 tem-se B ǫ (x) X. O conjunto de pontos de aderência é chamado de fecho de X e denotado por X. Note que segue-se das definições acima que (1.2.2) X = int(x) X. Seja X conjunto contido num espaço métrico M. Se o conjunto {d(x,y) : x,y X} for limitado superiormente então dizemos que X é limitado e definimos diamx = sup{d(x,y) : x,y X}. Finalmente, dizemos que X M é denso em M se X = M. Lema Seja M espaço métrico e G M. As afirmativas abaixo são equivalentes. (1) G é aberto. (2) Todo ponto de G é ponto interior. (3) G não contém nenhum de seus pontos de fronteira. Demonstração. ( (1) (2) ) Supondo (1), seja x G. Como por hipótese G é aberto, temos que G é vizinhança aberta de x. Logo x é ponto interior de G. Como x é arbitrário, obtemos (2). ( (2) (3) ) Se todo ponto de G é interior, então nenhum de seus pontos é de fronteira. ( (3) (1) ) Suponha que G não contenha nenhum de seus pontos de fronteira. Se G é vazio, então é aberto. Suponha então que G seja não vazio. Seja x G. Como G não

14 10 1. ESPAÇOS MÉTRICOS contém pontos de fronteira, logo x é ponto interior e existe vizinhança aberta U de x tal que U G. Logo G é aberto. Corolário Seja F M. Então as afirmativas abaixo são equivalentes. (1) F é fechado (2) F contém todos os seus pontos de fronteira (3) X = X Finalmente concluímos esta seção com o conceito de ponto de acumulação. Definição Seja M um espaço métrico. Um ponto x M é um ponto de acumulação de X M se toda vizinhança aberta de x contém pelo menos um ponto de X diferente de x. Denotamos por X o conjunto de pontos de acumulação. Uma caracterização útil de fechados utiliza o conceito de pontos de acumulação, como o resultado a seguir indica. Teorema Seja M um espaço métrico. Um subconjunto de M é fechado se e somente se contém todos os seus pontos de acumulação (isto é, se X X). Demonstração. ( ) (Por contradição) Seja F um fechado em M, e x ponto de acumulação de F. Temos que mostrar que x F. De fato, se x / F, então x C(F). Mas como C(F) é aberto, então existe ǫ > 0 tal que B ǫ (x) C(F). Logo B ǫ (x) F = e x não é ponto de acumulação de F, uma contradição. Portanto x F. ( ) Supomos agora que F contém todos os seus pontos de acumulação. Considere então um ponto y C(F). Então y não é ponto de acumulação de F, e portanto existe ǫ > 0 tal que B ǫ (y) C(F). Logo C(F) é aberto, e concluímos que F é fechado Sequências Definição e resultados preliminares. Uma sequência num espaço métrico M é uma função de N em M. Portanto X : N M indica uma sequência, que escrevemos também como (x k ) k N, ou ainda (x 1,x 2,x 3,...). Para indicar o k-ésimo valor da sequência escrevemos simplesmente x k. Definição Dizemos que x M é limite de uma sequência (x k ) k N, se para toda vizinhança aberta U de x existir K N tal que x k U para todo k K. Escrevemos neste caso que x k x, ou que x = limx k, ou ainda x = lim k x k. De forma equivalente, x k x se para todo ǫ > 0, existe K N tal que x k B ǫ (x) para todo k K. Se uma sequência tem limite em M, dizemos que ela converge ou que é convergente, e se não tem limite em M dizemos que ela não converge ou que é divergente. Exemplo Seja M = F ([0,1/2]), e considere a sequência de funções (f n ) n N onde f n (x) = x n. Então f n converge para a função identicamente nula, que denotamos por 0, nas normas e 1. De fato, f n 0,[0,1/2] = sup{x n : x [0,1/2]} = 1/2 n,

15 1.3. SEQUÊNCIAS 11 e portanto, dado ǫ > 0 temos que para N N tal que 2 N > 1/ǫ, n > N = f n 0,[0,1/2] = 1/2 n < 1/2 N < ǫ. De forma análoga, 1/2 f n 0 1,[0,1/2] = x n 1 dx = 0 (n+1)2 n+1, e portanto, dado ǫ > 0 temos que para N N tal que (N +1)2 N +1 > 1/ǫ, n > N 1 = f n 0 1,[0,1/2] = (n+1)2 < 1 n+1 (N +1)2 < ǫ. N +1 Exemplo ConsidereagoraM oespaçodasfunçõescontínuas,denotadoporc 0 ([0,1]) (note a semelhança com o espaço do Exemplo 1.24), e a sequência de funções g n : [0,1] R dada por g(x) = x n. Neste caso, g n 0,[0,1] = 1 para todo n N (por quê?), e portanto g n 0 na norma infinito. Mas g n 0 na norma um. Isto pode ser mostrado usando-se que 1 g n 0 1,[0,1] = x n 1 dx = 0 (n+1). Logo, é possível que uma sequência seja convergente em uma norma, e não o seja em outra. Definição Seja X um conjunto qualquer não vazio, e considere a sequência de funções definida por f i : X R n para i N. Dizemos então que (f i ) i N converge uniformemente para f : X R n se a sequência de valores f i f,x 0. Note que para a convergência uniforme ocorrer, não é preciso que f i ou f sejam limitadas, somente que f i f o seja para todo i. Dizemos que f i converge pontualmente para f se f i (x) f(x) R n 0 para todo x X. Note que convergência uniforme implica na convergência pontual, mas a recíproca não vale, como no caso do Exemplo Talvez a segunda pergunta mais natural em relação aos limites de sequências é quanto a unicidade destes, quando existirem. A resposta é afirmativa, como mostra o resultado abaixo. Teorema (Unicidade de limite). Uma sequência pode ter no máximo um limite. Demonstração. Considere que (x k ) k N é uma sequência tal que x k x e x k x, com x x. Sejam ǫ = d(x,x )/2 > 0, e sejam K e K N tais que d(x k,x) < ǫ para todo k K e dx k,x ) < ǫ para todo k K. Logo, se k max{k,k }, então d(x,x ) d(x,x k )+d(x k,x ) < 2ǫ = d(x,x ). Como um número não pode ser estritamente menor que ele mesmo, temos uma contradição. Portanto x = x e o limite é único. Uma outra noção importante é o de limitação de uma sequência. Neste caso, mesmo quando a sequência não converge, podemos conseguir alguns resultados parciais, como veremos mais a seguir. Definição Dizemos que uma sequência (x k ) k N é limitada quando o conjunto S = {x k : k N} é limitado.

16 12 1. ESPAÇOS MÉTRICOS Um primeiro resultado intuitivo é que toda sequência convergente é limitada. De fato, é razoável pensar que se a sequência converge, ela não pode ter elementos arbitrariamente grandes em norma. Teorema Toda sequência convergente é limitada. Demonstração. Seja (x k ) k N sequência convergente e seja x seu limite. Seja ǫ = 1. Como (x k ) k N converge, existe K tal que d(x,x k ) < 1 para todo k K. Falta agora limitar os K primeiros termos da sequência. Seja C = 2max{d(x,x 1 ),d(x,x 2 ),d(x,x 3 ),...,d(x,x K 1),1}. e então d(x,x i ) C/2 para todo i N. Logo, usando a desigualdade triangular temos d(x i,x k ) d(x i,x)+d(x,x k ) C para todo i,k N. Portanto S = {x k : k N} é limitado Subsequências. Seja (x k ) sequência em M, espaço métrico, e k 1 < k 2 < k 3 < < k j <... sequência de números naturais. Então dizemos que (x kj ) j N é uma subsequência de (x k ) k N. Um primeiro resultado relacionado com subsequências nos diz que se uma sequência converge para um determinado limite, então todas as subsequências convergem e têm o mesmo limite. Lema Se uma sequência (x k ) k N converge para x, então todas as subsequências de (x k ) k N são convergentes e têm o mesmo limite x. Demonstração. Seja (x k ) k N sequência convergente, e seja x = lim k x k. Dado ǫ > 0, seja K tal que (1.3.1) d(x,x k ) < ǫ para todo k K. Seja (x kj ) j N subsequência de (x k ) k N. Como k j j para todo j N, então j K implica em k j K e portanto d(x,x kj ) < ǫ, por (1.3.1). Logo (x kj ) j N converge para x Sequências de Cauchy. Um conceito importante tratando-se de sequências é o de sequências de Cauchy. Formalmente, dizemos que uma sequência (x k ) k N é de Cauchy se para todo ǫ > 0 existe K N tal que d(x k,x m ) < ǫ para todo k,m K. O lema a seguir mostra que toda sequência convergente é de Cauchy. Lema Toda sequência convergente é de Cauchy. Demonstração. Seja (x k ) k N sequência convergente, e x o seu limite. Então, dado ǫ > 0, existe K N tal que d(x,x k ) < ǫ/2 para todo k K. Portanto, Logo (x k ) k N é de Cauchy. d(x k,x m ) d(x k,x)+d(x,x m ) < ǫ se k,m K.

17 1.3. SEQUÊNCIAS 13 2 f j f i 1 1/j 1 1/i 1 2 Figura 3. Sequência de funções definidas no Exemplo Lema Toda sequência de Cauchy é limitada. Demonstração. Seja (x k ) k N sequência de Cauchy. Então, considerando ǫ = 1, temos que existe K N tal que d(x K,x k ) < 1 para todo k > K. Definindo C = 2max{d(x 1,x K ),...,d(x K 1,x K ),1}, temos imediatamente que d(x K,x k ) C/2 para todo k N. Logo, d(x i,x j ) d(x i,x K )+d(x K,x j ) C. Portanto, a sequência é limitada. Em espaços métricos, nem sempre sequências convergem. Chamamos de espaços métricos completos àqueles nos quais todas sequências de Cauchy são convergentes Completude de C 0 (X) na norma do sup. SejaX R m nãovazio,econsidere o espaço C 0 (X) das funções de X em R n contínuas e limitadas 3. O objetivo desta seção é mostrar que este espaço é completo quando a métrica é induzida pela norma do supremo. Exemplo Neste exemplo mostramos que C 0 (X) não necessariamente é completo, seconsiderarmosoutrasnormas. Considereamétricainduzidapelanorma 1, easequência de funções dada por f i : [0,2] R onde 0 se x [0,1 1/i), f i (x) = i(x 1)+1 se x [1 1/i,1), 1 se x [1,2]. Vide Figure 3. Veja que todas as f i são contínuas, e que a sequência é de Cauchy pois, supondo i > j, f i f j 1 = 2 0 [f j (x) f i (x)]dx 1 1 1/j f j (x)dx 1 j, 3 quando X for compacto, C 0 (X) = C 0 (X), mas em geral C 0 (X) C 0 (X).

18 14 1. ESPAÇOS MÉTRICOS pois i > j implica em f i (x) f j (x) para todo x [0,2]. Note também que f j f, onde { 0 se x [0,1), f(x) = 1 se x [1,2]. Entretanto, f / C 0 (X) pois não é contínua. Logo o espaço não é completo nesta métrica. O critério de Cauchy para convergência uniforme não se aplica somente a sequência de funções contínuas, e na verdade as funções não precisam nem ser limitadas. Apenas a diferença entre elas precisam ser limitadas. Teorema (Critério de Cauchy para convergência uniforme). Seja o conjunto X e, para i N, seja f i : X R n. Então a sequência (f i ) converge uniformemente para uma função f : X R se e somente se dado ǫ > 0, existe K 0 tal que (1.3.2) f i f j,x < ǫ. para todo i, j K 0. Demonstração. ( ) Basta usar que f j (x) f i (x) f j (x) f(x) + f(x) f i (x) para todo x X. ( ) Por hipótese, dado ǫ > 0, existe K 0 tal que i,j K 0 = f i (x) f j (x) < ǫ 2, para todo x X. Mas então (f i (x)) é sequência de Cauchy em R n, e podemos definir f(x) = lim i + f i (x). Falta agora mostrar a convergência uniforme de f i para f. Dado x X, seja K N tal que i K = f i (x) f(x) < ǫ 2. Note que K 0 depende somente de ǫ, mas K depende também de x. Então, seja i K 0, e para cada x X, seja j = sup{k 0,K}. Logo f(x) f i (x) f(x) f j (x) + f j (x) f i (x) < ǫ, e (f i ) converge uniformemente para f. Mostramos a seguir que limite uniforme de sequência de funções contínuas é também uma função contínua. Lembre-se que em geral esta propriedade não vale se a convergência for somente pontual. Em particular, dados x 0 X e uma sequência de funções contínuas (f i ) convergindo pontualmente para f temos em geral que lim lim f i(x) lim lim x x 0 i i x x 0f i(x), a menos que f seja contínua. De fato, considere o Exemplo Temos que g n (x) converge pontualmente para a função { 0 se x [0,1), g(x) = 1 se x = 1.

19 1.3. SEQUÊNCIAS 15 Portanto lim lim g i(x) = limg(x) = 0, lim limg i (x) = lim 1 = 1. x 1i x 1 i x 1 i Uma outra observação à respeito do resultado abaixo é que não é necessário que as funções sejam limitadas mas apenas que a convergência uniforme ocorra. Teorema (Troca de Limites e Continuidade). Seja (f i ) i N sequência de funções f i : X R n contínuas em X R m, convergindo uniformemente para f : X R n. Então f é contínua em X. Demonstração. Seja x 0 X. Dado ǫ > 0 existe N 0 N tal que f(x) f N0 (x) < ǫ/3 para todo x X. Como f N0 é contínua em X, existe δ > 0 tal que Logo se x X e x x 0 < δ, então x B δ (x 0 ) X = f N0 (x) f N0 (x 0 ) < ǫ 3. f(x) f(x 0 ) f(x) f N0 (x) + f N0 (x) f N0 (x 0 ) + f N0 (x 0 ) f(x 0 ) < ǫ. Logo f é contínua. O resultado abaixo garante que funções contínuas e limitadas formam um espaço vetorial completo na norma do supremo. Teorema Seja C lim (X) o espaço das funções de X R m em R n, contínuas e limitadas. Então C lim (X) é completo na norma do supremo,x. Demonstração. Seja (f i ) i N sequência em C lim (X). Então o Teorema garante que existe : X R tal que f i f uniformemente. O Teorema garante que f é contínua. Para que f C lim (X) falta mostrar que f é limitada. Mas seja N N tal que f f N,X < 1. Então f(x) R n f(x) f N (x) R n + f N (x) R n < 1+ f N,X para todo x X, e portanto f é limitada Resultados Topológicos. O conceito de sequência é importante também para caracterizar conjuntos quanto à sua topologia. Apresentamos abaixo alguns resultados nesta direção. Podemos por exemplo usar sequências para caracterizar conjuntos fechados, como o resultado abaixo mostra. Lema (Conjuntos fechados). Seja M espaço métrico e F M. As afirmativas abaixo são equivalentes. (1) F é fechado em M. (2) Se (x k ) k N é sequência convergente em M, com x k F para todo k N, então lim k x k F. Demonstração. (1) (2) (por contradição) Suponha F fechado em M, e seja (x k ) sequência em F com lim k x k = x. Suponha x / F. Como C(F) é aberto, existe aberto V contendo x tal que V F =. Logo, para todo k N, temos x k / V, uma contradição com lim k x k = x. Portanto x F.

20 16 1. ESPAÇOS MÉTRICOS (1) (2) (por contradição) Suponha que C(F) não seja aberto. Então existe x C(F) tal que para todo k N existe um ponto em x k B 1/k (x) F. Logo (x k ) é uma sequência em F que converge para x. Por hipótese, temos que x F, uma contradição com x C(F). Portanto C(F) é aberto, e F é fechado. Também os conceito de fronteira de um conjunto e o de conjunto aberto pode ser dado através de sequências. Lema (Pontos de fronteira). Um ponto x é de fronteira de X M se e somente se existe sequência em X e sequência em C(X), ambas convergentes para x. Lema (Conjuntos abertos). Seja X M. As afirmativas abaixo são equivalentes. (1) X é aberto em M. (2) Seja x X e (x k ) k N contida em M com x k x. Então existe K tal que k K = x k X Um resultado de melhor aproximação. Uma pergunta fundamental em matemática aplicada é sobre melhor aproximação. Ou seja, dado um subconjunto não vazio de um espaço métrico, e um ponto fora deste conjunto, a pergunta é se existe algum ponto do subconjunto que minimize as distâncias até o ponto, e se há unicidade. No caso do espaço métrico ser um espaço vetorial, a caracterização de fechados dada pelo Lema , é útil, como descrevemos abaixo. Seja V um espaço vetorial com produto interno. Isto quer dizer que V é normado com norma V induzida pelo produto interno: v 2 V = v v, onde indica o produto interno, e v V. Consideraremos conjuntos convexos. Um subconjunto M de um espaço vetorial V é dito convexo se dados x, y M então S = {ty+(1 t)x : t [0,1]} M. O conjunto S acima definido é denominado o segmento unindo x e y. Seja M V um conjunto não vazio, convexo, e completo na norma V. Então, dado um ponto x V, pode-se perguntar se existe algum ponto em M que minimize a distância entre x e M, i.e, se existe x M tal que (1.3.3) x x V = inf{ x y V : y M}. Outra pergunta natural é se x é único. A resposta é afirmativa para ambas perguntas, existência e unicidade, como nos mostra o resultado abaixo. Lema Seja M V conjunto não vazio, convexo, e completo na norma V, e x V. Então existe um único x M satisfazendo (1.3.3). Demonstração. Vamos primeiro mostrar a existência. Como M é não vazio, d = inf{ x y V : y M} está bem definido. Para k N, seja x k M tal que x x k V < d+1/k. Usando a lei do paralelograma, temos que 2x x i x j 2 V + x i x j 2 V = 2 x x i 2 V +2 x x j 2 V,

21 1.3. SEQUÊNCIAS 17 para todo i, j N. Mas M é convexo, logo (x i +x j )/2 M, e portanto, Temos então que 2d 2 x (x i +x j )/2 V = 2x x i x j V. (1.3.4) x i x j 2 V = 2 x x i 2 V +2 x x j 2 V 2x x i x j 2 V 2 x x i 2 V +2 x x j 2 V 4d 2. Mas então, (x k ) é de Cauchy, pois x x i V d. De fato, dado ǫ > 0, existe K tal que para todo k K tem-se x x k 2 V d2 < ǫ/2. Logo, por (1.3.4), x i x j 2 V < ǫ se i, j K. Como M é completo, seja M x = lim k x k. Finalmente, para todo k N, d x x V x x k V + x k x V. Tomando o limite k, temos x x V = d, como queríamos. Para mostrar a unicidade, seja y M, com x y V = d. Então (y+x )/2 M, e d 2 x (y+x )/2 2 V. Portanto, usando novamente a lei do paralelograma, temos 4d 2 + y x 2 V 2x y x 2 V + y x 2 V = 2 x y 2 V +2 x x 2 V = 4d 2. Logo y x V = 0 e y = x. Observação. No caso de M ser um sub-espaço vetorial de V, pode-se mostrar que x é o único vetor de M tal que x x é ortogonal a M, i.e., para todo y M. (x x ) y = Sequências contráteis e o método das aproximações sucessivas. Dizemos que uma sequência (x k ) k N num espaço métrico M é contrátil se existem número real λ < 1 e um natural K tais que d(x k+2,x k+1 ) λd(x k+1,x k ) para todo k > K. Teorema Toda sequência contrátil num espaço completo é convergente Demonstração. Seja (x k ) sequência contrátil com constante λ < 1. Sem perda de generalidade, supomos nesta demonstração que K = 1, isto é para todo k N. Então, d(x k+2,x k+1 ) λd(x k+1,x k ) d(x k+2,x k+1 ) λd(x k+1,x k ) λ 2 d(x k,x k 1 ) λ k d(x 2,x 1 ). Logo, para m N e k m temos d(x k,x m ) d(x k,x k 1 )+d(x k 1,x k 2 )+ +d(x m+1,x m ) ( λ k 2 +λ k 3 + +λ m 1) d(x 2,x 1 ) = λ m 1( λ k m 1 +λ k m ) d(x 2,x 1 ) = λ m 11 λk m 1 λ d(x 2,x 1 ) λm 1 1 λ d(x 2,x 1 ).

22 18 1. ESPAÇOS MÉTRICOS Logo, dado ǫ > 0 se K N é tal que λ K 1 1 λ d(x 2,x 1 ) < ǫ, então d(x k,x m ) < ǫ para todo m K, k K. Portanto a sequência é de Cauchy e, como o espaço é completo, é convergente Em várias apliações importantes é necessário achar um ponto fixos, i.e., uma solução do tipo x = T(x), onde T : M M é dada. É natural perguntar-se se dado algum ponto inicial x 0 M, a sequência gerada por x k = T(x k 1 ), k N, converge para um ponto fixo. Esta forma de determinar pontos fixos é denominada método das aproximações sucessivas. No caso de T ser uma contração, (x k ) será contrátil, e portanto convergente. É exatamente isto que mostraremos a seguir. Definição Seja (M,d) um espaço métrico. Dizemos que uma função T : M M é uma contração se existir λ < 1 tal que para todo x, y M. Temos então o seguinte resultado. d(t(y),t(x)) λd(y,x) Teorema Seja (M,d) um espaço métrico completo, e T : M M uma contração. Então T possui um e somente um ponto fixo em M. Além disto, para qualquer x 0 X, a sequência definida por (1.3.5) x k = T(x k 1 ), k N, converge para o ponto fixo de T em M. Demonstração. Suponha que exista λ < 1 tal que d(t(y),t(x)) λd(y,x) para todo x, y M. Mostraremos primeiro a unicidade. Dados dois pontos fixos x e y de T em M, temos que d(x,y) = d(t(x),t(y)) λd(x,y) = (1 λ)d(x,y) 0, o que só é possível se x = y, e portanto o ponto fixo, se existir, é único. Note que (x k ) é contrátil pois d(x k+2,x k+1 ) = d(t(x k+1 ),T(x k )) λd(x k+1,x k ). Logo (x k ) k N converge, e seja x M seu limite. Para mostrar que x é ponto fixo de T, note que para todo k N, temos que d(x,t(x )) d(x,x k )+d(x k,t(x )) = d(x,x k )+d(t(x k 1 ),T(x )) d(x,x k )+λd(x k 1,x ).

23 1.4. CONJUNTOS COMPACTOS 19 Tomando o limite k dos dois lados da desigualdade obtemos que d(x,t(x )) = 0, e portanto x = T(x ) Conjuntos Compactos Um importante conceito em análise é o de conjuntos compactos. Em espaços de dimensão finita, estes conjuntos são na verdade conjuntos fechados limitados [5]. Entretanto, em dimensão infinita, nem todo fechado limitado é compacto, e algumas propriedades que continuam valendo para compactos, deixam de valer para fechados limitados. Antes de definirmos compactos, precisamos introduzir a noção de cobertura aberta. Abaixo, e no restante do texto, iremos denotar por Λ um conjunto de índices, que pode ser ou não enumerável. Definição Seja M espaço métrico, X M, e Λ um conjunto de índices. Chamamos G = {G λ : λ Λ} de cobertura aberta de X se para todo λ Λ temos G λ conjunto aberto, e X λ Λ G λ. Dizemos que a cobertura é finita se Λ é finito. Definição Dizemos que um subconjunto K de um espaço métrico M é compacto se toda cobertura aberta de K possuir uma subcobertura finita de K, i.e., se G = {G λ : λ Λ} é cobertura aberta de K, então existem G λ1, G λ2,...,g λj G tais que K J j=1g λj. Enquanto as noções de abertos e fechados são relativas a outros conjuntos, a compacidade é uma propriedade intrínseca ao conjunto em questão. Por isto é possível se referir a conjuntos compactos ou espaços métricos compactos sem se referir a nenhum espaço que o contenha. Esta propriedade resulta do resultado a seguir [8]. Lema SejaK M M, ondem em sãoespaçosmétricos. EntãoK écompacto em relação a M se e somente se é compacto em relação a M. Demonstração. ( ) Suponha K compacto em relação a M. Seja G = {G λ : λ Λ} cobertura aberta de K onde G λ são abertos em M. Então existem G λ abertos em M tais que G λ = G λ M. Mas então K λ Λ (G λ M ) λ Λ G λ e portanto K G λ1 G λj para finitos λ 1,...,λ J Λ, pois K é compacto. Como K M, K (G λ1 G λj ) M = (G λ1 M ) (G λj M ) = G λ 1 G λ J. ( ) Suponha K compacto em relação a M, e G = {G λ : λ Λ} cobertura aberta de K onde G λ são abertos em M. Então G λ = G λ M são abertos em M e K λ Λ G λ = K λ Λ G λ M λ Λ G λ. Mas por então, por hipótese, existem λ 1,...,λ J Λ tais que K G λ 1 G λ J G λ1 G λj. Note que para mostrar que um determinado conjunto é compacto precisamos provar que para toda cobertura aberta existe subcobertura finita. Para mostrar que não é compacto basta achar uma cobertura que não possui subcobertura finita.

24 20 1. ESPAÇOS MÉTRICOS Exemplo SejaK = {x 1,x 2,...,x J }conjuntofinitoemm esejag = {G λ : λ Λ} coleção de conjuntos abertos em M tais que K λ Λ G λ, i.e., G é uma cobertura aberta de K. Para j = 1,...,J, seja G j G tal que x j G j (tal conjunto sempre existe pois G é cobertura de K). Então G 1,...,G J geram uma subcobertura finita de K. Logo K é compacto, e concluímos que todo conjunto finito é compacto. Teorema Seja M um espaço métrico e K M compacto. Então K é fechado e limitado. Demonstração. Suponha K M conjunto compacto, e seja x K. Então K m=1b m (x). Como K é compacto, a cobertura acima possui subcobertura finita e portanto existe M N tal que K B M (x). Logo K é limitado, pois dados y, z K segue-se que d(y,z) d(y,x)+d(x,z) < 2M. Paramostrar queétambém fechado, sejax C(K)eG i = {y R n : d(y,x) > 1/i}para i N. Logo G i é aberto e M\{x} = i=1g i. Mas como x / K, então K i=1g i. Usando agora que K é compacto, extraimos uma subcobertura finita e temos K N i=1g i = G N para algum N N. Portanto K B 1/N (x) = e concluímos que B 1/N (x) C(K). Logo C(K) é aberto e K é fechado. Lema Se K é compacto e F K é fechado, então F é compacto. Além disto, a interseção arbitrária de compactos é compacta e a união finita de compactos é compacta. Definição Dizemos que um conjunto A é totalmente limitado se dado r R, existirem índice J N e pontos x 1,...,x J A tais que A j=1...j B r (x j ). Em particular, um conjunto no R n é limitado se e somente se é totalmente limitado. O resultado é de grande importância, e as demonstrações são tiradas de [6]. Teorema Seja K subconjunto dum espaço métrico M. Então as afirmativas abaixo são equivalentes: (1) K é compacto (2) K é compacto acumulativo, i.e., todo subconjunto infinito de K tem ponto de acumulação (3) K é sequencialmente compacto, i.e., toda sequência tem subsequência convergente (4) K é completo e totalmente limitado Demonstração. (1) (2). Seja X K infinito e tal que X =. Logo, X = X, isto é, X é fechado de K, logo compacto pelo Lema Como X é discreto e compacto, ele deve ser finito. Caso contrário, encontraríamos uma cobertura aberta de X que não possui subcobertura finita. (2) (3). Seja (x n ) uma sequência em K. Se {x n : n N} é finito, existe uma subsequência constante de (x n ) e, portanto, convergente. Caso contrário, este conjunto possui um ponto de acumulação x K. Logo, (x n ) possui uma subsequência convergente. (3) (4). Dado uma sequência de Cauchy em K, ela possui, por hipótese, subsequência convergente, e portanto converge. Logo K é completo. Para mostrar que K é totalmente limitado, seja ǫ > 0. Tome x 1 K. Se K = B ǫ (x 1 ), o resultado está provado. Caso contrário, existe x 2 M\B ǫ (x 1 ). Se K = B ǫ (x 1 ) B ǫ (x 2 ), então o resultado está provado. Prosseguindo assim, ou chegamos a um n N tal que M = B ǫ (x 1 ) B ǫ (x 2 )...B ǫ (x n ) ou então obtemos uma sequência (x n ) tal que d(x m,x n ) ǫ,

25 1.5. CONJUNTOS CONEXOS 21 para todo n m. Neste último caso, nenhuma subsequência de (x n ) seria de Cauchy, e muito menos convergente, contrariando (3). Portanto, M é totalmente limitado. (4) (1). Suponha, por absurdo, que exista uma cobertura aberta G = {G λ : λ Λ} de K que não possua subcobertura finita. Por hipótese, é possível escrever K como a união finita de subconjuntos fechados de diâmetro menor que 1. Pelo menos um deles, chamado de X 1, está contido em λ Λ G λ e não admite subcobertura finita. Como X 1 é totalmente limitado, ele pode ser expresso como a união finita de subconjuntos fechados de diâmetro menor que 1/2. Ao menos um desses conjuntos, chamado X 2, não pode ser coberto por um número finito de elementos de G. Prosseguindo dessa maneira, obtemos uma sequência X 1 X 2 X n... de subconjuntos fechados de M, tais que para todo n N, diam(x n ) < 1/n e X n não está contido numa reunião finita de abertos de G. Logo, existe a K tal que {a} = n N X n. De fato, escolha x n X n, para cada n N. É fácil ver que (x n ) é de Cauchy que deve convergir para algum ponto a K. Mais ainda, a é o único ponto de n N X n. Para algum λ Λ, tem-se que a G λ. Sendo G λ aberto, deve-se ter B 1/n (a) G λ, para algum n N. Como a X n, e diam(x n ) < 1/n, concluímos que X n B 1/n (a), donde X n G λ, o que é uma contradição. Terminamos esta seção apresentando um resultado clássico em análise. Antes, uma definição. Dizemos que um espaço métrico é separável se ele contém um subconjunto enumerável denso. Exemplos de espaço separáveis são os reais R, e o R n, pois os racionais Q e Q n são enumeráveis e densos. É fácil ver também que qualquer subconjunto de um espaço separável é por si só separável. O resultado abaixo apresenta uma classe enorme de conjuntos separáveis. Teorema Todo espaço métrico compacto é separável. Demonstração. Seja K compacto. Logo K é totalmente limitado. Portanto, dado n N, existe X n = {x n,1,...,x n,jn } K tal que K Jn j=1 B 1/n(x n,j ). Logo X n é enumerável, pois é finito, e X = + n=1x n também o é. Logo X é denso em K, pois dado ǫ > 0 e x K, basta tomar N > 1/ǫ e x j X N tal que x B 1/N (x j ) Conjuntos conexos Seção tirada de [6,9] Uma cisão de um espaço métrico M é uma decomposição M = A B, onde A e B são abertos distintos de M. Logo, A = M\B e B = M\A são fechados. Exemplo Considere os seguintes exemplos: (1) Os conjuntos A = (,0) e B = (0,+ ) formam uma cisão de M = R\{0}. Note que A e B são abertos em M, e portanto também são fechados em M. (2) Todo conjunto e seu complementar formam uma cisão de um espaço discreto. (3) Dado α um número irracional, A = {x Q : x < α} e B = x Q : x > α formam uma cisão de M = Q. Definição Dizemos que uma cisão é trivial se A = ou B =. Assim, um espaço métrico M é conexo se toda cisão de M é trivial. Caso contrário, dizemos que M é desconexo. Um subconjunto X M é conexo se o subespaço X é conexo. Teorema Seja M um espaço métrico. As seguintes afirmações são equivalentes:

26 22 1. ESPAÇOS MÉTRICOS a) M é conexo b) Os únicos subconjuntos de M que são ao mesmo tempo abertos e fechados em M são M e c) Se X M tem fronteira vazia, então X = M ou X = Demonstração. Para ver que (b) = (a), note que se M = A B é uma cisão, então A e B são abertos e fechados. Logo, por hipótese, A e B são iguais a M e/ou, e a cisão é trivial. Reciprocamente, se A M é aberto e fechado, então M = A (M\A) é uma cisão de M. Logo, (a) (b). Para mostrar que (b) = (c), considere X M com fronteira vazia. Mas X X = significa que X é aberto, enquanto X X implica em X é fechado. Usando (b), temos que (c) vale. A recíproca também vale pois se X é aberto e fechado, então X X = (por ser aberto), e como X X (por ser fechado) tem-se que X =. Logo, por hipótese, X = M ou X =, e portanto (c) segue. Exemplo A reta R é conexa. De fato, suponhamos, por absurdo, que exista uma cisão não-trivial R = A B. Tomemos a A e b B, digamos que a < b. Seja X = {x A : x < b}. Temos que X é não vazio e limitado superiormente. Logo, existe c = supx. É claro que c b e, pela definição de sup, para todo ǫ > 0 existe x X A tal que c ǫ < x c. Logo c A = A. Como b B, concluímos que c b, donde c < b. Sendo A aberto existe ǫ > 0 tal que c+ǫ < b e (c ǫ,c+ǫ) A. Então, todos os pontos do intervalo (c,c+ǫ) pertecem a X, o que contradiz c = supx Exercícios Exercício 1.1. Mostre que a métrica zero-um define uma distância. Exercício 1.2. Mostre que (1.1.3) de fato define uma norma se p 1 e que não define uma norma para p < 1. Exercício 1.3. Mostre que lim p x p = x para todo x R n. Exercício 1.4. Considere o Exemplo 1.8, e as normas lá definidas. Construa exemplo tal que dado ǫ > 0 existe f F F 1 com f < ǫ e f 1 = 1 e existe g F F 1 tal que g = 1 e g 1 < ǫ. Exercício 1.5. Mostre que (1.1.2) define métricas em M M. Exercício 1.6. Mostre que l p é um espaço normado. Exercício 1.7. Seja V um espaço vetorial normado munido de duas normas equivalentes, como em (1.2.1). Mostre que se um conjunto é aberto em relação a uma das normas, ele é aberto em relação à outra também. Exercício 1.8. Mostre que todo espaço métrico M é aberto nele mesmo e fechado nele mesmo. Exercício 1.9. MostrequeseV éumespaçovetorial, amétricadiscretadadapor(1.1.1) não define uma norma em V.

27 1.6. EXERCÍCIOS 23 Exercício Mostre que a série em (1.1.5) converge sempre que (x j ) j N, (y j ) j N l 2. Exercício Seja (X, d) espaço métrico. Definina os conjuntos abertos como na definição Mostre que a coleção destes conjuntos abertos é uma topologia. Caracterize a topogia definida pela métrica (1.1.1): quais são os conjuntos abertos? Exercício Dizemos que um espaço X é de Hausdorff se dados dois pontos x, y X, existem abertos disjuntos A x, A y tal que x A x, y A y. Um espaço de Hausdorff é um espaço que separa pontos. Mostre que todo espaço métrico é de Hausdorff. Exercício Mostre (1.2.2). Exercício Construa um exemplo de um espaço métrico (M,d) onde, dado r > 0, B r (x) {y M : d(x,y) r}, i.e., o fecho da bola aberta de raios r difere da bola fechada de raio r. Exercício Considere o exemplo 1.5, e uma sequência definida por z j = (x j,x j) M M. Mostre que z j z = (x,x ) em M M se e somente se x j x em M e x j x em M. Exercício 1.16 ([1]). Mostre que uma sequência (x k ) é de Cauchy se e somente se lim sup{d(x i,x j ) : i, j k} = 0. k Exercício 1.17 ([1]). Decida se as propriedades abaixo são equivalentes à definição de sequências de Cauchy: i) lim k sup{d(x i,x k ) : i k} = 0. ii) para todo ǫ > 0 existe k N tal que i k = d(x i,x k ) < ǫ. Exercício Seja (x k ) sequência de Cauchy contendo uma subsequência convergente para x. Mostre que (x k ) converge para x. Exercício Dizemos que uma sequência (x j ) tem variação limitada se a sequência (v k ) de reais definida por k v k = d(x i+1,x i ) i=1 converge. Mostre que toda sequência num espaço métrico completo, e de variação limitada, é convergente. Exercício Demonstrar o Lema Exercício Demonstrar o Lema Exercício Seja M espaço métrico e S M. Mostre que x é ponto de acumulação de S se e somente se existe sequência de pontos (x j ) em S\{x} que converge para x. Exercício Seja M espaço métrico e A M. Mostre que um ponto x é aderente a A se e somente se existe sequência convergente e contida em A, e que tenha x como seu limite. Mostre que o conjunto de pontos aderentes a A é fechado.

28 24 1. ESPAÇOS MÉTRICOS Exercício Mostrequeumpontox éaderenteaumconjuntox M seesomente se existe sequência convergente e contida em X, e que tenha o ponto x como seu limite. Seja X o conjunto de pontos aderentes a X. Usando este conceito de aderência, mostre que X é fechado. Exercício Mostre que se M é espaço métrico completo, e X M é fechado, então X é completo. Exercício Mostre que um espaço métrico é completo se e somente se a interseção de uma sequência de bolas fechadas encaixantes com raios tendendo a zero é não vazia. Além disto, se o espaço for de fato completo, a interseção se reduz a somente um ponto. Exercício Seja M espaço métrico, C M não-vazio, y M, e A = {d(y,x) : x C}. Mostre que existe o ínfimo de A, e que infa = 0 existe sequência em C convergente para y. Exercício Mostre que (l, ) é completo. Exercício Mostre que (l 2, 2 ) é completo. Exercício Mostre que, ver Exemplo 1.8 no espaço F (X), satisfaz as propriedades de norma. Exercício Seja a sequência de funções (f i ), onde f i (x) = sin(ix)/(1+ix). Mostre que (f i ) converge pontualmente para todo x [0,+ ), uniformemente em [a,+ ) para a > 0, mas não converge uniformemente em [0,+ ). Exercício Sejam X R m e f i : X R n sejam funções uniformemente contínuas. Mostre que se (f i ) converge uniformemente para f, então f é uniformemente contínua. Exercício Ache exemplo de sequência (f i ) de funções que convirja uniformemente em (0,1], mas não em [0,1]. Exercício Mostre que convergência uniforme implica em convergência pontual, mas que a volta não vale. Exercício Suponha que K R m seja compacto, e defina as sequências de funções contínuas dadas por f j : K R n e g j : K R n. Suponha que (f j ) convirja uniformemente para f : K R n e (g j ) convirja uniformemente para g : K R n. Mostre que (f j g j ) converge uniformemente para f g. O que acontece se trocarmos K por um conjunto aberto qualquer? Mostre que o resultado continua válido ou apresente um contra-exemplo. Exercício Seja f : [0,1] R contínua, e (f n ) sequência de funções contínuas de [0, 1] em R. Prove ou apresente contra-exemplo para a seguinte afirmação: Se (f n ) converge uniformemente para f em (0,1], então (f n ) converge uniformemente para f em [0,1]. Exercício Seja K conjunto compacto, f : K R contínua, e (f n ) sequência de funções contínuas de K em R. Prove ou apresente contra-exemplo para a seguinte afirmação: Se (f n ) converge pontualmente para f em K, então (f n ) converge uniformemente para f em K.