Teoria da Medida e Integração (MAT505)

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1 Modos de convergência Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014

2 Modos de convergência Neste ponto já conhecemos quatro modos de convergência de uma sequência de funções: pontual (em todo ponto); em quase todo ponto; uniforme; convergência em L p. Existem mais dois modos de convergência importantes para lidar com funções mensuráveis e vamos apresentá-los aqui; depois veremos inter-relações entre estes modos de convergência. No que segue vamos fixar um espaço de medida (X, A, μ) e considerar funções reais. Por vezes será necessário considerar funções na reta real estendida. Em alguns casos veremos brevemente como lidar com funções complexas.

3 Convergência pontual e convergência uniforme Convergência pontual: (f n ) n 1 converge pontualmente para f (f n f ) se, para todo ϵ > 0 e todo x X, existe N(ϵ, x) N tal que se n N(ϵ, x), então f n (x) f (x) < ϵ; Convergência uniforme: (f n ) n 1 converge u uniformemente para f (f n f ) se, para todo ϵ > 0, existe N(ϵ) N tal que, se n N(ϵ), então f n (x) f (x) < ϵ para todo x X. Sabemos que convergência uniforme implica convergência pontual; mas que convergência pontual não garante convergência uniforme. Contra-exemplos são bem conhecidos dos cursos de Análise: tome f n : [0, 1] R, x x n que converge pontualmente para f = 1 {1}, mas não converge uniformemente.

4 Convergência em quase todo ponto Convergência em quase todo ponto: (f n ) n 1 converge qtp q.t.p. para f (f n f ) se existe Z A tal que μ(z) = 0 tal que para todo ϵ > 0 e todo x X \ Z, existe N(ϵ, x) N tal que se n N(ϵ, x), então f n (x) f (x) < ϵ; É claro que convergência pontual garante convergência em quase todo ponto, e que a implicação inversa não vale em geral (a não ser que o único conjunto de medida nula seja o vazio: neste caso convergência qtp. e pontual coincidem; ou que o espaço seja formado por número finito de pontos, caso em que a convergência pontual coincide com a convergência uniforme).

5 Convergência em L p Uma sequência (f n ) n 1 em L p = L p (X, A, μ) (com 1 p < ) converge em L p L para f (f p n f ) se, para todo ϵ > 0, existe N(ϵ) N tal que, se n N(ϵ), então f n f p = f n f p dμ 1/p < ϵ. Uma sequência (f n ) n 1 em L p é de Cauchy em L p se, para cada ϵ > 0, existe N(ϵ) > 0 tal que, se m, n N(ϵ), então f n f m p = f n f m p dμ 1/p < ϵ. Já vimos que toda sequência de Cauchy em L p converge para alguma função f de L p.

6 Convergência uniforme e em L p Teorema Se μ(x) < e (f n ) n 1 é sequência em L p que converge uniformemente para f, então f está em L p e f n converge para f em L p. Demonstração. Sejam ϵ > 0 e N(ϵ) N tais que f n (x) f (x) < ϵ para todo n N(ϵ) e x X. Se n N(ϵ), então f n f p ϵ p dμ 1/p = ϵμ(x) 1/p e portanto f = f n (f n f ) L p L e f p n f. Este pode ser falso se X não tiver medida finita (exercício 7.B, Bartle). Mas vale se a sequência é dominada por uma função de L p.

7 Convergência qtp. dominada em L p Teorema Seja (f n ) n 1 é sequência em L p que converge qtp. para f mensurável. Se existe g L p tal que f n (x) g(x) para todos os x X, n 1, então f L p L e f p n f. Demonstração. Pela hipótese, f p g p <, logo f L p e temos também f n (x) f p (2g(x)) p, μ-qtp. e 2 p g p L 1. Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada lim f n f p dμ = lim f n f p dμ = 0 e segue que L f p n f.

8 Convergência qtp. limitada em L p Corolário Se μ(x) < e (f n ) n 1 é sequência em L p que converge qtp. para f mensurável. Se existe constante K tal que f n (x) K para todos x X e n 1, então f L p e L f p n f. Demonstração. Com μ(x) < as funções constantes estão em L p e aplicamos o teorema anterior com g K. Vamos agora ver que convergência em L p não garante convergência em quase todo ponto.

9 Convergência L p que não é qtp. Seja X = [0, 1] com A a γ-álgebra de Borel e λ medida de Lebesgue. Consideremos os intervalos [0, 1], [0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1] [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 1], [0, 1/5], [1/5, 2/5],... e seja ξ n a função característica do n-ésimo intervalo desta lista, e ξ 0. Para n m = m(m + 1)/2, ξ n é uma função característica de um intervalo com medida no máximo 1/m, logo ξ n ξ p = ξ n ξ p dμ = ξ m dμ 1 m e ξ n L p ξ.

10 Convergência L p que não é qtp. Seja X = [0, 1] com A a γ-álgebra de Borel e λ medida de Lebesgue. Consideremos os intervalos [0, 1], [0, 1/2], [1/2, 1], [0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1] [0, 1/4], [1/4, 2/4], [2/4, 3/4], [3/4, 1], [0, 1/5], [1/5, 2/5],... e seja ξ n a função característica do n-ésimo intervalo desta lista, e ξ 0. Para n m = m(m + 1)/2, ξ n é uma função característica de um intervalo com medida no máximo 1/m, logo ξ n ξ p = ξ n ξ p dμ = ξ m dμ 1 m e ξ n L p ξ.

11 Porém, fixado qualquer x [0, 1], a sequência (ξ n (x)) n 1 tem subsequência constante igual a 1 e outra subsequência constante igual a 0. De fato, para n = m temos que ξ n+1,..., ξ n+m+1 é sequência de funções características de uma família de conjuntos cuja união é X e cuja interseção dois a dois tem medida nula, portanto alguma destas funções vale 1 em x e alguma outra vale 0 em x. Portanto ξ n (x) não converge, seja qual for o ponto x [0, 1]! Em particular, não converge qtp.. (Notemos que podemos escolher uma subsequência de ξ n (x) que converge para ξ(x).)

14 Convergência em medida Uma sequência (f n ) n 1 de funções mensuráveis (reais ou complexas) converge em medida para f (f n μ f ) mensurável se, para cada α > 0, se tem que μ([ f n f α]) n + 0. Um sequência (f n ) n 1 é de Cauchy em medida se, para cada α > 0, dado ϵ > 0 existe N(ϵ) N tal que para n, m N(ϵ) se tem μ([ f n f m α]) < ϵ. Note que se f n unif. f, então [ f n f α] = para todo n suficientemente grande. Portanto, convergência uniforme garante convergência em medida.

15 Convergência em L p garante convergência em medida Se f n L p f então, para cada α > 0, o conjunto E n (α) = [ f n f α] satisfaz f f n p p = f n f p dμ e portanto μ(e n (α)) α p f f n p p n f n μ f. f n f p dμ α p μ(e n (α)) E n (α) 0. Ou seja, Exercício: a sequência ξ n também mostra que uma sequência pode convergir em medida mas não convergir em nenhum ponto!!

16 Convergência em L p garante convergência em medida Se f n L p f então, para cada α > 0, o conjunto E n (α) = [ f n f α] satisfaz f f n p p = f n f p dμ e portanto μ(e n (α)) α p f f n p p n f n μ f. f n f p dμ α p μ(e n (α)) E n (α) 0. Ou seja, Exercício: a sequência ξ n também mostra que uma sequência pode convergir em medida mas não convergir em nenhum ponto!!

17 Convergência em medida e subsequência convergente qtp. Teorema Seja (f n ) n 1 sequência de funções mensuráveis (reais ou complexas) que é de Cauchy em medida. Então existe subsequência que converge μ-qtp. e em medida para uma função mensurável f. Para provar, seja g k subsequência de f n tal que E k = [ g k+1 g k 2 k ] satisfaz μ(e k ) < 2 k. Tomando F k = j k E j, então F k A e μ(f k ) < 2 k+1. Para i j k e x X \ F k g i (x) g j (x) g i (x) g i 1 (x) + + g j+1 (x) g j (x) 1 2 i j < 1 2 j k 1.

18 Se F = k 1 F k, então μ(f) = 0 e pelo que vimos (g j ) j 1 converge em X \ F. Definimos agora μ qtp f (x) = 1 X\F (x) lim j g j (x) e obtemos g j f. De fato, pela desigualdade anterior, fazendo i vem f (x) g j (x) 1 2 j k 1 para j k e x X \ F k. Então g j converge uniformemente para f em X \ F k, ou seja, g j converge para f em quase todo ponto. Para convergência em medida, sejam ϵ, α > 0. Existe k N tal que μ(f k ) < 2 k+1 < min{ϵ, α}. Para j k obtemos do que já fizemos [ f g j α] [ f g j > 2 k+1 ] F k e assim μ([ f g j α]) μ(f k ) < ϵ para todo j k.

21 Sequências de Cauchy em medida Corolário Seja (f n ) n 1 sequência de funções mensuráveis (reais ou complexas) que é de Cauchy em medida. Então existe função mensurável f para a qual (f n ) converge em medida, e f é unica μ-qtp.. Já temos f nk μ f e como f (x) f n (x) f (x) f nk (x) + f nk (x) f n (x) vem μ([ f f n α]) μ f f α nk + μ f nk 2 f n α 2 para qualquer α > 0. Como (f n ) é de Cauchy em medida, isto garante a convergência em medida de f n para f.

22 Para a unicidade: suponhamos que f n μ f e fn μ g. Novamente porque f (x) g(x) f (x) f n (x) + f n (x) g(x) segue que μ([ f g α]) μ f f n α + μ f n g α 2 2 para qualquer α > 0 e qualquer n 1. Fazendo n vem μ([ f g α]) = 0 para qualquer α > 0, o que mostra que f = g, μ qtp..

23 Convergência dominada em medida e em L p Em geral, convergência em medida não garante convergência em L p (exercício). Mas se acrescentarmos dominação obtemos a convergência em L p. Teorema Seja (f n ) n 1 sequência em L p que converge em medida para f e seja g L p tal que f n g, μ-qtp.. Então f L p e L f p n f. Por redução ao absurdo, se (f n ) não convergisse para f em L p, existiria subsequência (g k ) k 1 de (f n ) e ϵ > 0 tal que g k f p > ϵ para todo k 1. μ Mas então g k f e portanto existe subsequência (hl ) l 1 de g k que converge μ-qtp. e em medida para alguma função h.

24 Pela unicidade do limite em medida, h que tem de ser igual a f, μ-qtp.. Porém, como f n é dominada por g e g L p, então h l é L dominada por g e sabemos que h p l f. Mas isto contradiz a escolha de g k tal que g k f p > ϵ para todo k 1, já que h l é subsequência de g k. Esta contradição mostra que f n L p f, como no enunciado do Teorema.

25 Convergência quase uniforme Uma sequência (f n ) n 1 de funções é quase uniformemente convergente a uma função q.u. mensurável f (f n f ) se, para cada δ > 0, existe E δ A com μ(e δ ) < δ tal que f n converge uniformemente para f em X \ E δ. Uma sequência (f n ) n 1 de funções é quase uniformemente de Cauchy se, para cada δ > 0, existe E δ A com μ(e δ ) < δ tal que f n é uniformemente convergente em X \ E δ. É claro que convergência uniforme implica convergência quase uniforme, mas o recíproco não é verdadeiro! (Exercício: apresente um exemplo.)

26 Sequência quase uniformente de Cauchy Lema Seja (f n ) n 1 sequência de funções quase uniformemente de Cauchy. Então existe f mensurável q.u qtp. tal que f n f e f n f. Seja E k tal que μ(e k ) < 2 k e (f n ) é uniformemente convergente em X \ E k. Tomemos F = j k E j tal que μ(f) < 2 k+1 e (f n ) converge uniformemente em X \ F k X \ E k. Podemos definir g k = 1 X\Fk lim f n. Temos F k+1 F k e F = k F k satisfaz μ(f) = 0. Portanto se h k, então g h (x) = g k (x) para x F h. Segue que g k converge pontualmente para uma função f.

27 Sequência quase uniformente de Cauchy Lema Seja (f n ) n 1 sequência de funções quase uniformemente de Cauchy. Então existe f mensurável q.u qtp. tal que f n f e f n f. Seja E k tal que μ(e k ) < 2 k e (f n ) é uniformemente convergente em X \ E k. Tomemos F = j k E j tal que μ(f) < 2 k+1 e (f n ) converge uniformemente em X \ F k X \ E k. Podemos definir g k = 1 X\Fk lim f n. Temos F k+1 F k e F = k F k satisfaz μ(f) = 0. Portanto se h k, então g h (x) = g k (x) para x F h. Segue que g k converge pontualmente para uma função f.

28 Além disto, para x X \ F k, temos f (x) = g k (x) = lim f n (x) e assim f n converge para f, μ-qtp.. Falta ver que a convergência é quase uniforme. Fixemos ϵ > 0 e k tão grande que 2 k+1 < ϵ. Então μ(f k ) < ϵ e f n converge uniformemente para g k em X \ F k, mas g k = f em X \ F k. Isto conclui a prova do lema. Podemos agora relacionar convergência em medida com convergência quase uniforme.

29 Convergência em medida vs. quase uniforme Teorema Se uma sequência (f n ) n 1 converge quase uniformemente para f, então converge em medida. Reciprocamente, se (h n ) n 1 converge em medida para h, então alguma sequência converge quase uniformemente para h. q.u. De fato, se f n f e α, ϵ > 0, então existe E ϵ A com unif. μ(e ϵ ) < ϵ tal que f n 1 X\Eϵ f 1 X\Eϵ. Assim, para n grande o suficiente, [ f n f α] E ϵ e μ([ f n f α]) < ϵ, o que mostra que f n μ f.

30 μ Reciprocamente, suponha que h n h. Por resultado anterior, existe subsequência (g k ) de (h n ) que converge μ-qtp. para uma função g, mas esta convergência é realmente quase uniforme (veja a prova de que convergência em medida garante subsequência convergente qtp.). Como (g k ) converge em medida para g e para h, então h = g, μ-qtp. e, portanto, (h n ) converge quase uniformemente para h. Ja vimos que convergência quase uniforme garante convergência qtp.. Mas o recíproco é falso em geral (exercício). Mas se μ(x) <, então podemos obter o resultado seguinte.

31 Convergência qtp. garante convergência quase uniforme Teorema (de Egoroff) Suponha que μ(x) < e que (f n ) n 1 é sequência de funções mensuráveis que converge μ-qtp. em X para q.u. μ uma função f. Então f n f e f n f. A última conclusão é consequência da primeira, como já vimos. Basta então mostrar que f n q.u. f. Modificando f n e f num conjunto de medida nula, podemos assumir que f n f em todo ponto. Para cada m, n N seja E n (m) = k n [ f k f 1/m]. Então E n+1 (m) E n (m) e, como f n f pontualmente, segue que n 1 E n (m) = para cada m 1.

32 Uma vez que μ(x) <, deduzimos que μ(e n (m)) n + 0. Para cada δ > 0 seja n m tal que μ(e nm (m)) < δ2 m e E δ = m 1 E nm (m). Então μ(e δ ) < δ. Note que se x X \ E δ, então x X \ E nm (m) e portanto f n (x) f (x) < 1/m para todos n n m. Assim f n converge uniformemente para f em X \ E δ, com δ > 0 arbitrariamente escolhido. Resumiremos os resultados provados via algumas tabelas relacionando os diferentes modos de convergência.

33 Diagrama de relações entre modos de convergência: caso geral O caso geral em qualquer espaço de medida: quase todo ponto quase uniforme em L p em medida Seta dupla = indica implicação; seta tracejada indica que existe subsequência. Ausência de seta indica que existe contra-exemplo.

34 Diagrama de relações entre modos de convergência: espaço de medida finito Nos espaços de medida finita: quase todo ponto quase uniforme em L p em medida As novas implicações são consequência do Teorema de Egoroff.

35 Diagrama de relações entre modos de convergência: com dominação por g L p Assumindo que vale dominação por uma função g L p : quase todo ponto quase uniforme em L p em medida Adicionaram-se três implicações. Exercício: verificar estas implicações e também que, onde não há setas, se pode fornecer um contra-exemplo. (Isto é parte da lista de exercícios do livro-texto de Bartle.)

36 Condições necessárias e suficientes para convergência em L p Teorema (de Vitali) Seja (f n ) n 1 sequência em L p (X, A, μ), 1 p <. Então as três condições seguintes são necessárias e L suficientes para que f p n f : 1 f n μ f ; 2 ϵ > 0 E ϵ A, μ(e ϵ ) < e X\E ϵ f n p dμ < ϵ p, n 1; 3 ϵ > 0 δ(ϵ) > 0 tal que se E A e μ(e) < δ(ϵ), então E f n p dμ < ϵ p, n 1. Que f n L p f implica as três condições é um exercício (da lista de exercícios do livro-texto de Bartle).

37 Prova da suficiência das condições de Vitali Se ϵ > 0 e E ϵ é como na ítem 2, seja F = X \ E ϵ e apliquemos a desigualdade triangular na norma L p a f n f m = (f n f m )1 Eϵ + f n 1 F f m 1 F : para m, n 1 f n f m p E ϵ f n f m p dμ 1/p + f n 1 F p + f m 1 F p. Tomemos α = ϵμ(e ϵ ) 1/p e H n,m = [ f n f m α]. Pelo ítem 1, existe K(ϵ) tal que, se n, m K(ϵ), então μ(h n,m ) < δ(ϵ), on δ(ϵ) > 0 é dado pelo ítem (3) do enunciado. Aplicamos novamente a desigualdade triangular como antes: escrevemos (f n f m )1 Eϵ = (f n f m )1 Eϵ \H n,m + f n 1 Eϵ H n,m f m 1 Eϵ H n,m para m, n 1 fixados e obtemos a seguinte desigualdade.

41 f n f m p dμ E ϵ 1/p + 1/p f n f m dμ p + E ϵ \H n,m 1/p f m p dμ. E ϵ H n,m Usando agora o item 3, deduzimos E ϵ H n,m f n p dμ 1/p f n f m dμ p αμ(e ϵ ) 1/p + ϵ + ϵ = 3ϵ E ϵ pela escolha de α, sempre que m, n K(ϵ). Combinando com a desigualdade anterior, obtemos f n f m p 5ϵ e assim (f n ) é de Cauchy em L p, e portanto convergente em L p. Como já sabemos que f n μ f, então fn L p f. 1/p