Séries Alternadas. São as séries cujos termos se alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, ( 1) k+1 1 k =

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1 Séries Alternadas São as séries cujos termos se alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, ( 1) k+1 1 k = Em geral escrevemos, para uma série alternada, ou ( 1) k+1 a k = a 1 a 2 + a 3 a 4 + ( 1) k a k = a 1 + a 2 a 3 + a 4 +

2 ( 1) k+1 a k = a 1 a 2 + a 3 a 4 + ( ) ( 1) k a k = a 1 + a 2 a 3 + a 4 + ( ) Teorema (Teste da série alternada). Uma série alternada da forma ( ) ou ( ) converge se as duas condições a seguir forem satisfeitas: a) a 1 a 2 a 3 b) lim k a k = 0 Ou seja, basta a sequência dos termos gerais ser descrescente a zero. Note que essas condições não são suficientes para uma série que não é alternada.

3 Exemplo. Mostre que são convergentes: a) ( 1) k+1 1 k b) ( 1) k+1 k + 3 k(k + 1) a) Note que a k = 1 k > 1 k + 1 = a k+1, lim a 1 k = lim k k k = 0 Logo a série converge, pelo teste da série alternada. b) Note que a k+1 a k = = k + 4 k(k + 1) = k2 + 4k (k + 1)(k + 2) k + 3 k 2 + 5k + 6 k 2 + 4k (k 2 + 4k) + k + 6 < 1 = a k > a k+1

4 Ainda, temos 1 lim a k + 3 k = lim k k k(k + 1) = lim k + 3 k 2 k k Logo, pelo teste da série alternada, a série converge. = 0 Aproximando a soma de séries alternadas. Se uma série alternada satisfaz as hipóteses do teste da série alternada, e se S for a soma dessa série, então: a) O valor S está entre duas somas sucessivas, ou seja, s n S s n+1 ou s n+1 S s n dependendo de qual soma parcial for maior.

5 b) Se S for aproximada por s n então o erro absoluto S s n é tal que S s n a n+1 com o sinal do erro S s n igual ao do coeficiente de a n+1. Exemplo. Veremos depois que ( 1) k+1 1 k = = ln(2) a) Aceitando isso como verdadeiro, encontre uma cota superior da magnitude do erro que resulta se ln(2) for aproximado pela soma dos 8 primeiros termos da série. Temos ln(2) s 8 < a 9 = 1 0, 12 9

6 Podemos conferir isto: temos = Com uma calculadora obtemos daí ln(2) s 8 = ln(2) 533 0, o que está bem abaixo da estimativa obtida pela cota superior (0, 12) dada acima. b) Encontre uma soma parcial que aproxime ln(2) com uma casa decimal de precisão (até o décimo mais próximo). Isto significa escolher um valor de n tal que ln(2) s n 0, 05

7 S s n a n+1 Sem uma calculadora, podemos proceder da seguinte forma: encontrar n tal que a n+1 = 1 1 < 0, 05 = n + 1 n + 1 0, 05 = n 1 1 = 20 1 = 19 0, 05 Logo, a soma parcial s 19 irá fornecer a precisão desejada.

8 Convergência absoluta Dizemos que uma série u k = u 1 + u 2 + u 3 + converge absolutamente se a série de valores absolutos u k = u 1 + u 2 + u 3 + convergir. E dizemos que a série dada diverge absolutamente se a série de valores absolutos divergir. Exemplo. Determine se converge absolutamente:

9 Ora, mas a série de valores absolutos associada é a série geométrica que converge. Logo, a série dada converge absolutamente. Exemplo. Determine se converge absolutamente: Veremos depois que esta série convege. No entanto, a série de valores absolutos é , a séria harmônica, que diverge. Logo, a série alternada dada diverge absolutamente.

10 Terminologia. Uma série que converge, mas diverge absolutamente, é dita condicionalmente convergente. Portanto, a série do exemplo anterior é condicionalmente convergente. Um cálculo. Note que, para qualquer série, podemos escrever u k = [(u k + u k ) u k ] Suponha que u k converge. Se mostrarmos que (u k + u k ) também converge, iremos concluir que k u k converge (por que?)

11 u k = [(u k + u k ) u k ] Primeiro, note que u k + u k é 0 ou 2 u k, dependendo do sinal de u k. Mas em qualquer caso, vale que 0 u k + u k 2 u k Mas se estamos supondo que u k converge, então o mesmo vale para 2 u k. Portanto, k (u k + u k ) converge, pelo teste da comparação. Acabamos de provar o seguinte teorema:

12 Teorema. Se a série u k = u 1 + u 2 + u 3 + convergir então também converge a série u k = u 1 + u 2 + u 3 + Em palavras: a convergência absoluta de uma série implica na convergência da série. Note que já vimos que a recíproca não é verdadeira em geral. Exercício. Diga se as séries são convergentes. a) b) cos(k) k 2

13 Teste da razão para a convergência absoluta Seja k u k uma série de termos não nulos e defina u k+1 ρ = lim k u k Se ρ < 1 então a série k u k converge absolutamente, e portanto converge (pelo teorema visto antes). Se ρ > 1 ou ρ = então a série k u k diverge. Se ρ = 1, nenhuma conclusão pode ser tirada sobre a convergência ou convergência absoluta desta série.

14 u k+1 ρ = lim k u k Exercício. Determine se converge. a) ( 1) k 2k k! b) k (2k 1)! ( 1) 3 k Exercício. Estudar a tabela de testes de convergência encontrada no livro e faça exercícios que usam tais testes.