UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ NOTAS DE AULA: ANÁLISE REAL. Profa.: Gislaine Aparecida Periçaro Curso: Matemática, 4º ano

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1 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ NOTAS DE AULA: ANÁLISE REAL Profa.: Gislaine Aparecida Periçaro Curso: Matemática, 4º ano CAMPO MOURÃO 203

2 Capítulo Conjuntos e Funções Neste capítulo vamos fazer uma breve revisão de alguns conceitos referentes a conjuntos e funções que serão usados com frequência no decorrer dos capítulos seguintes.. Conjuntos A palavra conjunto é usada para designar uma coleção qualquer de objetos, os quais são denominados elementos do conjunto. Quando um objeto x é um dos elementos que constitui o conjunto A, dizemos que x pertence a A e escrevemos x A. Para denotar que x não pertence a A escrevemos x / A. Usamos a notação X = {a, b, c,...} para representar o conjunto X cujos elementos são a, b, c, etc. Quando os elementos de X são números, dizemos que X é um conjunto numérico. Por exemplo: ˆ N = {, 2, 3,...}: conjunto dos números naturais. ˆ Z = {..., 2,, 0,, 2, }: conjunto dos números inteiros. ˆ Q = {p/q p Z, q Z, q 0}: conjunto dos números racionais. Um conjunto pode ser definido especificando-se os seus elementos, o que nem sempre é possível, ou por meio de uma propriedade desses. Por exemplo, X = {x N x > 0} é o conjunto formado pelos números naturais x que gozam da seguinte propriedade: x é maior do que 0. Um conjunto é dito vazio e denotado por quando é desprovido de elementos. Por exemplo, X = {x N 2 < x < 3} =. Dados dois conjuntos A e B, dizemos que A é subconjunto de B quando todo elemento de A é também elemento de B e denotamos esse fato por A B (lê-se A está contido em B) ou, ainda, B A (lê-se B contém A). Por exemplo, sejam X o 2

3 conjunto dos quadrados e Y o conjunto dos retângulos, então vale a seguinte inclusão: X Y. Quando escrevemos X Y não excluímos a possibilidade de ser X = Y. No caso em que X Y e X Y, dizemos que X é um subconjunto próprio de Y e podemos representar esse fato pela notação X Y. Para mostrar que X não é subconjunto de Y, deve-se obter x X tal que x / Y. Assim, concluímos que o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto X. De fato, se não fosse subconjunto de X, existiria algum x tal que x / X. Mas, como não existe x, devemos admitir que X, para qualquer conjunto X. A relação de inclusão A B é ˆ Reflexiva: A A, para todo conjunto A; ˆ Anti-simétrica: se A B e B A, então A = B; ˆ Transitiva: se A B e B C, então A C. A propriedade anti-simétrica diz que dois conjuntos A e B são iguais quando possuem os mesmos elementos. Assim, quando tivermos que provar a igualdade entre dois conjuntos, devemos primeiro mostrar que A B e, depois, que B A... Operações entre conjuntos. União: A B = {x x A ou x B}. 2. Interseção: A B = {x x A e x B}. Quando A B =, dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos. 3. Diferença: A B = A \ B = {x x A e x / B}. Não é necessário que B esteja contido em A para formar a diferença A B. Quando A e B são disjuntos, tem-se A B = A. Quando se tem B A, a diferença A B chama-se complementar de B em relação a A e escreve-se A B = A B. No entanto, quando consideramos subconjuntos de um mesmo conjunto X, a diferença X A chama-se simplesmente complementar de A e indica-se por X A = A c. 4. Produto cartesiano: A B = {(a, b) a A e b B}. 5. União infinita: A n = {x x A n para algum n N}. 6. Interseção infinita: A n = {x x A n para todo n N}. 3

4 ..2 Exercícios. Mostre que A B = B A. 2. Prove que A (B C) = (A B) C. 3. Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: ª) X A e X B, 2ª) Se Y A e Y B, então Y X. Prove que X = A B. 4. Prove que A (B C) = (A B) (A C). 5. Prove que B A = B A c. 6. (Leis De Morgan) Prove que (A B) c = A c B c e (A B) c = A c B c..2 Funções Uma função f : A B é uma regra que associa cada elemento x A a um único elemento f(x) B. O conjunto A é chamado domínio da função e B é denominado contradomínio. Podemos dizer apenas função f em vez de f : A B, ficando subentendidos o conjunto A, domínio de f, e o conjunto B, contradomínio de f. É importante notar a diferença entre f e f(x): f é a função enquanto que f(x) é o valor que a função assume em um elemento x de seu domínio. Funções reais de variáveis reais são funções cujo domínio e contradomínio são subconjuntos dos números reais. Dada uma função f : A B, o conjunto dos elementos y B para os quais existe pelo menos um x A tal que f(x) = y é chamado imagem de A pela função f e designado por f(a). Assim, f(a) = {f(x) x A}. Exemplo. Seja f : R R + a função definida por f(x) = x 2, isto é, a função que associa a cada real x o seu quadrado x 2. Temos que f(r) = R + (aqui estamos usando o fato, que ainda será provado, de que todo número real positivo possui uma raiz quadrada). O gráfico de uma função f : A B é o subconjunto G(f) do produto cartesiano A B formado pelos pares ordenados (x, f(x)), em que x A é arbitrário. Ou seja, G(f) = {(x, y) A B x A e y = f(x)}. Para que um subconjunto G A B seja o gráfico de uma função f : A B, é necessário e suficiente que, para cada x A, exista um único ponto (x, y) G cuja primeira coordenada seja x. 4

5 Definição.2 Dizemos que a função f : A B é (i) injetiva quando para quaisquer x e y em A tais que x y, tem-se f(x) f(y) ou, equivalentemente, quando para quaisquer x e y em A, f(x) = f(y) implica x = y. (ii) sobrejetiva quando para todo y B existe pelo menos um x A tal que f(x) = y, isto é, quando f(a) = B. (iii) bijetiva quando é injetiva e sobrejetiva ao mesmo tempo. Exemplo.3 A função f : Z Z, definida por f(x) = 2x é injetiva, pois se f(x) = f(y) então 2x = 2y, donde segue que x = y. No entanto, f não é sobrejetiva, pois não existe x Z tal que 2x = 0. Definição.4 Considere uma função f : A B e um conjunto Y B. A imagem inversa de Y pela função f é o conjunto f (Y ), formado por todos os pontos x A tais que f(x) Y. Assim, f (Y ) = {x A f(x) Y }. Dado y B, escrevemos f (y) em vez de f ({y}). Exemplo.5 Seja f : Z Z a função dada por f(x) = x 2. Para Y = { 3, 2, } tem-se f (Y ) =. Temos ainda que f (4) = { 2, 2}. Definição.6 Sejam as funções f : A B e g : C D. Suponha que f(a) C. Assim, podemos definir a função composta g f : A D que consiste em aplicar f e depois g. Mais precisamente, podemos escrever (g f)(x) = g(f(x)) para todo x A. Exemplo.7 Sejam f : [, ] R e g : R + R + e as funções dadas por f(x) = x 2 e g(x) = x. Temos que g(f(x)) = x 2, x [, ]. Definição.8 Seja f : A B uma função bijetiva. Então, para cada x B existe um único y A tal que f(y) = x. Isso nos permite considerar uma função g : B A dada por g(x) = y f(y) = x. A função g denomina-se função inversa de f e, geralmente, é denotada por f. Quando f admite inversa, dizemos que f é inversível. Note que se g é a inversa de f, então g(f(x)) = x para todo x A e f(g(x)) = x para todo x B. Exemplo.9 A inversa da função bijetiva f : R R dada por f(x) = 3x + 2 é a função g : R R dada por g(x) = x 2. 3 Exemplo.0 Seja f : [0, ) [0, + ) a função dada por f(x) = x x. Temos que f é bijetiva e, portanto, inversível. Sua inversa é a função f : [0, + ) [0, ) dada por f (x) = x + x. 5

6 Exemplo. Seja f : [, 0] [0, ] a função dada por f(x) = x 2. Temos que f é bijetiva e, portanto, inversível. Sua inversa é a função f : [0, ] [, 0] dada por f (x) = x Exercícios. Sejam a função f : A B e os subconjuntos X e Y de A. a) Prove que f(x Y ) = f(x) f(y ). b) Prove que f(x Y ) f(x) f(y ). Dê um contra-exemplo para mostrar que f(x Y ) pode ser diferente de f(x) f(y ). c) Mostre que se f for injetiva então f(x Y ) = f(x) f(y ). d) Prove que f(x Y ) f(x) f(y ). e) Mostre que se f for injetiva então f(x Y ) = f(x) f(y ). 2. Mostre que f : A B é injetiva se, e somente se, f(a X) = f(a) f(x) para todo X A. 3. Sejam a função f : A B e os subconjuntos X e Y de B. a) Prove que f (X Y ) = f (X) f (Y ). b) Prove que f (X Y ) = f (X) f (Y ). 4. Dados a função f : A B e um subconjunto Y de B, mostre que f (B Y ) = A f (Y ). 5. Dada a função f : A B, prove que: a) f (f(x)) X para todo X A; b) f é injetiva se, e somente se, f (f(x)) = X para todo X A. 6. Dada a função f : A B, prove que: a) f(f (Z)) Z para todo Z B; b) f é sobrejetiva se, e somente se, f(f (Z)) = Z para todo Z B. 6

7 Capítulo 2 Conjuntos Finitos e Infinitos Discutiremos a seguir as definições formais de conjuntos finitos, infinitos e enumeráveis. Vamos considerar inicialmente o conjunto dos números naturais. 2. Números Naturais O conjunto dos naturais pode ser caracterizado a partir dos três axiomas dados a seguir, conhecidas como axiomas de Peano. Considere um conjunto N, cujos elementos são chamados números naturais e uma função s : N N. A imagem s(n) de cada número natural n N chama-se sucessor de n. A função s satisfaz aos seguintes axiomas:. s : N N é injetiva. 2. Existe um único número natural N tal que = s(n) para todo n N. 3. Se X N é um subconjunto tal que X e para todo n X tem-se s(n) X, então X = N. O axioma 3 é conhecido como Princípio da Indução e também pode ser enunciado da seguinte forma: Se uma propriedade P é válida para o número e se, do fato de um número natural n satisfazer P puder-se concluir que seu sucessor s(n) também satisfaz P, então P é válida para todos os números naturais. Exemplo 2. Mostre por indução que para todo n N tem-se s(n) n. 2.. Operações com naturais No conjunto dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a adição e a multiplicação, sendo caracterizadas por: (i) m + = s(m); 7

8 (ii) m + s(n) = s(m + n), isto é, m + (n + ) = (m + n) + ; (iii) m = m; (iv) m(n + ) = m n + m. São válidas as seguintes propriedades da adição e da multiplicação: ˆ Associatividade: (m + n) + p = m + (n + p), m (n p) = (m n) p; ˆ Distributividade: m (n + p) = m n + m p; ˆ Comutatividade: m + n = n + m, m n = n m; ˆ Lei do corte: n + m = p + m n = p e n m = p m n = p Relação de ordem Dados m e n naturais, dizemos que m é menor que n e escrevemos m < n quando existe p N tal que n = m + p. A notação m n significa que m < n ou m = n. A relação < goza das seguintes propriedades: (i) Transitividade: se m < n e n < p, então m < p. (ii) Tricotomia: dados m, n N, uma e somente uma das três alternativas é válida. m = n ou m < n ou n < m. (iii) Monotonicidade da adição: se m < n então, para todo p N tem-se m+p < n+p. Exercício 2.2 Mostre por indução que: (n + ) a) n = n 2 b) n! > 2 n para todo n 4. Exercício 2.3 Mostre que para qualquer n N, não existe p N tal que n < p < n +. Definição 2.4 Seja X um conjunto de números naturais. Diz-se que um número p X é o menor elemento de X (ou elemento mínimo de X) quando se tem p n para todo n X. Analogamente, um número q X chama-se o maior elemento de X (ou elemento máximo de X) quando se tem q n para todo n X 8

9 O teorema a seguir estabelece que todo subconjunto não vazio dos naturais possui um elemento mínimo. Já o elemento máximo nem sempre existe. O próprio N não possui um maior elemento, uma vez que, para todo n N, n + > n. No entanto, quando o maior elemento de um conjunto X N existe, ele é único. De fato, se p X e q X são ambos elementos máximos, então p q e q p, logo, p = q. Teorema 2.5 (Princípio da Boa Ordenação) Todo subconjunto não vazio A N possui um menor elemento, isto é, um elemento n 0 A tal que n 0 n para todo n A. Demonstração. Seja I n = {p N p n}. Considere o subconjunto X N formado pelos números n N tais que I n N A. Assim, dizer que n X significa que n / A e que todos os números naturais menores que n também não pertencem a A. Se A, então será o menor elemento de A. Porém, se / A, então como I = {} N A, temos que X. Além disso, como X N A e A, então X N. Logo, a conclusão do axioma 3 não é válida. Assim, deve existir n X tal que n + / X. Se n X então I n N A. Logo, todos os inteiros desde até n pertencem ao complementar de A, mas n + A. Dessa forma, n + é o menor elemento do conjunto de A, pois não existe número natural entre n e n + (Exercício 2.3). Teorema 2.6 (Segundo Princípio de Indução) Seja X N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n N, se X contém todos os números naturais m tais que m < n, então n X. Nessas condições, X = N. Demonstração. Seja Y = N X. Afirmamos que Y =. De fato, se Y não fosse vazio, pelo Teorema 2.5 exitiria um elemento mínimo p Y. Assim, para todo número natural m < p, teríamos m X. Mas, pela propriedade de X, isso nos leva à contradição p X. O Segundo Princípio da Indução constitui um método útil para demonstrar proposições referentes a números naturais e também pode ser enunciado da seguinte forma: seja P uma propriedade relativa a números naturais. Se, dado n N, do fato de todo número natural m < n gozar da propriedade P puder ser inferido que n goza de P, então todo número natural tem a propriedade P. O exemplo a seguir ilustra uma aplicação desse método de demonstração. Exemplo 2.7 (Teorema Fundamental da Aritmética) Dizemos que um número natural p é primo quando p e não se pode escrever p = m n com m < p e n < p. Mostre que todo número natural se decompõe, de modo único, como produto de fatores primos. Resolução: Seja n N e suponha que todo número natural menor que n possa ser decomposto como produto de fatores primos. Assim, ou n é primo, sendo de modo 9

10 trivial produto de fatores primos, ou então n = m k, com m < n e k < n. Nesse segundo caso, segue da hipótese de indução que m e k são produtos de fatores primos e, portanto, n também o é. Assim, pelo Segundo Princípio da Indução, concluímos que todo número natural é produto de números primos. Vamos mostrar agora que tal decomposição é unica. Considere n N e suponha que a decomposição em fatores primos de todo número natural menor que n seja única, exceto pela ordem dos fatores. Se n for primo, não há o que provar. Caso contrário, como n se decompõe como produto de fatores primos, podemos escrever n = pq, em que p é primo. Como q < n, temos pela hipótese de indução que q admite uma única decomposição em fatores primos e, assim, a decomposição de pq também é única. Mas como n = pq, segue que a decomposição de n é única. Portanto, pelo Segundo Princípio da Indução, concluímos que todo número natural se decompõe de modo único como produto de fatores primos. 2.2 Conjuntos finitos Considere o conjunto I n = {p N p n} = {, 2, 3,, n}. Definição 2.8 Um conjunto X é finito quando é vazio ou quando existe, para algum n N, uma bijeção f : I n X. No primeiro caso dessa definição dizemos que X tem zero elementos. No segundo caso, dizemos que n N é o número de elementos de X, ou seja, que X possui n elementos (n também pode ser chamado de número cardinal do conjunto finito X). Intuitivamente, uma bijeção f : I n X representa uma contagem dos elementos de X. Escrevendo f() = x, f(2) = x 2,, f(n) = x n, temos X = {x, x 2,, x n }. Da Definição 2.8 segue que I n é finito e possui n elementos. Além disso, se f : X Y é uma bijeção, um desses conjuntos é finito se, e somente se, o outro é. Vejamos a seguir alguns dos importantes resultados sobre conjuntos finitos. Lema 2.9 Se existe uma bijeção f : X Y então, dados a X e b Y, existe também uma bijeção g : X Y tal que g(a) = b. Demonstração. Seja b = f(a). Como f é sobrejetiva, existe a X tal que f(a ) = b. Vamos definir g : X Y como g(a) = b, g(a ) = b e g(x) = f(x) se x X é diferente de a e de a. Dessa forma, g também é uma bijeção. Teorema 2.0 Se A é um subconjunto próprio de I n, não pode existir uma bijeção f : A I n. Demonstração. Suponha, por absurdo, que o teorema seja falso e considere n 0 N o menor número natural para o qual existem um subconjunto próprio A I n0 e uma bijeção f : A I n0. Se n 0 A, então pelo Lema 2.9, existe uma bijeção g : A I n0 0

11 com g(n 0 ) = n 0. Neste caso, a restrição de g a A {n 0 } é uma bijeção do subconjunto próprio A {n 0 } sobre I n0, o que contraria a minimalidade de n 0. Se, ao contrário, tivermos n 0 / A então tomamos a A com f(a) = n 0 e a restrição de f ao subconjunto próprio A {a} I n0 será uma bijeção sobre I n0, o que novamente vai contrariar a minimalidade de n 0. Corolário 2. Se f : I m X e g : I n X são bijeções, então m = n. Corolário 2.2 Seja X um conjunto finito. Uma aplicação f : X X é injetiva se, e somente se, é sobrejetiva. Corolário 2.3 Não pode existir uma bijeção f : X Y de um conjunto finito X sobre uma parte própria Y X. Teorema 2.4 Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y X é finito. Demonstração. Primeiro vamos provar que se a X então X {a} é finito. De fato, existe uma bijeção f : I n X a qual, pelo Lema 2.9, podemos supor que cumpre f(n) = a. Se n = então X {a} =, que é finito. Se n >, a restrição de f a I n é uma bijeção sobre X {a}. Logo, X {a} é finito e tem n elementos. Vamos provar agora o caso geral por indução no número n de elementos de X. Suponha que todo subconjunto de um conjunto com n elementos é finito. Sejam X um conjunto com n + elementos e Y um subconjunto qualquer de X. Se X = Y, o teorema está provado. Caso contrário, existe a X tal que a / Y. Então Y X {a}. Como X {a} tem n elementos, segue da hipótese de indução que Y é finito. Definição 2.5 Um subconjunto X N diz-se limitado quando existe p N tal que x p para todo x X. Corolário 2.6 Um subconjunto X N é finito se, e somente se, é limitado. Demonstração. Seja X = {x, x 2,..., x n } N. Então, tomando p = x + x x n, temos que x p para todo x X. Logo, X é limitado. Reciprocamente, se X N é limitado, então existe p N tal que x p para todo x X. Logo, X I p. Como I p é finito, segue do Teorema 2.4 que X também o é. Exercício 2.7 Indicando por card(x) o número de elementos do conjunto finito X, prove que: a) Se X é finito e Y X então card(y ) card(x). Resolução: Como X é finito, podemos supor X = I n. Se Y X, então Y é finito. Logo, existe uma bijeção f : I m Y e card(y ) = m. Suponha que m > n. Neste caso, I n é um subconjunto próprio de I m e como Y X, segue que Y é subconjunto próprio de I m, contrariando o Corolário 2.3. Logo, m n

12 b) Se X e Y são finitos, então X Y é finito e card(x Y ) = card(x) + card(y ) card(x Y ). Resolução: Vamos considerar inicialmente o caso em que X e Y são disjuntos. Temos que existem bijeções f : I n X e g : I m Y, sendo card(x) = n e card(y ) = m. Vamos definir a função h : I n+m X Y como h(x) = f(x) se x n e h(x) = g(x n) se n + x m + n. Logo, h é uma bijeção e, portanto, X Y é finito e possui n + m elementos, ou seja, card(x Y ) = card(x) + card(y ). Considere agora o caso em que X Y. Podemos escrever X e X Y como a união de conjuntos disjuntos, da seguinte forma: X = (X Y ) (X Y ) (2.) e X Y = (X Y ) Y. (2.2) Observe que os conjuntos X Y e X Y são finitos, pois são subconjuntos de X. Logo, X Y é finito e de (2.) e (2.2) segue que card(x) = card(x Y )+card(x Y ) e card(x Y ) = card(x Y )+card(y ). Portanto, card(x Y ) = card(x) + card(y ) card(x Y ). Exercício 2.8 Seja P(X) o conjunto cujos elementos são os subconjuntos de X. Prove por indução que se X é finito, então card ( P(X) ) = 2 card(x). Resolução: Se n =, então X = {a} possui dois subconjuntos, {a} e. Logo, card(p(x)) = 2. Seja X um conjunto com n elementos e suponha que card ( P(X) ) = 2 n. Considere o conjunto Y = X {a} tal que a / X. Assim, card(y ) = card(x) + card({a}) = n +. Vamos mostrar que card ( P(Y ) ) = 2 n+. Para tanto, basta observar que os 2 n subconjuntos de X também são subconjuntos de Y e, como a / X, podemos obter os demais subconjuntos de Y unindo cada subconjunto de X ao conjunto {a}. Dessa forma, obtemos card ( P(Y ) ) = 2card ( P(X) ) = 2 2 n = 2 n Conjuntos infinitos Um conjunto é infinito quando não for finito. Assim, X é infinito quando não é vazio e não existe, para qualquer n N, uma bijeção f : I n X. Exemplo 2.9 O conjunto N do números naturais é infinito. Justifique. 2

13 Teorema 2.20 Se X é um conjunto infinito, então existe uma aplicação injetiva f : N X. Demonstração. Vamos definir uma função f : N X recursivamente. Para isso, definimos A = X e escolha x A. Note que esta escolha é possível, pois como X é infinito, A é não vazio. Agora definimos f() = x, A 2 = X {f()} e escolhemos x 2 A 2. Prosseguindo dessa forma para n 3, tomamos x n A n = X {f(), f(2),..., f(n )} e definimos f(n) = x n. Nestas condições, temos que f é injetiva, pois se m n, digamos m < n, então f(m) {f(), f(2),..., f(n )} enquanto f(n) X {f(), f(2),..., f(n )}. Logo, f(m) f(n). Corolário 2.2 Um conjunto X é infinito se, e somente se, existe uma bijeção g : X Y sobre um subconjunto próprio Y X. Demonstração. Sejam X infinto e f : N X uma aplicação injetiva, cuja existência é garantida pelo Teorema Escreva para cada n N, f(n) = x n e considere o subconjunto próprio Y = X {x }. Agora podemos definir uma bijeção g : X Y, pondo g(x) = x se x não é um dos x n e g(x n ) = x n+, para todo n N. Reciprocamente, se existe uma bijeção de X sobre um subconjunto próprio Y X, então segue do Corolário 2.3 que X é infinito. Exercício 2.22 Construa uma bijeção entre o conjunto N e o conjunto dos números ímpares positivos. Exercício 2.23 Dadas f : X Y, prove que: a) Se X é infinito e f é injetiva então Y é infinito. b) Se Y é infinito e f é sobrejetiva, então X é infinito. 2.4 Conjuntos enumeráveis Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f : N X. Neste caso, f chama-se uma enumeração dos elementos de X. Escrevendo f() = x, f(2) = x 2,, f(n) = x n,, temos X = {x, x 2,, x n, }. Exemplo 2.24 O conjunto Z = {, 2,, 0,, 2, } dos números inteiros é enumerável. Basta considerar a bijeção f : N Z, dada por f(n) = n para n ímpar 2 e f(n) = n para n par. 2 Teorema 2.25 Todo subconjunto X N é enumerável. 3

14 Demonstração. Se X é finito, então não há o que provar. Considere então X infinito. Vamos definir uma função f : N X da seguinte forma: f() = min {X} (a existência do elemento mínimo é garantida pelo Princípio da Boa Ordenação, uma vez que X é não vazio), f(2) = min {X {f()}},..., f(n + ) = min {X {f(),..., f(n)}}. Note que f é injetiva, pois f(n + ) > f(n), para todo n N. Vamos mostrar que f também é sobrejetiva. Suponha por absurdo que exista algum x X diferente de todos os f(n), n N. Então, x seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto infinito Y = {f(), f(2),..., f(n),...}. Dessa forma, Y seria limitado, contrariando o Corolário 2.6. Logo, f : N X é uma bijeção, ou seja, X é enumerável. Corolário 2.26 Seja f : X Y injetiva. Se Y é enumerável então X também é. Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável. Corolário 2.27 Seja f : X Y sobrejetiva. Se X é enumerável, então Y também é. Corolário 2.28 O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável. Demonstração. Sejam X e Y conjuntos enumeráveis, então existem sobrejeções f : N X e g : N Y. Logo, a função h : N N X Y, dada por h(m, n) = (f(m), g(n)) é sobrejetiva. Portanto, usando o Corolário 2.27, basta mostrar que N N é enumerável. Para isto, considere a função ϕ : N N N dada por ϕ(m, n) = 2 m 3 n. Pela unicidadade da decomposição de um número em fatores primos, ϕ é injetiva. Logo, pelo Corolário 2.26, N N é enumerável. Exemplo 2.29 Nem todo conjunto infinito é enumerável. Por exemplo, seja S o conjunto de todas as sequências infinitas cujos elementos são binários, ou seja, os elementos de S são da forma s = ( ). Afirmamos que S é não-enumerável. De fato, suponha que S seja enumerável. Nesse caso, podemos escrever S = { s, s 2,..., s m,... }. Seja s m n o n ésimo termo da sequência s m S. Vamos formar uma nova sequência s tomando s m = s m m. Assim, s é uma sequência com elementos 0 e e, portanto está em S. Mas, como s m s m m, temos que s s m para todo m N, ou seja, s / S, o que é uma contradição. Logo, S é não-enumerável. O raciocício usado nesse exemplo é devido ao matemático George Cantor e é conhecido como método da diagonal. { m } Exemplo 2.30 O conjunto Q = n m, n Z, n 0 dos números racionais é enumerável. De fato, podemos definir uma função sobrejetiva f : Z Z Q, como f(m, n) = m n. 4

15 Exercício 2.3 Sejam A um conjunto finito e B um conjunto enumerável. Mostre que o conjunto A B é enumerável. Exercício 2.32 Mostre que se A e B são conjuntos infinitos enumeráveis, então A B também é enumerável. 2.5 Lista de Exercícios. Use indução para provar que: a) n = n 2 b) n = 3 2 (3n ) (2n + )2 c) n < 8 d) 2n + < 2 n para todo n 3 e) (a )( + a + + a n ) = a n+ para quaisquer a, n N ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n f) (a + b) n = a n + a n b + a n 2 b a n r b r + + b n 0 ( ) 2 r n n n! para todo n N, em que = (Binômio de Newton) r r!(n r)! 2. Dados n, m N, com n > m, prove que ou n é múltiplo de m ou existem q, r N tais que n = mq + r e r < m. 3. Dados m, n N, prove que se m < n então para todo p N tem-se mp < np (monotonicidade da multiplicação). 4. Prove a lei do corte para multiplicação, isto é, dados m, n, p N, mp = np m = n. 5. Seja X N um subconjunto não vazio tal que m, n X m, m+n X. Prove que existe k N tal que X é o conjunto dos múltiplos de k. 6. Prove que todo número primo maior que 2 é ímpar. 7. Prove o Princípio da Casa de Pombos: se m > n não existe função injetiva f : I m I n (quando m > n, para alojar m pombos em n casas é preciso que pelo menos uma casa abrigue mais de um pombo). 8. Prove que o conjunto P dos números primos é infinito. 5

16 Capítulo 3 Números Reais 3. Corpos Um corpo K é um conjunto munido de duas operações, chamadas adição e multiplicação, que satisfazem certas condições (axiomas de corpo) que serão especificadas a seguir. A adição faz corresponder a cada par de elementos x, y K, sua soma x + y K, enquanto a multiplicação associa a esses elementos o produto x y K. Estas operações devem obedecer os seguintes axiomas:. Comutatividade: para quaisquer x, y K tem-se x + y = y + x e x y = y x. 2. Associatividade: para quaisquer x, y, z K tem-se (x + y) + z = x + (y + z) e (x y) z = x (y z). 3. Existência de elementos neutros: existem em K dois elementos distintos 0 e tais que x + 0 = x e x = x, para qualquer x K. 4. Existência de elementos inversos: para cada x K existe um elemento inverso aditivo x K tal que x + ( x) = 0 e, se x 0, existe também um inverso multiplicativo x K tal que x x =. 5. Distributividade: para quaisquer x, y, z K, tem-se que x (y + z) = x y + x z. É fácil verificar que o conjunto Q dos números racionais é um corpo e o conjunto Z dos números inteiros não é corpo. Da comutatividade resulta que 0 + x = x e x + x = 0 para todo x K. Analogamente, x = x e, para x 0, x x =. A soma x + ( y) será indicada por x y e chamada diferença entre x e y. Se y 0, o produto x y será representado também por x/y e chamado quociente de x por y. As operações (x, y) x y e (x, y) x/y chamam-se subtração e divisão, respectivamente. Exercício 3. Dados a e b em um corpo K, mostre que a equação a + x = b tem solução única. 6

17 Exercício 3.2 Dados a 0 e b em um corpo K, mostre que a equação ax = b tem solução única. Exercício 3.3 Mostre que dados x, y em um corpo K, com x y = 0, tem-se x = 0 ou y = Corpo ordenado Um corpo K é ordenado se contiver um subconjunto P, chamado subconjunto dos elementos positivos de K, com as seguintes propriedades: (P ) x, y P implica x + y P e x y P. (P 2 ) Dado x K, exatamente uma das três possibilidades ocorre: ou x = 0 ou x P ou x P. Assim, se indicarmos por P o conjunto dos elementos x tais que x P, temos K = P ( P ) {0}, sendo os conjuntos P, P e {0} dois a dois disjuntos. Os elementos de P chamam-se negativos. Observe que em um corpo ordenado K, se a 0, ou a P ou a P. No primeiro caso, a 2 = a a P. No segundo caso, a 2 = ( a) ( a) P. Logo, se a 0, a 2 P. Em particular, = é sempre positivo e P. Observação 3.4 O conjunto Q é um corpo ordenado, em que P é o conjunto Q + dos racionais positivos. Em um corpo ordenado K podemos introduzir uma ordem estrita entre seus elementos, da seguinte forma: x < y (x é menor que y) se y x P. Escreve-se também y > x e diz-se: y é maior que x. Note que se definirmos K + = {x K x > 0}, segue que K + = P. A relação de ordem x < y num corpo ordenado K goza das seguintes propriedade:. Transitividade: se x < y e y < z então x < z. 2. Tricotomia: dados x, y K, ocorre exatamente umas das seguintes possibilidades: ou x = y, ou x < y, ou y < x. 3. Monotonicidade da adição: se x < y então, para todo z K, tem-se x+z < y+z. 4. Monotonicidade da multiplicação: se x < y então, para todo z > 0, tem-se xz < yz. Se, porém, z < 0, então x < y implica yz < xz. 7

18 Uma outra relação de ordem existente num corpo ordenado K é a relação. Essa notação indica que x < y ou x = y. Isso significa que x y y x P {0}. Observação 3.5 Em um corpo ordenado K as seguintes inclusões são válidas: N Z Q K. De fato, como > 0 temos que < + < ++ <.... Logo, N K. Uma vez que dado n K temos que n K e, ainda, 0 K, podemos concluir que Z K. Além disso, se m, n Z, com n 0, então m/n = m n K, o que nos permite concluir que Q K. Exercício 3.6 Seja K um corpo ordenado.. Mostre que para quaisquer x, y K, x < y é equivalente a y < x. 2. Sejam a, b, c, d K. Mostre que se a < b e c < d então a + c < b + d. 3. Mostre que o inverso multiplicativo de um número positivo x K também é positivo. 4. Mostre que se x, y K + e x < y, então y < x. Exercício 3.7 (Desigualdade de Bernoulli) Seja K um corpo ordenado e n N. Mostre que se x então ( + x) n + nx. Definição 3.8 Sejam K um corpo ordenado, A um subconjunto de K e a, b K. (i) b é uma cota superior de A se b x, para todo x A (ii) a é uma cota inferior de A se a x, para todo x A Existem conjuntos que não possuem cotas superiores ou inferiores. Por exemplo, considere o corpo ordenado Q dos números racionais. Temos que N Q não possui cota superior e Z Q não possui cota superior nem inferior. Definição 3.9 Dizemos que um subconjunto A do corpo ordenado K é limitado superiormente quando possui cota superior e, limitado inferiormente, quando possui cota inferior. Dizemos que A é limitado se é limitado inferior e superiormente. Seja K um corpo ordenado e A K um subconjunto não vazio limitado superiormente. Um número b K chama-se supremo do conjunto A quando é a menor das cotas superiores de A, e escreve-se b = sup A. Em outras palavras, b é supremo de A quando cumpre as condições: (i) x b para todo x A. 8

19 (ii) se c K e c < b então existe x A tal que c < x. Equivalentemente, podemos dizer que, para todo ε > 0 existe x A tal que b ε < x. Analogamente, se A K é não vazio e limitado inferiormente, um número a A chama-se ínfimo do conjunto A, e escreve-se a = inf A, quando é a maior das cotas inferiores de A. Ou ainda, dizemos que a é ínfimo de A quando cumpre as condições: (i) a x para todo x A. (ii) se c K e a < c então existe x A tal que x < c. Equivalentemente, podemos dizer que, para todo ε > 0 existe x A tal que x < a + ε. Exercício 3.0 Sejam K um corpo ordenado e X = {x K a < x < b}. Mostre que inf X = a e sup X = b. Dizemos que b A é o maior elemento de A se x b para todo x A. Isto significa que b é uma cota superir de A que pertence a A. Analogamente, a A é o menor elemento de A se x a para todo x A. Assim, vemos que se um conjunto possui elemento máximo, então este será seu supremo e, se possui elemento mínimo, este será seu ínfimo. Reciprocamente, se sup A pertence a A então ele será o maior elemento de A; se inf A pertence a A, então ele será seu menor elemento. A noção de supremo (ínfimo) serve para substituir a ideia de maior (menor) elemento de um conjunto quando esse maior (menor) elemento não existe. Exemplo 3. Considere os conjuntos A = {x Q 0 < x < } e B = {x Q 0 x }. Temos que sup A = sup B =, inf A = inf B = 0. Assim, vemos que o inf e o sup de um conjunto, quando existem, podem pertencer ou não ao conjunto. Exercício 3.2 Mostre que não existe número racional cujo quadrado seja igual a 2. Exercício 3.3 Mostre que o conjunto A = {x Q x 2 > 2 e x > 0} não tem ínfimo em Q. Resolução: Suponha por absurdo que exista α Q tal que α = inf A. Como 0 é cota inferior de A, temos que α 0. Além disso, sabemos que não existe número racional cujo quadrado é igual a 2. Logo, ou α 2 > 2 ou α 2 < 2, isto é, ou α A ou α B, em que B = {y Q y 2 < 2 e y 0}. Observe que para quaisquer x A e y B, temos que y 2 < 2 < x 2, ou seja, y < x. Logo, os elementos de B são cotas inferiores de A e os elementos de A são cotas superiores de B. Vamos analisar agora as duas possibilidades para α. 9

20 Se α A, então podemos mostrar que existe um número r Q + tal que α r A, o que contraria o fato de α ser o ínfimo de A. Para provar a existência de tal número, observe que se r Q +, então (α r) 2 = α 2 2αr + r 2 > α 2 2αr. Assim, tomando r < α2 2 2α, obtemos (α r)2 > 2. Além disso, como α2 2 < α, 2α temos que α r > 0. Portanto, α r A. Por outro lado, se α B, temos que existe um número racional 0 < r < tal que α + r B. De fato, se 0 < r < então r 2 < r e (α + r) 2 = α 2 + 2αr + r 2 < α 2 + 2αr + r = α 2 + r(2α + ). Assim, tomando r < min {, 2 } α2, obtemos (α + r) 2 < 2 e, como α + r > 0, segue 2α + que α + r B. Logo, α + r é cota inferior de A, o que contraria o fato de α ser ínfimo de A, pois α < α + r. Dessa forma, concluímos que A não possui ínfimo em Q. Exercício 3.4 Mostre que o conjunto B = {x Q x 2 < 2 e x 0} não tem supremo em Q Corpo ordenado completo Um corpo K ordenado é dito completo quando todo subconjunto não vazio, limitado superiormente, X K, possui um supremo em K. Resulta da definição acima que, num corpo ordenado completo, todo conjunto não vazio limitado inferiormente, Y K, possui um ínfimo em K. De fato, dado Y, seja X = Y, isto é, X = { y y Y }. Então X é não vazio e limitado superiormente, logo existe a = sup X e a = inf Y. Observe que nos Exercícios 3.3 e 3.4 temos que A é um conjunto limitado inferiormente e B é um conjunto limitado de números racionais. Como A não tem ínfimo e B não tem supremo em Q, vemos que Q não constitui um corpo ordenado completo. Vamos apresentar agora o Axioma Fundamental da Análise Matemática, o qual estabelece que o conjunto R dos números reais é um corpo ordenado completo. Axioma: Existe um corpo ordenado completo, R, chamado corpo dos números reais. O teorema a seguir estabelece algumas das consequências da completeza de R. 20

21 Teorema 3.5 (i) o conjunto N R dos números naturais não é limitado superiormente; (ii) o ínfimo do conjunto X = {/n n N} é igual a 0; (iii) dados a, b R +, existe n N tal que n a > b. Demonstração. (i) Se N R fosse limitado superiormente, existiria c = sup N. Assim, c não seria cota superior de N, isto é, existiria n N com c < n. Daí resultaria c < n + e, como n + N, c não seria cota superior de R. Esta contradição prova (i). (ii) Temos que 0 é uma cota inferior de X, pois > 0 para todo n N. Então, basta n mostrar que nenhum c > 0 é cota inferior de X. De fato, dado c > 0, segue de (i) que existe n N tal que n > c e, portanto, < c. Logo, c não é cota superiror n de X. (iii) Dados a, b R +, segue de (i) que existe n N tal que n > b. Logo, n a > b. a As propriedades (i), (ii), e (iii) do teorema anterior são equivalente e significam que R é um corpo arquimediano. Da observação 3.5 temos que, sendo R um corpo ordenado completo, existem elementos em R que não estão em Q. Tais elementos formam o conjunto dos números irracionais R Q = I. Exercício 3.6 Mostre que x, y R têm quadrados iguais, então x = ±y. Exercício 3.7 Prove que a equação x 2 = 2 tem uma única solução real positiva, a qual denotamos por 2. Resolução: Como Q R, temos que o cojunto A = {x Q x 2 > 2 e x > 0} dado no Exercício 3.3 é um subconjunto de R. Além disso, como A é não vazio e limitado inferiormente, por exemplo por, temos pela definiçao de corpo ordenado completo, que existe x R + tal que x = inf A e, pelo que foi provado no Exercício 3.3, temos que o quadrado de x não pode ser maior nem menor que 2. Logo, x 2 = 2, provando a existência de solução para a equação dada. Vamos provar agora a unicidade da solução. Suponha que existam a, b R + tais que a 2 = 2 e b 2 = 2. Então, a 2 = b 2 e, pelo Exercício 3.6, a = b ou a = b. Porém, a segunda possibilidade contraria o hipótese de que a e b são positivos. Logo, a = b. 2

22 Pode-se provar o seguinte resultado que generaliza o Exercício 3.7: dados a > 0 em R e n N quaisquer, existe um único número real b > 0 tal que b n = a. O número b chama-se raíz n-ésima de a e é representado pelo símbolo n a. Além disso, como visto no Exercício 3.2, 2 é um número irracional. Generalizando esse fato, temos que dado n N, se um número natural a não possui uma raiz n-ésima natural, também não possuirá uma raiz racional, ou seja, dados a, n N, se n a / N então n a I. 3.2 Lista de Exercícios. Seja K um corpo. Dados a, b, c, d K, mostre que se b 0 e d 0 a) (b d) = b d e conclua que b) a b c d = a c b d. c) a b + c d = a d + b c. b d ( ) b = d d b. 2. Dados x, y R, prove que se x 2 + y 2 = 0, então x = y = Dados x R e n N, prove que ( + x) 2n + 2nx. 4. Prove que se x e y forem reais positivos, então xy (x + y) Sejam A, B R conjuntos limitados e A + B = {x + y x A, y B}. Mostre que sup(a + B) = sup A + sup B e inf(a + B) = inf A + inf B Valor Absoluto A relação de ordem em R permite definir o valor absoluto (ou módulo) de um número real x (assim como em qualquer outro corpo ordenado), da seguinte forma: x = { x se x 0 x se x < 0, ou, equivalentemente, x = max {x, x}. Assim, temos que x x e x x. Esta última desigualdade pode ser escrita como x x. Logo, x x x, para todo x R. Teorema 3.8 Se x, y R então (i) x + y x + y (ii) x y = x y 22

23 Teorema 3.9 Dados a, x, r R, tem-se x a r se, e somente se, a r x a+r. Exercício 3.20 Dados a, b, m R, com a < b e m > 0, encontre o conjunto solução da equação x a + x b = m. Exercício 3.2 Seja A R. Mostre que A é limitado se, e somente se, existe M > 0 tal que x M para todo x A Intervalos No conjunto R dos números reais, assim como em qualquer corpo ordenado, existe uma importante noção de intervalos, que são tipos especiais de conjuntos. Dados a, b R, com a < b, usaremos as seguintes notações: ˆ [a, b] = {x R a x b} (intervalo fechado) ˆ [a, b) = {x R a x < b} (intervalo fechado à esquerda) ˆ (a, b] = {x R a < x b} (intervalo fechado à direita) ˆ (a, b) = {x R a < x < b} (intervalo aberto) ˆ (, b] = {x R x b} (semi-reta esquerda fechada, de origem b) ˆ (, b) = {x R x < b} (semi-reta esquerda aberta, de origem b) ˆ [a, + ) = {x R a x} (semi-reta direita fechada, de origem a) ˆ (a, + ) = {x R a < x} (semi-reta direita aberta, de origem a) ˆ (, + ) = R Os quatro primeiros intervalos são limitados, já os demais são ilimitados. Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento e chama-se intervalo degenerado. É conveniente imaginar o conjunto R como uma reta (a reta real) e os números reais como pontos dessa reta. Assim, a relação x < y significa que o ponto x está à esquerda de y, os intervalos são segmentos de reta e x y é a distância do ponto x ao ponto y. Exercício 3.22 Descreva geometricamente os conjuntos A = { < x } < 2 e B = { } x R x2 + x Exercício 3.23 Descreva geometricamente o conjunto {x R x 2 a 2 }, considerando os vários casos possíveis para o parâmetro a. 23

24 Teorema 3.24 (Intervalos encaixados) Dada uma sequência decrescente I I 2... I n... de intervalos limitados e fechados I n = [a n, b n ], existe pelo menos um número real c tal que c I n para todo n N. Demonstração. Note que as inclusões I n I n+ significam que a a 2 a n b n b 2 b. Portanto, o conjunto A = {a, a 2,..., a n,...} é limitado superiormente. Seja c = sup A. Assim, a n c para todo n N e, como b n é cota superior de A, temos que c b n para todo n N. Portanto, c I n, qualquer que seja n N. Teorema 3.25 O conjunto dos números reais não é enumerável. Demonstração. Já conhecemos uma demonstração para esse teorema usando o Método da Diagonal de Cantor. Agora vamos ver uma prova que usa o Teorema Para tanto, basta mostrar que nenhuma função f : N R pode ser sobrejetiva. Supondo f dada, vamos contruir uma sequência decrescente I I 2... I n... de intervalos fechados tais que f(n) / I n. Para tanto, tomamos I = [a, b ] tal que f() / I e, supondo obtidos I I 2... I n tais que f(j) / I j, olhamos para I n = [a n, b n ]. Se f(n + ) / I n, podemos tomar I n+ = I n. Porém, se f(n + ) I n, pelo menos um dos extremos, digamos a n, é diferente de f(n + ), isto é, a n < f(n + ). Neste caso, tomamos I n+ = [a n+, b n+ ], com a n+ = a n e b n+ = a n + f(n + ). Pelo Teorema , existe um número real c que pertence a todos os I n e, da forma com que os intervalos foram construídos, nenhum dos valores de f(n) pode ser igual a c. Logo, f não é sobrejetiva. Como Q é enumerável, segue do Teorema 3.25 que o conjunto I dos número irracionais não é enumerável, pois R = Q I e assim, se I fosse enumerável, R também seria. Teorema 3.26 Todo intervalo não-degenerado é não-enumerável. Demonstração. Seja f : (0, ) (a, b) a função dada por f(x) = (b a)x + a. Como f é uma bijeção de (0, ) em (a, b), basta provar que (0, ) não é enumerável, pois assim podemos concluir, pelo Corolário 2.26, que (a, b) também é não-enumerável. Na verdade, já sabemos que (0, ) é não enumerável pelo Método da Diagonal de Cantor. Agora vamos ver uma forma alternativa de provar esse resultado. Ora, se (0, ) fosse enumerável, (0, ] também seria e, consequentente, para cada n Z o intervalo (n, n+] seria enumerável, pois a função g : (0, ] (n, n + ] dada por g(x) = x + n é uma bijeção e, assim, a conclusão de que (n, n + ] seria enumerável segue do Corolário 24

25 2.27. Mas, dessa forma, teríamos que R = n Z(n, n + ] é enumerável, contrariando o Teorema Teorema 3.27 Todo intervalo não-degenerado I contém números racionais e irracionais. Demonstração. O intervalo I certamente contém números irracionais, pois do contrário seria enumerável. Vamos provar que I também contém racionais. Para isso tomamos [a, b] I, onde a < b podem ser supostos irracionais. Fixando n N tal que [ n < b a, m temos que os intervalos I m = n, m + ], com m Z, cobrem toda a reta, isto é, n R = I m. Portanto, existe m Z tal que a I m. Como a é irracional, temos que m Z m n < a < m + e, sendo o comprimento n n do intervalo I m menor do que b a, segue que m + < b. Logo, o número racional m + pertence ao intervalo [a, b] e, portanto, n n a I. 3.3 Lista de Exercícios. Seja a R. Mostre que a 2 = a. 2. Para quaisquer x, y, z R, prove que a) x z x y + y z. b) x y x y x y. 3. Descreva geometricamente os seguintes conjuntos: a) {x R x 2 x 6 < 0} b) {x R (x )(x 2)(x 3) 0} { } c) x R x + 2 2x 3 < 4 d) {x R 2x x + 0} 4. Prove que para todo x R tem-se x + x Prove que se a b < ε, então a < b + ε. 6. Mostre que se a R +, então x > a x > a ou x < a. 25

26 Capítulo 4 Sequências de Números Reais Uma sequência de números reais é uma função x : N R, que associa a cada número natural n um número x n, chamado n-ésimo termo da sequência. Denotaremos uma sequência por (x, x 2,..., x n,...), ou (x n ) n N, ou simplesmente (x n ). Definição 4. Uma sequência (x n ) diz-se limitada superiormente (inferiormente) quando existe c R tal que x n c (x n c) para todo n N. A sequência é dita limitada quando é limitada superior e inferiormente, ou seja, quando existe k R tal que x n k para todo n N. Daí resulta que (x n ) é limitada se, e somente se, ( x n ) é limitada. Exemplo 4.2 A sequência x : N R dada por x n = 0 para n par e x n = para n ímpar pode ser escrita como (, 0,, 0,...). O conjunto dos termos da sequência é {0, }. Assim, (x n ) é limitada. Exercício 4.3 Mostre que a sequência (a, a 2, a 3,..., a n,...), com a >, é limitada apenas inferiormente. Definição 4.4 Uma subsequência de (x n ) é uma restrição dessa sequência a um subconjunto infinito N = {n < n 2 <... < n k <...} N. Equivalentemente, uma subsequência de (x n ) é uma sequência do tipo (x n ) n N ou (x nk ) k N. Exemplo 4.5 Considere a sequência (x n ) = (, 2, 3, 4, 5, 6,... ). Se N N é o conjunto dos números pares e N N é o( conjunto dos números ímpares, então podemos definir duas subsequências: (x n ) n N = 2, 4,..., ) n,... e (x n ) n N = (, 3,..., n,...). Observe que (x n ) n N é limitada superiormente por e inferiormente por 0, enquanto 2 a subsequência (x n ) n N é limitada apenas inferiormente por. Definição 4.6 Uma sequência (x n ) chama-se monótona quando se tem x n x n+ para todo n N ou então x n+ x n para todo n N. No primeiro caso, diz-se 26

27 que (x n ) é monótona não-decrescente e, no segundo, diz-se que (x n ) é monótona nãocrescente. Se as desigualdades forem estritas diremos que (x n ) é crescente no primeiro caso e decrescente no segundo. Uma sequência não-decrescente é sempre limitada inferiormente pelo seu primeiro termo. Da mesma forma, uma sequência não-crescente é sempre limitada superiormente pelo seu primeiro termo. Para que uma sequência monótona seja limitada é suficiente que ela possua uma subsequência limitada. De fato, seja (x n ) uma sequência monótona, digamos não-decrescente, e x n x n2... x nk... b uma subsequência limitade de (x n ). Então, para qualquer n N existe n k > n e, portanto, x n x nk b. Logo, x n b para todo n N, donde segue que (x n ) é limitada. Exemplo 4.7 A sequência constante x n = é limitada, não-decrescente e também não-crescente. Exemplo 4.8 A sequência x : N R dada por x n = n limitada inferiormente por 0 e superiormente por. é monótona decrescente e Definição 4.9 Diz-se que a R é limite da sequência (x n ) quando, para todo ε > 0 dado, é possível obter n 0 N tal que x n a < ε, sempre que n > n 0. Neste caso, também dizemos que a sequência (x n ) converge para a (ou tende para a) e indicamos esse fato por x n a, ou lim n x n = a, ou simplesmente lim x n = a. Uma sequência que possui um limite chama-se convergente. Do contrário, dizemos que a sequência é divergente. Lembre-se que x n a < ε é equivalenete a x n (a ε, a + ε). Assim, dizer que a R é limite da sequência (x n ) significa para cada ε > 0, o conjunto N = {n N x n a ε} é finito, ou seja, fora do intervalo (a ε, a + ε) só poderão estar, no máximo, os termos x, x 2,..., x n0. Teorema 4.0 (Unicidade do Limite) Uma sequência não pode convergir para dois limites distintos, ou seja, se lim x n = a e lim x n = b então a = b. Demonstração. Sejam a = lim x n e b um número real tal que b a. Tomando ε = b a, temos que os intervalos (a ε, a + ε) e (b ε, b + ε) são disjuntos. Além disso, 2 como lim x n = a, existe n 0 N tal que n > n 0 implica x n (a ε, a + ε) e, portanto, x n / (b ε, b + ε) para todo n > n 0. Logo, não podemos ter lim x n = b. Exercício 4. Mostre que o limite da sequência x n = 2n Exercício 4.2 Mostre que lim n n cos 3n = 2. 3n2 n é 3. 27

28 Teorema 4.3 Se lim x n = a então toda subsequência de (x n ) converge para a. Demonstração. Seja (x n, x n2,..., x nk,...) uma subsequência de (x n ). Como lim x n = a, temos que dado ε > 0 existe n 0 N tal que x n a < ε sempre que n > n 0. Como os índices da subsequência formam um conjunto infinito, existe um n k0 > n 0. Então, para n k > n k0 > n 0, temos que x nk a < ε. Portanto, lim x nk = a. Corolário 4.4 Se lim x n = a então, para todo k N, lim x n+k = a. O limite de uma subsequência de (x n ) é denominado valor de aderência da sequência (x n ). Pelo Teorema 4.3, temos que para mostrar que uma sequência (x n ) é divergente basta obter duas subsequências de (x n ) com valores de aderência distintos. Teorema 4.5 Toda sequência convergente é limitada. Pelo Teorema 4.5, podemos concluir que a sequência dada no Exemplo 4.5 não é convergente, pois não é limitada superiormente. Note que esta sequência possui um único valor de aderência. É importante observar que a recíproca do Teorema 4.5 não é verdadeira. Por exemplo, a sequência dada no Exemplo 4.2 é limitada, porém não é convergente, pois possui duas subsequências com valores de aderência distintos, a saber: a subsequência formada pelos índices pares tem limite 0 e a subsequência formada pelos índices ímpares tem limite. Exercício 4.6 A sequência x n = ( ) n + n + é convergente? O teorema a seguir estabelece uma condição suficiente para que uma sequência seja convergente. Teorema 4.7 Toda sequência monótona limitada é convergente. Demonstração. Seja (x n ) uma sequência monótona não-decrescente limitada. O conjunto X = {x, x 2,..., x n,...} é limitado, logo possui um supremo. Seja então a = sup X. Afirmamos que x n a. De fato, dado ε > 0, o número a ε não é cota superior de X. Logo, existe n 0 N tal que a ε < x n0 a. Dessa forma, temos que para n > n 0, a ε < x n0 x n < a + ε, donde segue que x n a. Segue do Teorema 4.7 que se (x n ) é não-decrescente e limitada, então lim x n é o supremo do conjunto dos valores de (x n ). Analogamente, se (x n ) é não-crescente e limitada, então lim x n é o ínfimo do conjunto dos valores de x n Corolário 4.8 Se uma sequência monótona (x n ) possui uma subsequência convergente, então (x n ) é convergente. 28

29 Teorema 4.9 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente. Exercício Considere a sequência definida por x =, x n+ = + x n. Mostre que: a) x n 2 para todo n N; b) (x n ) é crescente; c) (x n ) é convergente. Exercício 4.2. Considere a sequência definida por y = 0, y n+ = que: a) 0 y n para todo n N; b) (y 2n ) n N é crescente e (y 2n ) n N é decrescente; Resolução: Apenas para exemplificar, temos: (y n ) = (a) Por indução: (i) É fácil observar que 0 y. + 2y n. Mostre ( 0,, 3, 3 5, 5, 2, 2 ) 43,.... (ii) Supondo que 0 y n. Então, 0 2y n 2 + 2y n 3 3 y n+. (b) Devemos mostrar que a subsequência dos índices ímpares é crescente, ou seja, y 2n+ > y 2n para todo n N, e a subsequência dos índices pares é decrescente, ou seja, y 2n+2 < y 2n para todo n N. Também faremos por indução: (i) para n = é claro, pois y 3 > y e y 4 < y 2. (ii) Supondo que as desigualdades sejam válidas para n, temos + 2y 2n+ > + 2y 2n y 2n+2 < y 2n + 2y 2n+2 < + 2y 2n y 2n+3 > y 2n+ e, +2y 2n+2 < +2y 2n y 2n+3 > y 2n+ +2y 2n+3 > +2y 2n+ y 2n+4 < y 2n+2. Exercício 4.22 Sejam N e N subconjuntos de N tais que N N = N. Mostre que se as subsequências (x n ) n N e (x n ) n N convergem para o mesmo limite a, então x n a. Resolução: Dado ε > 0, existem n, n 2 N tais que n > n, n N, implica x n a < ε e n > n 2, n N, implica x n a < ε. Seja n 0 = max {n, n 2 }. Então, n > n 0 n > n e n > n 2. Logo, como N = N N, temos que x n a < ε para todo n > n 0. 29