Análise Real. IF Sudeste de Minas Gerais. Primeiro semestre de Prof: Marcos Pavani de Carvalho. Marcos Pavani de Carvalho

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1 IF Sudeste de Minas Gerais Prof: Primeiro semestre de 2014

2 Proposição: É uma afirmação que pode ser classificada em verdadeira ou falsa, mas que faça sentido. Exemplo: Sejam as proposições: A: A soma dos ângulos internos de qualquer triangulo é 180 o. B: Marte não é um Planeta. Proposições evidentes por si mesmas são chamadas postulados ou axiomas. Teorema: É uma proposição que possui valor lógico Verdade. É comumente apresentado: A B ou A implica B. Sendo denominadas assim as proposições: A: Hipótese ou condição suficiente para a validação de B. B: Tese ou condição necessária para a validação de A. Ou seja, seguindo esta relação, valendo A, tem de valer B.

3 Exemplo: Sejam as proposições: D: n é um número que pode ser escrito na forma 2k, com k N. E: n é um número par. Pelo exposto, temos que D é condição suficiente de E, ou seja, basta a hipótese D ser verdadeira para que a tese E também seja. A tese, por sua vez é uma condição necessária da hipótese. Se D for verdadeira, E será necessariamente verdadeira. A recíproca de um teorema A B é a proposição B A ou A B. Ela pode ser ou não verdadeira. Um exemplo em que ela não seja verdadeira: A recíproca do teorema todo número primo maior que 2 é ímpar é todo número ímpar é primo maior do que 2. Isto é falso, pois nem todo número ímpar é primo.

4 Caso a recíproca de um teorema também seja verdadeira, esse teorema pode ser representado por: A B. Neste caso, qualquer uma das proposições é ao mesmo tempo condição necessária e suficiente para a validade da outra. Lema: É um teorema preparatório para a demonstração de um subsequente. Corolário: É um teorema que segue como consequência de outro já demonstrado. A negação de uma proposição F é denotada por F. Por exemplo, a negação da proposição todo número primo é ímpar tanto pode ser nem todo número primo é ímpar, existe um número primo que não é ímpar, nem todo número primo é ímpar ou ainda existe um número primo par.

5 Princípios Básicos de Lógica Matemática São dois os princípios básicos de Lógica Matemática: Princípio da Não-Contradição: Afirma que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente, não podendo ser verdadeira juntamente com sua negação. Ou seja, se A for verdadeira, então à será falsa. Princípio do Terceiro Excluído: Afirma que qualquer proposição R é verdadeira ou é falsa, não havendo uma terceira alternativa. No estudo de Análise é comum se deparar com os seguintes termos: Explicar, Provar e Demonstrar, no entanto, é necessário que o leitor saiba o significado e aplicação de cada um deles.

6 A explicação situa-se no nível do sujeito locutor com a finalidade de comunicar ao outro o caráter de verdade de um enunciado matemático. Pode ser reconhecida como convincente por uma comunidade, adquirindo um estatuto social e constituindose uma prova para estes, sendo a proposição verdadeira ou não. As provas são explicações aceitas por outros em determinado momento, podendo ter o estatuto de prova para determinado grupo social, mas não para outro. As demonstrações são provas particulares que respeitam certas regras: alguns enunciados são considerados verdadeiros (axiomas), outros são deduzidos destes ou de outros anteriormente demonstrados a partir de regras de dedução tomadas num conjunto de regras lógicas o trabalham sobre objetos matemáticos com estatutos teóricos, não pertencentes ao mundo sensível, embora Marcosa Pavani ele de façam Carvalhoreferência.

7 A Contraposição é um método muito utilizado em demonstrações. Dada uma proposição A B, sua contraposição ou proposição contraposta é dada por B Ã. Exemplo: Sejam A e B duas proposições. Então vale a seguinte equivalência: (A B) ( B Ã). A Técnica de Redução ao Absurdo segue um roteiro parecido com o das demonstrações por contradição. Nela, supomos inicialmente que nossa hipótese é verdadeira e que a conclusão desejada (tese) é falsa. A negação da tese é chamada Hipótese de Raciocínio por Absurdo, uma suposição temporária até chegarmos a uma contradição (absurdo). Desta forma, somos levados a admitir que a suposição inicial era falsa e, portanto, que a conclusão desejada, verdadeira.

8 Exemplo: Para provar que A B, começamos supondo A verdadeira (hipótese) e B falsa (tese). Se B for falsa, A também será. O que é absurdo. Somos então forçados a remover a hipótese do raciocínio por absurdo e concluir que B é verdadeira.

9 Atividades Preliminares de lógica 1. Prove a seguinte afirmação: O quadrado de um número par também é par.

10 Atividades Preliminares de lógica 1. Prove a seguinte afirmação: O quadrado de um número par também é par. 2. Prove que se n 2 é ímpar, então n é ímpar.

11 Atividades Preliminares de lógica 1. Prove a seguinte afirmação: O quadrado de um número par também é par. 2. Prove que se n 2 é ímpar, então n é ímpar. 3. Prove que a soma de dois números pares resulta em um número par.

12 Atividades Preliminares de lógica 1. Prove a seguinte afirmação: O quadrado de um número par também é par. 2. Prove que se n 2 é ímpar, então n é ímpar. 3. Prove que a soma de dois números pares resulta em um número par. 4. Prove que a soma de dois números ímpares resulta em um número par.

13 Atividades Preliminares de lógica 1. Prove a seguinte afirmação: O quadrado de um número par também é par. 2. Prove que se n 2 é ímpar, então n é ímpar. 3. Prove que a soma de dois números pares resulta em um número par. 4. Prove que a soma de dois números ímpares resulta em um número par. 5. Sejam a, b e d números inteiros. Prove que: Se d divide a soma s = a + b e uma das parcelas, então d divide a outra parcela.

14 A indução matemática ou indução finita serve para provar que uma sequência de proposições denotadas por P(1), P(2),, P(n) é verdadeira, sem a necessidade de realizar a prova para cada uma delas. O princípio é mostrar que P(1) é verdadeira e, supondo verdade para P(K ), mostrar que P(K + 1) é verdadeira. Onde P(K ) é denominada Hipótese de Indução (HI). Exemplo 1: Provar que a sequência n = n(n + 1) é verdadeira n N. 2

15 Exemplo 2: Partindo do método de indução matemática, vamos também provar a conhecida fórmula do Binômio de Newton. A fórmula é assim enunciada e passada geralmente como receita para os alunos: (a + b) n = ( ) n 0 a n + ( n 1) a n 1 b + ( n 2) a n 2 b ( ) n n 1 ab n 1 + ( ) n n b n = n ( n k=0 k) a n k b k. Lembrando: A representação de um binomial é a mesma utilizada em combinações: ( ) n k = n! k!(n k)!

16 Atividades Preliminares de lógica 1. Prove por indução que: (2n 1) = n 2, n N. 2. Enuncie com suas palavras a proposição do exercício anterior. 3. Prove a desigualdade de Bernoulli: (1 + r) n 1 + rn, válida para r 1 e n natural. 4. Sabemos que o resultado da seguinte Progressão Aritmética: n é Prove este resultado por indução. n(n + 1) 2

17 5. Prove as seguintes proposições por indução para todo n N n 2 = n(n+1)(2n+1) n 3 = [ n(n+1) 2 6. ] n 1 = 2 n Mostre que 3 2n+2 2 n+1 é divisível por Prove que 1 + t + t t n = 1 tn+1 1 t é válida para todo n N. 8. Demonstre a Relação de Stifel 9. Prove que 2 n < 2 n+1 ; n N.

18 Preliminares de lógica e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Denotaremos com N o conjunto dos Números Naturais. Esses números chamam-se Naturais por surgirem naturalmente em nossa experiência de vida com o mundo físico já nos primeiros anos. Representaremos por: N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Denotaremos com Z o conjunto dos Números Inteiros e representá-lo por: Z = {..., 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Denotaremos com Q o conjunto dos Números Racionais, representand o da seguinte maneira: { } p Q = q ; p, q Z e q 0,

19 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real e com R o conjunto dos números Reais. Os números racionais, juntamente com os irracionais formam o conjunto dos números Reais. O conjunto R Q, indica o conjunto dos Números Irracionais, isto é, o conjunto dos números Reais que não são racionais. Números cuja representação decimal não é nem finita nem periódica são chamados de números Irracionais. Um exemplo clássico de número Irracional é 2. Vamos demonstrar que este número é Irracional raciocinando por absurdo: Se 2 fosse um número racional, então haveriam p e q, tais que p 2 = q, sendo p uma fração irredutível, p e q Z e q 0. q Assim, 2 = p q 2 = p2 q 2 p2 = 2q 2.

20 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real O que nos mostra que p 2 é par. Como já foi demonstrado em nosso texto, se p 2 é par, então p é par. Sendo par, p pode ser escrito como 2r, r Z, temos: p 2 = 2q 2 (2r) 2 = 2q 2 4r 2 = 2q 2 2r 2 = q 2. Daí, vemos que q é par. Se p e q são pares, então são ambos divisíveis por 2, o que contradiz a hipótese inicial de que p fosse irredutível. Somos q levados a largar a hipótese do raciocínio por absurdo e concluir que 2 é irracional.

21 Atividades Preliminares de lógica e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real 1. Classifique em Racionais (Q) ou em Irracionais (R Q): (a) 0, ; (b) 0, ; (c) 21, ; (d) Reduza à forma ordinária as dízimas periódicas: (a) 0, ; (b) 1, ; (c) 0, ; (d) 1, ; (e) 0, ; (f ) 0, ;

22 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real (g) 21, ; (h) 3, ; (i) 5, ; (j) 0, ; (k) 0, ; (l) 3, ; (m) 0, Prove que a dízima 0, é igual a Prove que 3 é irracional. 5. Sendo p > 1 um número primo qualquer, prove que p é irracional. 6. Sendo a e b números irracionais, pode-se afirmar que a + b 2 é irracional? Prove ou apresente um contraexemplo.

23 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real A notação x A, significa que x é elemento do conjunto A e lê-se x pertence a A. A negação desta afirmação é x / A. Quando todo elemento de A também o é de B, diz-se que A é subconjunto de B, ou, analogamente, A está incluso ou contido em B cuja notação é A B. Pode-se ter simultaneamente A B e B A, o que evidencia uma igualdade de conjuntos, a qual representaremos por A = B. Diz-se que A será um subconjunto próprio de B, se A B e A B, ou seja, se existir algum elemento de B que não pertença a A. Define-se como união A B o conjunto dos elementos que estão em pelo menos um dos conjuntos A e B. A interseção A B é definida como o conjunto dos elementos que estão em A e em B simultaneamente. Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. Representaremos por φ, onde φ = {x : x x}.

24 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Um conjunto é definido por meio de uma listagem de seus elementos entre chaves ou através da especificação de uma propriedade que o caracterize. Exemplos: 1 A = {2, 4, 6, 8}, é o conjunto dos quatro números pares de 2 a 8; 2 Z = {0, ±1, ±2, ±3,...}, é o conjunto dos números inteiros; 3 C = {x R; x 2 5x + 6 > 0}, é o conjunto dos números reais onde o trinômio x 2 5x + 6 é positivo. Um conjunto pode ser escrito de diferentes maneiras. Por exemplo: O conjunto dos números pares positivos pode ser escrito como: {2, 4, 6, 8,...}, ou {2n; n N} ou {2n; n = 1, 2, 3, 4,...}

25 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Quando consideramos subconjuntos de um mesmo conjunto B, define-se como complementar de um conjunto A, o conjunto dos elementos de B que não estão em A. Denota-se por A c ou B A. Temos: A c = B A = {x B; x / A}. Neste caso, temos que B c = φ e que φ c = B. Dados dois conjuntos, A e B, as chamadas Leis de Morgan, afirmam que: (A B) c = = (A c B c ) e (A B) c = (A c B c ). Ou seja, o complementar da união é a interseção dos complementares e o complementar da interseção é a união dos complementares.

26 1. Prove que: (a) A A = A. (b) A A = A. (c) A B = B A. Preliminares de lógica (d) A (B C) = (A B) C. (e) A (B C) = (A B) C. (f ) A (B C) = (A B) (A C). (g) A (B C) = (A B) (A C). (h) A B A B = A. (i) B A = B A c. (j) B C A C A B. e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real

27 (k) (A B) (B A) = φ. e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real

28 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real 2. Dados dois conjuntos A e B, prove que A = (A B) (A B). 3. Prove as Leis de Morgan: (A B) c = (A c B c ) e (A B) c = (A c B c ).

29 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real O estudo da teoria dos conjuntos se iniciou com o matemático Cantor, por volta de Segundo ele, dois conjuntos são equivalentes, ou possuem a mesma cardinalidade ou mesma potência, quando é possível estabelecer uma bijeção entre eles, ou seja, uma correspondência que leve elementos distintos de um conjunto em elementos distintos de outro, onde todos os elementos de um e do outro conjunto sendo objetos dessa correspondência. Representaremos por A B quando fizermos referência à existência de uma bijeção entre A e B. Definição. Chama-se bijeção ou função bijetiva, uma função que seja simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

30 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Seja F n o conjunto dos n números naturais, F n = {1, 2, 3,..., n}. Diz-se que um conjunto A é equivalente (ou equipotente) a F n se A possui n elementos, ou o mesmo número de elementos de F n. Define-se Dados dois conjuntos quaisquer A e B, diz-se que eles possuem a mesma cardinalidade, ou o mesmo número de elementos, se eles forem equipotentes. Um conjunto A é dito finito quando existe um natural n tal que A seja equipotente à F n. Caso o conjunto não seja finito, ele será infinito. Exemplo: Construir uma bijeção entre N e o conjunto dos números ímpares positivos.

31 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real O primeiro conjunto infinito com o qual nos familiarizamos é o conjunto dos números Naturais. Define-se como conjunto enumerável a todo conjunto semelhante a N, ou seja, que pode ser listado. Exemplo 1: n 2n, estabelece uma equivalência entre o conjunto dos números naturais e o conjunto dos números pares positivos, ou seja, entre um conjunto e seu subconjunto. Exemplo 2: Q é enumerável. Exemplo 3: R é enumerável?

32 Atividades Preliminares de lógica e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real 1. Construa uma bijeção entre N e o conjunto dos quadrados perfeitos. 2. Sejam A e B dois conjuntos, onde A é finito e B enumerável. Mostre que o conjunto A B é enumerável. Construa uma bijeção entre N e esse conjunto. 3. Sendo A e B conjuntos infinitos enumeráveis, mostre que A B é enumerável. 4. Prove que não é enumerável o conjunto dos números irracionais.

33 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Dizer que R é um Corpo Ordenado, significa dizer que existe um subconjunto R + R, chamado conjunto dos números reais positivos, que cumpre as seguintes condições: (i) A soma e o produto de números reais positivos são positivos. Ou seja, sendo x, y R + então x + y R + e xy R +. (ii) Dado x R, exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0, ou x R + ou x R +. Seja C um conjunto de números reais. Define-se: (i) C é limitado superiormente se existe um número k tal que a k, para todo a C; (ii) C é limitado inferiormente se existe um número l tal que l a, para todo a C.

34 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Os números k e l são chamados cotas do conjunto C, superior e inferior, respectivamente. Um conjunto que é limitado superiormente e inferiormente ao mesmo tempo é chamado conjunto limitado. Alguns exemplos: Exemplo 1. O conjunto {x R/x 2 8} se diz limitado pois é limitado, tanto à direita quanto à esquerda, pois pode ser assim representado: {x R/ 8 x 8}. Exemplo 2. O conjunto dos números racionais menores que 5 é limitado superiormente, mas não inferiormente. Exemplo 3.O conjunto dos números naturais é limitado inferiormente mas não superiormente. Exemplo 4. Qualquer intervalo de extremos finitos a e b é dito limitado.

35 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Quando um conjunto é limitado superiormente, ele pode ter um elemento que seja o maior de todos, o qual é chamado máximo do conjunto. Exemplo: O conjunto {x Q/x 32}, tem 32 como seu máximo. Um conjunto limitado superiormente { pode não ter máximo. 1 Exemplo: Seja o conjunto A = 2, 2 3, 3 } 4,..., n n + 1,.... Ele não possui máximo, mas é limitado superiormente. Os elementos desse conjunto são frações dispostas de maneira crescente, onde cada uma delas é superada pela que vem logo a seguir, isto é: 1 2 < 2 3 < 3 4 <... < n n + 1 < n + 1 n + 2 <... Qualquer elemento do conjunto é menor do que 1, o qual é a menor cota superior.

36 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Definição. Chama-se Supremo de um conjunto C a menor cota superior. Chama-se supremo, o número S que satisfaz as seguintes condições: (i) a S para todo a C; (ii) Dado qualquer número ε > 0, existe um elemento a C, à direita de S ε, isto é, S ε < a. Teorema. Todo conjunto não vazio de números reais e limitado superiormente, possui um supremo.

37 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real O supremo pode não ser o máximo do conjunto C. Se o conjunto possui máximo, este será, também seu supremo. Exemplos: (i) O conjunto [ 3, 7) = {x R/ 3 x < 7} não tem máximo, mas tem 7 como seu supremo. (ii) O conjunto {2, 3, 92, 5, 6, 132 }, 7 tem supremo 7, que é também seu máximo. A noção de ínfimo é introduzida de maneira análoga à de supremo: Definição. Chama-se ínfimo de um conjunto C à maior de suas cotas inferiores.

38 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Chama-se ínfimo o número s que satisfaz as seguintes condições: (i) s a para todo a C; (ii) Dado qualquer número ε > 0, existe um elemento a C, à esquerda de s + ε, isto é, a < s + ε. Teorema. Todo conjunto não vazio de números reais, limitado inferiormente, possui ínfimo.

39 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real O valor absoluto de um número real a, é indicado pelo símbolo a que é definido por: { a se a 0 a = a se a > 0 De acordo com a definição acima, para todo a, a 0, isto é, o módulo de um número real é sempre positivo. Define-se que a a, ab ab = a b e a = a. Propriedades: (i) a 2 = a 2 (ii) ab = a b (iii) a + b a + b

40 e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real Esta última propriedade é muito importante em nosso estudo e é chamada desigualdade triangular. Ela também é válida quando a e b são vetores, digamos a e b. Neste caso, a, b e a + b são os três lados de um triângulo (conforme figura abaixo), e a desigualdade representa uma propriedade geométrica assim enunciada: em um triângulo qualquer, um lado é sempre menor que a soma de outros dois, isto é, se a e b são não colineares (não estão alinhados) e nenhum deles é um vetor nulo, então: a + b < a + b

41 Atividades Preliminares de lógica e Conjuntos numéricos Conjuntos Finitos e Infinitos Conjuntos Enumeráveis Supremo e ínfimo de um Conjunto Valor Absoluto de um Número Real 1. Prove que: (a) a b a + b (b) a b a ± b (c) b a a ± b (d) a b a ± b 2. Prove por indução que a 1 + a a n a 1 + a a n, para quaisquer a 1, a 2,..., a n.

42 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Uma sequência de números infinita é uma função f, definida em N, onde n f (n) = a n. Podemos representá-la por: a 1, a 2, a 3,..., a n, onde n é chamado índice da sequência e a n o n-ésimo elemento da sequência ou o termo geral. Exemplo: Determine o termo geral das sequências: (a) {2, 4, 6, 8,...} a n = 2n : n N; (b) {2, 4, 8, 16,...} a n = 2 n : n N; Nem sempre o termo geral de uma sequência é obtido por uma fórmula.

43 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Exemplos: 1. As aproximações decimais por falta de 2, que formam uma sequência infinita a 1 = 1, 4; a 2 = 1, 41; a 3 = 1, 414, a 4 = 1, 4142, a 5 = 1, 41421, Uma sequência formada pelos números primos. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, A sequência abaixo é infinita: a n = ( 1) n = 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... Porém possui apenas dois elementos 1 e 1, o que nos leva a {a n } = { 1, 1}.

44 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Dizemos, em termos sugestivos, que uma sequência é dita convergente se à medida que o índice n cresce, o elemento a n vai se tornando arbitrariamente próximo de um certo número L, denominado limite da sequência. A proximidade entre o termo a n e L é dada pelo valor absoluto da diferença entre eles, isto é a n L. Portanto, dizer que a n vai se tornando arbitrariamente próximo de L, significa dizer que a n L torna-se inferior a qualquer número ε > 0, por pequeno que seja, desde que façamos n suficientemente grande. Daí, segue a definição precisa de convergência:

45 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Definição. Uma sequência (a n ) converge para um número L, ou possui limite L se, dado ε > 0, é sempre possível encontrar um número N, tal que n > N a n L < ε (1) Escreve-se lim n a n = L, lim a n = L ou a n L. Uma sequência não convergente é dita divergente. Exemplo: A sequência { ( 1) n 1 } = { 1, 12 n, 13, 14 },.... é divergente, pois não converge para um limite finito.

46 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema: A sequência cujo termo geral a n = 1 converge para n 0. Exemplo: Prove que a sequência ( ) ( n 1 a n = = n , 2 14, 3 ) 15,..., n n + 12,... converge para o número 1.

47 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências 1. Escreva os cinco primeiros termos de cada uma das seguintes sequências: (a) a n = n n + 1 ; (b) a n = n n ; (c) a n = ( 1)n n + 2 ; (d) a n = n 3 n Encontre o termo geral de cada uma das sequências: (a) 1 2, 2 3, 3 4, 4 5,... ; (b) 1, 1 2, 1 3, 1 4,... ;

48 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências (c) 1, 1 4, 1 9, 1 16,... ; (d) 1, 1 2, 1 6, 1 24, 1 120,.... (e) 1, 3, 7, 15, 31, Use a definição de sequência convergente para provar que: n (a) lim n n = 0; (b) lim n 2n 2 n = 2; (c) lim n 2n + 3 n + 1 = 2. (d) lim n 4 2n 1 = 0.

49 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Uma sequência (a n ) é limitada a esquerda, ou inferiormente, quando existe um número A tal que A a n, n. Analogamente, uma sequência é limitada a direita, ou superiormente, quando existe um número B tal que a n B, n. Quando uma sequência é limitada inferior e superiormente simultaneamente, ela é dita limitada. O que equivale a dizer que existe um número M; a n M, n.

50 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Uma sequência (a n ) é limitada a esquerda, ou inferiormente, quando existe um número A tal que A a n, n. Analogamente, uma sequência é limitada a direita, ou superiormente, quando existe um número B tal que a n B, n. Quando uma sequência é limitada inferior e superiormente simultaneamente, ela é dita limitada. O que equivale a dizer que existe um número M; a n M, n. Teorema. Toda sequência convergente é limitada.

51 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Uma sequência (a n ) é limitada a esquerda, ou inferiormente, quando existe um número A tal que A a n, n. Analogamente, uma sequência é limitada a direita, ou superiormente, quando existe um número B tal que a n B, n. Quando uma sequência é limitada inferior e superiormente simultaneamente, ela é dita limitada. O que equivale a dizer que existe um número M; a n M, n. Teorema. Toda sequência convergente é limitada. Exemplo: A sequência a n = ( 1) n, n N é limitada, mas não é convergente.

52 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Se uma determinada sequência (a n ) converge à um limite L, e se A < L < B, então, a partir de um certo N, tem-se A < a n < B.

53 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Se uma determinada sequência (a n ) converge à um limite L, e se A < L < B, então, a partir de um certo N, tem-se A < a n < B. Demostração: Dado ε > 0, existe N de modo que a partir desse índice, teremos. L ε < a n < L + ε

54 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Se uma determinada sequência (a n ) converge à um limite L, e se A < L < B, então, a partir de um certo N, tem-se A < a n < B. Demostração: Dado ε > 0, existe N de modo que a partir desse índice, teremos L ε < a n < L + ε. Portanto, basta apenas escrever, inicialmente, ε menor que os números L A e B L para obtermos L ε > L (L A) = A e L + ε < L + (B L) = B. Por consequência, temos n > N A < a n < B.

55 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Sejam (a n ) e (b n ) duas sequências convergentes. Sejam L 1 e L 2 respectivamente, os limites dessas sequências. Logo, (a n + b n ), (a n b n ) e (ka n ), onde c é uma constante arbitrária, são sequências convergentes e além de que:

56 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Sejam (a n ) e (b n ) duas sequências convergentes. Sejam L 1 e L 2 respectivamente, os limites dessas sequências. Logo, (a n + b n ), (a n b n ) e (ka n ), onde c é uma constante arbitrária, são sequências convergentes e além de que: (a) lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n = L 1 + L 2 ; (b) lim(ca n ) = c(lim a n ) = cl 1 ; (c) lim(a n b n ) = (lim a n )(lim b n ) = L 1 L 2 ; (d) Se L 2 0, então existe lim a n b n = L 1 L 2.

57 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Sejam (a n ) e (b n ) duas sequências convergentes. Sejam L 1 e L 2 respectivamente, os limites dessas sequências. Logo, (a n + b n ), (a n b n ) e (ka n ), onde c é uma constante arbitrária, são sequências convergentes e além de que: (a) lim(a n + b n ) = lim a n + lim b n = L 1 + L 2 ; (b) lim(ca n ) = c(lim a n ) = cl 1 ; (c) lim(a n b n ) = (lim a n )(lim b n ) = L 1 L 2 ; (d) Se L 2 0, então existe lim a n b n = L 1 L 2. De posse deste último teorema, podemos desenvolver mais facilmente certos limites, por exemplo: lim 3x 2 + 4x 5x 2 7 =

58 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Exercícios 1. Prove o teorema da unicidade do limite: uma sequência só pode convergir para um único limite. 2. Prove: se (a n ) converge para zero e (b n ) é limitada, então (a n b n ) converge para zero. 3. Prove que a n = a n tende a zero, onde 0 < a < Se a n 0, n e a n 0, prove que a n tende a 0.

59 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Existe uma classe de sequências convergentes limitadas que são chamadas de sequências monótonas. Elas recebem este nome por apresentarem um comportamento definido.

60 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Existe uma classe de sequências convergentes limitadas que são chamadas de sequências monótonas. Elas recebem este nome por apresentarem um comportamento definido. Definição. Define-se que uma sequência (a n ) é crescente se a 1 < a 2 < a 3 <... < a n <...

61 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Existe uma classe de sequências convergentes limitadas que são chamadas de sequências monótonas. Elas recebem este nome por apresentarem um comportamento definido. Definição. Define-se que uma sequência (a n ) é crescente se e decrescente se a 1 < a 2 < a 3 <... < a n <... a 1 > a 2 > a 3 >... > a n >....

62 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Existe uma classe de sequências convergentes limitadas que são chamadas de sequências monótonas. Elas recebem este nome por apresentarem um comportamento definido. Definição. Define-se que uma sequência (a n ) é crescente se e decrescente se a 1 < a 2 < a 3 <... < a n <... a 1 > a 2 > a 3 >... > a n >.... A sequência é não-decrescente se a 1 a 2 a 3 <... < a n...

63 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Existe uma classe de sequências convergentes limitadas que são chamadas de sequências monótonas. Elas recebem este nome por apresentarem um comportamento definido. Definição. Define-se que uma sequência (a n ) é crescente se e decrescente se a 1 < a 2 < a 3 <... < a n <... a 1 > a 2 > a 3 >... > a n >.... A sequência é não-decrescente se a 1 a 2 a 3 <... < a n... e não-crescente se a 1 a 2 a 3... a n....

64 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Uma sequência é monótona se ela satisfaz qualquer uma dessas condições.

65 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Uma sequência é monótona se ela satisfaz qualquer uma dessas condições. Teorema. Toda sequência que é monótona e limitada é convergente.

66 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Uma sequência é monótona se ela satisfaz qualquer uma dessas condições. Teorema. Toda sequência que é monótona e limitada é convergente. Demonstração. Vamos considerar uma sequência não decrescente (a n ) limitada inferiormente pelo elemento a 1. A hipótese de ser limitada significa que ela é limitada superiormente, logo possui supremo que denotaremos por S. Vamos provar que esse número S é o limite de (a n ). De fato, dado ε > 0, existe um elemento dessa sequência com certo índice N, tal que S ε < a N S. Como a sequência é não decrescente, a N a n, para todo n > N, o que implica que n > N S ε < a n S < S + ε Que completa a demonstração.

67 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Quando retiramos um ou vários termos de uma sequência, obtemos o que se chama de subsequência da primeira.

68 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Quando retiramos um ou vários termos de uma sequência, obtemos o que se chama de subsequência da primeira. Definição. Uma subsequência de uma sequência (a n ) é uma restrição de (a n ) a um subconjunto infinito N do conjunto N. De outra maneira, uma subsequência de (a n ) é uma sequência do tipo (b j ) = (a nj ), onde (n j ) é uma sequência crescente de inteiros positivos, isto é: n 1 < n 2 <...

69 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Quando retiramos um ou vários termos de uma sequência, obtemos o que se chama de subsequência da primeira. Definição. Uma subsequência de uma sequência (a n ) é uma restrição de (a n ) a um subconjunto infinito N do conjunto N. De outra maneira, uma subsequência de (a n ) é uma sequência do tipo (b j ) = (a nj ), onde (n j ) é uma sequência crescente de inteiros positivos, isto é: n 1 < n 2 <... Como consequência, 1 n 1, 2 n 2,..., e, em geral, j n j. Porém, como j < n j para algum j (a não ser que a subsequência seja a própria sequência), esta desigualdade permanecerá válida para todos os valores subsequentes ao primeiro para o qual ela ocorrer.

70 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Se (a n ) converge para um limite L, então toda (a nj ) também converge para L.

71 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Se (a n ) converge para um limite L, então toda (a nj ) também converge para L. Teorema. (intervalos encaixados) Dada uma sequência decrescente I 1 I 2... I n... de intervalos limitados e fechados I n = [a n, b n ], existe pelo menos um número real c tal que c I n (ou, o que é o mesmo, c I 1 I 2... I n...) para todo n N.

72 Sequências Infinitas sequência convergente Sequências Limitadas Sequências Monótonas Subsequências Teorema. Se (a n ) converge para um limite L, então toda (a nj ) também converge para L. Teorema. (intervalos encaixados) Dada uma sequência decrescente I 1 I 2... I n... de intervalos limitados e fechados I n = [a n, b n ], existe pelo menos um número real c tal que c I n (ou, o que é o mesmo, c I 1 I 2... I n...) para todo n N. Teorema. (Bolzano-Weierstrass) Toda sequência (a n ) limitada possui uma subsequência que converge.

73 Uma série é uma soma s = a 1 + a a n + com infinitas parcelas.

74 Uma série é uma soma s = a 1 + a a n + com infinitas parcelas. O que é equivalente à s = lim n (a 1 +a 2 + +a n ). Como todo limite, este pode existir ou não. Por isso, existem as chamadas séries convergentes e séries divergentes. Séries Convergentes Dada uma sequência (a n ) de números reais, a partir dela pode-se formar uma nova sequência (s n ), onde: s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., s n = a 1 + a 2 + a a n, etc.

75 Exemplo: 0, = 0, 3+0, 03+0, 003+ = n +.

76 Exemplo: 0, = 0, 3+0, 03+0, 003+ = n +. Os números s n chamam-se reduzidas de ordem n ou somas parciais da série n=1 a n. A parcela a n é chamada n-ésimo termo ou termo geral da série.

77 Exemplo: 0, = 0, 3+0, 03+0, 003+ = n +. Os números s n chamam-se reduzidas de ordem n ou somas parciais da série n=1 a n. A parcela a n é chamada n-ésimo termo ou termo geral da série. Se existe o limite s = lim s n, diremos que a série n n=1 a n é convergente e s = a n = a 1 + a a n n=1 será chamado a soma da série. Se lim n s n não existir, diremos que n=1 a n é uma série divergente.

78 Exemplo 1: Determine a fração geratriz da dízima periódica 0,

79 Exemplo 1: Determine a fração geratriz da dízima periódica 0, s 1 = 3 10 s 2 = s 3 = s n = n (2)

80 Exemplo 2: Determine o limite da série cujo termo geral é: 1 a n = n(n + 1) = 1 n 1 n + 1. ( s 1 = 1 1 ) 2 ( s 2 = 1 1 ) ( ) 3 ( s 3 = 1 1 ) ( ) ( ) 4 s n = ( 1 1 ) ( ) + 3. ( ) ( n 1 ) n + 1

81 Tomando o limite, temos: lim s n = n s n = 1 1 n + 1 ( 1 1 ) = 1. n + 1

82 Tomando o limite, temos: lim s n = n s n = 1 1 n + 1 ( 1 1 ) = 1. n + 1 Teorema. Se uma série converge, seu termo (a n ) geral tende a zero.

83 Exemplo 1: A série geométrica de razão q, com q < 1 q n = 1 + q + q 2 +. n=0

84 Função Contínua Dada uma função real f, estamos interessados em saber o que acontece com o valor de f (x) quando x se aproxima de um certo ponto a sem, entretanto, assumir este valor. Vejamos a definição:

85 Função Contínua Dada uma função real f, estamos interessados em saber o que acontece com o valor de f (x) quando x se aproxima de um certo ponto a sem, entretanto, assumir este valor. Vejamos a definição: Definição. Seja f : R R. Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a R existe e vale L R se ε > 0, δ > 0 tal que 0 < x a < δ f (x) L < ε.

86 Função Contínua Dada uma função real f, estamos interessados em saber o que acontece com o valor de f (x) quando x se aproxima de um certo ponto a sem, entretanto, assumir este valor. Vejamos a definição: Definição. Seja f : R R. Dizemos que o limite de f (x) quando x tende a a R existe e vale L R se ε > 0, δ > 0 tal que 0 < x a < δ f (x) L < ε. Neste caso, escrevemos lim x a f (x) = L. A ideia intuitiva correta é dizer que f (x) é tão próximo de L quanto quisermos, bastando para isso tomar x suficientemente próximo, porém distinto, de a.

87 Exemplos Preliminares de lógica Função Contínua 1. Seja f : R R, dada por f (x) = x, x R e a R. Mostre que lim x a f (x) = a.

88 Exemplos Preliminares de lógica Função Contínua 1. Seja f : R R, dada por f (x) = x, x R e a R. Mostre que lim x a f (x) = a. 2. Seja f : R R, tal que f (x) = ax + b. Mostre que lim x a f (x) = a 2 + b.

89 Exemplos Preliminares de lógica Função Contínua 1. Seja f : R R, dada por f (x) = x, x R e a R. Mostre que lim x a f (x) = a. 2. Seja f : R R, tal que f (x) = ax + b. Mostre que lim x a f (x) = a 2 + b. 3. Seja f : R R definida por f (x) = 2x + 1, x R. Prove que lim x 1 f (x) = 3.

90 Unicidade Preliminares de lógica Função Contínua Teorema. Se lim x a f (x) = L e lim x a f (x) = M, então L = M.

91 Unicidade Preliminares de lógica Função Contínua Teorema. Se lim x a f (x) = L e lim x a f (x) = M, então L = M. Complete a demosntração do teorema

92 Unicidade Preliminares de lógica Função Contínua Teorema. Se lim x a f (x) = L e lim x a f (x) = M, então L = M. Complete a demosntração do teorema Prova: Dado ε > 0, existem δ 1 > 0 e δ 2 > 0, tais que teremos f (x) L < ε 2 sempre que 0 < x a < δ 1 e f (x) M < ε 2 sempre que 0 < x a < δ 2. Seja δ = min{δ 1, δ 2 }. Então f (x) L < ε 2 e f (x) M < ε 2 sempre que 0 < x a < δ. Logo, L M = f (x) L+f (x) M f (x) L + f (x) M < ε 2 + ε 2 = ε.

93 Função Contínua Teorema. Se duas funções f e g com o mesmo domínio D têm limites com x a, então: (a) f (x) + g(x) tem limite e lim[f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x); (b) Sendo k uma constante, kf (x) tem limite e lim[kf (x)] = k. lim f (x); (c) f (x)g(x) tem limite e lim[f (x)g(x)] = lim f (x). lim g(x); (d) Se, além das hipóteses feitas, lim g(x) 0, então f (x) limite e lim f (x) lim f (x) g(x) = lim g(x). g(x) tem

94 Exercícios Preliminares de lógica Função Contínua Mostre, em cada item abaixo, qual deve ser o valor de δ, sabendo que: (a) f (x) = 4x 8; lim x 1 f (x) = 4 e ε = 0, 004. (b) f (x) = 3x 5; lim x 2 f (x) = 1 e ε = 0, 003. (c) f (x) = 5x 2; lim x 2 f (x) = 8 e ε = 0, 01. (d) f (x) = 3x + 2; lim x 1 f (x) = 5 e ε = 0, 06. (e) f (x) = 2x 2 2 x 1, x 1; lim x 1 f (x) = 4 e ε = 0, 004. (f ) f (x) = x 2 9 x 3, x 3; lim x 1 f (x) = 2 e ε = 0, 02.

95 Função Contínua Intuitivamente, uma função f é dita contínua em um ponto a do seu domínio se f (x) está próximo de f (a), quando x está próximo de a. Em termos precisos, diz-se que uma função f é contínua em um ponto a quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se encontrar δ > 0 tal que x a < δ implicar f (x) f (a) < ε. Vejamos a definição:

96 Função Contínua Intuitivamente, uma função f é dita contínua em um ponto a do seu domínio se f (x) está próximo de f (a), quando x está próximo de a. Em termos precisos, diz-se que uma função f é contínua em um ponto a quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se encontrar δ > 0 tal que x a < δ implicar f (x) f (a) < ε. Vejamos a definição: Definição. Diz-se que uma função f é contínua no ponto x = a de D se existir o limite de f (x) com x a e esse limite for igual a f (a); e diz-se que f é contínua em seu domínio, ou contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio.

97 Função Contínua Intuitivamente, uma função f é dita contínua em um ponto a do seu domínio se f (x) está próximo de f (a), quando x está próximo de a. Em termos precisos, diz-se que uma função f é contínua em um ponto a quando, para todo ε > 0 dado arbitrariamente, pode-se encontrar δ > 0 tal que x a < δ implicar f (x) f (a) < ε. Vejamos a definição: Definição. Diz-se que uma função f é contínua no ponto x = a de D se existir o limite de f (x) com x a e esse limite for igual a f (a); e diz-se que f é contínua em seu domínio, ou contínua, se ela for contínua em todos os pontos desse domínio. Exemplo: Mostre que f (x) = x é contínua em seu domínio x 0.

98 Função Contínua Solução: lim x a f (x) = f (a), isto é, lim x a x = a.

99 Função Contínua Solução: lim x a f (x) = f (a), isto é, lim x a x = a. Dado ε > 0, δ = ε a tal que x a < δ x a. ( x+ a) x+ a = x a x+ a x a a < ε a a = ε. Portanto, f é contínua.

100 Função Contínua Solução: lim x a f (x) = f (a), isto é, lim x a x = a. Dado ε > 0, δ = ε a tal que x a < δ x a. ( x+ a) x+ a = x a x+ a x a a < ε a a = ε. Portanto, f é contínua. Proposição. Se f e g são funções contínuas em x = a, então são também contínuas em x = a as funções f + g, fg e kf, onde k é uma constante arbitrária, e é também contínua em x = a a função f g, desde que g(a) 0.

101 Função Contínua Teorema. Sejam f e g funções com domínios D f e D g respectivamente, com f (D f ) D g. Se f é contínua em x 0 e g contínua em y 0 = f (x 0 ), então, h(x) = g(f (x)) é contínua em x 0.

102 Função Contínua Teorema. Sejam f e g funções com domínios D f e D g respectivamente, com f (D f ) D g. Se f é contínua em x 0 e g contínua em y 0 = f (x 0 ), então, h(x) = g(f (x)) é contínua em x 0. Exemplos: 1. Mostre que a função h(x) = 2 cos(x) é contínua em R.

103 Função Contínua Teorema. Sejam f e g funções com domínios D f e D g respectivamente, com f (D f ) D g. Se f é contínua em x 0 e g contínua em y 0 = f (x 0 ), então, h(x) = g(f (x)) é contínua em x 0. Exemplos: 1. Mostre que a função h(x) = 2 cos(x) é contínua em R. Solução: Podemos decompor h(x) em f (x) = 2 x e g(x) = cos x, onde temos h(x) = f (g(x)), então, pelo teorema f, é contínua.

104 Função Contínua Teorema. Sejam f e g funções com domínios D f e D g respectivamente, com f (D f ) D g. Se f é contínua em x 0 e g contínua em y 0 = f (x 0 ), então, h(x) = g(f (x)) é contínua em x 0. Exemplos: 1. Mostre que a função h(x) = 2 cos(x) é contínua em R. Solução: Podemos decompor h(x) em f (x) = 2 x e g(x) = cos x, onde temos h(x) = f (g(x)), então, pelo teorema f, é contínua. 2. Mostre que h(x) = sin(x 3 + x 2 + x + 1) é contínua em R.

105 Função Contínua Teorema. Sejam f e g funções com domínios D f e D g respectivamente, com f (D f ) D g. Se f é contínua em x 0 e g contínua em y 0 = f (x 0 ), então, h(x) = g(f (x)) é contínua em x 0. Exemplos: 1. Mostre que a função h(x) = 2 cos(x) é contínua em R. Solução: Podemos decompor h(x) em f (x) = 2 x e g(x) = cos x, onde temos h(x) = f (g(x)), então, pelo teorema f, é contínua. 2. Mostre que h(x) = sin(x 3 + x 2 + x + 1) é contínua em R. Solução: Seguindo raciocínio análogo ao utilizado anteriormente, temos f (x) = sin x e g(x) = x 3 + x 2 + x + 1. Então h(x) = f (g(x)), pelo teorema f, é contínua.

106 Função Contínua Exercícios 1. Prove que as funções são contínuas nos pontos dados: (a) f (x) = 2x + 1 em a = 1. (b) f (x) = ax + b (a e b constantes) em a = x 0. (c) f (x) = x 2 em a = 0. (d) f (x) = 4x 3 em a = 2. (e) f (x) = x + 1 em a = 2. (f ) f (x) = 3x em a = 1. (g) f (x) = x 2 4 x 2 em a = 2. (h) f (x) = x 2 x x em a = 0.

107 Função Contínua 1. Seja f (x) = x + 1 x. Prove que: (a) f (x) f (1) ( x ) x 1, x > 0. (b) f (x) f (1) 3 x + 1, x > 1 2. (c) f é contínua em a = 1.

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