Convergência, séries de potência e funções analíticas
|
|
- Filipe Meneses Maranhão
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 Convergência, séries de potência e funções analíticas Roberto Imbuzeiro Oliveira March 16, Algumas palavras sobre convergência em C Tudo o que descreveremos aqui é análogo ao que se define e prova em R e segue destes resultados. Por esta razão quase tudo será apresentado como exercício. 1.1 Convergência de sequências Dado um complexo z = a + bi onde a, b R, definimos a parte real de z como R(z) a. A parte imaginária de z é I(z) = b. Exercício 1 Mostre que: max{ R(z), I(z) } z R(z) + I(z) 2 max{ R(z), I(z) }. Dizemos que uma sequência {z n } n N em C converge a z C se lim n + z n z = 0. Neste caso escrevemos lim n N z n = z. Exercício 2 Isto é equivalente a exigir que as sequências de números reais {R(z n )} n e {I(z n )} n convirjam a R(z) e I(z), respectivamente. Exercício 3 Mostre que uma sequência {z n } n N C tem limite se e somente se é de Cauchy, isto é: lim m,n + z n z m =0. IMPA, Rio de Janeiro, RJ, Brazil,
2 1.2 Convergência de séries Seja {b n } n N uma sequência. Dizemos que a série n N b n converge se a sequência {z N } N N com termos: é convergente. z 0 = 0, z N b n (N N\{0}) Exercício 4 Mostre que b n 0 é condição necessária, mas não suficiente para que n N b n convirja. 2 Séries de potência: fatos fundamentais Para facilitar, falaremos basicamente de séries de potência ao redor de z 0 = Fatos básicos Seja {a n } n N C uma sequência de números complexos. Defina: R 1 lim sup n N a n 1/n onde recordamos que, para uma sequencia real {x n } n N, lim sup x n = lim n N n N sup m N, m n x m = inf sup n N m N, m n e ainda definimos R = 0 se lim sup n N a n 1/n = +. Teorema 1 As seguintes condições são equivalentes: 1. R > 0 2. Para qualquer 0 < R < R, A série f(z) n N a n z n x m R {+ } converge uniformemente sobre z R, isto é, não só o limite existe para todo z C com z R, como lim sup a n z n f(z) N N = 0. z R 2
3 3. Existe um z C\{0} tal que n N a nz n converge. Por causa deste teorema, R é dito o raio de convergência da série de potência + a nz n. Proof: Note que 2 3 é trivial, então provaremos apenas que 1 2 e 3 1. Começamos com a segunda afirmação. Já vimos que a convergência de uma série implica que seu termo geral vai a zero, logo, supondo 3, temos: a n z n 0. Em particular, a sequência de números reais { a n z n } n N é limitada. Portanto, existe um C > 0 tal que n N, a n z n = a n z n C. Tirando raízes dos dois lados, vemos que: n N, a n 1/n z C 1/n. Em particular, lim sup n a n 1/n z < + e R 1/ z > 0. Agora provaremos 1 2. Seja 0 < R < R e escolha um R < S < R. Note que 1/R < 1/S, portanto lim sup a n 1/n < 1/S. n N Segue da definição de lim sup que existe um n 0 N tal que para todo n N maior ou igual a n 0 temos: a n 1/n < 1/S, ou seja a n 1/S n. Considere agora qualquer z C com z R. Afirmamos que: M N, M N : N, M n 0 a n z n a n z n (R /S) min{n,m} 1 R. (1) /S Para ver isto, suporemos sem perda de generalidade que N > M. Neste caso: M a n z n a n z n = a n z n a n z n n=m+1 n=m+1 3
4 pela desigualdade triangular. Agora recorde que para n n 0 (portanto para n M) temos a n 1/S n e z R < S, portanto o lado direito na desigualdade acima é cotado por: n=m+1 a n z n + n=m+1 (R /S) n = (R /S) M 1 R /S, o que prova a desigualdade em (1). Esta desigualdade implica tudo que precisamos. De fato, primeiro vemos que o limite f(z) existe sempre que z R, pois neste caso: 0 lim sup N,M + M a n z n a n z n (R /S) min{n,m} lim sup N,M + 1 R /S Além disto, tomando o limite em N na equação (1), temos: z R M N : f(z) M a n z n (R /S) M 1 R /S. = 0. Como o lado direito vai a 0 uniformemente em z R quando M +, temos a convergência uniforme desejada. Exercício 5 Calcule o raio de convergência das seguintes séries de potência. 1. n N 4n z n 2. n N zn n! 3. n N ( 1) n z n n 2 4. n N 4n2 z n 2.2 Derivando séries de potência Seja agora f : U C com U C aberto e B(0, R) U para algum R > 0. Suponha que f tem uma expressão em série de potência: f(z) n N a n z n 4
5 com raio de convergência R. A candidata natural à derivada da série de potência acima é a série obtida derivando a expressão para f termo a termo: g(z) n N c n z n onde c n (n + 1)a n+1. Mostraremos que isto é de fato verdade, mas antes propomos um exercício. Exercício 6 Mostre que a série de g tem exatamente o mesmo raio de convergência da série de f. Teorema 2 Uma função f como a dada acima é holomorfa (isto é, diferenciável) sobre todo o conjunto U e sua derivada neste conjunto é dada pela g escrita acima. Proof: Do exercício acima segue que g é uma função bem-definida sobre B(0, R). Para terminar a prova, precisamos mostrar que para todo z B(0, R), f(z + h) f(z) lim = g(z). h 0 h Primeiro observamos a identidade: n N : (z + h) n z n = nz n 1 h + Em particular, para n 2: (z + h) n z n nz n 1 h n j=2 Observe que: ( ) ( n j n 2 j 2) n(n 1), portanto: (z + h) n z n nz n 1 h n(n 1) h 2 n Note agora que: f(z + h) f(z) hg(z) = j=2 n j=2 ( ) n z n j h j. j ( ) n z n j h j. j = n(n 1) h 2 ( z + h ) n 2. 5 ( ) n 2 z (n 2) (j 2) h j 2 j 2 a n [(z + h) n z n nz n 1 h].
6 O primeiro termo do lado direito se anula, logo: f(z + h) f(z) hg(z) = a n [(z + h) n z n nz n 1 h] a n [(z + h) n z n nz n 1 h] n(n 1) h 2 a n ( z + h ) n 2. n 2 Agora considere z B(0, R). Se h é pequeno o suficiente, temos z + h < R ε para algum ε > 0. Seguindo a prova do teorema anterior, podemos concluir que existe um n 0 N tal que, para todo n N com n n 0, a n (R ε/2) n. Portanto podemos cotar: C := n 2 Deduzimos que: a n ( z + h ) n 2 n 0 1 n=2 a n ( z + h ) n 2 + { } (R ε) n 2 (R ε/2) n < +. n n 0 f(z+h) f(z) hg(z) C h 2 para todo z B(0, R), sempre que h é suf. pequeno. Dividindo por h, temos: f(z + h) f(z) g(z) h C h e mandando h 0 temos o teorema. Exercício 7 Seguindo a prova acima, mostre que em qualquer bola fechada B[0, R], a convergência de (f(z + h) f(z))/h para g(z) é uniforme em z. Exercício 8 Deduza deste teorema que uma f como acima é infinitas vezes diferenciável em B(0, R), que sua j-ésima derivada também tem expressão em série de potência: f (j) (z) n=j n(n 1)... (n j + 1) a n z n j, e ainda que a n = f (n) (0)/n! para todo n N. Deduza que uma função tem no máximo uma expressão em série de potência ao redor de z = 0. 6
7 3 Exercícios complementares Exercício 9 Sejam f, g : B(0, R) C funções dadas por séries de potência com raio de convergência R. Mostre que a soma f + g e o produto f g também são dados por séries de potências de raios de convergência R. Exercício 10 Definimos a exponencial de um número complexo através da série de Taylor da exponencial real: e z z n n!. Mostre que esta série tem raio de convergência igual a + e que e z+w = e z e w para todos z, w C. Deduza disto que e z satisfaz a EDO complexa f (z) = f(z) com f(0) = 1. Exercício 11 Mostre que uma função f : U C dada por série de potência com raio de convergência positivo que satisfaz f (z) = f(z) e f(0) = 1 iguala e z em U. Exercício 12 Defina: L(z) ( 1) n+1 z n. n Mostre que esta série de potência tem raio de convergência 1. Prove que e L(z) = 1 + z para todo z B(0, 1). Exercício 13 Usando séries de Taylor, mostre que vale a identidade de Euler: θ R, e iθ = cos θ + i sin θ. Deduza que todo z C pode ser escrito na forma z = r e iθ com r 0 e θ R. [Isto é uma forma de parametrizar o plano por coordenadas polares.] Exercício 14 Dado j N\{0}, dê uma fórmula para todos os ξ C com ξ j = 1 (isto é, as raízes j-ésimas da unidade). Exercício 15 Que condições os coeficientes a n da série de potência f(z) = n a nz n para que f mapeie R em R? 7
8 Exercício 16 Seja f : B(0, R) C dada por série de potência de raio de convergência 0. Suponha que existe uma sequência {z n } n B(0, R) convergente a 0 tal que f(z n ) = 0 para todos os n N. Prove que f se anula identicamente em B(0, R). Exercício 17 Defina f(z) = 1/z para z C\{0}. Mostre que para todo z 0 0 existe uma expressão para f como série de potência ao redor de z 0. Mostre ainda que o raio de convergência de cada uma destas séries é z 0. Por que isto faz sentido? 8
Convergência, séries de potência e funções analíticas
Convergência, séries de potência e funções analíticas Roberto Imbuzeiro Oliveira March 13, 2015 1 Algumas palavras sobre convergência em C Tudo o que descreveremos aqui é análogo ao que se define e prova
Leia maisSéries de Laurent e Teoremas de Cauchy
Séries de Laurent e Teoremas de Cauchy Roberto Imbuzeiro Oliveira 3 de Abril de 20 A maior parte destas notas tem como refererência o livro de David Ullrich, Complex Made Simple. Preliminares sobre séries
Leia maisInvariância da integral por homotopia, fórmula de Cauchy e séries de Taylor
Invariância da integral por homotopia, fórmula de Cauchy e séries de Taylor Roberto Imbuzeiro Oliveira 6 de Abril de 20 Preliminares Nestas notas, U C sempre será um aberto e f : U C é contínua. Duas curvas
Leia maisExercícios de revisão
Exercícios de revisão Roberto Imbuzeiro Oliveira 7 de Abril de 20 Vários exercícios apresentados aqui vêm do livro David Ullrich, Complex Made Simple, ou dos livros de Ahlfors e Churchill. Em alguns casos,
Leia maisO teorema do mapeamento conforme de Riemann
O teorema do mapeamento conforme de Riemann Roberto Imbuzeiro Oliveira 23 de Maio de 2011 1 Preliminares Como de costume, U C é aberto. Recorde que U é simplesmente conexo se existe um ponto z 0 U tal
Leia maisProva: Usando as definições e propriedades de números reais, temos λz = λx + iλy e
Lista Especial de Exercícios de Física Matemática I Soluções (Número complexo, sequência de Cauchy, função exponencial e movimento hamônico simples) IFUSP - 8 de Agosto de 08 Exercício Se z x + iy, x,
Leia maisConvergência de Séries de Números Complexos
Convergência de Séries de Números Complexos META: Apresentar o conceito de convergência de séries de números complexos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir convergência
Leia maisσ-álgebras, geradores e independência
σ-álgebras, geradores e independência Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 15 de Março de 2009 Resumo Notas sobre a σ-álgebra gerada por uma variável aleatória X e sobre as condições de independência de
Leia maisContinuidade de processos gaussianos
Continuidade de processos gaussianos Roberto Imbuzeiro Oliveira April, 008 Abstract 1 Intrudução Suponha que T é um certo conjunto de índices e c : T T R é uma função dada. Pergunta 1. Existe uma coleção
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013
Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 01/013 Cursos: 1 o Teste Versão A LEGM, LEMat, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEC, MEEC, MEQ) 3 de Novembro de 01, 8h Duração: 1h 30m 1. Considere a função
Leia maisLista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real
Lista de Exercícios da Primeira Semana Análise Real Nesta lista, a n, b n, c n serão sempre sequências de números reais.. Mostre que todo conjunto ordenado com a propriedade do supremo possui a propriedade
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS EDO S. disponível em
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualiação: //003 ANÁLISE MATEMÁTICA IV LEEC RESOLUÇÃO DA FICHA 3 SÉRIES, SINGULARIDADES, RESÍDUOS E PRIMEIRAS
Leia maisProvas de Análise Real - Noturno - 3MAT003
Provas de 2006 - Análise Real - Noturno - 3MAT003 Matemática - Prof. Ulysses Sodré - Londrina-PR - provas2006.tex 1. Definir a operação ϕ entre os conjuntos A e B por ϕ(a, B) = (A B) (A B). (a) Demonstrar
Leia maisTeoremas de uma, duas e três séries de Kolmogorov
Teoremas de uma, duas e três séries de Kolmogorov 13 de Maio de 013 1 Introdução Nestas notas Z 1, Z, Z 3,... é uma sequência de variáveis aleatórias independentes. Buscaremos determinar condições sob
Leia maisAlguns passos da prova do Teorema de Runge
Alguns passos da prova do Teorema de Runge Roberto Imbuzeiro Oliveira 15 de Junho de 2011 1 Os principais passos da prova Teorema 1 Sejam U C aberto, K U compacto e f : U C holomorfa Seja A C \U tal que
Leia maisFichas de Análise Matemática III
Fichas de Análise Matemática III Fernando Lobo Pereira, João Borges de Sousa Depto de Engenharia Electrotécnica e de Computadores Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Instituto de Sistemas
Leia mais1 Números Complexos e Plano Complexo
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA 09-1 MTM5327 Variável Complexa 0549 Professor Lista de Exercícios
Leia maisVariável Complexa
Variável Complexa 2015.2 Aula1 Utilizamos o símbolo C para denotar o plano real R 2 equipado com as seguintes operações: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) adição z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,, x 1 y 2
Leia maisSequências e Séries Infinitas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
11 Sequências e Séries Infinitas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 11.10 Séries de Taylor e Maclaurin Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Começaremos supondo
Leia maisCapítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em http://www.dimensions-math.org/ Slides de apoio
Leia maisFórmula de Taylor. Cálculo II Cálculo II Fórmula de Taylor 1 / 15
Fórmula de Taylor Cálculo II Departamento de Matemática Universidade de Aveiro 2018-2019 Cálculo II 2018-2019 Fórmula de Taylor 1 / 15 Outra vez a exponencial... Uma função pode ser aproximada (na proximidade
Leia maisSéries Potências II. por Abílio Lemos. Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT
Séries Potências II por Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática-CCE Aulas de MAT 147-2018 26 e 28 de setembro de 2018 Se a série de potências c n (x a) n tiver um raio de convergência
Leia maisPROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA
PROVAS DE ANÁLISE COMPLEXA PROFESSOR RICARDO SA EARP () Seja Ω um domínio do plano complexo. Sejam f e g funções holomorfas em Ω. Assuma que g nunca se anule em Ω e que f(z) ( ) R, para todo z Ω. g(z)
Leia maisCompacidade de conjuntos e operadores lineares
Compacidade de conjuntos e operadores lineares Roberto Imbuzeiro Oliveira 13 de Janeiro de 2010 No que segue, F = R ou C e (X, X ), (Y, Y ) são Banach sobre F. Recordamos que um operador linear T : X Y
Leia maisANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 2018
ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 7 5 DE MARÇO DE 08 Condições Suficientes de Diferenciabilidade Teorema Seja f(z) = u(, y) + iv(, y). Se u e v têm derivadas parciais contínuas em torno
Leia mais{ 1 se x é racional, 0 se x é irracional. cos(k!πx) = cos(mπ) = ±1. { 1 se x Ak
Solução dos Exercícios Capítulo 0 Exercício 0.: Seja f k : [0, ] R a função definida por Mostre que f k (x) = lim j (cos k!πx)2j. { f k (x) = se x {/k!, 2/k!,..., }, 0 senão e que f k converge pontualmente
Leia maisTopologia e espaços métricos
Topologia e espaços métricos Roberto Imbuzeiro Oliveira 7 de Fevereiro de 2014 Conteúdo 1 Preliminares sobre conjuntos 2 2 Introdução aos espaços métricos 3 2.1 Definição............................. 3
Leia maisMais Alguns Aspectos da Derivação Complexa
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa META: Introduzir o conceito de funções holomorfas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir funções holomorfas e determinar se uma
Leia maisFunções analíticas LISTA DE EXERCÍCIOS
LISTA DE EXERCÍCIOS Funções analíticas. Suponha que f : Ω C é C-diferenciável. Denote por r (Ω) o conjunto { z; z Ω}. Mostre que g : r (Ω) C dada por g (z) := f ( z) é ainda C-diferenciável. Recíproca?
Leia maisNotas Sobre Sequências e Séries Alexandre Fernandes
Notas Sobre Sequências e Séries 2015 Alexandre Fernandes Limite de seqüências Definição. Uma seq. (s n ) converge para a R, ou a R é limite de (s n ), se para cada ɛ > 0 existe n 0 N tal que s n a < ɛ
Leia maisVariável Complexa
Variável Complexa 2017.2 Aula1 Utilizamos o símbolo C para denotar o plano real R 2 equipado com as seguintes operações: z 1 + z 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ) adição z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2,, x 1 y 2
Leia maisLOM3253 Física Matemática 2017 S2
LOM3253 Física Matemática 2017 S2 Parte 2. Funções de variável complexa Prof. Dr. Viktor Pastoukhov EEL-USP Subconjuntos no plano complexo Geometria Analítica no plano complexo Geometria Analítica no plano
Leia maisTeoremas fundamentais dos espaços normados
Capítulo 9 Teoremas fundamentais dos espaços normados 9.1 Teorema de Hahn-Banach O próximo teorema, conhecido como teorema de Hahn-Banach, é uma generalização do Teorema 4.12, o qual, recordamos para conveniência
Leia maisProva Substitutiva de MAT Cálculo IV - IFUSP 2 ō semestre de /12/2009 Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira
Prova Substitutiva de MAT0220 - Cálculo IV - IFUSP 2 ō semestre de 2009-8/2/2009 Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira Nome : N ō USP : GABARITO Q 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 Total N JUSTIFIQUE TODAS AS PASSAGENS
Leia maisPara temos : que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de.
MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2 SÉRIES DE POTÊNCIAS Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis. Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo,
Leia maisLista 4. Esta lista, de entrega facultativa, tem três partes e seus exercícios versam sobre séries, funções contínuas e funções diferenciáveis em R.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM095 - Análise I Prof José Carlos Eidam Lista 4 INSTRUÇÕES Esta lista, de entrega facultativa, tem três partes e seus exercícios versam
Leia maisANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. Apresente e justifique todos os cálculos
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS TESTES DE RECUPERAÇÃO A - 6 DE JUNHO DE 9 - DAS H ÀS :3H Teste Apresente e justifique
Leia maisLista 1. 9 Se 0 < x < y e n N então 0 < x n < y n.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Departamento de Matemática CM095 - Análise I Prof. José Carlos Eidam Lista 1 Em toda a lista, K denota um corpo ordenado qualquer. Corpos ordenados 1. Verifique as
Leia maisEspaços Euclidianos. Espaços R n. O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais:
Espaços Euclidianos Espaços R n O conjunto R n é definido como o conjunto de todas as n-uplas ordenadas de números reais: R n = {(x 1,..., x n ) : x 1,..., x n R}. R 1 é simplesmente o conjunto R dos números
Leia mais1 Séries de números reais
Universidade do Estado do Rio de Janeiro - PROFMAT MA 22 - Fundamentos de Cálculo - Professora: Mariana Villapouca Resumo Aula 0 - Profmat - MA22 (07/06/9) Séries de números reais Seja (a n ) n uma sequência
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais Guia 6 João Pedro Boavida. 19 a 28 de Outubro
19 a 28 de Outubro Nestas teóricas, estamos a falar das últimas ideias de análise complexa. Veremos algumas aplicações do teorema dos resíduos e algumas propriedades das funções holomorfas. No livro, falta-vos
Leia maisO Teorema de Peano. f : D R n. uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e uma função ϕ : I R n tais que
O Teorema de Peano Equações de primeira ordem Seja D um conjunto aberto de R R n, e seja f : D R n (t, x) f(t, x) uma função contínua. Vamos considerar o seguinte problema: Encontrar um intervalo I R e
Leia maisNotas do Curso de SMA-333 Cálculo III. Prof. Wagner Vieira Leite Nunes. São Carlos 1.o semestre de 2007
Notas do Curso de SMA-333 Cálculo III Prof. Wagner Vieira Leite Nunes São Carlos.o semestre de 7 Sumário Introdução 5 Seqüências Numéricas 7. Definições.................................... 7. Operações
Leia maisUniversidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia. Cálculo III. Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica
Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Cálculo III Prof. Dr. Jorge Teófilo de Barros Lopes Campus de Belém Curso de Engenharia Mecânica Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia
Leia maisPolinômios de Legendre
Seção 5: continuação do método de resolução por séries de potências Na Seção foi exposto informalmente, através de exemplos, o método de resolução de equações diferenciais ordinárias por séries de potências.
Leia maisUFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM122 - Fundamentos de Análise Prof. Zeca Eidam.
UFPR - Universidade Federal do Paraná Setor de Ciências Exatas Departamento de Matemática CM1 - Fundamentos de Análise Prof Zeca Eidam Lista 4 Supremo e ínfimo 1 Seja X R não-vazio 1 Mostre que, caso existam,
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 1 NÚMEROS E FUNÇÕES COMPLEXAS (1) Calcule i, i e i e represente estes números geometricamente.
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013
Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 01/013 1 o Teste Versão A Cursos: LEGM, LEMat, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEC, MEEC, MEQ) 3 de Novembro de 01, 8h Duração: 1h 30m 1. Considere a função
Leia maisRESOLUÇÃO DO PRIMEIRO TESTE 31 DE OUTUBRO DE 2015 MEMEC,LEAN. f(x + iy) = x + x 3 + i(1 + y + y 2 )
ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFEENCIAIS ESOLUÇÃO DO PIMEIO TESTE 3 DE OUTUBO DE 205 MEMEC,LEAN Considere a função f : C C definida pela expressão fx + iy = x + x 3 + i + y + y 2 a Determine o domínio de
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais Guia 3 João Pedro Boavida. 21 a 28 de Setembro
2 de Setembro de 211 21 a 28 de Setembro A secção Números complexos e matrizes 2 2 indica algumas das conclusões da discussão no final do guia 1 As secções Derivação em C e Integração em C resumem algumas
Leia maisCritérios de Avaliação A avaliação ao longo das actividades lectivas será periódica, sendo efectuados dois testes. Os testes serão nos dias 7 de Abril
Cálculo II Mestrado Integrado em Engenharia Aeronáutica Mestrado Integrado em Engenharia Civil António Bento bento@ubi.pt Departamento de Matemática Universidade da Beira Interior 2014/2015 António Bento
Leia maisIntegrais de linha, funções primitivas e Cauchy Goursat
Integrais de linha, unções primitivas e Cauchy Goursat Roberto Imbuzeiro Oliveira 2 de Abril de 2015 1 Preliminares Nestas notas, U C sempre será um aberto, γ : [a, b] U uma curva retiicável e : U C, uma
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência V. Araújo Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 1 Modos de convergência Modos de convergência Neste ponto já conhecemos quatro modos de convergência
Leia maisCálculo Diferencial e Integral I
Cálculo Diferencial e Integral I Complementos ao texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Julho 24 Introdução O texto apresentado tem por objectivo ser um complemento ao texto de apoio ao
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV E FICHA 3 TEOREMA DOS RESÍDUOS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM ( Seja f a função definida
Leia maisSéries Alternadas. São as séries cujos termos se alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, ( 1) k+1 1 k =
Séries Alternadas São as séries cujos termos se alternam entre positivos e negativos. Por exemplo, ( 1) k+1 1 k = 1 1 2 + 1 3 1 4 + 1 5 Em geral escrevemos, para uma série alternada, ou ( 1) k+1 a k =
Leia maisNotas de curso: Séries Numéricas e Séries de Taylor
UFPE CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁREA II CÁLCULO 3 - ō Semestre de 23 Notas de curso: Séries Numéricas e Séries de Taylor Professor: Sérgio Santa Cruz Objetivo. Estas notas têm o objetivo de auxiliar
Leia maisUniversidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão Lista 2. Sequências de Números Reais
Universidade Federal de Santa Maria Departamento de Matemática Curso de Verão 0 Lista Sequências de Números Reais. Dê o termo geral de cada uma das seguintes sequências: a,, 3, 4,... b, 4, 9, 6,... c,,
Leia maisUFRJ - Instituto de Matemática
UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras
Leia mais1 Limites e Conjuntos Abertos
1 Limites e Conjuntos Abertos 1.1 Sequências de números reais Definição. Uma sequência de números reais é uma associação de um número real a cada número natural. Exemplos: 1. {1,2,3,4,...} 2. {1,1/2,1/3,1/4,...}
Leia maisSequências e Séries Infinitas. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.
11 Sequências e Séries Infinitas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 11.3 O Teste da Integral e Estimativas de Somas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. O Teste
Leia maisP1 de Análise Real ou Análise I Data: 16 de abril de 2008
P1 de Análise Real ou Análise I 2008.1 Data: 16 de abril de 2008 Serão contadas as quatro melhores questões. 1. Seja (a n ) uma seqüência de números reais. Prove que se (a n ) 2 converge então a nn também
Leia maisComeçamos relembrando o conceito de base de um espaço vetorial. x = λ 1 x λ r x r. (1.1)
CAPÍTULO 1 Espaços Normados Em princípio, os espaços que consideraremos neste texto são espaços de funções. Isso significa que quase todos os nossos exemplos serão espaços vetoriais de dimensão infinita.
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais
Análise Complexa e Equações Diferenciais Exame - 9 de Janeiro de 8 MEC Resolução. A imagem da região { z C : Rz < e 3 8 < Iz < 8} por z e z é { z C : < z < e 3 } 4 < argz
Leia mais1 Distância entre dois pontos do plano
Noções Topológicas do Plano Americo Cunha André Zaccur Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 1 Distância entre dois pontos do plano
Leia maisTeoria da Medida e Integração (MAT505)
Modos de convergência Teoria da Medida e Integração (MAT505) Modos de convergência. V. Araújo Instituto de Matemática, Universidade Federal da Bahia Mestrado em Matemática, UFBA, 2014 Modos de convergência
Leia maisCapítulo 2 Funções de uma variável complexa. A origem dos números complexos repousa na solução de equações algébricas
Capítulo 2 Funções de uma variável complexa A origem dos números complexos repousa na solução de equações algébricas para. A solução da equação de 1º. grau:, remonta ao Egito antigo. Note que com os coeficientes
Leia maisO teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações
O teorema do ponto fixo de Banach e algumas aplicações Andressa Fernanda Ost 1, André Vicente 2 1 Acadêmica do Curso de Matemática - Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - Universidade Estadual do
Leia maisVamos revisar alguns fatos básicos a respeito de séries de potências
Seção 4 Revisão sobre séries de potências Vamos revisar alguns fatos básicos a respeito de séries de potências a n (x x ) n, que serão úteis no estudo de suas aplicações à resolução de equações diferenciais
Leia maisInstituto de Matemática e Estatística da USP. Ano Professor Oswaldo R. B. de Oliveira. Capítulo 8 - Teorema de Cauchy Homotópico e Logaritmo
MAT 225 - FUNÇÕES ANALÍTICAS Instituto de Matemática e Estatística da USP Ano 2015 Professor Oswaldo R. B. de Oliveira http://www.ime.usp.br/~oliveira oliveira@ime.usp.br Capítulo 8 - Teorema de Cauchy
Leia maisAnálise Matemática IV
. Análise Matemática IV o Exame - 9 de Janeiro de 006 LEA, LEC, LEEC, LEFT, LEN e LMAC Resolução y 4y + 4y = e t (D ) y = e t (D ) 3 y = 0 y = c e t + c te t + c 3 t e t, c, c, c 3 R. Substituindo estas
Leia maisLista 1 - Métodos Matemáticos II Respostas
Lista 1 - Métodos Matemáticos II Respostas Prof. Jorge Delgado Importante: As resoluções não pretendem ser completas mas apenas uma indicação para o aluno consultar caso seja necessário, cabendo a ele
Leia maisLista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018
Lista 8 de Análise Funcional - Doutorado 2018 Professor Marcos Leandro 17 de Junho de 2018 1. Sejam M um subespaço de um espaço de Hilbert H e f M. Mostre que f admite uma única extensão para H preservando
Leia maisCÁLCULO 3-1 ō Semestre de 2009 Notas de curso: Séries Numéricas e Séries de Taylor
UFPE CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA ÁREA II CÁLCULO 3 - ō Semestre de 29 Notas de curso: Séries Numéricas e Séries de Taylor Professor: Sérgio Santa Cruz Estas notas têm o objetivo de auxiliar o aluno
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre de 2011/ o Teste - Versão A LEAN, LEIC-A, MEAer, MEEC, MEMec) 5 de Novembro de 2011, 10h,
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática (Cursos: Análise Complexa e Equações Diferenciais o Semestre de 2/22 o Teste - Versão A LEAN, LEIC-A, MEAer, MEEC, MEMec) 5 de Novembro de 2, h, Duração:
Leia maisMETA: Introduzir o conceito de derivada de funções de variáveis complexas.
AULA 3 META: Introduzir o conceito de derivada de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir derivada de funções de variáveis complexas e determinar
Leia maisComprimento de Arco, o Número π e as Funções Trigonométricas
Comprimento de Arco, o Número π e as Funções Trigonométricas J. A. Verderesi Apresentaremos a seguir a medida de um ângulo como limite de poligonais inscritas e circunscritas à circunfêrencia unitária,
Leia mais3 ā Prova de MAT Cálculo IV - IFUSP 2 ō semestre de /12/2009 Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira
3 ā Prova de MAT0220 - Cálculo IV - IFUSP 2 ō semestre de 2009 - /2/2009 Prof. Oswaldo Rio Branco de Oliveira Nome : N ō USP : Q 2 3 4 5 E E2 Total N JUSTIFIQUE TODAS AS PASSAGENS BOA SORTE. Para cada
Leia maisDistribuies de Probabilidade
Distribuies de Probabilidade Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 23 de Março de 2009 Resumo Exerçícios sobre as distribuições de v.a. s. 1 Toda variável aleatória real é uniforme Seja X : Ω R com função
Leia maisANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 5 28 DE FEVEREIRO DE 2018
ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 5 8 DE FEVEREIRO DE 018 Para o logaritmo complexo, nem sempre são válidas as propriedades conecidas do logaritmo real. Por exemplo: log 0 ( i) = 3π
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2009/2010
Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 9/ ō Teste - Versão A (Cursos: Todos) 4 de Abril de, h Duração: h 3m. Seja u(x,y) = xe x cos(y) e x y sen(y)+β(x), em que β : R R é uma função de classe
Leia maisUm espaço métrico incompleto 1
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Um espaço métrico incompleto
Leia maisTeorema Do Ponto Fixo Para Contrações 1
Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência 20 anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Teorema Do Ponto Fixo
Leia maisLista 2 - Métodos Matemáticos II Respostas
Lista - Métodos Matemáticos II Respostas Prof. Jorge Delgado Importante: As resoluções não pretendem ser completas mas apenas uma indicação para o aluno consultar caso seja necessário, cabendo a ele fornecer
Leia mais24 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos
24 a Aula 2004.11.10 AMIV LEAN, LEC Apontamentos (Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt) 24.1 Método de Euler na aproximação de EDO s Métodos numéricos para a determinação de soluções de EDO s podem ser analisados
Leia maisSequências. 1 Denição, Intuição e Primeiros Exemplos. Alan Anderson. 5 de dezembro de 2015
Sequências Alan Anderson 5 de dezembro de 2015 1 Denição, Intuição e Primeiros s Se você não estiver familiarizado com funções, apenas leia isso e ignore a primeira denição: Uma sequência pode ser vista
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1. (1) Descreva as regiões do plano complexo definidas por z i c z, onde c é um número real não negativo.
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA SUPLEMENTAR 1 NÚMEROS COMPLEXOS E FUNÇÕES COMPLEXAS Números Complexos 1) Descreva as regiões
Leia maisANÁLISE MATEMÁTICA IV
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV FICHA 2 ANÁLISE COMPLEXA Para cada um dos seguintes conjuntos Z C, esboce o conjunto dos seus logaritmos.
Leia maisNúmeros naturais e cardinalidade
Números naturais e cardinalidade Roberto Imbuzeiro M. F. de Oliveira 5 de Janeiro de 2008 Resumo 1 Axiomas de Peano e o princípio da indução Intuitivamente, o conjunto N dos números naturais corresponde
Leia maisSéries de Potências. Definição: A série da forma. é uma série de potências centrada em a (ou ainda ao redor de a). Em que x é uma variável e
Séries de Potências + Séries de potências são muito semelhantes aos polinômios e podem ser tratadas como funções polinomiais. + Estas, por sua vez, são de grande importância para a representação de funções
Leia maisProdutos de potências racionais. números primos.
MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e
Leia mais( x)(x 2 ) n = 1 x 2 = x
Página 1 de 7 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Gabarito prova final unificada - Escola Politécnica / Escola de Química - 10/12/2009 Questão 1: (.0 pontos) (a) (1.0 ponto) Seja a função f(x) = x, com x
Leia maisReviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade
Reviso de Teoria da Medida e Elementos Bsicos de Probabilidade Roberto Imbuzeiro Oliveira 9 de Março de 2009 Resumo Esta lista cobre o básico do básico sobre espaços e distribuições de probabilidade. Pouco
Leia maisQuestão 4 (2,0 pontos). Defina função convexa (0,5 pontos). Seja f : I R uma função convexa no intervalo aberto I. Dado c I (qualquer)
DM IMECC UNICAMP, Análise I, Prof. Marcelo M. Santos Exame Final, 15/07/2009 Aluno: RA: Ass.: Observações: Tempo de prova: 100min; Justifique sucintamente todas as suas afirmações; Disponha as suas resoluções
Leia maisProbabilidade IV. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período
Probabilidade IV Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2015.2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período 2015.2 1 / 60 Sumário 1 Apresentação
Leia mais5 AULA. em Séries de Potências LIVRO. META Apresentar os principais métodos de representação de funções em séries de potências.
LIVRO Métodos de Representação de Funções em Séries de AULA META Apresentar os principais métodos de representação de funções em séries de potências. OBJETIVOS Representar funções em séries de potências.
Leia mais1 Espaço Euclideano e sua Topologia
1 Espaço Euclideano e sua Topologia Topologia é a estrutura básica para a de nição dos conceitos de limite e continuidade de aplicações. O Espaço Euclideano é caracterizado por uma topologia especial,
Leia maisProva Extramuro BOA PROVA! Respostas da Parte II
Prova Extramuro Nome: Identidade (Passaporte): Assinatura: Instruções (i) O tempo destinado a esta prova é de 5 horas. (ii) 25 porcento da pontuação total é da parte I (Perguntas dissertativas). BOA PROVA!
Leia maisPolinómio e série de Taylor
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA II - o Semestre 05/06 Exercícios Suplementares (Eng a Física Tecnológica, Matemática Aplicada e Computação
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2014/2015
Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre /205 (Curso: ō Teste MEAer de Novembro de, 9h. Considere a função u: R 2 R definida pela expressão onde a, b são parâmetros reais. u(x, y = ax 3 + bxy
Leia mais