Professor: Carlos Eugênio da Costa Teoria Microeconômica II Monitor: Diego Santiago

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1 Professor: Carlos Eugênio da Costa Teoria Microeconômica II Monitor: Diego Santiago EPGE/FGV Introdução matemática 1 Introdução Esta introdução visa familiarizar o aluno com ferramentas matemáticas que serão usadas extensivamente ao longo do curso. A primeira lista de exercícios consistirá na aplicação dos conceitos matemáticos contidos aqui. 2 Conjuntos Definição 1. Seja A R n e x, y X. Então: 1. x y x i y i, i = 1,...n 2. x > y x i y i, i = 1,...n e k {1,..., n}, tq x k > y k 3. x y x i > y i, i = 1,...n Note que, >, não são uma relação completa em R n, isto é, existem vetores x, y R n, tq x y e x y. Definição 2. Sejam A, B R n, definimos A + B = {a + b : a A e b B} e A B = {a b : a A e b B}. Definição 3. Seja A R n. Dizemos que A é convexo se x, y A, o conjunto {αx + (1 α)y : α [0, 1]} A O ponto αx + (1 α)y é chamado cominação convexa de x e y. Os seguintes lemas caracterizão mais um conjunto covexo: Lema 1. Seja X R n convexo e x 1,..., x n X, então, n i=1 λ ix i X, (λ 1,..., λ n ) 0 tq n i=1 λ i = 1. Demonstração: Exercício 1

2 Lema 2. Sejam {D λ } λ Λ família de conjuntos convexos contidos em R n. Então, λ Λ D λ é convexo. Demonstração: Se λ Λ D λ é vazio é trivial. Caso contrário, tome x, y λ Λ D λ x, y D λ λ Λ. Como cada D λ é convexo, então, {αx + (1 α)y : α [0, 1]} D λ λ Λ. Assim, {αx + (1 α)y : α [0, 1]} λ Λ D λ. Lema 3. Seja A R n. Se A é convexo, então, A (fecho de A) é convexo. Demonstração: Se A é vazio é trivial. Caso contrário, tome x, y A e α [0, 1] então, existem sequências {x n } e {y n } em A, tal que x n x e y n y. Pela convexidade de A, αx n +(1 α)y n A. Tomando limites e usando que A é fechado, αx+(1 α)y A. 3 Funções Nesta seção, sejam X R n e Y R q. Definição 4. Uma função f : X Y é contínua em x 0 X, se lim x x0 f(x) = f(x 0 ) Uma função f : X Y é contínua em X se é contínua em cada ponto de X. Definição 5. Uma função f : X R é homogênea de grau k se t > 0, f(tx) = t k f(x) Teorema 1 (Euler). Uma função f : X R diferenciável é homogênea de grau k se, e somente se, Demonstração: Omitida kf(x) = n i=1 f(x) x i x i Teorema 2 (do valor mediano). Seja f : X Y continuamente diferenciável. Então, existe x entre x e y tq: f(x) f(y) = f(x)(x y) Onde x = (β 1,..., β n ) x + (1 β 1,..., 1 β n ) y, β i [0, 1], Demonstração: Omitida i Vamos definir as noções de convexidade e concavidade de funções que serão úteis nas outras seções: 2

3 Definição 6. Uma função f : X R é convexa em X, se x, y X e α [0, 1] vale: f(αx + (1 α)y) αf(x) + (1 α)f(y) Além disso, f é estritamente convexa se a desigualdade acima é estrita para todo α [0, 1] e x y. Definição 7. Uma função f : X R é côncava em X, se ( f) é convexa em X. Defina os conjuntos upper contour set U(x) = {x X : f(x) c} e lower contour set L(x) = {x X : f(x) c}, conjuntos fechados em X. Definimos: Definição 8. Seja X convexo. Uma função f : X R é quasiconvexa em X se o L(x) é convexo, c R. Analogamente, f é estritamente quasiconvexa se {x X : f(x) < 0} é convexo c R. Definição 9. Seja X convexo. Uma função f : X R é quasicôcava em X se o conjunto U(x) é convexo, c R. Analogamente, f é estritamente quasicôncavo se {x X : f(x) > 0} é convexo c R. Uma representação bastate útil de funções em C 1 (espaço das funções continuamente diferenciaveis) é dado pela proposição abaixo: Proposição 1. Seja f C 1. A função f : X R, é côncava se, e somente se, f(x + z) f(x) + f(x) z x X e z R n tq x + z X Demonstração: Teorema M.C.1 (apêndice Mas-Colell) 4 Análise convexa e teoremas de separação Umas das ferramentas mais usadas na teoria de equilíbrio geral são os teoremas de hiperplano separador. Vamos ver 3 versões de dimensão finita do teorema. Para tal, vamos definir alguns conceitos. 4.1 Projeções Seja V um espaço vetorial munido de produto interno, : V V R e : V R + norma induzida pelo produto interno (V = R n, por exemplo). 3

4 Definição 10. Seja B V não vazio e sejax 0 V qualquer. Definimos a dinstância de x 0 ao conjunto B por d B (x 0 ) : V R +, onde: d B (x 0 ) = inf x B x x 0 O conjunto P B (x 0 ) = {x B : x x 0 = d B (x 0 )} é chamado projeção de x 0 em B. O próximo teorema garante, sob condições gerais, a unicidade da projeção: Teorema 3 (da Projeção). Seja V um espaço vetorial de dimensão finita munido de produto interno. Seja D V convexo e fechado e tome x 0 V. Então: 1. x P D (x 0 ) se, e somente se, x V e x x 0, x y 0, y D 2. Existe um único x D tq x x 0 = d D (x 0 ) Demonstração: (1) ( ) Seja x P D (x 0 ), então, y D, vale: x x 0 (1 α)x + αy x 0 x x 0 2 (1 α)x + αy x Então: x x 0, x x 0 (1 α)x + αy x 0, (1 α)x + αy x 0 0 x x 0, x x 0 x x 0, x x 0 αx + αy αx + αy, x x 0 αx + αy 0 x x 0, αx αy αx + αy, x x 0 αx + αy 0 x x 0, αx αy αx + αy, x x 0 αx + αy, αx + αy 0 2α x x 0, x y α 2 x y 2 0 Dividindo os dois lados por 2α e fazendo α 0, temos: x x 0, x y 0 ( ) Seja x D tq x x 0, x y 0 y D. Note que: x x 0, x y = x x x x 0, x 0 y. Mas pela desigualdade de Cauchy-Schwartz ( x, y x y ), temos que: x x 0, x 0 y x x 0 x 0 y. Então: 4

5 0 x x 0, x y x x 0 2 x x 0, y x 0 x x 0 y x 0 Então, se x x 0 = 0 x = x 0 e x P D (x 0 ). Se x x 0 0, temos que x x 0 x 0 y, y D. Assim, x P D (x 0 ) Vamos provar (2): Suponha x, x P D (x 0 ), então, x x 0, x y 0 e x x 0, x y 0, y D. Em particular, x x 0, x x 0 e x x 0, x x 0. Logo: 0 x x 0, x x x x 0, x x = x x, x x = x x Então, x = x Então, se D V é convexo, podemos definir a função p D : V D. 4.2 Teoremas de separação Definição 11. Para a V \{0} e c R, o conjunto: H(a, c) = {x V : a, x = c} é um hiperplano. Definição 12. Sejam B 1, B 2 V. O hiperplano H(a,c) separa B 1 de B 2 se: x B 1, a, x c a, y, y B 2 Se as duas desigualdades são estritas, dizemos que o hiperplano separa estritamente B 1 de B 2. Lema 4. Seja D V convexo e seja H(a,c) hiperplano tal que H(a, c) D =. Então, D {x V : a, x < 0} ou D {x V : a, x > 0}. Demonstração: Suponha x, x D tq, x {x V : a, x < 0} e x {x V : a, x > 0}. Então, tome λ = a,x c (0, 1) e defina x = a,x a,x λx + (1 λ)x. Note que x H(a, c) e x D, logo, x D H(a, c), contradição. Lema 5 (de Minkowski). Seja D V não vazio e convexo, e dim(v ) <. Se x D, então, existe a V \{0} e c R, tq x H(a, c) e a, y > c, y D. Demonstração: Sabemos que D é convexo. Pelo teorema da projeção, existe um único x = P D (x) D. Sejam a = x x( ) e c = a, x. Então, y D, a, y = 5

6 x x, y x x, x. Pelo mesmo teorema: x x, x y 0, y D. Então, temos a, y x x, x = x x 2 + x x, x = x x 2 + c > c, pois x x Definição 13. Um hiperplano H(a,c) é de suporte de um conjunto B, se H(a, c) B e B {x V : a, x < c} = e B {x V : a, x > c} =. Se x H(a, c) B, dizemos que H(a,c) suporta D em x. (Onde B é o conjunto dos pontos de fronteira de B). Teorema 4 (Hiperplano de Suporte). Seja V tq dim(v ) < e D V não vazio e convexo. Se x D, então, existe a V \{0} e c R tq x H(a, c) e a, y c, D, ie, o hiperplano suporta D em x. Demonstração: Como x D, tome a sequência x n x em y Ḋ. Pelo lema de Minkowski, para cada n, existe a n V \{0} e c n R, tq, x n H(a n, c n ). Note que: a n, c n = c n an a n, x n = c n a n a Como {x n } é limitada e n é limitada, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, c n a n a n é limitada. Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, existe um conjunto infinito N, tq, a n c a n e n n N a n são convergentes. Sejam an a V e c n n N a n a n c R. Como = 1, então, a V \{0}. Pela continuidade do produto interno, temos que x an a n H(a, c). Por outro lado, a n, y > c n, c. y D, n, tomando limites, temos que: a, y Os teoremas a seguir são os mais usados na literatura. Teorema 5 (Hiperplano de Separação). Seja V tq dim(v ) < e D 1, D 2 vazios, convexos e disjuntos. Então, existem a V \{0} e c R, tq, V não x D 1, a, x c a, y, y D 2 ie, existe um hiperplano H(a,c) que separa D 1 e D 2. Demonstração: Defina D = D 1 D 2. Note que D é convexo e 0 D (Exercício). Se 0 D, podemos aplicar o lema de Minkowski; se 0 D, aplicamos o teorema de suporte. Em ambos os casos, existem a V \{0}, tq a, z 0, z D, isto é, x D 1, a, x a, y, y D 2 Note que a função a, é limitada superiormente em D 1 e limitada inferiormente em 6

7 D 2, então: x D 1, a, x sup a, x inf a, x a, y, y D 2 x D 1 x D 2 Definindo c = sup x D 1 a,x +inf x D2 a,x 2 R, temos o resultado. Teorema 6 (Separação estrita). Seja V tq dim(v ) < e D 1, D 2 V não vazios, convexos, fechados e disjuntos. Além disso, suponha D 1 compacto. Então, existem a V \{0} e c R, tq, x D 1, a, x < c a, y, y D 2 ie, existe um hiperplano H(a,c) que separa estritamente D 1 e D 2. Demonstração: Como d D2 é contínua em D 1, compacto, pelo teorema de Weirstrass, temos que: x argmin{d D2 (x) : x D 1 } Como D 1 e D 2 são fechados e D 1 D 2 =, temos que, d D2 (x ) > 0. Seja y = P D2 (x ). Defina a = y x 0. Mas, pelo teorema da projeção, temos que: 0 y x, y y, y D 2 a, y a, y y D 2 Defina c 2 = a, y. Note que x D 1, temos: y x d D2 (x ) = x P D2 (x ) = x y x = P D1 (y ) Então, como temos: a, x a, x, x D 1. Defina c 1 = a, x e note que c 2 c 1 = y x > 0. Assim, sejam b = c 2 c 1 4 e c = c 2 c 1 2, temos: x D 1, a, x b < c a, y, y D 2 5 Otimização A maior parte dos modelos econômicos estão baseados na solução de problemas de otimização. Alguns dos teoremas mais usados são enunciados aqui. Nesta seção, sejam X, Y R n. Sabemos, pelo teorema de Heine-Borel, que X é compacto se, e somente se, é fechado e limitado. O resultado de existência de solução mais básico usa tal noção: 7

8 Teorema 7 (Weierstrass). Seja f : X R contínua em X, um conjunto compato. Então, f tem máximo em X, isto é, existe x X tq f(x ) f(x), x X. Demonstração: Exercício tipo: Vamos nos concentrar nos problemas de otimização convexos, isto é, problemas do max f(x) x X Onde X é convexo e f é côncava. O motivo pode ser resumido pelas proposições abaixo: Proposição 2. Se X é convexo e f : X R côncava. Então, se x é maximo local de f, ele é maximizador global e o conjunto de maximizadores é convexo. Demonstração: Suponha x maximizador local, mas existe y X tal que f(y) > f(x ). Defina x(α) = αx + (1 α)y, pela concavidade de f: f(x(α)) αf(x ) + (1 α)f(y) > f(x ) Então, fazendo α 1 temos x(α) arbitrariamente perto de x e f(x(α)) > f(x ). Uma contradição com x ser maximizador local de f. A demostração de convexidade do conjunto solução é análoga. Temos o seguinte resultado que garante unicidade da solução: Proposição 3. Se X é convexo e f : X R estritamente côncava. Então, se f tem máximo em X, ele é único Demonstração: Suponha que não seja, existem x 1 e x 2 máximais de f. Seja x = 1 x x 2 2, como f é estritamente côncava, f(x ) > 1 2 f(x 1) f(x 2) = f(x 1 ) uma contradição com a definição de elemento maximal. 5.1 Otimização com restrição de igualdade Teorema 8 (Lagrange). Sejam X R n aberto, f : X R e g = (g 1,..., g k ) : X R k funções C 1. Se existe x X que soluciona max{f(x) : x X, g 1 (x) = k 1,..., g n (x) = k n } Então, existem µ e λ = (λ 1,..., λ k ) diferentes de zero tq: µ f(x ) = λ g(x ) 8

9 Além disso, se ( g 1 (x ),..., g k x ) são LI, podemos tomar µ = 1 Demonstração: Apostila do Alexandre Madureira, pág. 88 Isto é, se as restrições ( g 1 (x ),..., g k x ) são LI, temos o seguinte resultado: Defina L(x, λ) = f(x) + λ (k g(x)) x argmax{f(x) : x X, g 1 (x) = k 1,..., g n (x) = k n } x argmaxl(x, λ) Para algum λ 0 Os λ i são os mutiplicadores de Lagrange e tem muita utilidade em economia. No problema do consumidor padrão, por exemplo, o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária representa a utilidade marginal da renda, isto é, V (p,m) m onde V é utilidade indireta e m é a renda. Esse resultado é derivado do teorema a seguir: Teorema 9 (Envelope). Seja m R s. Considere a função: V (m) = max{f(x, m) : x X, g 1 (x, m) = k 1,..., g n (x, m) = k n } Suponha que V é difenciável em q e seja x(q) a solução associada a cada q. Então: V (q ) = q L(x(q ), λ, q ) Demonstração: Teorema M.L.1 (apêndice Mas-Colell) 5.2 Otimização com restrição de desigualdade Para restrições de desigualdade, temos o seguinte teorema. Teorema 10 (Kuhn-Tucker). Sejam X R n aberto e convexo, f : X R e g = (g 1,..., g k ) : X R k funções C 1 côncavas. Se existe x 0 X tq g 1 (x 0 ) > 0,..., g k (x 0 ) > 0 (Condição de Slater), temos: x argmax{f(x) : x X, g 1 (x) 0,..., g n (x) 0} Se, e somente se, existem λ = (λ 1,..., λ k ) 0 tal que: 1. x argmax{f(x) + λ g(x) : x X} 2. λ i g i (x ) = 0 i {1,..., k} Demonstração: Omitida 9

10 Kunh-Tucker na prática: Dado o problema: max{f(x) : g(x) 0} x X 1. Verificar se o conjunto de restrição é convexo. Condições suficientes são X convexo e g quase-côncava. 2. Verificar a condição de Slater. 3. Escreva o Lagrangeano: L(x, λ) = f(x) + λ g(x) 4. Tire as CPO: L(x, λ, µ) = f(x) + λ g(x) = 0 5. Condições de não negatividade: g(x) 0 e λ 0 6. Complementary Slackness: λ i g i (x) = 0 i 6 Correspondências Uma função que não é univaloral, isto é, que pode assumir vários valores (ou nenhum) é chamda de correspondência. Definição 14. Sejam X R n e Y R q, uma correspondência f : X Y é uma regra que assinala um conjunto f(x) Y para cada x X. Definição 15. Seja X R n e Y R q. O gráfico de uma correspondência f : X Y é o conjunto: {(x, y) X Y : y f(x)} Definição 16. Sejam X R n e Y R q, uma correspondência f : X Y é (1) não vazia se f(x) x X.(2) Tem gráfico fechado f(x) é fechado x X. (3) Tem valores convexos se f(x) é convexo x X. (4) Tem gráfico compacto se f(x) é compacto x X. Vamos caracterizar noções de continuidade de correspondências. As caracterização aqui são feitas por sequências, que apesar de não ser a forma mais geral, é a de mais fácil verificação. 10

11 Definição 17. Seja X R n e Y R q. Uma correspondência f : X Y é hemicontínua superior (hcs) se tem o gráfico compacto e para quaisquer sequências x n x e y n f(x n ), existe uma subsequência {y nk } tq y nk y e y f(x). Definição 18. Seja X R n e Y R q. Uma correspondência f : X Y é hemicontínua inferior (hci) se para toda sequencia x n x em X e y f(x), existe sequência y n y tq y n f(x n ), para todo n. Definição 19. Seja X R n e Y R q. Uma correspondência f : X Y é contínua se é hcs e hci. 7 Teoremas de ponto fixo Alguns dos teoremas mais importantes em economia são os teoremas de ponto fixo. Vamos enunciar dois desses teoremas. Definição 20. Seja X R n e Y R n. Um ponto fixo da correspondência f : X Y é x X tq x f(x ). Se f é uma função, um ponto fixo de f : X Y é x X tq x = f(x ) Teorema 11 (Ponto fixo de Brower). Seja X R n não vazio, compacto e convexo. Se uma função f : X X é contínua em X, então f tem ponto fixo. Demonstração: Omitida Teorema 12 (Ponto fixo de Kakutani). Seja X R n não vazio, compacto e convexo. Se uma correspondência f : X X é hemi-contínua superior em X, é não vazia, compacta e tem valores convexos em X, então f tem ponto fixo. Demonstração: Omitida 11