Jogos de soma zero com dois jogadores

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1 Jogos de soma zero com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Jogador 1 quer encontrar p que maximize v sujeito a i p i = 1 sujeito a (pa) j v para j = 1,...,n sujeito a p i 0 para i = 1,...,m. Teoria dos Jogos p. 1

2 Jogos de soma zero com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Jogador 1 quer encontrar p que maximize v sujeito a i p i = 1 sujeito a (pa) j v para j = 1,...,n sujeito a p i 0 para i = 1,...,m. Jogador 2 quer encontrar q que minimize w sujeito a i q i = 1 sujeito a (Aq) i w para i = 1,...,m sujeito a q j 0 para j = 1,...,n. Teoria dos Jogos p. 1

3 Jogos de soma zero com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Jogador 1 quer encontrar p que maximize v sujeito a i p i = 1 sujeito a (pa) j v para j = 1,...,n sujeito a p i 0 para i = 1,...,m. Jogador 2 quer encontrar q que minimize w sujeito a i q i = 1 sujeito a (Aq) i w para i = 1,...,m sujeito a q j 0 para j = 1,...,n. Estes são programas lineares, e um é o dual do outro! Teoria dos Jogos p. 1

4 Forma padrão dos LPs Programa primal: minimize cx sujeito a Ax b x 0 Teoria dos Jogos p. 2

5 Forma padrão dos LPs Programa primal: minimize cx sujeito a Ax b x 0 Programa dual: maximize by sujeito a A T y c y 0 Teoria dos Jogos p. 2

6 Primeiro LP em forma padrão Jogador 1 quer encontrar p que maximize v sujeito a i p i = 1 sujeito a (pa) j v para j = 1,...,n sujeito a p i 0 para i = 1,...,m. Forma padrão: minimize v + + v sujeito a i p i 1 i p i 1 v + + v + i a ijp i 0 para j = 1,...,n v +,v,p i 0 para i = 1,...,m Teoria dos Jogos p. 3

7 Segundo LP em forma padrão Jogador 2 quer encontrar q que minimize w sujeito a i q i = 1 sujeito a (Aq) i w para i = 1,...,m sujeito a q j 0 para j = 1,...,n. Forma padrão: maximize w + + w sujeito a i q i 1 i q i 1 w + + w + j a ijq j 0 para i = 1,...,m w +,w,q j 0 para j = 1,...,n Teoria dos Jogos p. 4

8 LPs em forma padrão minimize v + + v sujeito a i p i 1 i p i 1 v + + v + i a ijp i 0 para j = 1,...,n maximize w + + w v +,v,p i 0 para i = 1,...,m sujeito a i q i 1 i q i 1 w + + w + j a ijq j 0 para i = 1,...,m w +,w,q j 0 para j = 1,...,n Teoria dos Jogos p. 5

9 Programa primal minimize v + + v sujeito a i p i 1 i p i 1 v + + v + i a ijp i 0 para j = 1,...,n v +,v,p i 0 para i = 1,...,m c = ( 1, 1, 0,..., 0) e b = ( 1, 1, 0,..., 0) A = 1 1 a 11 a m a 1n a mn Teoria dos Jogos p. 6

10 Relação entre os valores dos LPs v = ( ) q j v = (vq j ) j j i j ( ) a ij p i qj = ( i i j wp i = ( ) p i w = w i a ij q j ) pi Teoria dos Jogos p. 7

11 Relação entre os valores dos LPs v = ( ) q j v = (vq j ) j j i j ( ) a ij p i qj = ( i i j wp i = ( ) p i w = w i a ij q j ) pi Para soluções ótimas, os valores v e w são iguais e se q j > 0 então i a ijp i = v se p i > 0 então j a ijq j = w Teoria dos Jogos p. 7

12 Relação entre os valores dos LPs v = ( ) q j v = (vq j ) j j i j ( ) a ij p i qj = ( i i j wp i = ( ) p i w = w i a ij q j ) pi Para soluções ótimas, os valores v e w são iguais e se q j > 0 então i a ijp i = v se p i > 0 então j a ijq j = w Toda estratégia no suporte de uma estrategia mista ótima tem o mesmo valor esperado (o valor ótimo). Teoria dos Jogos p. 7

13 Jogos com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n representando um jogo de dois jogadores de soma zero, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Teoria dos Jogos p. 8

14 Jogos com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n representando um jogo de dois jogadores de soma zero, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Conclusão: Este problema pode ser resolvido em tempo polinomial (usando programação linear). Teoria dos Jogos p. 8

15 Jogos com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n representando um jogo de dois jogadores de soma zero, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Conclusão: Este problema pode ser resolvido em tempo polinomial (usando programação linear). E para jogos que não sejam de soma zero? Teoria dos Jogos p. 8

16 Jogos com dois jogadores Problema: Dada uma matriz A m n representando um jogo de dois jogadores de soma zero, encontrar um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas). Conclusão: Este problema pode ser resolvido em tempo polinomial (usando programação linear). E para jogos que não sejam de soma zero? Veremos mais adiante. Teoria dos Jogos p. 8

17 Estratégias mistas Uma estratégia mista para o jogador i é uma distribuição de probabilidades no conjunto S i. Seja σ um vetor de estratégias mistas. Ou seja, para cada jogador i, σ i é uma distribuição de probabilidades em S i. Teoria dos Jogos p. 9

18 Estratégias mistas Uma estratégia mista para o jogador i é uma distribuição de probabilidades no conjunto S i. Seja σ um vetor de estratégias mistas. Ou seja, para cada jogador i, σ i é uma distribuição de probabilidades em S i. Qual é a utilidade esperada do jogador i para σ? Teoria dos Jogos p. 9

19 Estratégias mistas Uma estratégia mista para o jogador i é uma distribuição de probabilidades no conjunto S i. Seja σ um vetor de estratégias mistas. Ou seja, para cada jogador i, σ i é uma distribuição de probabilidades em S i. Qual é a utilidade esperada do jogador i para σ? U i (σ) = E[u i (σ)] = s S u i (s)pr σ [s], onde Pr σ [s] = j σ j(s j ). (Considera-se que os jogadores são independentes.) Teoria dos Jogos p. 9

20 Equilíbrio de Nash Jogador i está satisfeito com σ se E[u i (σ)] E[u i (ρ,σ i )] para toda estratégia mista ρ sobre S i. Teoria dos Jogos p. 10

21 Equilíbrio de Nash Jogador i está satisfeito com σ se U i (σ) U i (ρ,σ i ) para toda estratégia mista ρ sobre S i. Teoria dos Jogos p. 10

22 Equilíbrio de Nash Jogador i está satisfeito com σ se U i (σ) U i (ρ,σ i ) para toda estratégia mista ρ sobre S i. σ é um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas) se todo jogador está satisfeito com σ. Ou seja, em σ, nenhum jogador tem incentivo para mudar de estratégia (mista). Teoria dos Jogos p. 10

23 Equilíbrio de Nash Jogador i está satisfeito com σ se U i (σ) U i (ρ,σ i ) para toda estratégia mista ρ sobre S i. σ é um equilíbrio de Nash (de estratégias mistas) se todo jogador está satisfeito com σ. Ou seja, em σ, nenhum jogador tem incentivo para mudar de estratégia (mista). Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Teoria dos Jogos p. 10

24 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Teoria dos Jogos p. 11

25 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Teoria dos Jogos p. 11

26 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Conjunto compacto: fechado e limitado. Teoria dos Jogos p. 11

27 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Conjunto compacto: fechado e limitado. Conjunto convexo: se x e y D, então o segmento xy D. Teoria dos Jogos p. 11

28 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Conjunto compacto: fechado e limitado. Conjunto convexo: se x e y D, então o segmento xy D. Comentários na aula: Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para m = 1 e m = 2. Teoria dos Jogos p. 11

29 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Conjunto compacto: fechado e limitado. Conjunto convexo: se x e y D, então o segmento xy D. Comentários na aula: Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para m = 1 e m = 2. Lema de Sperner e Teorema do Ponto Fixo de Brouwer. Teoria dos Jogos p. 11

30 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Conjunto compacto: fechado e limitado. Conjunto convexo: se x e y D, então o segmento xy D. Teoria dos Jogos p. 12

31 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Conjunto compacto: fechado e limitado. Conjunto convexo: se x e y D, então o segmento xy D. Seja m i = S i e m = i m i. Σ i : conjunto das estratégias mistas para i (Σ i = {p IR m i : p(s) 0 s S i e s S i p(s) = 1} IR m i ) Teoria dos Jogos p. 12

32 Teorema de Ponto Fixo de Brouwer Teorema de Ponto Fixo de Brouwer (1909): Toda função contínua f : D D, onde D é um subconjunto compacto e convexo do IR m, tem um ponto fixo. Ponto fixo: x em D tal que f(x) = x. Conjunto compacto: fechado e limitado. Conjunto convexo: se x e y D, então o segmento xy D. Seja m i = S i e m = i m i. Σ i : conjunto das estratégias mistas para i (Σ i = {p IR m i : p(s) 0 s S i e s S i p(s) = 1} IR m i ) O conjunto Σ = Σ 1 Σ n IR m é compacto e convexo. Teoria dos Jogos p. 12

33 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Teoria dos Jogos p. 13

34 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Teoria dos Jogos p. 13

35 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. A função g i (ρ i ) = U i(ρ i,σ i) ρ i σ i 2 é côncava, logo tem um único máximo, e assim f está bem-definida. Teoria dos Jogos p. 13

36 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. A função g i (ρ i ) = U i(ρ i,σ i) ρ i σ i 2 é côncava, logo tem um único máximo, e assim f está bem-definida. De fato, g i : Σ i IR é uma função quadrática e côncava: g i (ρ i) = s S u i (s) j i σ j (s j )ρ i(s i ) s S i (ρ i(s) σ i (s)) 2. Teoria dos Jogos p. 13

37 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Teoria dos Jogos p. 14

38 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Note ainda que a função ρ i é contínua em σ. Teoria dos Jogos p. 14

39 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Note ainda que a função ρ i é contínua em σ. Então, pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Teoria dos Jogos p. 14

40 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Note ainda que a função ρ i é contínua em σ. Então, pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Vamos mostrar que ˆσ é um equilíbrio de Nash! Teoria dos Jogos p. 14

41 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Suponha, por contradição, que ˆσ não é equilíbrio de Nash. Teoria dos Jogos p. 15

42 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Suponha, por contradição, que ˆσ não é equilíbrio de Nash. Existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Teoria dos Jogos p. 15

43 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Suponha, por contradição, que ˆσ não é equilíbrio de Nash. Existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Vamos escolher α (0, 1] tq ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) contraria o fato de f(ˆσ) = ˆσ. Teoria dos Jogos p. 15

44 Prova do Teorema de Nash Teorema (Nash, 1951): Todo jogo com um número finito de jogadores e conjuntos finitos de estratégias tem um equilíbrio de Nash de estratégias mistas. Prova: Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Suponha, por contradição, que ˆσ não é equilíbrio de Nash. Existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Vamos escolher α (0, 1] tq ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) contraria o fato de f(ˆσ) = ˆσ. Note que tal ˆρ i Σ i pois é combinação convexa de ˆσ i e ρ i. Teoria dos Jogos p. 15

45 Prova do Teorema de Nash Considere f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Suponha, por contradição, que ˆσ não é equilíbrio de Nash. Existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Vamos escolher α tal que ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) contraria o fato de f(ˆσ) = ˆσ. Teoria dos Jogos p. 16

46 Prova do Teorema de Nash Considere f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Suponha, por contradição, que ˆσ não é equilíbrio de Nash. Existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Vamos escolher α tal que ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) contraria o fato de f(ˆσ) = ˆσ. Para σ fixo, U i (ρ i,σ i ) é linear em ρ i, logo U i (ρ i ˆσ i, ˆ σ i ) = U i (ρ i, ˆσ i ) U i (ˆσ) = δ e Teoria dos Jogos p. 16

47 Prova do Teorema de Nash Considere f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Pelo Teorema de Brouwer, f tem um ponto fixo ˆσ. Suponha, por contradição, que ˆσ não é equilíbrio de Nash. Existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Vamos escolher α tal que ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) contraria o fato de f(ˆσ) = ˆσ. Para σ fixo, U i (ρ i,σ i ) é linear em ρ i, logo U i (ρ i ˆσ i, ˆ σ i ) = U i (ρ i, ˆσ i ) U i (ˆσ) = δ e U i (ˆρ i, σˆ i ) = U i (ˆσ i + α(ρ i ˆσ i ), ˆσ i ) = U i (ˆσ) + α U i (ρ i ˆσ i, ˆσ i ) = U i (ˆσ) + α δ Teoria dos Jogos p. 16

48 Prova do Teorema de Nash Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Se o ponto fixo ˆσ de f não é equilíbrio de Nash, então existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Seja ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) para algum α > 0. Teoria dos Jogos p. 17

49 Prova do Teorema de Nash Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Se o ponto fixo ˆσ de f não é equilíbrio de Nash, então existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Seja ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) para algum α > 0. Conforme calculamos, U i (ˆρ i, ˆσ i ) = U i (ˆσ) + α δ. Teoria dos Jogos p. 17

50 Prova do Teorema de Nash Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Se o ponto fixo ˆσ de f não é equilíbrio de Nash, então existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Seja ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) para algum α > 0. Conforme calculamos, U i (ˆρ i, ˆσ i ) = U i (ˆσ) + α δ. Se α < δ/ ρ i ˆσ i 2, então U i (ˆρ i, ˆσ i ) ˆρ i ˆσ i 2 = U i (ˆσ) + α δ ˆρ i ˆσ i 2 = U i (ˆσ) + α δ α 2 ρ i ˆσ i 2 > U i (ˆσ), Teoria dos Jogos p. 17

51 Prova do Teorema de Nash Considere a função f : Σ Σ definida por f(σ) = ρ, onde ρ i = arg max ρ i Σ i {U i (ρ i,σ i) ρ i σ i 2 }. Se o ponto fixo ˆσ de f não é equilíbrio de Nash, então existe i e ρ i em Σ i tq U i (ρ i, ˆσ i) = U i (ˆσ) + δ, para δ > 0. Seja ˆρ i = ˆσ i + α(ρ i ˆσ i) para algum α > 0. Conforme calculamos, U i (ˆρ i, ˆσ i ) = U i (ˆσ) + α δ. Se α < δ/ ρ i ˆσ i 2, então U i (ˆρ i, ˆσ i ) ˆρ i ˆσ i 2 = U i (ˆσ) + α δ ˆρ i ˆσ i 2 = U i (ˆσ) + α δ α 2 ρ i ˆσ i 2 > U i (ˆσ), contradição pois ˆσ i não é arg max{u i (ˆρ i, ˆσ i ) ˆρ i ˆσ i 2 }. Teoria dos Jogos p. 17