Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Curso: Introdução à Economia Matemática

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1 Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada Curso: Introdução à Economia Matemática Prof. Rodrigo Novinski 8 de Fevereiro de 2010

2 Escolha sob Risco: Atitudes frente ao Risco (Castro e Faro, capítulo sobre Utilidade Esperada) No que segue, o conjunto dos possíveis payoffs será Z = IR +. Dada a função x : A [0, 1], com A IR, definimos o suporte de x como sendo o conjunto supp [x] = fecho{z A : x(z) > 0} Exemplo: Seja x : IR + [0, 1] definida por x (z) = 1 n, quando z = 1 n e x (z) = 0, em caso contrário. Temos que supp [x ] = {1/n : n N} {0}.

3 Atitudes frente ao Risco Definição: Dizemos que x : IR + [0, 1] é uma loteria simples quando #supp [x] < e z supp [x] x(z) = 1. Assim, uma loteria simples atribui chance positiva a um conjunto finito de payoffs em IR +. Definição: Caso x : IR + [0, 1] seja tal que o conjunto supp [x] é enumerável e z supp [x] x(z) = 1, dizemos que x é loteria com suporte enumerável.

4 Atitudes frente ao Risco OBS.: É possível generalizar o Teorema de Representação de vnm para o caso em que o conjunto de alternativas X é: ou a coleção das loterias simples; ou a coleção das loterias com suporte enumerável. Neste caso, a utilidade esperada é da forma: U(x) = u(z) x(z), z supp [x] sendo u : IR + IR o índice de utilidade.

5 Atitudes frente ao Risco Exemplo: Paradoxo de São Petersburgo Suponha que a chance de ocorrer cara no lançamento de um moeda seja p (0, 1) (e que esta probabilidade não mude entre um lançamento e outro). Considere a aposta x que paga 2 j u.m. caso ocorra cara pela primeira vez no j-ésimo lance. Perguntas naturais: (i) Qual o pagamento esperado desta aposta? (ii) Se o índice de utilidade é u(z) = ln z, qual a utilidade esperada da aposta? (iii) Existe algum payoff z 0 tal que δ {z0 } x?

6 Paradoxo de São Petersburgo Podemos escrever x como uma loteria de suporte enumerável: x = (2, p ; 2 2, (1 p)p ;... ; 2 j, (1 p) j 1 p ;...) (i) Pagamento esperado de x: 2 j (1 p) j 1 p j=1 Se p = 1/2, o pagamento esperado é +. Se a utilidade esperada possuísse índice u(z) = z, o agente iria preferir esta aposta a qualquer pagamente certo (arbitrariamente grande)! (ii) Utilidade esperada de x: U(x) = j=1 ln(2 j ) (1 p) j 1 p = ln 2 p

7 Paradoxo de São Petersburgo (iii) z 0 0 tal que U(δ {z0 }) = U(x) : z 0 = 2 1/p O exemplo mostra que se os agentes preferem médias a extremos (caso de u(z) = ln z), algumas loterias com pagamento esperado infinito são indiferentes a determinados pagamentos certos. Este tipo de comportamento ilustra o que chamaremos de aversão ao risco.

8 Aversão ao Risco X irá denotar a coleção de todas as loterias simples. Dizemos que x : IR [0, 1] é uma loteria com sinal quando y : IR + R definida por y(z) = x(z) + x( z) z IR + é tal que y X. Ou seja, a definição de loteria com sinal generaliza a de loteria simples ao permitir payoffs negativos. Dada uma loteria com sinal x cujo suporte é {z 1,..., z n } e dado o escalar w > 0, definimos a loteria com sinal w x por (w + z 1, x(z 1 );...; w + z n, x(z n )) Vamos chamar de jogo justo à toda loteria com sinal x cujo payoff esperado seja zero, i.e.: z x(z) = 0 z supp [x]

9 Aversão ao Risco Definição: Aversão, Propensão e Neutralidade ao Risco Sejam preferências sobre X. Diremos que o indivíduo cujas escolhas são representadas por é: averso ao risco se, dados a riqueza inicial w 0 e o jogo justo x tais que w x X, vale δ {w} w x (i.e., prefere não participar do jogo justo); propenso ao risco se w x δ {w} (i.e., prefere participar do jogo); neutro ao risco se é averso e propenso ao risco (é indiferente entre participar ou não do jogo).

10 Aversão ao Risco Suponha que as preferências em X sejam representadas pela utilidade esperada U : X IR, cujo índice de utilidade é u : IR + IR. A fim de destacar u, algumas vezes iremos denotar U(x) por E x [u(z)]. Dados z, z IR +, α [0, 1], seja w = α z + (1 α) z. Podemos definir a loteria: x = (z w, α ; z w, 1 α) Claramente, x é jogo justo e w x X. Se o indivíduo com preferências é averso ao risco, temos E δ{w} [u(z)] E w x [u(z)] Logo, u(α z + (1 α) z ) α u(z) + (1 α) u(z ). Uma vez que z, z IR + e α [0, 1] são arbitrários, u é função côncava.

11 Aversão ao Risco É exatamente a concavidade do índice u que capta o comportamento de aversão ao risco, como vemos na próxima proposição. Proposição: Supondo que X 2 possui representação por utilidade esperada com índice u, valem: aversão ao risco u é côncava; propensão ao risco u é convexa; neutralidade ao risco u é função afim.

12 Coeficiente de Arrow-Pratt De que forma podemos comparar o grau de aversão ao risco de diferentes agentes? Suponha que o agente seja representado por uma utilidade esperada com índice u : IR + IR de classe C 2 [0, + ) tal que u > 0. Definição: Coeficiente de Aversão ao Risco Dada a riqueza w > 0, o coeficiente de aversão ao risco de Arrow-Pratt é definido por r(w) = u (w) u (w) r(w) é um índice que mede a curvatura da função u e é invariante por transformações afins. OBS.: Sob as condições acima, u é côncava se e só se u 0. Logo, aversão ao risco equivale a r(w) 0 w 0.

13 Coeficiente de Arrow-Pratt Suponha que há dois agentes (i = 1, 2) que são representados por utilidades esperadas com índices, respectivamente, u 1 e u 2 sob as hipóteses anteriores. Seja r i (w) o coeficiente de aversão ao risco calculado em w com o índice u i. Vamos dizer que o agente 1 é tão averso ao risco em w quanto o agente 2 quando r 1 (w) r 2 (w).

14 Equivalente Certo Seja uma relação em X. Definição: Equivalente Certo Dada a loteria simples x X, seu equivalente certo é o payoff c x IR + tal que δ {cx } x. Quando é representada por utilidade esperada, podemos reescrever a condição como u(c x ) = E x [u(z)] OBS.: u contínua existe de equivalente certo x X. Isso decorre de [ ] E x [u(z)] min max u(z), u(z) z supp [x] z supp [x] e do Teorema do Valor Intemediário (mas não podemos garantir que c x supp [x]).

15 Prêmio ao Risco Suponha que o indivíduo seja representado por utilidade esperada com índice u tal que u > 0. Definição: Prêmio ao Risco Dada a riqueza w 0 e o jogo justo x tal que w x X, definimos o prêmio ao risco π(w, x) por u(w π(w, x)) = E w x [u(z)], ou seja, π(w, x) = w u 1 (E w x [u(z)]) Proposição: Se u é função côncava então π(w, x) 0. Assim, se o indivíduo é averso ao risco, podemos interpretar π(w, x) como a quantia máxima que ele está disposto a pagar para não participar do jogo justo x quando a riqueza é w.