2.4 Esperança e distribuição condicionais
|
|
- Nina Bernardes
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 2.4. ESPERANÇA E DISTRIBUIÇÃO CONDICIONAIS Esperança e distribuição condicionais Estendemos aqui o conceito de probabilidade condicional em (2.8) para obter a distribuição condicional e, posteriormente, definimos esperança condicional. Estes conceitos são extremamente complicados em situações gerais, porém nos casos discretos e absolutamente contínuos são mais intuitivos, justamente estas duas situações serão noso objeto de estudo. Definição 2.9. Seja Y uma variável aleatória no espaço de probabilidade (Ω,I,P) e seja A I um evento aleatório tal que P(A) > 0. Definimos a probabilidade condicional de Y dado o evento A por P(Y B A) = P([Y B] A), (2.5) P(A) para B B, a σ-álgebra dos boerelianos na reta. A função definida em (2.5) define, de fato, uma função de probabilidade na reta como demonstrado no teorema a seguir. Teorema Seja (Ω,I,P) um espaço de probabilidade e A I tal que P(A) > 0. Então P( A) é uma probabilidade nos borelianos B(R) na reta, satisfazendo: (i) P(Y B A) 0 para qualquer evento B B. (ii) P(Y R A) = 1. (iii) Sejam B 1,B 2, borelianos disjuntos dois a dois, então P ( Demonstração. Exercício. Y ) B k A = k=1 P(Y B k A) Associado ao conceito na definição 2.9 temos as probabilidades acumuladas condicionais ou função de distribuição condicional. Podemos interpretar a distribuição condicional de Y dado o evento A como a nova distribuição que se atribui a Y quando se sabe da ocorrência do evento A. k=1
2 36 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE Definição Seja (Ω,I,P) um espaço de probabilidade e A I tal que P(A) > 0. A função de distribuição associada à probabilidade condicional é chamada de função de distribuição condicional de Y dado A e definida por para todo y R. F Y A (y A) = P(Y y A) = P([Y y] A), (2.6) P(A) Definição Seja (Ω,I,P) um espaço de probabilidade e A I tal que P(A) > 0. A esperança condicional de Y dado A é a esperança da distribuição condicional, definida por E(Y A) = ydf Y A (y A), (2.7) se esta integral existe. R Mais geral ainda, podemos definir a esperança condicional de uma variável aleatória dada uma outra. Definição Sejam X e Y duas variáveis aleatórias definidas no espaço de probabilidade (Ω,I,P) e seja h uma função Borel mensurável. Consideremos que Eh(Y)} existe. Então, a esperança condicional de h(y) dado X, escrita como Eh(Y) X} é uma variável aleatória assumindo os valores Eh(Y) x} e definida por E(h(Y) x) = h(y)df Y X (y x), (2.8) se esta integral existe. R Uma definição semelhante pode ser dada para a esperança condicional Eh(X) Y}, desde que Eh(X)} exista. Os momentos da distribuição condicional são definidas da maneira usual. Assim, se EY r } existir para algum inteiro r, então EY r X} define o momento r-ésimo da distribuição condicional. Podemos definir os momentos centrais da distribuição condicional e, em particular, a variância. Não há maiores dificuldades em generalizar estes conceitos para as distribuições n-dimensionais quando n 2. Deixamos ao leitor fornecer os detalhes. O problema nestas definições é como calcular as integrais em (2.7) e (2.8). Em duas situações podemos calcular esta integral sem recorrer a novos conceitos matemáticos.
3 2.4. ESPERANÇA E DISTRIBUIÇÃO CONDICIONAIS Caso discreto Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas definidas no mesmo espaço de probabilidade (Ω,I,P). Sejam R X = x R : > 0} e R Y = y R : p Y (y) > 0}, onde p X ( ) e p Y ( ) denotam as funções de probabilidade marginais de X e Y, respectivamente. Logo, para cada x R X definimos a função de probabilidade condicional de Y dado X = x como p Y X (y x) = p XY(x,y), (2.9) isto segundo a definição de distribuição acumulada condiocional em (2.10). Para cada x R X fixo, a função em (2.9), é uma função de probabilidade devido a que p XY(x,y) p Y X (y x) = y R Y y R Y = 1 p X x p XY (x,y) = p X(x) = 1, y R Y e representa a distribuição condicional de Y uma vez conhecido o valor de X = x. No caso vetorial a definição é semelhante. Sejam X = X 1,,X k } e Y = Y 1,,Y h } vetores aleatórios discretos e R X = x R k : p X (x > 0}, podemos então definir p Y X (y x) = p XY(x,y), (2.10) para todo x R k. Isto permite calcular as probabilidades envolvendo Y quando sabemos que o evento X = x} aconteceu. De fato, se B B h (os borelianos em R h ) definimos P(Y B X = x) = y R Y B p Y X (y x) (2.11) Seja agora Y uma variável aleatória e X um vetor aleatório de dimensão k, ambos discretos. A esperança condicional de Y dado que X = x define-se utilizando a distribuição determinada em (2.11) e dada por E(Y X = x) = y R Y yp Y X (y x), (2.12)
4 38 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE e este valor representa a esperança condicional da variável Y quando se conhece que o vetor X assume o valor x. Observemos que se g(x) = E(Y X = x) temos que g(x) : R k R. Vamos definir agora uma variável aleatória que chamaremos de esperança condicional de Y dado vetor aleatório X, a qual denotaremos por E(Y X). Esta nova variável aleatória define-se por E(Y X) = g(x) (2.13) O seguinte teorema relaciona as esperanças definidas em (2.12) e (2.13). Teorema Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas definidas no mesmo espaço de probabilidade. Se Y tiver esperança finita, temos então que EE(Y X)} = E(Y) (2.14) Demonstração. Segundo a equação em (2.13) temos que EE(Y X)} = E(g(X)) = x R k g(x) Utilizando o fato que g(x) é definida por (2.12), temos que EE(Y X)} = ( ) yp Y X (y x) x R X y R Y = ( ) y p XY(x,y) x R X y R Y = ( ) yp XY (x,y) x R X y R Y = ( ) y p XY (x,y) y R Y x R X = yp Y (y) = E(Y) y R Y Trocar a ordem na soma é justificado pelo fato da soma ser convergente por hipóteses.
5 2.4. ESPERANÇA E DISTRIBUIÇÃO CONDICIONAIS 39 Exemplo Suponhamos que fazemos uma primeira série de n lançamentos de uma moeda e seja X o número de caras obtidas. Com base no resultado da primeira série de lançamentos, inciamos uma segunda série de X lançamentos. Seja Y o número de caras obtidas nesta segunda série de lançamentos. Calcular E(Y). Se X = x, a distribuição de condicional de Y dado que X = x é Binomial(0.5,x). Logo E(Y X = x) = 0.5x. Construios então a variável aleatória E(Y X) = g(x) = 0.5X, e pela expressão (refe.e.cond) no Teorema 2.19 temos que E(Y) = EE(Y X)} = 0.5E(X). Dado que X B(0.5, n) então E(X) = 0.5n. Concluímos então que E(Y) = 0.25n. Teorema Seja Y uma variável aleatória tal que P(Y = c) = 1, onde c é uma constante qualqer. Então, qualquer seja o vetor X temos que (i) p Y X (c x) = 1, (ii) E(Y X = x) = c. Demonstração. Exercício. Exemplo Uma urna contém treis bolas vermelhas e duas bolas verdes. Uma amostra aleatória de duas bolas é atraído (a) com reposição e (b) sem reposição. Seja X = 0 se a primeira bola tirada é verde e X = 1 se a primeira bola tirada é vermelho. Definamos também Y = 0 se a segunda bola tirada é verde e Y = 1 se a segunda bola tirada é vermelha. Vamos obter as funções de probabilidade conjunta e as funções de probabilidade e esperanças condicionais. A função de probabilidade conjunta em cada caso é apresentada nas tabelas a seguir: (a) Com reposição X Y /25 6/25 2/5 1 6/25 9/25 3/5 2/5 3/5 1 (b) Sem reposição X Y /20 6/20 2/5 1 6/20 6/20 3/5 2/5 3/5 1 As funções de probabilidade condicional correspondentes assim como as esperanças condicionais são apresentadas a seguir.
6 40 CAPÍTULO 2. DEFINIÇÃO AXIOMÁTICA DE PROBABILIDADE (a) Com reposição P(Y = y 0)= P(Y = y 1)= 2/5, se y = 0 3/5, se y = 1, 2/5, se y = 0 3/5, se y = 1, P(X = x 0)= P(X = x 1)= 2/5, se x = 0 3/5, se x = 1, 2/5, se x = 0 3/5, se x = 1, E(Y X)= 3/5, se x = 0 3/5, se x = 1, E(X Y)= 3/5,se y = 0 3/5,se y = 1 (b) Sem reposição P(Y = y 0)= P(Y = y 1)= 1/4, se y = 0 3/4, se y = 1, 1/2, se y = 0 1/2, se y = 1, P(X = x 0)= P(X = x 1)= 1/4, se x = 0 3/4, se x = 1, 1/2, se x = 0 1/2, se x = 1, E(Y X)= 3/4, se x = 0 1/2, se x = 1, E(X Y)= 3/4, se y = 0 1/2, se y = Caso absolutamente contínuo Exercícios 1. Seja X uma variável aleatória com densidade normal de parâmetros µ e σ 2. Encontre E(X a < X < b), onde a e b são constantes. 2. Encontrar a expressão de EY E(Y X)} Sejam X e Y variáveis aleatórias e ϕ(x) uma outra variável aleatória. Assuma que E(Y) e Eϕ(Y)} existem. Mostre que (i) Eϕ(X) X} = ϕ(x), (ii) Eϕ(X)Y X} = ϕ(x)e(y X). 4. Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que E(X 2 ) < e E(Y 2 ) <. Demonstre que Cov(X,Y) = CovX, E(Y X)}
AULA 11 - Valor esperado e suas propriedades
AULA 11 - Valor esperado e suas propriedades Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ O valor esperado de uma variável aleatória Como forma de resumir o comportamento de uma variável
Leia mais4.1. ESPERANÇA x =, x=1
4.1. ESPERANÇA 139 4.1 Esperança Certamente um dos conceitos mais conhecidos na teoria das probabilidade é a esperança de uma variável aleatória, mas não com esse nome e sim com os nomes de média ou valor
Leia maisExercícios propostos:
INF 16 Exercícios propostos: 1. Sabendo-se que Y=X-5 e que E(X)= e V(X)=1, calcule: a)e(y); b)v(y); c)e(x+y); d)e(x + Y ); e)v(x+y); Resp.: 1; 9; 5; 15; 81. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas.
Leia mais1 Variáveis Aleatórias
Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 5 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 3 - VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS (Notas de aula) 1 Variáveis
Leia maisSME0801- Probabilidade II Distribuições conjuntas. Primeiras definições e propriedades
SME0801- Probabilidade II Distribuições conjuntas. Primeiras definições e propriedades Pablo Martin Rodriguez SME ICMC USP Bacharelado em Estatística 20 Mar 2017 Vetores aleatórios Definição Sejam X 1,
Leia maisProbabilidade Aula 11
0303200 Probabilidade Aula 11 Magno T. M. Silva Escola Politécnica da USP Junho de 2017 A maior parte dos exemplos dessa aula foram extraídos de Jay L. Devore, Probabilidade e Estatística para engenharia
Leia maisVariáveis Aleatórias Discretas 1/1
Variáveis Aleatórias Discretas Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário Norte do Espírito Santo
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação; Essa variabilidade
Leia maisDA PARAÍBA. Variáveis Aleatórias. Departamento de Estatística Luiz Medeiros
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA Variáveis Aleatórias Departamento de Estatística Luiz Medeiros Introdução Como sabemos, características de interesse em diversas áreas estão sujeitas à variação Essa variabilidade
Leia maisLista de Exercícios 4
Introdução à Teoria de Probabilidade. Informática Biomédica. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 30 de maio de 2007. Lista de Exercícios 4 são difíceis, são bem mais difíceis.
Leia maisVariáveis Aleatórias Bidimensionais &Teoremas de Limite 1/22
all Variáveis Aleatórias Bidimensionais & Teoremas de Limite Professores Eduardo Zambon e Magnos Martinello UFES Universidade Federal do Espírito Santo DI Departamento de Informática CEUNES Centro Universitário
Leia maisEST012 - Estatística Econômica I Turma A - 1 o Semestre de 2019 Lista de Exercícios 3 - Variável aleatória
Exercício 1. Considere uma urna em que temos 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Vamos retirar, ao acaso, 3 bolas, uma após a outra e sem reposição. Sejam X: o número de bolas brancas e Y : o número de bolas
Leia maisCapítulo 2. Variáveis Aleatórias e Distribuições
Capítulo 2 Variáveis Aleatórias e Distribuições Experimento Aleatório Não existe uma definição satisfatória de Experimento Aleatório. Os exemplos dados são de fenômenos para os quais modelos probabilísticos
Leia maisLucas Santana da Cunha de junho de 2017
VARIÁVEL ALEATÓRIA Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ Universidade Estadual de Londrina 19 de junho de 2017 Uma função que associa um número real aos resultados
Leia maisa) o time ganhe 25 jogos ou mais; b) o time ganhe mais jogos contra times da classe A do que da classe B.
Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE. Um time de basquete irá jogar uma temporada de 44 jogos. desses jogos serão disputados contra times da classe A e os 8 restantes contra
Leia maisMAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade
MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 8: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 28 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 8 1 Desigualdades de Markov e
Leia maisCE085 - Estatística Inferencial
CE085 - Estatística Inferencial Revisão: Probabilidade Básica Prof. Wagner Hugo Bonat Laboratório de Estatística e Geoinformação - LEG Curso de Bacharelado em Estatatística Universidade Federal do Paraná
Leia mais3 a Lista de PE Solução
Universidade de Brasília Departamento de Estatística 3 a Lista de PE Solução. Se X representa o ganho do jogador, então os possíveis valores para X são,, 0, e 4. Esses valores são, respectivamente, correspondentes
Leia maisVARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE.1 INTRODUÇÃO Admita que, de um lote de 10 peças, 3 das quais são defeituosas, peças são etraídas ao acaso, juntas (ou uma a uma, sem reposição). Estamos
Leia maisVariáveis Aleatórias. Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu
Variáveis Aleatórias Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Exemplo No lançamento de duas moedas ao ar, os resultados possíveis são: FF, FC, CF ou CC. No entanto, o nosso interesse
Leia maisVariáveis aleatórias. Universidade Estadual de Santa Cruz. Ivan Bezerra Allaman
Variáveis aleatórias Universidade Estadual de Santa Cruz Ivan Bezerra Allaman DEFINIÇÃO É uma função que associa cada evento do espaço amostral a um número real. 3/37 Aplicação 1. Seja E um experimento
Leia maisMAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade
MAT 461 Tópicos de Matemática II Aula 5: Resumo de Probabilidade Edson de Faria Departamento de Matemática IME-USP 26 de Agosto, 2013 Probabilidade: uma Introdução / Aula 5 1 Variáveis aleatórias Definição
Leia maisVARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1 Variável Aleatória Uma função X que associa a cada elemento w do espaço amostral W um valor x R é denominada uma variável aleatória. Experimento: jogar 1 dado duas vezes e observar
Leia maisDepartamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu. Engenharia e Gestão Industrial
Variáveis Aleatórias Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu Engenharia e Gestão Industrial 1 Exemplo No lançamento de duas moedas ao ar, os resultados possíveis são: FF, FC,
Leia maisVariáveis Aleatórias. Henrique Dantas Neder. April 26, Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia
Variáveis Aleatórias Henrique Dantas Neder Instituto de Economia - Universidade Federal de Uberlândia April 2, 202 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA O conceito de variável aleatória está intrínsicamente relacionado
Leia mais5 a Lista de PE Solução
Universidade de Brasília Departamento de Estatística 5 a Lista de PE Solução. Sejam X A e X B o números de jogos que o time ganha contra times da classe A e da classe B respectivamente. Claramente X A
Leia maisVARIÁVEIS ALEATÓRIAS
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Joaquim H Vianna Neto Relatório Técnico RTE-03/013 Relatório Técnico Série Ensino Variáveis
Leia maisBioestatística. AULA 6 - Variáveis aleatórias. Isolde Previdelli
Universidade Estadual de Maringá Mestrado Acadêmico em Bioestatística Bioestatística Isolde Previdelli itsprevidelli@uem.br isoldeprevidelli@gmail.com AULA 6 - Variáveis aleatórias 30 de Março de 2017
Leia maisProf. Dr. Lucas Santana da Cunha de maio de 2018 Londrina
Prof. Dr. Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 21 de maio de 2018 Londrina 1 / 14 Variável aleatória Introdução Definição Uma função que associa um número real
Leia maisPar de Variáveis Aleatórias
Par de Variáveis Aleatórias Luis Henrique Assumpção Lolis 7 de abril de 2014 Luis Henrique Assumpção Lolis Par de Variáveis Aleatórias 1 Conteúdo 1 Introdução 2 Par de Variáveis Aleatórias Discretas 3
Leia maisEstatística Aplicada II. } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral
Estatística Aplicada II } Revisão: Probabilidade } Propriedades da Média Amostral 1 Aula de hoje } Tópicos } Revisão: } Distribuição de probabilidade } Variáveis aleatórias } Distribuição normal } Propriedades
Leia maisEstatística. Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas. Professor Fernando Porto
Estatística Capítulo 3 - Parte 1: Variáveis Aleatórias Discretas Professor Fernando Porto Lançam-se 3 moedas. Seja X o número de ocorrências da face cara. O espaço amostral do experimento é: W = {(c,c,c),(c,c,r),(c,r,c),(c,r,r),(r,c,c),(r,c,r),(r,r,c),(r,r,r)}
Leia maisProbabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba
Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Distribuições Condicionais 11/13 1 / 19 Em estudo feito em sala perguntamos aos alunos qual
Leia maisPROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE I
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES PARTE I Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável
Leia mais{ C(1 x 2 ), se x ( 1, 1), f(x) = Cxe x/2, se x > 0, x + k, se 0 x 3; 0, c.c. k, se 1 < x 2; kx + 3k, se 2 < x 3;
Universidade de Brasília Departamento de Estatística 4 a Lista de PE 1. Seja X uma variável aleatória com densidade { C(1 x 2 ), se x ( 1, 1), 0, se x / ( 1, 1). a) Qual o valor de C? b) Qual a função
Leia maisVariáveis Aleatórias. Probabilidade e Estatística. Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva
Probabilidade e Estatística Prof. Dr. Narciso Gonçalves da Silva http://paginapessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Variáveis Aleatórias Variável Aleatória Variável aleatória (VA) é uma função que associa a cada
Leia mais2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB.
2. EXERCÍCIOS PROPOSTOS SOBRE V.A. E DISTRIB.PROBAB. 1) Classifique as seguintes variáveis aleatórias como discretas ou contínuas. X : o número de acidentes de automóvel por ano na rodovia BR 116. Y :
Leia maisProcessos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes. Como devemos descrever um experimento aleatório?
Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos
Leia maisProbabilidade II Lista 1 - Vetores Aleatórios
Probabilidade II Lista - Vetores Aleatórios Exercício. Duas moedas equilibradas são lançadas de forma independente. Dena as v.a's X : número de caras nos dois lançamentos e Y : função indicadora de faces
Leia maisProbabilidade e Estatística
Probabilidade e Estatística Distribuições Discretas de Probabilidade Prof. Narciso Gonçalves da Silva www.pessoal.utfpr.edu.br/ngsilva Introdução Distribuições Discretas de Probabilidade Muitas variáveis
Leia maisProcessos Estocásticos. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Variáveis Aleatórias. Luiz Affonso Guedes
Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Momentos e Estatística Condicional Teorema do Limite Central Processos Estocásticos
Leia maisDistribuições Multidimensionais de Probabilidade para Variáveis Discretas e Contínuas Distribuições Marginais. Aula 9
Distribuições Multidimensionais de Probabilidade para Variáveis Discretas e Contínuas Distribuições Marginais Aula 9 Variáveis Aleatórias Discretas Variável aleatória discreta função definida em um espaço
Leia mais2 Conceitos de Teoria da Probabilidade
2 Conceitos de Teoria da Probabilidade Neste capítulo, enunciaremos algumas denições e resultados de teoria de probabilidade. justicativa deste capítulo reside no fato que u objetivo nal é estimar momentos
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Variáveis Aleatórias Professora Renata Alcarde Piracicaba março 2014 Renata Alcarde Estatística Geral 27 de Março de 2014 1 / 42
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 13
i Sumário 1 Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições 1 1.1 Variáveis Aleatórias Discretas............................. 2 1.2 Variáveis Aleatórias Contínuas............................. 4 1.3 Função de
Leia maisUma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se
Estatística Uma estatística é uma característica da amostra. Ou seja, se X 1,..., X n é uma amostra, T = função(x 1,..., X n é uma estatística. Exemplos X n = 1 n n i=1 X i = X 1+...+X n : a média amostral
Leia maisModelos de Distribuição PARA COMPUTAÇÃO
Modelos de Distribuição MONITORIA DE ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO Distribuições Discretas Bernoulli Binomial Geométrica Hipergeométrica Poisson ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE PARA COMPUTAÇÃO
Leia maisProbabilidade II. Departamento de Estatística. Universidade Federal da Paraíba. Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31
Probabilidade II Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Desigualdades 02/14 1 / 31 Um teorema de grande importância e bastante utilidade em probabilidade
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 12
i Sumário 1 Definições Básicas 1 1.1 Fundamentos de Probabilidade............................. 1 1.2 Noções de Probabilidade................................ 3 1.3 Espaços Amostrais Finitos...............................
Leia maisSegunda Lista de Exercícios Cálculo de Probabilidades II Prof. Michel H. Montoril
Exercício 1. Uma urna contém 4 bolas numeradas: {1, 2, 2, 3}. Retira-se dessa urna duas bolas aleatoriamente e sem reposição. Sejam 1 : O número da primeira bola escolhida; 2 : O número da segunda bola
Leia maisLCE Introdução à Bioestatística Florestal 3. Variáveis aleatórias
LCE0216 - Introdução à Bioestatística Florestal 3. Variáveis aleatórias Profa. Dra. Clarice Garcia Borges Demétrio Monitores: Giovana Fumes e Ricardo Klein Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz
Leia maisEstatística Descritiva e Exploratória
Gledson Luiz Picharski e Wanderson Rodrigo Rocha 9 de Maio de 2008 Estatística Descritiva e exploratória 1 Váriaveis Aleatórias Discretas 2 Variáveis bidimensionais 3 Váriaveis Aleatórias Continuas Introdução
Leia maisPROBABILIDADE. Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti
Curso: Logística e Transportes Disciplina: Estatística Profa. Eliane Cabariti PROBABILIDADE Dizemos que a probabilidade é uma medida da quantidade de incerteza que existe em um determinado experimento.
Leia maisLista de Exercícios #3 Assunto: Variáveis Aleatórias Multidimensionais Discretas
1. ANPEC 2018 - Questão 07 Em um problema envolvendo variáveis aleatórias independentes, um estudante calculou corretamente que E(Y) = 2, E(X 2 )E(Y) = 6, E(X)E(Y 2 ) = 8 e E(X) 2 E(Y) 2 = 24. Avalie as
Leia maisProbabilidades e Estatística LEE, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, LERC, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMec, MEQ
Duração: 90 minutos Grupo I Probabilidades e Estatística LEE, LEIC-A, LEIC-T, LEMat, LERC, MEBiol, MEBiom, MEEC, MEFT, MEMec, MEQ Justifique convenientemente todas as respostas 1 o semestre 2017/2018 18/11/2017
Leia maisLucas Santana da Cunha 23 de maio de 2018 Londrina
Lucas Santana da Cunha http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 23 de maio de 2018 Londrina 1 / 14 Variável aleatória Introdução Definição Uma função que associa um número real aos resultados de um experimento
Leia maisExercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I
Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte I 2014/2015 Os exercícios assinalados com (*) têm um nível de dificuldade superior. Exercício 1. Seja (X, F) um espaço mensurável. Mostre
Leia maiscanal para sinais contínuos
Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para sinais contínuos 24 de setembro de 2013 Processos estocásticos, Entropia e capacidade de canal para1 sin Conteúdo 1 Probabilidade de sinais contínuos
Leia maisProf. Lorí Viali, Dr.
Prof. Lorí Viali, Dr. viali@mat.ufgrs.br http://www.mat.ufrgsbr/~viali/ Motivação Em muitas situações precisamos lidar com duas ou mais variáveis aleatórias ao mesmo tempo. Por exemplo o comprimento e
Leia maisUFPE, 2-o semestre de ET-622 Elementos de Estatística para o curso de Biblioteconomia Professor André Toom. Ementa
[1] Avisos: UFPE, 2-o semestre de 2011. ET-622 Elementos de Estatística para o curso de Biblioteconomia Professor André Toom Ementa Notações: v.a. - variável aleatória, E - esperança matemática, o mesmo
Leia mais1 Definição Clássica de Probabilidade
Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Estatística Básica - 2013 Aula 4 Professor: Carlos Sérgio UNIDADE 2 - Probabilidade: Definições (Notas de aula) 1 Definição Clássica
Leia maisNeste capítulo, introduzimos as variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade.
Capítulo 4 Variáveis aleatórias Neste capítulo, introduzimos as variáveis aleatórias e suas distribuições de probabilidade. Definição 4.1 Dado um experimento aleatório, descrito pelo espaço de probabilidades
Leia maisVariáveis Aleatórias. Esperança e Variância. Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB
Variáveis Aleatórias Esperança e Variância Prof. Luiz Medeiros Departamento de Estatística - UFPB ESPERANÇA E VARIÂNCIA Nos modelos matemáticos aleatórios parâmetros podem ser empregados para caracterizar
Leia maisCálculo das Probabilidades e Estatística I
Cálculo das Probabilidades e Estatística I Prof a. Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB juliana@de.ufpb.br Variáveis Aleatórias Ao descrever um espaço
Leia maisVariáveis aleatórias
Variáveis aleatórias Joaquim Neto joaquim.neto@ufjf.edu.br www.ufjf.br/joaquim_neto Departamento de Estatística - ICE Universidade Federal de Juiz de Fora (UFJF) Versão 3.0 Joaquim Neto (UFJF) ICE - UFJF
Leia maisAula 11. Variáveis Aleatórias Contínuas Bidimensionais
Aula. Variáveis Aleatórias Contínuas Bidimensionais Resumo de caso unidimensional Caso Discreto p p 2 p 3 Caso Contínuo f(x) x x 2 x 3 i p i + f x dx X x x 2 x 3 P p p 2 p 3 Caso bidimensional Caso Discreto
Leia maisProcessos Estocásticos. Luiz Affonso Guedes
Processos Estocásticos Luiz Affonso Guedes Sumário Probabilidade Variáveis Aleatórias Funções de Uma Variável Aleatória Funções de Várias Variáveis Aleatórias Momentos e Estatística Condicional Teorema
Leia maisDISTRIBUIÇÃO CONJUNTA (parte II)
UFPE - Universidade Federal de Pernambuco Departamento de Estatística Disciplina: ET-406 Estatística Econômica Professor: Waldemar A. de Santa Cruz Oliveira Júnior DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA (parte II) Variáveis
Leia maisNoções de Simulação. Ciências Contábeis - FEA - Noturno. 2 o Semestre MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre / 23
Noções de Simulação Ciências Contábeis - FEA - Noturno 2 o Semestre 2013 MAE0219 (IME-USP) Noções de Simulação 2 o Semestre 2013 1 / 23 Objetivos da Aula Sumário 1 Objetivos da Aula 2 Motivação 3 Geração
Leia maisIntrodução à probabilidade e estatística I
Introdução à probabilidade e estatística I Variáveis Aleatórias Prof. Alexandre G Patriota Sala: 298A Email: patriota@ime.usp.br Site: www.ime.usp.br/ patriota Probabilidade Daqui por diante utilizaremos
Leia maisConteúdo Teórico: 04 Esperança
ACH2053 Introdução à Estatística Conteúdo Teórico: 04 Esperança Marcelo de Souza Lauretto Sistemas de Informação EACH www.each.usp.br/lauretto Referência: Morris DeGroot, Mark Schervish. Probability and
Leia maisEscola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo. Variáveis Aleatórias
Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Universidade de São Paulo Variáveis Aleatórias Professora Renata Alcarde Sermarini Piracicaba Abril 2016 Renata Alcarde Sermarini Estatística Geral 27 de
Leia mais1.1.1 Distribuição binomial
2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 1.1.1 Distribuição binomial Em teoria das probabilidades e na estatística a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos em uma seqüência de n
Leia maisCAPÍTULO 5: VARIÁVEIS ALEATÓRIAS BIDIMENSIONAIS Todas as coisas aparecem e desaparecem por causa da concorrência de causas e condições. Nada nunca existe inteiramente só, tudo está em relação com todo
Leia mais3. Probabilidade P(A) =
7 3. Probabilidade Probabilidade é uma medida numérica da plausibilidade de que um evento ocorrerá. Assim, as probabilidades podem ser usadas como medidas do grau de incerteza e podem ser expressas de
Leia maisPROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES
PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES Bruno Baierle Maurício Furigo Prof.ª Sheila Regina Oro (orientadora) Edital 06/2013 - Produção de Recursos Educacionais Digitais Variável Aleatória
Leia maisMotivação. VA n-dimensional. Distribuições Multivariadas VADB. Em muitas situações precisamos
Motivação Em muitas situações precisamos Prof. Lorí Viali, Dr. viali@pucrs.br lidar com duas ou mais variáveis aleatórias ao mesmo tempo. Por exemplo o comprimento e a largura de uma determinada peça.
Leia maisProbabilidade axiomática
Capítulo 2 Probabilidade axiomática Uma das dificuldades em desenvolver uma teoria matemática das probabilidades tem sido a de chegar a uma definição simples e precisa o suficiente para usar em matemática,
Leia maisSUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS
4 SUMÁRIOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTINUAS Em muitos problemas de probabilidade que requerem o uso de variáveis aleatórias, uma completa especificação da função de densidade de probabilidade ou não está
Leia maisProbabilidade IV. Ulisses U. dos Anjos. Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba. Período
Probabilidade IV Ulisses U. dos Anjos Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba Período 2014.2 Ulisses Umbelino (DE-UFPB) Probabilidade IV Período 2014.2 1 / 20 Sumário 1 Apresentação
Leia maisVariável Aleatória Contínua (v.a.c)
Variável Aleatória Contínua (v.a.c) Lucas Santana da Cunha email: lscunha@uel.br http://www.uel.br/pessoal/lscunha/ 20 de junho de 2018 Londrina 1 / 14 (v.a.c.) Uma função Y definida sobre o espaço amostral
Leia maisIntrodução à Probabilidade
Introdução à Probabilidade Notas de Aula Leonardo T. Rolla 12 de janeiro de 2018 c 2012 2017 Leonardo T. Rolla. A qualquer pessoa que receba uma cópia deste trabalho, é concedida licença para: Visualizar
Leia mais3. Variáveis aleatórias
3. Variáveis aleatórias Numa eperiência aleatória, independentemente de o seu espaço de resultados ser epresso numericamente, há interesse em considerar-se funções reais em Ω, denominadas por variáveis
Leia maisLista de Exercícios 3 Probabilidades Escola Politécnica, Ciclo Básico
Lista de Exercícios 3 Probabilidades 0303200 Escola Politécnica, Ciclo Básico 1 o semestre 2017 1) Um equipamento tem tempo de vida T com distribuição normal, valor esperado de 40 horas e desvio padrão
Leia maisAproximação da binomial pela normal
Aproximação da binomial pela normal 1 Objetivo Verificar como a distribuição normal pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição
Leia maisLista de Exercícios #2 Assunto: Variáveis Aleatórias Discretas
1. ANPEC 2018 Questão 3 Considere um indivíduo procurando emprego. Para cada entrevista de emprego (X) esse indivíduo tem um custo linear (C) de 10,00 Reais. Suponha que a probabilidade de sucesso em uma
Leia maisExercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II
Exercícios de Teoria da Probabilidade e Processos Estocásticos Parte II 13 de Dezembro de 2013 Exercício 1. Descreva o espaço de probabilidade associado às seguintes experiências aleatórias: 1. Uma moeda
Leia maisAULA 9 - Variável aleatória bidimensional discreta
AULA 9 - Variável aleatória bidimensional discreta Susan Schommer Introdução à Estatística Econômica - IE/UFRJ Variáveis aleatórias bidimensionais Definition Sejam ɛ um experimento e S um espaço amostral
Leia maisBIOESTATÍSTICA. Parte 3 Variáveis Aleatórias
BIOESTATÍSTICA Parte 3 Variáveis Aleatórias Aulas Teóricas de 29/03/2011 a 26/04/2011 3.1. Conceito de Variável Aleatória. Função de Distribuição Variáveis aleatórias Uma variável aleatória pode ser entendida
Leia maisPROBABILIDADES PROBABILIDADE DE UM EVENTO EM UM ESPAÇO AMOSTRAL FINITO
PROBABILIDADES Probabilidade é um conceito filosófico e matemático que permite a quantificação da incerteza, permitindo que ela seja aferida, analisada e usada para a realização de previsões ou para a
Leia maisPROBABILIDADE PGE950
PROBABILIDADE PGE950 José J. C. Hernández DE - UFPE October 12, 2017 José J. C. Hernández (DE - UFPE) Estatística I October 12, 2017 1 / 88 1 Introdução à Probabilidade 2 Variavel Aleatória 3 Vetores Aleatórios
Leia maisCap. 8 - Variáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Discretas: A de Poisson e Outras ESQUEMA DO CAPÍTULO 8.1 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 8.2 A DISTRIBUIÇÃO DE POISSON COMO APROXIMAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 8.3 O PROCESSO DE POISSON
Leia mais3 a Lista de PE. Universidade de Brasília Departamento de Estatística
Universidade de Brasília Departamento de Estatística 3 a Lista de PE 1. Duas bolas são escolhidas aleatoriamente de uma urna contendo 8 bolas brancas, 4 pretas, e duas bolas laranjas. Suponha que um jogador
Leia maisTE802 Processos Estocásticos em Engenharia
TE802 Processos Estocásticos em Engenharia Duas Variáveis Aleatórias 29 de agosto de 2017 Duas Variáveis Aleatórias Função Distribuição Acumulada Conjunta: F X,Y (x,y) = P[X x, Y y] Propriedades: (a) 0
Leia maisVariáveis Aleatórias
Variáveis Aleatórias Conceitos, Discretas, Contínuas, Propriedades Itens 5. e 6. BARBETTA, REIS e BORNIA Estatística para Cursos de Engenharia e Informática. Atlas, 004 Variável aleatória Uma variável
Leia maisProbabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS
Duração: 90 minutos Grupo I Probabilidades e Estatística TODOS OS CURSOS Justifique convenientemente todas as respostas o semestre 07/08 0/07/08 :0 o Teste C 0 valores. Um relatório anual estabelece que
Leia maisAula 3 - Revisão de Probabilidade e Estatística: Esclarecimento de Dúvidas
Aula 3 - Revisão de Probabilidade e Estatística: Esclarecimento de Dúvidas Matheus Rosso e Camila Steffens 19 de Março de 2018 Independência de variáveis aleatórias Duas V.A. são independentes se, e somente
Leia maisProbabilidade. Professora Ana Hermínia Andrade. Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise
Probabilidade Professora Ana Hermínia Andrade Universidade Federal do Amazonas Faculdade de Estudos Sociais Departamento de Economia e Análise Período 2016.2 Você reconhece algum desses experimentos? Alguns
Leia maisMétodos Matemáticos na Ciência de Dados: Introdução Relâmpago. II
Métodos Matemáticos na Ciência de Dados: Introdução Relâmpago. II Vladimir Pestov 1 University of Ottawa / Université d Ottawa Ottawa, Ontario, Canadá 2 Universidade Federal de Santa Catarina Florianópolis,
Leia mais