Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia 1 Professor Rodrigo Nobre Fernandez Lista 3 - Soluções. x 2 5 = 40 x.

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1 Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Microeconomia 1 Professor Rodrigo Nobre Fernandez Lista 3 - Soluções 1) Dada as funções de demanda p(x) = 40 x e de oferta p(x) = x 5, pede-se: a) O ponto de equilíbrio do mercado S: Igualando as curvas de oferta e demanda teremos: x 5 = 40 x x 5x + 00 = 0 Utilizando a fórmula de Bhaskara encontramos x = 1 (lembre que quantidades negativas não fazem sentido econômico). Sabendo x devemos inseri-lo em uma das equações acima para obter: p = 8. b) O excedente do consumidor S: O excedente do consumidor é a área acima do preço de equilíbrio e abaixo da curva de demanda (faça as interseções das duas curvas com os eixos para visualizar o gráfico). EC = c) O excedente do produtor ˆ 1 0 (40 x)dx (8) (1) = 7 S: O excedente do produtor é a área acima da curva de oferta e abaixo do preço de equilíbrio: EP = (8) (1) ˆ 1 ( ) x 0 5 dx = 1 ) Berenice tem uma função de utilidade do tipo u(x,y) = min{x,y}. Considere que a renda da consumidora é de R$ 16,00 e os preços são ambos iguais a 1. Suponha que o preço do bem x aumente para R$ 8,00. Calcule a variação equivalente e a compensatória. S: Note que a função de utilidade de Berenice é uma Leontief, portanto ela escolhe exatamente a mesma quantidade de x e y, isto é: p x x + p y x = 16 x = 16 x = y = 8 1

2 Vamos relembrar o significado de Variação Compensatória: É o montante de dinheiro que temos que tirar/colocar depois da variação dos preços para deixar o consumidor no mesmo nível de bem estar que ele tinha antes. Veja que o preço de x mudou para R$ 8,00. Então teremos que: 8x + x = m = m 7 = m A renda anterior era de 16. Então teremos que: m = 7 16 = 56. Em outras palavras, temos que adicionar R$ 56,00 a renda do consumidor para que ele tenha o mesmo nível de bem estar que ele tinha antes da variação dos preços. Agora vejamos a definição de Variação Equivalente: É a quantidade de dinheiro que temos que tirar/remover do indivíduo antes da variação dos preços para deixá-lo com o mesmo nível de bem estar que ele terá após a variação dos preços. Aos novos preços, as quantidades demandadas são: 8x + x = 16 x = y = 16 9 Usando essas demandas aos preços antigos temos que: = m m = 3.5 A renda anterior era de 16. Então teremos que: m = = 1.5. Em outras palavras, temos que remover R$ 1,5 da renda do consumidor para deixá-lo com o mesmo nível de bem estar que ele obtém depois da variação dos preços. 3) Suponha que Rafaela escolha a cesta (6,6) quando os preços são (6,3) e quando os preços são (5,5) ela escolhe a cesta (10,0). O que podemos concluir em termos de preferências reveladas? S: Vamos calcular o custo das duas cestas usando os preços de ambas: x 1 x p 1 p 1 Custos = = 50

3 Agora calcularemos o custo da cesta 1 a preços da cesta e vice versa: x 1 x p 1 p 1 Custos = = 60 Montaremos uma tabela mostrando as preferências do consumidor em relação a cesta escolhida. Considere que a diagonal representa as cestas escolhidas: Cesta 1 Cesta Preços Obs Preços Obs Veja que na primeira linha o consumidor escolhe a cesta 1 que é mais barata que a cesta quando consideramos o vetor de preços (6,3). Na segunda linha o consumidor escolhe a cesta que é mais barata que a cesta 1 quando usamos o vetor de preços (5,5). Em termos de preferência relevada não conseguimos extrair nada. Portanto, podemos dizer que o consumidor prefere a cesta mais barata. 4) Lorenzo tem uma função de utilidade do tipo u(c 1,c ) = c c 0.5. A renda deste consumidor no primeiro período é igual a duas vezes a renda no período. A que taxa de juros ele escolherá consumir o mesmo montante em ambos os períodos? S: Primeiramente vamos construir o lagrangiano, considerando β = 0.83 e m 1 = m. Desse modo a restrição orçamentária intertemporal fica: c 1 + c (1+r) = m (r+3) (1+r). Então teremos: As CPOS são: [ L = c βc λ c 1 c ] (1 + r) + m (r + 3) (1 + r) L c1 = 0.5c = λ (1) L c = β c 0.5 = λ (1 + r) L λ = c 1 + c (1 + r) = m (r + 3) (1 + r) Dividindo (1) por () e isolando c teremos que: () (3) c = c 1β (1 + r) (4) 3

4 Substituindo (4) em (3) encontramos que: Inserindo (5) em (4) temos que: c 1 = m (r + 3) (1 + r)(1 + β (1 + r)) c = m (r + 3)β (1 + r) (1 + β (1 + r)) (5) (6) Fazendo (5) igual a (6): m (r + 3) (1 + r)(1 + β (1 + r)) = m (r + 3)β (1 + r) (1 + β (1 + r)) β (1 + r) = 1 (1 + r) = 1 β ( Substituindo 0.83 na expressão e considerando que 1 = β (1 + r) = (0.83) ) = 1.43 r + r 0.43 = 0 Resolvendo a Bhaskara encontraremos que r é aproximadamente 0.. 5) Suponha duas loterias g = (0.5 m 1 ;0.5 m ) e h = (0.5 w 1 ;0.5 w ), tais que, u(m 1 ) = 5,u(m ) = 65,u(w 1 ) = 35,u(w ) = 50 e v (m 1 ) = 1,v (m ) = 9,v (w 1 ) = 3,v (w ) = 6. Responda aos seguintes itens: a) Verifique se u e v representam a mesma utilidade esperada; S: Vamos calcular a utilidade esperada das duas loterias levando em consideração as funções u e v: UE u (g) = 0.5u(m 1 ) + 0.5u(m ) = 45 UE u (h) = 0.5u(w 1 ) + 0.5u(w ) = 4.5 UE v (g) = 0.5v (m 1 ) + 0.5v (m ) = 5 UE v (h) = 0.5v (w 1 ) + 0.5v (w ) = 4.5 As funções UE u e UE v representam as mesmas escolhas se existirem a e b maiores que zero, tais que, UE u = a + bue v. Usando as loterias acima, obtemos que: UE u (g) = a + bue v (g) = 45 = a + 5b 4

5 UE u (h) = a + bue v (h) = 4.5 = a + 4.5b Resolvendo o sistema temos a=0 e b=5, sendo ambos maiores que zero. Logo, estas duas funções, para os valores dados, representam as mesmas escolhas. b) Suponha que a função de utilidade da riqueza de um indivíduo seja u(w) = log 10 (w). O indivíduo possui um carro no valor de R$ ,00. Existe uma probabilidade de 10% de ocorrer um acidente e o carro passar a valer R$ ,00. Calcule a utilidade esperada deste indivíduo; S: Há somente dois estados da natureza relevantes: 1) O carro é roubado e ) o carro não é roubado, com probabilidades de ocorrência de 10% e 90% respectivamente. A utilidade esperada é: UE = 0.10log 10 (10.000) + 0.9log 10 ( ) = 4.9 c) Suponha que a função de utilidade da riqueza de um indivíduo seja u(w) = w. Considere a loteria g = ( ;6,0 60;0.3 0). Determine o valor esperado, a utilidade esperada e o desvio padrão da loteria g. Calcule o equivalente de certeza e o prêmio de risco da loteria g. S: O valor esperado, denotado por Eg, é: 3 Eg = p i w i = = 46 i=1 A variância, denotada por σg é: 3 σg = p i (w i Eg) = 0.10 (100 46) (60 46) (0 46) = 1044 i=1 Logo, o desvio padrão é σ g = σg = 1044 = 3.31 A utilidade esperada da loteria g é: UE (g) = = 5.65 O equivalente de certeza da loteria g, denotado por EC g, é o valor tal que o indivíduo seja indiferente entre este valor dado com certeza e a loteria g. Logo: U (EC g ) = UE (g) ECg = 5.65 EC g = 31.9 O prêmio de risco de g, denotado por Pg, é a diferença entre o valor esperado da loteria e 5

6 o equivalente de certeza da mesma: P g = Eg EC g = = ) Considere um investidor com renda w e utilidade u(w) = w. Suponha que ele deseja investir R$ 150,00 na compra de ações de duas empresas, a empresa A e a empresa B. Os preços das ações das duas empresas são iguais a R$ 15,00. O preços das ações das duas empresas no período seguinte dependem dos estados da natureza, que podem ser dois: expansão ou contração. A tabela abaixo descreve os preços de ambas as ações para os dois estados da natureza possíveis, além das probabilidades destes estados. Estado Probabilidade Empresa A Empresa B Expansão 50% 40 5 Contração 50% 5 40 a) Calcule o preço e o retorno esperado destas ações. S: Os preços esperados das ações A e B, E pa e E pb, são respectivamente: E pa = =.5 E pb = =.5 Os retornos esperados das ações A e B, E ra e E rb, são: E ra = E ra p a.5 15 = = 0.5 p a 15 E rb = E rb p b.5 15 = = 0.5 p b 15 b) Se o indivíduo investir toda a sua renda na ação A, qual será a sua utilidade esperada? Qual será a utilidade esperada se ele investir toda a renda na ação B? S: Se o indivíduo investir todas a renda na empresa A, ele compra 10 ações. Se investir toda a renda na empresa B, ele também compra 10 ações. As utilidades esperadas são: UE (A) = = UE (B) = = c) Qual a utilidade esperada se o indivíduo investir metade da renda na ação A e metade na ação B? 6

7 S: Neste caso, o indivíduo gasta R$ 75,00 em cada ação e adquire 5 ações de cada empresa. Se o investidor comprasse 10 ações de cada empresa a riqueza esperada seria de E w = 10.5 = 5 analogamente E w = = 5. Logo a utilidade esperada é: UE (opção C) = = 15 d) Comparando as três possibilidades de investimento descritas nos itens b e c, em qual delas o investidor obterá maior utilidade? S: O investidor obterá mais utilidade na opção descrita no item c). e) A opção de investimento encontrada no item d é a que maximiza a utilidade do investidor? S: Para solucionarmos este item, é necessário montar o problema do investidor. Denote x A e x B as quantidades das ações das empresas A e B. O problema do investidor é: max x x A,x A + 5x B x B + 5x A sujeito à 15x A + 15x B = 150 B Usando a restrição orçamentária do problema, temos que: x B = 10 x A Substituindo esta expressão na função objetivo para x B temos que: A CPO do problema é: max0.5 35x x A x A A 0.5 (35x A + 50) (400 35x A ) = (35x A + 50) = 0.5 (400 35x A ) (35x A + 50) = (400 35x A ) 70x A = 350 x A = 5 E portanto obtemos x B : x B = 10 x A = 5 Desse modo, podemos afirmar que a estratégia de investimento descrita no item c é a melhor estratégia de investimento possível para o indivíduo. 7