Lógica e Raciocínio. Decisão sob Risco Utilidade. Universidade da Madeira.

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1 Lógica e Raciocínio Universidade da Madeira Decisão sob Risco Utilidade 1

2 Valor Monetário Esperado Assumamos que sempre podemos medir o valor das consequencias em termos monetarios E.g. v(c 1 ) = 10 Uma velha regra de decisão sob risco é escolher a alternativa que maximiza o valor monetário esperado. O valor monetário esperado EMV(A i ) duma alternativa A i é a media ponderada. EMV(A i ) = P(c 1 )*v(c 1 )+P(c 2 )*v(c 2 ) + + P(c n )*v(c n ) se a alternativa A i pode conduzir a n consequências diferentes Valor Monetário Esperado A i ã A j sse EMV(A i ) EMV(A j ), i.e. A i é debilmente preferida se o valor monetário de A i é pelo menos tão bom quanto ao do A j 2

3 O problema da moeda como medida O paradoxo de São Petersburgo esta baseado no jogo de São Petersburgo, onde uma moeda equilibrada é jogada até o resultado ser Cara. Quando isto acontece na n-ésima jogada (isto é as n- 1 jogadas previas foram coroa) o jogador recebe 2 n. (ex. co-co-ca recebe 8 ca=recebe 1 euro) Pergunta: Quanto esta disposto a pagar para ser admitido no jogo? Paradoxo de São Petesburgo A probabilidade de sair Coroa na primeira jogada é ½. Como as jogadas são independentes umas das outras, a probabilidade de obter Coroa na segunda jogada é ½*½. Assim, a probabilidade de obter Coroa n-1 vezes e Cara no vez n é ½ n. 3

4 Paradoxo de São Petesburgo O valor monetário esperado para este jogo é a suma das probabilidades multiplicado pelo premio para cada resultado: EU=p(Ca)*v(Ca) + p(coca)*v(coca) + p(cococa)*v(cococa) + = (1/2)*2 1 + (1/2) 2* 2 2 * + (1/2) 3* = , i.e. infinito. Conclusão, vale a pena jogar apostando qualquer dinheiro Solução do paradoxo de São Petersburgo 1738: O matemático suizo Daniel Bernoulli ( ) resolveu o paradoxo, onde o valor monetario mostro ser inapropriado como regra de decisão e foi introduzido conceito de utilidade. 4

5 Função de Utilidade Em vez de relacionar cada consequência com um valor monetário, vamos a relaciona-as com a utilidade EU(A i ) = P(c 1 )*u(c 1 )+P(c 2 )*u(c 2 ) + + P(c n )*u(c n ) se a alternativa A i pode conduzir a n consequências diferentes e u(c) éa função de utilidade. Utilidade Esperada A i ã A j sse EU(A i ) EU(A j ), i.e. A i é debilmente preferida se a utilidade de A i é pelo menos tão boa quanto ao do A j 5

6 Resolvendo o paradoxo de São Petersburgo Bernoulli deu uma função explicita para realizar este cálculo, que é dependente da fortuna inicial do jogador. A função de Bernoulli é logarítmica u(x) = log(x+c), para cada c, dependente da fortuna do jogador Função de utilidade de Bernoulli dependendo dos florines húngaros ( para nos) u(x) Linear Logaritmic 0 0,7 1,7 2,7 3,7 4,7 A suma ponderada logarítmica tem um valor finito, x ex ln(10001)* 2-1+ ln(10002)* 2-2+ ln(10003)* * * * x 6

7 Escala de Valores As escalas ordinais representam somente as posições relativas dos resultados, i.e., explicitam quem é o primeiro, o segundo, etc. no ranking, e mais nenhuma informação. Uma escala de valores ordinal é suficiente se aplicamos Maximin e Maximax Escala de Valores Porém, uma escala de valores ordinal não e suficiente para aplicar minimax-regret ou regras do tipo Utilidade Esperada, já que é necessária mais informação do que um simples ranking. 7

8 Escala de valores ordinal Assumamos que Você prefere maças a bananas, mais pêssegos muito mais que as maças. Utilizando uma escala de valores ordinal temos pêssegos >p maças >p bananas. Utilizando um intervalo de valores, por exemplo, bananas = 0, maças = 1 e pêssegos = utilidade:... maior preferência Banana Maça Pêssego Esta outra escala também é possível : bananas = 0, maças = 1 e pêssegos = 2: utilidade :... maior preferência Banana Maça Pêssego A ordem de preferência é a mesma, o que significa que são transformações ordinais uma da outra, já que conservam a mesma ordem de preferência, isto é pêssegos >p maças >p bananas Escala de valores ordinal Porém, estas transformações podem afectar o resultado das nossas decisões sob risco: S1 S2 S3 A1 pessego (4), p=1/4 maçã (1), p=1/4 banana (0), p=2/4 A2 maçã (1), p=1/4 maçã (1), p=1/4 maçã (1), p=2/4 A1 será a escolhida, já que a utilidade esperada para A1 é 5/4, enquanto para A2 é 4/4. Se mudamos o valor de pêssego de 4 para 2 obtemos: S1 S2 S3 A1 pessego (2) p=1/4 maçã (1) p=1/4 banana (0) p=2/4 A2 maçã (1) p=1/4 maçã (1) p=1/4 maçã (1) p=2/4 A2 será a escolhida, já que a utilidade esperada para A1é (3/4) menor que a de A2, a qual continua a ser (4/4). Ambos intervalos são transformações um do outro, mais a melhor escolha muda em ambos casos. Conclusão: A escala de valores ordinal não pode ser utilizada em decisões sob risco. 8

9 Escala de Intervalos As utilidades são definidas num intervalo de valores Não existe um zero absoluto Os cocientes de utilidade não tem muito significado u 1 = 10, u 2 = 5 não significa que u 1 is o dobro de bom que u 2. Usar cocientes em diferencias pode, por outro lado, ter sentido. Ex. a diferencia entre u(c 1 ) e u(c 2 ) é o dobro da diferencia entre u(c 2 ) e u(c 3 ). È comum definir a escala no intervalo [0,1] onde a pior consequência leva o numero 0 e a melhor o valor 1. A escolha da escala, porém, não tem importância, já que, por exemplo as escalas [0,1] e [-13,17] são igualmente boas. Teoria da Utilidade A regra de decisão de maximizar a utilidade esperada deriva-se de um conjunto de sistemas axiomáticos (ex. von Neumann-Morgenstern s and Savage s). A regra é consistente com as suposições que uma decisão racional deveria obedecer. 9

10 Teoria da Utilidade. Alguns princípios básicos X conjunto de resultados A ã B ou B ã A para todo A, B X. A ã B e B ã C, então A ã C para todo A, B,C em X. Criticas a Teoria da Utilidade O principio de maximizar a utilidade esperada não é assim tão superior aos outros para ser sempre escolhido. Uma objecção famosa para o princípio é o paradoxo de Allais. 10

11 Paradoxo de Allais Problema 1 Alternativa A: Receber 2500 com probabilidade 0.33 Receber 2400 com probabilidade 0.66 Receber 0 com probabilidade 0.01 Alternativa B Receber 2400 Problema 2 Alternativa C Receber 2500 com probabilidade 0.33 Receber 0 com probabilidade 0.66 Alternativa D Receber 2400 com probabilidade 0.34 Receber 0 com probabilidade 0.66 Qual é a sua escolha? Paradoxo de Allais As pessoas tendem a escolher B e C. Fazendo u( 0) = 0 Analisando o problema 1 u( 2400)> u( 2500)* u( 2400)* u( o) * 0.01 Isto é u( 2400)*0.34 > u( 2500)*0.33 Analisando o problema 2 u( 2500)* u( o) * 0.67 > u( 2400)* u( o) * 0.66 Isto é u( 2500)*0.33 > u( 2400)*

12 Paradoxo de Allais O que podemos concluir? FIM 12

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