(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos"

Transcrição

1 LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número = a quando n tende para infinito, e escrevemos n = a ou simplesmente n a n se podemos garantir que os números n ficam tão próimos quanto se queira de = a a partir de um índice suficientemente grande, dito de outro modo: para todo ɛ > 0 eiste n 0 tal que n a < ɛ sempre que n > n 0 Definição 2 Funções Contínuas). Dizemos que uma função f : D R é continua no ponto a D, quando a função f assumir valores f) tão próimos quanto se queira do valor fa) para suficientemente próimos do ponto = a, o que é o mesmo que: a seqüência y n = f n ) fa) sempre que D n a. Definição 3 Limite de Funções ). Seja f uma função definida para valores próimos de = a, eceto possivelmente para = a. Dizemos que o ite de f) quando tende para = a é um numero L, e escrevemos f) = L, a quando para qualquer seqüência n a, a seqüência de valores y n = f n ) L. A definição acima é equivalente a pedir que para todo numero ɛ > 0 eiste um δ > 0 que depende do ɛ), tal que: f) L < ɛ sempre que 0 < a < δ. que traduzindo significa que os valores f) ficam ɛ-próimos do numero L um erro menor que ɛ) se calculamos f em pontos que estão δ-próimos do número a mais diferentes de a. Na Definição 3, o fato de ser para qualquer seqüência e muito forte e tem varias implicações, como por eemplo: a) para provar que o ite de função seja diferente de L basta eibir duas seqüências n a mais que f n ) não seja convergente ou que f n ) M L, b) se eistir duas seqüências n, z n a para as quais as seqüências f n ) e fz n ) tenham ites diferentes então a f) não eiste.

2 Definição 4 Limites Laterais). i)seja f uma função definida para valores próimos e maiores que = a. Dizemos que o ite lateral a direita de f) quando tende para = a é um numero L, e escrevemos f) = L, a + quando para qualquer seqüência n a com n > a, a seqüência de valores y n = f n ) L. ii) De modo análogo definimos o ite lateral a esquerda o qual denotaremos por a f). E evidente que quando a f) = L não interessa se vamos aproimar do ponto = a só pela direita ou só pela esquerda, de qualquer modo f) fica tão próimo quanto se queira de L, portanto os ites laterais tem que ser iguais, ou seja, vale: Teorema 5. a f) = L f) = f) = L a + a Como conseqüência deste Teorema, temos que se f é uma função contínua então o seu gráfico não tem saltos. Mais ainda, se pode provar o seguinte teorema que é conhecido como Teorema do Valor Intermediário ou TVI, cujo a prova pode ser encontrada em [, pag.87]: Teorema 6 TVI). Seja f : [a, b] R é uma função continua. Se fa) fb) ou se fb) fa)) então para todo valor c [fa), fb)] ou c [fb), fa)] resp.) eiste um ponto 0 a, b) tal que f 0 ) = c O seguinte teorema é uma propriedade do ite e será de grande utilidade para o calculo de ites difíceis, tais como a derivada das funções cosseno e seno. Teorema 7 Teorema do Confronto ou Sanduiche). Se f) g) h) para todo contido em algum intervalo aberto que contenha = a eceto possivelmente em = a e então f) = h) = L a a g) = L a Uma prova do teorema acima pode ser vista em [3, pag. A45]. 2. Limites no infinito, Limites infinitos Seja f : D R uma função cujo o domínio é iitado superiormente, ou seja, D contem um intervalo da forma a, ), neste caso faz sentido perguntar como que a função se comporta no infinito ou seja para. Tal comportamento é o que nos vamos chamar de ite no infinito. ou seja: 2

3 Definição 8 Limite no infinito ). i)seja f uma função definida para valores arbitrariamente grandes. Dizemos que o ite de f) quando é L, e escrevemos f) = L, quando para qualquer seqüência n, a seqüencia de valores y n = f n ) L. ii)seja f uma função definida para valores de modulo arbitrariamente grandes e negativos. Dizemos que o ite de f) quando é L, e escrevemos f) = L, quando para qualquer seqüência n, a seqüencia de valores y n = f n ) L. Quando qualquer um dos dois ites acima é verdadeiro dizemos que a reta horizontal y = L é uma assíntota horizontal de f. Ou seja escrever f) = L significa que f assume valores tão próimos quanto se queira pedir do número L sempre que é suficientemente grande. Como eemplo, valem: = = 0 que podem ser facilmente justificados usando diretamente a definição. Mesmo em alguns casos em que o ite não eiste, pode ser que ser que a função tenha um comportamento especifico, como por eemplo vá para infinito, o que pode ser formalizado na seguinte definição: Definição 9 Limite Infinito ). Seja f uma função definida para valores próimos e diferentes de = a. Dizemos que o ite de f) quando a é ou ), e escrevemos f) = =, resp.), a quando para qualquer seqüência n a, a seqüência de valores y n = f n ) vai para o infinito ou vai para menos infinito, resp.). Nos dois casos dizemos que a reta vertical = a é uma assíntota verticas de f. Como eemplos, considerem a função g) =, neste caso esta função é contínua em R = 2 { R/ 0}. Sendo que para qualquer seqüência n 0 a seqüência F n ) claramente diverge para infinito. Portanto temos que 0 g) =. Observem que para a função f) =, se considerarmos as seqüências n = e z n n = n então vale que n, z n 0 e calculando f nestas seqüências temos que f n ) = n porem fz n ) = n o que prova que o ite não eiste. De modo similar podemos definir os seguintes ites: f) = f) = f) = f) = a + f) = a + f) = a f) = a f) = 3

4 No eemplo acima da função g) =, vimos que não eiste o ite para 0 entretanto eistem os ites laterais 0 g) = e 0 + g) =. Do modo similar ao Teorema 5 temos que o ite quando a é igual à ± se e somente se os ites laterais são iguais a ±. 3. Propriedades do Limite ou Leis do Limite A definição do ite de uma função é muito técnica para o cálculo do ite. De fato precisamos de uma conjectura ou um candidato ao valor ite e usando a definição o que fazemos é provar que este valor é ou não o ite em questão. Na pratica o que fazemos é verificar alguns ites pela definição e usamos as propriedades ou leis do ites que enunciaremos abaio) para comparar o ite desejado com um ite conhecido. Vamos agora enuncias as Leis do Limite, Para estudar as demonstrações, veja por eemplo [3, pag. A42]. Teorema 0 Leis do Limite). Vamos denotar c R e α R {, + }. Suponhamos que os ites f) e g) α α eistem ou seja são números reais). Então valem as seguintes igualdades: i) ii) iii) iv) vi) vii) viii) f) + g)) = f) + g). α α α f) g)) = f) g). α α α f)g)) = f) g). α α α f) α g) = α f) α g) cf) = c f) α α ) n α f))n = f) α α n f) = n f) α, se g) 0. α onde n N onde n N Observação. Todas as propriedades acima também valem para ite laterais. 4

5 Caso o ite de pelo menos uma das funções seja ou, não podemos usar diretamente as propriedades, já que podemos obter uma indeterminação como por eemplo,. Assim como não podemos aplicar a propriedade iv) quando α g) = 0. Entretanto tais ites podem eistir. Ate mesmo em casos mais simples como por eemplo: g) = L e f) = α α como o ite de f) não eiste não podemos usar as Leis do Limite para calcular os ites da soma, produto e quociente envolvendo estas funções, entretanto é fácil usar a definição para verificar que valem: f) + g) =, α α f) = 0 e que cf) = para c > 0, α f)g) =, ou f)g) = α α Se L > 0 ou se L < 0 respectivamente. Outros casos, podem ser visto em [2, pag 292 e 293]. Adaptando a prova do Teorema do Sanduíche Teorema 7 ) podemos provar versões do teorema válido ± e ites infinitos, ou seja: Teorema 2. a) Se f) g) h) para todo suficientemente grande e f) = h) = L então g) = L b) Seja f) g) para todo em um intervalo aberto que contem α, eceto possivelmente para = α. i) Se α f) = então g) = ii) Se α g) = então f) = 3.. Eemplos: Cálculos de ites. a) Considerem a função p) = Sendo p uma função contínua em R temos que: p) = pa) = a a2 a + 2, a R. Falta estudar o comportamento desta função para ±, ou seja falta calcular os ite no infinito. Para isto observando que para todo 0, vale que ) = ), 2 5

6 logo vale a igualdade: 2 + 2) = ) 2 Sendo 2 = e que, usando as propriedades i ) e ii ), + 2 ) = = = 2 Temos que ) =. 2 Usando os mesmos passos acima pode-se mostrar que p) = b). Considerem a função f) = 2 + neste caso, observem que para todo 0 vale a igualdade: 2) e como usando a propriedade iv) obtemos 2 + = 2 + ) = = = 2 + = = ) = 2 Do mesmo modo também podemos mostrar que f) = /2. Observação 3. O os argumentos usados no eemplo a) são facilmente estendidos para calculo de ites de qualquer polinômio e de fato a igualdade ), significa que o termo de maior grau domina a epressão para suficientemente grande. Já no eemplo b) o que fizemos na igualdade 2 ) foi dividir o numerador e denominador pelo maior grau do denominador para einar a indeterminação a mesma estratégia para calcular o ite do quociente de dois polinômios quais quer. c) Vamos estudar o comportamento assintótico função 22 + y =. Observem que o domino da função é D = { R/ }, e esta função é contínua em todos os pontos de D. Para entender o seu comportamento devemos analisar o comportamento para pontos próimos de = e para ±. 6

7 Para calcular o ite quando podemos usar uma estratégia similar ao eemplo 2, dividindo o numerador e denominador por / temos que: = e usando a propriedades do ite obtemos que: = 22 + = ) ) = 22 + = 22 + = ) = 2 Cuidado para calcular o ite com, pois já que iremos considerar < 0 então = 2 =. Neste caso dividindo o numerador e denominador por obtemos: e portanto temos que 22 + = 2. Vamos agora analisar o que ocorre quando. Inicialmente observem que 0 = 0 e que = 3 pois são ites de funções contínuas. Ademais vale: 22 +, R, e sendo que < 0 para todo < e > 0 para todo >, então valem as desigualdades: 22 + < para todo < e Portanto valem: 22 + > para todo > = e 22 + = já que assume valores arbitrariamente grandes para suficientemente próimo de = e troca de sinal neste ponto, logo = e = + o que também prova que o ite quando tende a não eiste. d) Estude o comportamento assintótico de y = 2 +. Esta função é contínua para todos os números reais. Portanto apenas temos que estudar os ites ao infinito. Observem que não 7

8 podemos usar diretamente propriedade ii) do ite porque isto nos levaria a uma indeterminação. Para einar esta indeterminação neste eemplo podemos multiplicar e dividir pelo conjugado de y, ou seja: 2 + ) = 2 + ) = = Usando as leis do ites obtemos: 2 + ) = = ) = ) ) Falta verificar o comportamento de y) quando neste caso temos uma soma de funções cujo os dois ites vão para infinito. Logo aplicando o teorema 4.2 de [2]) temos que 2 + ) =. = 0 e) Calcule o ite 3. Observe que o domínio desta função são os reais positivos. Neste caso os ites do numerador e denominador são iguais a zero. Para resolver este ite, a nossa estratégia será introduzir uma nova variável relacionada a anterior para obter um ite mais simples. Neste caso particular, observem que escolhendo u = u) = 6 com > 0, temos que = u 6. Note que é equivalente a que u. Portanto vale: 3 = u fatorando o numerador e denominador obtemos que: u 2 u u 3 = u 3 u6 u6 = u 2 u u 3 u )u + ) u )u 2 + u + ) = u u + ) u 2 + u + ) = 2 3 8

9 a) b) 4. Eercicios: ) Resolva os seguintes eercícios do Livro [2], pagina 298: - eercício 2, ítens : a, d, f, j, k - eercícios 8 e 9 2) Calcule os ites: ) c) 2u 2 u u 3 d) use o ítem anterior, veja antes eemploe) das notas de aula. e) ) Prove que um polinômio do tipo P ) = 3 + a 2 + b + c tem pelo menos uma raiz real. Referências [] Elon L. Lima, Curso de análise Vol., Projeto Euclides,7a ed. [2] Iaci Malta, Sinésio Pesco e Hélio Lopes, Cálculo de uma variavel Vol. - uma introdução ao cálculo, Coleção matmídia, ed. PUC-Rio. [3] James Stewart, Calculo Vol. I, 4a ed. Universidade Federal of Minas Gerais, Dep. of Matemática, ICE, Av. Antônio Carlos, 6627/ C. P.702, , Belo Horizonte, MG, Brasil. address: 9

Volume de um gás em um pistão

Volume de um gás em um pistão Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume

Leia mais

Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites

Cálculo I 3ª Lista de Exercícios Limites www.cursoeduardochaves.com Cálculo I ª Lista de Eercícios Limites Calcule os ites: a (4 7 +5 b + 5 c ( 5 ++4 d + 5 4 e 5 + 4 + ++ f 6 4 Resp. : a b 0 c /8 d / e 9 5 f Calcule os ites abaio: a 4 b + c +5

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

Limite e Continuidade

Limite e Continuidade Matemática Licenciatura - Semestre 200. Curso: Cálculo Diferencial e Integral I Professor: Robson Sousa Limite e Continuidade Neste caítulo aresentaremos as idéias básicas sobre ites e continuidade de

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a Regra de L Hôpital, que será utilizada para solucionar indeterminações de ites de qualquer

Leia mais

Limites Uma teoria abordando os principais tópicos sobre a teoria dos limites. José Natanael Reis

Limites Uma teoria abordando os principais tópicos sobre a teoria dos limites. José Natanael Reis Limites Uma teoria abordando os principais tópicos sobre a teoria dos limites Este trabalho tem como foco, uma abordagem sobre a teoria dos limites. Cujo objetivo é o método para avaliação da disciplina

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO. Realização: UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL APOSTILA DE CÁLCULO Realização: Fortaleza, Fevereiro/2010 1. LIMITES 1.1. Definição Geral Se os valores de f(x) puderem

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques 7 DERIVADAS PARCIAIS TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação:

Leia mais

Curso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS

Curso de Férias de IFVV (Etapa 3) INTEGRAIS DUPLAS Curso de Férias de IFVV (Etapa ) INTEGAIS UPLAS VOLUMES E INTEGAIS UPLAS Objetivando resolver o problema de determinar áreas, chegamos à definição de integral definida. A idéia é aplicar procedimento semelhante

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I CDI I

Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Cálculo Diferencial e Integral I CDI I Limites laterais e ites envolvendo o infinito Luiza Amalia Pinto Cantão luiza@sorocaba.unesp.br Limites 1 Limites Laterais a à diretia b à esquerda c Definição precisa

Leia mais

Limites infinitos e limites no infinito Aula 15

Limites infinitos e limites no infinito Aula 15 Propriedades dos ites infinitos Limites infinitos e ites no infinito Aula 15 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014

Leia mais

Integrais Múltiplas. Integrais duplas sobre retângulos

Integrais Múltiplas. Integrais duplas sobre retângulos Integrais Múltiplas Integrais duplas sobre retângulos Vamos estender a noção de integral definida para funções de duas, ou mais, variáveis. Da mesma maneira que a integral definida para uma variável, nos

Leia mais

Sequencias e Series. Exemplo 1: Seja tal que. Veja que os dez primeiros termos estão dados por: ,,,,...,, ou seja que temos a

Sequencias e Series. Exemplo 1: Seja tal que. Veja que os dez primeiros termos estão dados por: ,,,,...,, ou seja que temos a Sequencias e Series Autor: Dr. Cristian Novoa MAF- PUC- Go cristiancalculoii@gmail.com Este texto tem como objetivo principal, introduzir alguns conceitos de Sequencias e Series,para os cursos de Engenharia,

Leia mais

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 bras.png Cálculo I Logonewton.png Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 Objetivos da Aula: Definir limite de uma função Definir limites laterias Apresentar as propriedades operatórias

Leia mais

Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que.

Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores finitos quando x a, digamos α e β, e β 0, então pela álgebra dos limites sabemos que. FORMAS INDETERMINADAS E A REGRA DE L HÔPITAL RICARDO MAMEDE Consideremos o ite. Se tanto o numerador como o denominador tendem para valores initos quando a, digamos α e β, e β, então pela álgebra dos ites

Leia mais

Derivadas Parciais Capítulo 14

Derivadas Parciais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.2 Limites e Continuidade Nesta seção, aprenderemos sobre: Limites e continuidade de vários tipos de funções. LIMITES E CONTINUIDADE Vamos comparar o

Leia mais

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro

MAT Laboratório de Matemática I - Diurno Profa. Martha Salerno Monteiro MAT 1511 - Laboratório de Matemática I - Diurno - 2005 Profa. Martha Salerno Monteiro Representações decimais de números reais Um número real pode ser representado de várias maneiras, sendo a representação

Leia mais

Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral

Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Notas de Aula de Cálculo Diferencial e Integral Volume I Fábio Henrique de Carvalho Copright c 03 Publicado por Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco Univasf) www.univasf.edu.br Todos

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas

D I F E R E N C I A L. Prof. ADRIANO CATTAI. Apostila 02: Assíntotas ac C Á L C U L O D I F E R E N C I A L E I N T E G R A L I 02 Prof. ADRIANO CATTAI Apostila 02: Assíntotas NOME: DATA: / / Não há ciência que fale das harmonias da natureza com mais clareza do que a matemática

Leia mais

Fundamentos de Matem[atica I LIMITES. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Fundamentos de Matem[atica I LIMITES. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques LIMITES Gil da Costa Marques. O cálculo. Definição de limite. Funções contínuas e descontínuas.4 Limites quando a variável independente cresce indefinidamente em valor absoluto.5 Limites infinitos.6 Limites

Leia mais

REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS

REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS Análise Matemática MIEC /4 REVISÃO DE ALGUMAS MATÉRIAS INEQUAÇÕES Uma das propriedades das inequações mais vezes ignorada é a que decorre da multiplicação de ambos os membros por um valor negativo. No

Leia mais

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D

A Prática. Perfeição. Cálculo. William D. Clark, Ph.D e Sandra Luna McCune, Ph.D A Prática Leva à Perfeição Cálculo William D. Clark, P.D e Sandra Luna McCune, P.D Rio de Janeiro, 01 Para Sirley e Donice. Vocês estão sempre em nossos corações. Sumário Prefácio i I Limites 1 1 O conceito

Leia mais

Limites. 2.1 Limite de uma função

Limites. 2.1 Limite de uma função Limites 2 2. Limite de uma função Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 x + 2 para valores próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x próximos

Leia mais

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso

Universidade Federal Fluminense. Matemática I. Professora Maria Emilia Neves Cardoso Universidade Federal Fluminense Matemática I Professora Maria Emilia Neves Cardoso Notas de Aula / º semestre de Capítulo : Limite de uma função real O conceito de ite é o ponto de partida para definir

Leia mais

Comecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim

Comecemos por relembrar as propriedades dos limites das sucessões: b n = K e c IR então: lim. lim .. Limites e Continuidade... Limites em IN Comecemos por relembrar as propriedades dos ites das sucessões: Propriedades dos Limites das Sucessões: Sejam n a n = L e n b n = K e c IR então: n [a n ± b n

Leia mais

Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada:

Definimos a soma de seqüências fazendo as operações coordenada-a-coordenada: Aula 8 polinômios (Anterior: chinês. ) 8.1 séries formais Fixemos um anel A. Denotaremos por A N o conjunto de todas as funções de N = {, 1, 2,... } a valores em A. Em termos mais concretos, cada elemento

Leia mais

Á lgebra para intermedia rios Ma ximos, mí nimos e outras ideias u teis

Á lgebra para intermedia rios Ma ximos, mí nimos e outras ideias u teis Á lgebra para intermedia rios Ma imos, mí nimos e outras ideias u teis 0) O que veremos na aula de hoje? Máimos e mínimos em funções do º grau Máimos e mínimos por trigonometria Máimos e mínimos por MA

Leia mais

LIMITES E CONTINUIDADE

LIMITES E CONTINUIDADE LIMITES E CONTINUIDADE Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE

Leia mais

Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real

Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Limites e Continuidade de Funções Reais de Uma Variável Real Carla Montorfano João César Guirado João Roberto Gerônimo Jorge Ferreira Lacerda Rui Marcos de Oliveira Barros Valdeni Soliani Franco Apresentação

Leia mais

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada

Leia mais

EQUAÇÕES FUNCIONAIS PARA OS MAIS JOVENS Ricardo César da Silva Gomes, IFCE, Jaguaribe CE

EQUAÇÕES FUNCIONAIS PARA OS MAIS JOVENS Ricardo César da Silva Gomes, IFCE, Jaguaribe CE EQUAÇÕES FUNCIONAIS PARA OS MAIS JOVENS Ricardo César da Silva Gomes, IFCE, Jaguaribe CE Nível Intermediário Um dos temas mais desafiadores para um olímpico são os problemas sobre equações funcionais.

Leia mais

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja, (c) O limite do quociente é o quociente dos limit

(b) O limite o produto é o produto dos limites se o limite de cada fator do produto existe, ou seja, (c) O limite do quociente é o quociente dos limit MATEMÁTICA I AULA 03: LIMITES DE FUNÇÃO, CÁLCULO DE LIMITES E CONTINUIDADES TÓPICO 02: CÁLCULO DE LIMITES Neste tópico serão estudadas as técnicas de cálculo de limites de funções algébricas, usando alguns

Leia mais

Aula 12 Introdução ao Cálculo Integral

Aula 12 Introdução ao Cálculo Integral Aula 12 Introdução ao Cálculo Integral Objetivos da Aula Contextualizar o cálculo integral, dando ênfase em sua definição como sendo a operação inversa da diferenciação e estudar algumas propriedades fundamentais.

Leia mais

y ds, onde ds é uma quantidade infinitesimal (muito pequena) da curva C. A curva C é chamada o

y ds, onde ds é uma quantidade infinitesimal (muito pequena) da curva C. A curva C é chamada o Integral de Linha As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas iências Eatas, como por eemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula, movendo-a

Leia mais

PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL

PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL PARTE I EQUAÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL. Introdução Considere f uma função, não constante, de uma variável real ou complexa, a equação f(x) = 0 será denominada equação de uma incógnita. EXEMPLO e x + senx

Leia mais

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016

1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: 22/08/16 a 26/08/2016 1 Roteiro Atividades Mat146 Semana4: /08/16 a 6/08/016 1. Matéria dessa semana de acordo com o Plano de ensino oicial: Assíntotas Horizontais e Verticais. Continuidade. Material para estudar: Assíntotas

Leia mais

EXEMPLOS Resolva as equações em : 1) Temos uma equação completa onde a =3, b = -4 e c = 1. Se utilizarmos a fórmula famosa, teremos:

EXEMPLOS Resolva as equações em : 1) Temos uma equação completa onde a =3, b = -4 e c = 1. Se utilizarmos a fórmula famosa, teremos: EQUAÇÃO DE SEGUNDO GRAU INTRODUÇÃO Equação é uma igualdade onde há algum elemento desconhecido Como exemplo, podemos escrever Esta igualdade é uma equação já conhecida por você, pois é de primeiro grau

Leia mais

Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos

Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos MAT 1351 Cálculo para funções uma variável real I Curso noturno de Licenciatura em Matemática 1 semestre de 2016 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios

Leia mais

1 Cônicas Não Degeneradas

1 Cônicas Não Degeneradas Seções Cônicas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 11 de dezembro de 2001 Estudaremos as (seções) cônicas,

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 RELAÇÕES FUNÇÃO DEFINIDA POR MAIS DE UMA SENTENÇA... MÓDULO... 6 PROPRIEDADES DO MÓDULO... 6 FUNÇÃO MODULAR... 9 GRÁFICO DA FUNÇÃO MODULAR... 9 EQUAÇÕES MODULARES... 7 INEQUAÇÕES MODULARES... 3 RESPOSTAS... 37

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO

UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO OESTE DO PARÁ PRÓ-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO INSTITUTO DE ENGENHARIA E GEOCIENCIAS-IEG PROGRAMA DE COMPUTAÇÃO NOTAS DE AULA DA DISCIPLINA DE CÁLCULO 1 MATERIAL EM CONSTRUÇÃO

Leia mais

com 3 Incógnitas A interseção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x.

com 3 Incógnitas A interseção do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x determina a coordenada x. Interpretação Geométrica de Sistemas Lineares com 3 Incógnitas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática Instituto de Ciências Eatas Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi

Leia mais

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES

TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DA ARITMÉTICA: APLICAÇÕES 1). Achando os divisores de um número natural 2). Quantidade de divisores de um número natural 3). Decidindo se um número natural divide outro 4). Extrema

Leia mais

Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange. Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas.

Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange. Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas. Aula 05 GRUPOS QUOCIENTES METAS Estabelecer o conceito de grupo quociente. OBJETIVOS Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange. Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas.

Leia mais

4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA

4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 43 4. AS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA 4.1. A FUNÇÃO EXPONENCIAL Vimos no capítulo anterior que dado a R +, a potência a pode ser definida para qualquer número R. Portanto, fiando a R +, podemos definir

Leia mais

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão) R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a

Leia mais

Produtos de potências racionais. números primos.

Produtos de potências racionais. números primos. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e

Leia mais

Lista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim

Lista de Férias. 6 Prove a partir da definição de limite que: a) lim. (x + 6) = 9. 1 Encontre uma expressão para a função inversa: b) lim Lista de Férias Bases Matemáticas/FUV Encontre uma epressão para a função inversa: + 3 a) 5 2 + e b) e c) 2 + 5 d) ln( + 3) 6 Prove a partir da definição de ite que: a) 3 ( + 6) = 9 b) = c) 2 = 4 2 d)

Leia mais

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL

1. FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 1 1 FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL 11 Funções trigonométricas inversas 111 As funções arco-seno e arco-cosseno Como as funções seno e cosseno não são injectivas em IR, só poderemos definir as suas funções

Leia mais

CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano

CÁLCULO NUMÉRICO. Profa. Dra. Yara de Souza Tadano CÁLCULO NUMÉRICO Profa. Dra. Yara de Souza Tadano yaratadano@utfpr.edu.br Aula 4 Zeros reais de funções Parte 1 Objetivo Determinar valores aproimados para as soluções (raízes) de equações da forma: f

Leia mais

Zero de Funções ou Raízes de Equações

Zero de Funções ou Raízes de Equações Zero de Funções ou Raízes de Equações Um número ξ é um zero de uma função f() ou raiz da equação se f(ξ). Graficamente os zeros pertencentes ao conjunto dos reais, IR, são representados pelas abscissas

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula

Leia mais

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda Daniel De modo intuitivo, uma função f : A B, com A,B R é dita contínua se variações suficientemente pequenas em x resultam em variações pequenas de f(x), ou equivalentemente, se para x suficientemente

Leia mais

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções

Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo Aula 1 Professor: Carlos Sérgio. Revisão de Funções Centro de Ciências e Tecnlogia Agroalimentar - Campus Pombal Disciplina: Cálculo - 01. Aula 1 Professor: Carlos Sérgio Revisão de Funções Sistema cartesiano ortogonal O Sistema de Coordenadas Cartesianas,

Leia mais

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo

Cálculo I IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo Cálculo I IM UFRJ Lista : Pré-Cálculo Prof. Marco Cabral Versão 7.03.05 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio que chamaremos de pré-cálculo.

Leia mais

A função y = ax + b. Na Aula 9, tivemos um primeiro contato

A função y = ax + b. Na Aula 9, tivemos um primeiro contato A UA UL LA A função = a + b Introdução Na Aula, tivemos um primeiro contato com a equação = a + b e aprendemos que seu gráfico é uma reta. Vamos então recordar algumas coisas. l Se a = 0, a nossa equação

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 7

Matemática E Extensivo V. 7 Matemática E Etensivo V. 7 Eercícios ) B ) A P() = ³ + a² + b é divisivel por. Pelo teorema do resto, = é raiz de P(). P() = ³ + a. ² + b a + b = Da mesma maneira, P() é divisível por. Pelo teorema do

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 07: Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Confronto e Limite Trigonométrico Fundamental Objetivos da Aula Conhecer e aplicar o Teorema

Leia mais

Derivadas Parciais Capítulo 14

Derivadas Parciais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS Como vimos no Capítulo 4, no Volume I, um dos principais usos da derivada ordinária é na determinação dos valores máximo e mínimo. DERIVADAS PARCIAIS 14.7

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 6

Matemática E Extensivo V. 6 Etensivo V. 6 Eercícios ) a) P() é sempre igual à soma dos coeficientes de P(). b) P() é sempre igual ao termo independente de P(). c) P() é a raiz de P(), pois P() =. ) D a) P() = ³ + 7. ² 7. P() = +

Leia mais

Notas sobre primitivas

Notas sobre primitivas MTDI I - 007/08 - Notas sobre primitivas Notas sobre primitivas Seja f uma função real de variável real de nida num intervalo real I: Chama-se primitiva de f no intervalo I a uma função F cuja derivada

Leia mais

Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor

Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor Sobre Desenvolvimentos em Séries de Potências, Séries de Taylor e Fórmula de Taylor Pedro Lopes Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico o. Semestre 004/005 Estas notas constituem um material

Leia mais

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Método de Newton Paulo Evandro Viana Belo Horizonte, março de 006 AOS MEUS QUERIDOS E ESTIMADOS FAMILIARES E,

Leia mais

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18

A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e Máximos e Mínimos - Aula 18 A derivada da função inversa, o Teorema do Valor Médio e - Aula 18 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 10 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L1 NOTAS DA DÉCIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos o Teorema do Valor Médio e algumas de suas conseqüências como: determinar os intervalos de

Leia mais

Cálculo Numérico Faculdade de Ciências Sociais Aplicadas e Comunicação FCSAC Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU

Cálculo Numérico Faculdade de Ciências Sociais Aplicadas e Comunicação FCSAC Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Cálculo Numérico Faculdade de Ciências Sociais Aplicadas e Comunicação FCSAC Faculdade de Engenharia, Arquiteturas e Urbanismo FEAU Prof. Dr. Sergio Pilling (IPD/ Física e Astronomia) REVISÃO DA 1ª PARTE

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1

Leia mais

IFSP - EAD _nº 5 FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU, OU FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU :

IFSP - EAD _nº 5 FUNÇÃO POLINOMIAL DE PRIMEIRO GRAU, OU FUNÇÃO DE PRIMEIRO GRAU : IFSP - EAD _nº 5 FUNÇÕES CONSTANTE, DE PRIMEIRO E DE SEGUNDO GRAUS. DEFINIÇÕES : FUNÇÃO CONSTANTE : Uma função f: R R é chamada constante se puder ser escrita na forma y = f() = a, onde a é um número real

Leia mais

Nas P1s caem os conceitos de limites, continuidade, derivadas e suas aplicações. Então vamos começar falando de limites.

Nas P1s caem os conceitos de limites, continuidade, derivadas e suas aplicações. Então vamos começar falando de limites. Limites INTRODUÇÃO Fala, galera! Vamos começar a agora o tão temido, aquela matéria cabulosa em que todos reprovam. Cara, RELAXA! Felizmente nem é assim. Dedique parte de seu tempo para os estudos, pois

Leia mais

Identidades algébricas

Identidades algébricas LIÇÃO 5 Identidades algébricas Dos três tipos básicos de transformações algébricas: decomposições, reduções e fatorações, os dois primeiros já foram estudados na lição anterior. Antes de passarmos ao terceiro

Leia mais

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:

Leia mais

Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma função. Suponha que uma variável y seja dada como uma função f de uma outra variável x,

Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma função. Suponha que uma variável y seja dada como uma função f de uma outra variável x, Elementos de Cálculo Dierencial Na aula anterior vimos a noção de derivada de uma unção. Supona que uma variável y seja dada como uma unção de uma outra variável, y ( ). Por eemplo, a variável y pode ser

Leia mais

Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta

Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta Capítulo 3 Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta Nesta aula vamos caracterizar de forma algébrica a posição relativa de duas retas no plano e de uma reta e de um círculo

Leia mais

MÓDULO XI. INEQUAÇÕES 2x 20

MÓDULO XI. INEQUAÇÕES 2x 20 MÓDULO XI. Inequação INEQUAÇÕES < Logo, o conjunto solução será S. Vamos supor que, na nossa escola, a média mínima para aprovação automática seja 6 e que essa média, em cada matéria, seja calculada pela

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/30 3 - INDUÇÃO E RECURSÃO 3.1) Indução Matemática 3.2)

Leia mais

Semana 2 Limites Uma Ideia Fundamental

Semana 2 Limites Uma Ideia Fundamental 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Semana 2 Limites Uma Ideia Fundamental Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 O LIMITE DE UMA FUNÇÃO Inicialmente, vamos analisar o comportamento da função f definida

Leia mais

Apostila de Cálculo I

Apostila de Cálculo I Limites Diz-se que uma variável tende a um número real a se a dierença em módulo de -a tende a zero. ( a ). Escreve-se: a ( tende a a). Eemplo : Se, N,,,4,... quando N aumenta, diminui, tendendo a zero.

Leia mais

Para simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de :

Para simplificar a notação, também usamos denotar uma sequência usando apenas a imagem de : Sequências Uma sequência é uma função f de em, ou seja. Para todo número natural i associamos um número real por meio de uma determinada regra de formação. A sequencia pode ser denotada por: Ou, por meio

Leia mais

Funções EXERCÍCIOS ( ) ( )

Funções EXERCÍCIOS ( ) ( ) Funções Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra, estamos trabalhando com conceito de função. Por eemplo, um taista abastece seu carro no posto de combustível

Leia mais

Conjuntos Numéricos. É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.

Conjuntos Numéricos. É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados. Conjuntos Numéricos INTRODUÇÃO Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns. Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números. Alguns termos: Pertinência Igualdade

Leia mais

Capítulo 9. A Derivada de uma Função. 9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos

Capítulo 9. A Derivada de uma Função. 9.2 Calculando derivadas: alguns exemplos Capítulo 9 A Derivada de uma Função 9. Definição No Cap. 5, motivados pela geometria, vimos que o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função f, em um ponto ( 0, f( 0 )), é obtido tomando-se

Leia mais

PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo

PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) = + y + y Quadrado da soma de dois termos Duas vezes o produto do 1º pelo º Eemplo 1: a) ( + 3y) = +..(3y) + (3y) = + 6y + 9y. ) (7 + 1) = c) (a

Leia mais

Capítulo Regra da cadeia

Capítulo Regra da cadeia Cálculo 2 - Capítulo 28 - Regra da cadeia 1 Capítulo 28 - Regra da cadeia 281 - Introdução 283 - Generalização 282 - Regra da cadeia Este capítulo trata da chamada regra da cadeia para funções de duas

Leia mais

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par.

Funções Elementares. Sadao Massago. Maio de Alguns conceitos e notações usados neste texto. Soma das funções pares é uma função par. Funções Elementares Sadao Massago Maio de 0. Apresentação Neste teto, trataremos rapidamente sobre funções elementares. O teto não é material completo do assunto, mas é somente uma nota adicional para

Leia mais

Concluímos esta secção apresentando alguns exemplos que constituirão importantes limites de referência. tan θ. sin θ

Concluímos esta secção apresentando alguns exemplos que constituirão importantes limites de referência. tan θ. sin θ aula 08 Funções reais de variável real Limites e continuidade (Continuação) A definição de limite segundo Heine permite, como já vimos anteriormente no caso da álgebra de limites, transpor quase imediatamente

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

Módulo e Função Modular

Módulo e Função Modular INSTITUTO DE APLICAÇÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA-UERJ DISCIPLINA: MATEMÁTICA (FUNÇÕES) PROF S : QUARANTA / ILYDIO / 1 a SÉRIE ENSINO MÉDIO Módulo e Função Modular Função definida por mais de uma sentença

Leia mais

Matemática A Intensivo V. 1

Matemática A Intensivo V. 1 Intensivo V Eercícios ) V F F F F V V V ) D a) Verdadeiro Zero é elemento do conjunto {,,, 3, } b) Falso Neste caso temos {a} como subconjunto de {a, b} logo a relação correta seria a} {a, b} c) Falso

Leia mais

1 A Equação Fundamental Áreas Primeiras definições Uma questão importante... 7

1 A Equação Fundamental Áreas Primeiras definições Uma questão importante... 7 Conteúdo 1 4 1.1- Áreas............................. 4 1.2 Primeiras definições...................... 6 1.3 - Uma questão importante.................. 7 1 EDA Aula 1 Objetivos Apresentar as equações diferenciais

Leia mais

Lista de Exercícios de Calculo I Limites e Continuidade

Lista de Exercícios de Calculo I Limites e Continuidade Lista de Eercícios de Calculo I Limites e Continuidade ) O gráfico a seguir representa uma função f de [ 6, 9] em Determine: ) Dada a função f definida por:, se f ( ), se, se Esboce o gráfico de f e calcule

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 TÓPICO Gil da Costa Marques 1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos 1.2 Introdução 1.3 Conceitos Básicos 1.4 Subconjuntos e Intervalos 1.5 Conjuntos Numéricos 1.5.1 O Conjunto

Leia mais

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F.

Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 8 ano E.F. Módulo de Números Naturais. Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclideana. 1 Exercícios Introdutórios Exercício 1.

Leia mais

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. No conjunto dos números naturais operações do tipo

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS. No conjunto dos números naturais operações do tipo CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS No conjunto dos números naturais operações do tipo 9-5 = 4 é possível 5 5 = 0 é possível 5 7 =? não é possível e para tornar isso possível foi criado o conjunto dos números

Leia mais

Cálculo A. José Carlos de Souza Junior.

Cálculo A. José Carlos de Souza Junior. Cálculo A José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc_jc Universidade Federal de Alfenas - Instituto de Ciências Exatas Abril - 2014 O que é o GeoGebra? GeoGebra é um software

Leia mais

A função do 2º grau. Na aula anterior, estudamos a função do. Nossa aula

A função do 2º grau. Na aula anterior, estudamos a função do. Nossa aula A UA UL LA A função do º grau Introdução Na aula anterior, estudamos a função do 1º grau ( = a + b) e verificamos que seu gráfico é uma reta. Nesta aula, vamos estudar outra função igualmente importante:

Leia mais

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de

Leia mais

Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange

Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange Interpolação polinomial: Polinômio de Lagrange Marina Andretta ICMC-USP 09 de maio de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R. L. Burden e J. D. Faires. Marina Andretta (ICMC-USP) sme0500 - cálculo

Leia mais