Risco. Definição: Uma lotaria é qualquer evento com um resultado incerto. Exemplos: Investimento, Jogos de Casino, Jogo de Futebol.

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1 Risco Definição: Uma lotaria é qualquer evento com um resultado incerto. Exemplos: Investimento, Jogos de Casino, Jogo de Futebol. Definição: A probabilidade de um resultado (de uma lotaria) é a possibilidade desse resultado ocorrer, estimada normalmente pela frequência relativa histórica do resultado Noção de Probabilidade P - denota a probabilidade. A, B, e C - denota acontecimentos específicos. P (A) - denota a probabilidade de ocorrer o acontecimento A.

2 Probabilidade: conceito frequencista Realize (ou observe) uma experiência um grande nº de vezes, e conte o nº de vezes em que ocorreu o acontecimento A. Baseado nestes resultados, P(A) é estimada por P(A) = nº de vezes que A ocorreu nº de experiências realizadas Lei dos grandes números Quando uma experiência é repetida um grande nº de vezes, o valor da frequência relativa de um acontecimento tende a se aproximar do valor da verdadeira probabilidade.

3 Estabilização das frequências relativas Estabilização das frequências relativas A probabilidade de um acontecimento impossível é 0 (zero). A probabilidade de um acontecimento certo é. 0 P(A) para qualquer acontecimento A. 3

4 Distribuição de Probabilidade Uma variável aleatória é uma variável (usualmente representada por X) que toma um certo valor numérico, determinado pelo acaso, de cada vez que a experiência é realizada. A variável aleatória associa números aos acontecimentos do espaço dos possíveis. Uma distribuição de probabilidade permite calcular a probabilidade correspondente a cada valor ou conjunto de valores da variável aleatória. Distribuição de Probabilidade Definição: A distribuição de probabilidade da lotaria representa todos os possíveis payoffs na lotaria e suas probabilidades associadas. Propriedade (decorre dos slides anteriores): A probabilidade de um determinado resultado é entre 0 e A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis é igual a. Definição: Probabilidades que reflectem crenças subjectivas sobre eventos de risco são chamadas probabilidades subjectivas. 4

5 Distribuição de Probabilidade Probabilidade % de hipóteses de perder 33% de hipóteses de ganhar Payoff $5 $00 Valor Esperado A média ponderada dos payoffs ou valores de todos os resultados possíveis. As probabilidades de cada resultado são utilizadas como seus respectivos pesos O valor esperado mede a tendência ao ponto central; o payoff ou valor que, na média, deveríamos esperar que viesse a ocorrer. 5

6 Geralmente, para n possíveis resultados: Possíveis resultados com payoffs X, X,, X n Probabilidades de cada resultado: Pr, Pr,, Pr n E(X) PrX Valor Esperado PrX... Prn Xn No No nosso exemplo, o valor esperado é: é: E(X) = x $ x $00 = $50. Utilidade Esperada O cabaz de bens é o consumo contingente (porque o payoff só acontece se certo evento ocorre) em cada estado da natureza, mutuamente exclusivos: (C, C ) Probabilidades dos estados da natureza: π e π, que somam Utilidade, formato geral: U c c;,, Consumo contingente, os bens probabilidades, os parâmetros 6

7 Utilidade Esperada Preferências sobre lotarias estão na forma de utilidade esperada se são a soma ponderada (pelas probabilidades) da utilidade do consumo contingente, que é dada pela função u( ) U c, c ; uc uc, Também chamada de utilidade de von Neumann- Morgenstern A função u( ) é chamada de utilidade de Bernoulli Preferências Face ao Risco Exemplo: Trabalhar para a IBM (recebe salário fixo certo de $54000) ou Amazon.Com (50% de hipóteses de ganhar $4000 e 50% de ganhar $04000)? Suponhamos que os indivíduos que enfrentam alternativas de risco procuram maximizar a utilidade esperada. U(IBM) = U($54,000) = 30 U(Amazon) =.5xU($4,000) +.5xU($04,000) =.5(60) +.5(30) = 90 Nota: Nota: E(Amazon) =.5($4000)+.5($04,000) = $54,000 $54,000 7

8 Preferências Face ao Risco Utilidade Função Utilidade U(04) = 30 U(54) = 30.5u(4) +.5U(04) = 90 U(4) = Rendimento (000 $ por ano) Prémio de Risco Quanto é que uma pessoa necessita para assumir um risco? Neste caso, o prémio de risco é de $7.000, porque um rendimento garantido de $ proporciona à pessoa a mesma utilidade esperada que o rendimento incerto, que tem um valor esperado de $ Utilidade U(04) = 30 Prémio de Risco = $7000 Função Utilidade U(54) = 30.5u(4) +.5U(04) = 90 U(4) = 60 E 7000 D Prémio de risco é negativo para uma pessoa propensa a risco Rendimento (000 $ por ano) 8

9 Preferências Face ao Risco Preferências Diferentes em Relação ao Risco Avessa ao risco: uma pessoa que prefere um rendimento garantido a um de risco com o mesmo valor esperado. Uma pessoa é considerada avessa ao risco se tem uma utilidade marginal decrescente do rendimento. A contratação de seguro demonstra um comportamento avesso a riscos. Preferências Face ao Risco Neutralidade Face ao Risco Utilidade Utilidade Amor ao Risco Função Utilidade Função Utilidade 0 Rendimento Rendimento 9

10 Preferências Face ao Risco Se a utilidade de Bernoulli u( ) é côncava (u < 0), então o agente é avesso ao risco Exemplo u(c) = ln(c), u(c) = c ½ Se a utilidade de Bernoulli u( ) é convexa (u > 0), então o agente é amante do risco Exemplo u(c) = exp(c),u(c) = c Se a utilidade de Bernoulli u( ) é linear (u = 0), então o agente é neutro ao risco Exemplo u(c) = c, u(c) = 0+34c Exemplo Um indivíduo está indeciso entre comprar acções de uma empresa da Internet ou de uma empresa pública. Os valores que as acções podem atingir (rendimento, designado por R) e a probabilidade de cada acção atingir cada valor são: Internet Empresa Pública R Probab. R Probab. $80.3 $80. $00.4 $00.8 $0.3 $0. 0

11 Exemplo Que decisão deveria ser tomada se a função utilidade for U = 00R? E se fosse U = R? UE(Internet) =.3U(80) +.4U(00) +.3U(0) UE(EP) =.U(80) +.8U(00) +.U(0) U = 00R U(80) = 89.40; U(00) = 00; U(0) = 09.5 UE(Internet) =.3(89.40)+.4(00)+.3(09.50) = UE(EP) =.(89.40) +.8(00) +.(09.50) = 99.9 O INDIVÍDUO ESCOLHERÁ A ACÇÃO DA EP U = R UE(Internet) =.3(80)+.4(00)+.3(0)=00 UE(EP)=.(80) +.8(00) +.3(0) = 00 O INDIVÍDUO É INDIFERENTE ENTRE AS ACÇÕES. Utilidade da média versus média das utilidades Lotaria: atira-se a moeda ao ar. Se sai cara, ganho 0; se sai coroa, ganho Então o agente é dito avesso ao risco se u Exemplo 0 u u0 Utilidade da média, ou utilidade esperada de uma lotaria que paga com certeza Utilidade média (ou esperada)

12 Exemplo Aversão ao risco Utils u( ) u(5.000) = utilidade da média ½u(0) + ½u(0.000) Função de Bernoulli Utilidade média $ Utils Exemplo Amor ao risco u( ) Utilidade média ½u(0) + ½u(0.000) Função de Bernoulli u(5.000) = utilidade da média $

13 Exemplo Utils Neutralidade ao risco u( ) u(5.000) = ½u(0) + ½u(0.000) Função de Bernoulli $ Medidas de aversão ao risco de Arrow-Pratt u (.) diz-nos o tipo de aversão ao risco do agente. Mas quanto? (i) Aversão absoluta ao risco U"( R) = - U' ( R) (ii) Aversão relativa ao risco = - R U"( R) U' ( R) A primeira derivada no denominador serve para tornar o índice insensível a unidades 3

14 Medidas de aversão ao risco de Arrow-Pratt Comparação entre níveis de riqueza diferentes: terão os pobres mais aversão ao risco do que os ricos? Se a medida de aversão absoluta ao risco de Arrow-Pratt é decrescente com o rendimento, então um indivíduo será menos avesso ao risco se ficar mais rico. O coeficiente de aversão absoluta ao risco mede a atitude do indivíduo perante o risco perante um ganho/perda em termos absolutos. Contudo, poder-se-á estar interessado em medir a atitude perante o risco em percentagem da riqueza dos indivíduos. Daí o uso da medida de aversão relativa ao risco de Arrow-Pratt. Embora todos os indivíduos podem ter aversão absoluta ao risco decrescente, podem não ter aversão relativa ao risco decrescente, pois a perda é proporcional à sua riqueza. Medida de aversão absoluta ao risco Só vamos usar a medida absoluta: ' R ar R ρ a é chamado de coeficiente de aversão absoluta ao risco Se u é tal que ρ a é constante com o Rendimento, diz-se que o agente tem aversão absoluta ao risco constante. Se u é tal que ρ a é decrescente com o Rendimento, o agente é avesso ao risco. Se u é tal que ρ a é crescente com o Rendimento, o agente é amante do risco. 4

15 A Procura por Seguros Riqueza = Chance de perder (por roubo) é ( estado, c ) Chance de não perder nada é ( ) ( estado, c ) Seguro de $K custa K Sem perdas: Com perdas: c K c 5000 ( ) K K K Problema: quanto segurar (K)? max K pu A Procura por Seguros K - K - pu K CPO p u - u ' 5 - K - - pu ' 35 -K ' 5 - K - p 35-K p- 0 Suponha que o seguro seja justo, ou seja, que a concorrência faz com que o lucro da seguradora seja 0: ( p p p p p) K p( ) K 0 K 0 5

16 Suponhamos que u < 0 (agente avesso ao risco) Então u é decrescente Para que é preciso que A Procura por Seguros Isto implica que : 5 - K 35 -K 5 - K 35 -K 5 - K 35-K - p p K 35 -K - K 35-K K 0 5 A Procura por Seguros Verificando a condição de ª ordem ' 5 K ' 35 K K 0 u '' dado que ' 0 Daí a importância do pressuposto da aversão ao risco 6