Unidade 5 - Subespaços vetoriais. A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa. 10 de agosto de 2013

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1 MA33 - Introdução à Álgebra Linear Unidade 5 - Subespaços vetoriais A. Hefez e C. S. Fernandez Resumo elaborado por Paulo Sousa PROFMAT - SBM 10 de agosto de 2013

2 Às vezes, é necessário detectar, dentro de um espaço vetorial V, subconjuntos W que sejam eles próprios espaços vetoriais menores. Tais conjuntos serão chamados subespaços de V. Isto acontece, por exemplo, em R 2, o plano, onde W é uma reta deste plano, que passa pela origem. Por exemplo: vimos que o conjunto solução S h de um sistema de equações lineares homogêneo com n incógnitas forma um espaço vetorial contido no espaço R n. Esta é uma situação típica da noção de subespaço de um espaço vetorial, que definiremos a seguir com maior generalidade. Dizemos que W é um subespaço vetorial de V, ou simplesmente um subespaço de V, se W, com as operações de adição em V e de multiplicação de vetores de V por escalares, é um espaço vetorial. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 2/10

3 O resultado a seguir mostra que, para provarmos que um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço, basta mostrar que as operações de V estão definidas em W. Proposição: Sejam V um espaço vetorial e W um subconjunto não vazio de V. Então, W é um subespaço de V se, e somente se, as seguintes condições são satisfeitas: (i) Se u, v W, então u + v W ; (ii) Se α R e u W, então α u W. A demonstração da proposição acima é deixada a cargo do leitor. Exemplo: Utilizando as propriedades de transposição de matrizes, mostra-se facilmente que o conjunto das matrizes (anti)simétricas quadradas de ordem m com coeficientes reais é um subespaco vetorial de M(m, m). PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 3/10

4 Exemplo: Dados a 1,..., a n R, temos que o conjunto W = {(x 1,..., x n ) R n : a 1 x a n x n = 0} é um subespaço vetorial de R n, munido das operações usuais. O resultado apresentado, no exemplo acima, implica que o conjunto solução de um sistema de equações lineares nas variáveis x 1,..., x n é a interseção de subespaços de R n. A proposição abaixo garante que tal conjunto solução também é um subespaço vetorial. Proposição: A interseção de dois subespaços de um espaço vetorial V é um subespaço de V. O resultado contido na proposição não é válido para a união de subespaços. O principal problema quando consideramos a união de subespaços é que se tomamos um vetor em cada subespaço, a soma deles pode não pertencer à união. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 4/10

5 Apresentaremos a seguir, dois exemplos para ilustrar o fato de a proposição anterior não ser válida para a união de subespaços. Exemplo: Sejam W 1, W 2 R 3 definidos como segue: W 1 = {(x, y, z) R 3 ; z = 0} e W 2 = {(x, y, z) R 3 : z = 0 e x = y}. É fácil ver que W 1 W 2 = W 1, que é subespaço vetorial. Este exemplo apresenta a condição necessário e suficiente para a união de subespaços ser um subespaço, a relação de inclusão entre eles (prove!). Exemplo : Sejam W 1, W 2 R 3 definidos como segue: W 1 = {(x, y, z) R 3 ; x = y = 0} e W 2 = {(x, y, z) R 3 : z = 0}. É claro que (0, 0, 1), (1, 1, 0) W 1 W 2, mas (0, 0, 1)+(1, 1, 0) = (1, 1, 1) W 1 W 2. Logo, W 1 W 2 não é subespaço vetorial. A seguir, definimos a operação soma de subespaços vetoriais cujo resultado é um subespaço vetorial. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 5/10

6 Dados U e W subespaços de um espaço vetorial V, definimos a soma de U e W, denotada por U + W, como o conjunto U + W = {u + w : u U e w W }. Proposição: A soma de dois subespaços U e W de um espaço vetorial V é um subespaço de V. Este é o menor subespaço de V que contém cada um dos subespaços. Prova: A primeira parte da demostração é deixada a cargo do leitor. Para mostrar que U + W é o menor subespaço vetorial de V que contém U e W, seja L um subespaço de V que contém U e W. Para todos u U e w W, temos que u, w L, logo u + w L. Isto mostra que U + W L. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 6/10

7 Voltando ao Exemplo, temos que: dado (x, y, z) R 3 então w 1 = (0, 0, z) W 1, w 2 = (x, y, 0) W 2 e w 1 + w 2 = (x, y, z). Neste caso, dizemos que R 3 é soma de W 1 e W 2. Mais geralmente, sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. O espaço vetorial V é dito ser a soma de U e W, e representamos por V = U + W, se dado v V existem u U e w W tais que v = u + w. Quando U W = {0}, dizemos que a soma é direta e representamos por V = U W. O próximo resultado mostra uma importante propriedade das somas diretas. Teorema: Sejam U e W subespaços de um espaço vetorial V. Temos que V = U W se, e somente se, todo vetor v em V se escreve de modo único como v = u + w, onde u U e w W. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 7/10

8 Como vimos, a união de subespaços nem sempre é um subespaço. Contudo, a partir da união podemos obter o menor subespaço que contém os subespaços dados (a soma). Para tanto, precisamos da definição de combinação linear: Seja V um espaço vetorial e sejam v 1,..., v r vetores de V. Diremos que um vetor v V é uma combinação linear de v 1,..., v r se existirem números reais a 1,..., a r tais que v = a 1 v a r v r. Definição: Sejam V um espaco vetorial e S um subconjunto não vazio de V. Usaremos o símbolo G(S) para denotar o conjunto de todas as combinacoes lineares dos elementos de S. Se S é finito, S = {v 1,..., v r } então denotamos G(S) = G(v 1,..., v r ). Este subespaço é chamado o subespaço gerado por v 1,..., v r e dizemos que v 1,..., v r geram G(S) ou que {v 1,..., v r } é um conjunto gerador de G(S). PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 8/10

9 O resultado a seguir mostra que G(S) é um subespaço de V. Teorema: Seja W = G(S). Valem as seguintes afirmações: (a) W é um subespaço de V ; (b) W é o menor subespaço de V contendo S. Como consequência imediata deste teorema temos que: se U e W são subespaços de V, então G(U W ) = U + W. Exemplo: Vamos encontrar o subespaço de R 3 gerado pelos vetores v 1 = (1, 2, 1) e v 2 = (2, 1, 1). Dado (x, y, z) R 3, temos que (x, y, z) W = G(v 1, v 2 ) se só se existem a, b R tais que (x, y, z) = a(1, 2, 2) + b(2, 1, 1). PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 9/10

10 Ou, equivalentemente se, e somente se, o sistema linear a + 2b = x 2a + b = y a + b = z tem solução. A matriz ampliada do sistema é equivalente à matriz 1 2 x 0 1 (x + z)/ (x + 3y 5z)/3 Portanto, o sistema tem solução se, somente se, x + 3y 5z = 0. Daí, W = {(x, y, z) : x + 3y 5z = 0}. PROFMAT - SBM MA33 - Introdução à Álgebra Linear slide 10/10