Estatística (MAD231) Turma: IGA. Período: 2018/2
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1 Estatística (MAD231) Turma: IGA Período: 2018/2 Aula #04 de Probabilidade: 26/10/2018 1
2 Variáveis Aleatórias Contínuas De modo informal as variáveis aleatórias são contínuas quando resultam de algum tipo de medição tal que seu campo de definição é um intervalo limitado da reta, uma semi-reta ou a reta. Por exemplo: o tempo de vida de uma lâmpada, a altura de uma pessoa, o peso de uma pessoa, o tempo de cura após iniciar um tratamento, etc. O modelo probabiĺıstico usual para descrever o comportamento de variáveis aleatórias contínuas é a função de densidade de probabilidade ou simplesmente densidade de probabilidade. A função de distribuição F (x) = P (X x) também pode ser usada para descrever o comportamento de uma variável aleatória contínua. 2
3 Uma densidade de probabilidade é uma função real, não-negativa e tal que a área delimitada sob o gráfico da densidade é igual a 1. O histograma dos dados amostrais costuma ser usado para tentar identificar um modelo teórico que descreva razoavelmente o comportamento desses dados. 3
4 No caso de variáveis aleatórias contínuas o cálculo de probabilidades para valores da variável em intervalos do campo de definição é mais sofisticado e o cálculo direto muitas vezes demanda conhecimentos de Cálculo Integral, que não é um pré-requisito da disciplina Estatística (MAD231). No entanto, isto não impede prosseguir no estudo dos modelos probabiĺısticos para variáveis aleatórias contínuas, pois na maioria das situações que iremos estudar, poderemos facilmente obter as probabilidades solicitadas usando tabelas e programas estatísticos. 4
5 Se X é uma variável aleatória contínua com densidade f(x), então a probabilidade de X cair num intervalo entre a e b será dada pela área delimitada pela densidade f(x) entre a e b como mostra a figura seguir. 5
6 Se X é uma variável aleatória com densidade f(x) também é possível calcular o valor esperado (média) de X e sua respectiva variância, com as mesmas interpretações apresentadas anteriormente: o valor esperado representa um centro de massa em relação à medida de probabilidade e a variância representa a dispersão dos valores no campo de definição em relação ao valor esperado. A seguir vamos apresentar o modelo normal, fundamental em probabilidade e inferência estatística. 6
7 Gauss foi o primeiro a publicar sobre resultados práticos envolvendo a distribuição normal no início do século XIX. No entanto, o primeiro a se referir a distribuição normal foi o matemático francês De Moivre em De Moivre usou a distribuição normal para aproximar probabilidades relacionadas a lançamentos de moedas, chamou-a de curva exponencial em forma de sino. Sua utilidade, porém, só foi tornar-se aparente em 1809, quando o famoso matemático alemão Gauss usou-a em aplicações relacionadas à Astronomia. 7
8 A Curva Normal (Gaussiana, Forma de Sino) A curva normal é caracterizada por dois parâmetros: seu valor esperado (ou sua média), denotada pela letra grega µ e a sua variância, denotada por σ 2 ou, equivalentemente pelo seu desvio-padrão σ. 8
9 Modelo Normal Notação X N(µ, σ 2 ) Campo de definição: R Densidade: f(x) = 1 ( ) σ 1 x µ 2 2π e 2 σ, x R Valor esperado: E[X] = µ Variância: V ar(x) = σ 2. 9
10 Como os parâmetros µ e σ 2 curva normal? influenciam na A seguir apresentamos o gráficos de duas curvas normais com a mesma variância (σ 2 ), mas com médias diferentes, µ 1 < µ 2. Observe que a média µ caracteriza o centro do gráfico e, dessa forma, distribuições normais com médias diferentes, mas mesma variância apresentam gráficos congruentes centrados em posições diferentes. 10
11 Como os parâmetros µ e σ 2 curva normal? influenciam na A seguir apresentamos o gráficos de três curvas normais com a mesma média (µ), mas com variâncias diferentes, σ 2 1 < σ2 2 < σ2 3. Observe que a variância σ 2 caracteriza o nível de abertura (dispersão) do gráfico em relação ao centro e, dessa forma, distribuições normais com variâncias diferentes, mas mesma média apresentam gráficos centrados na mesma posição, mas com aberturas diferentes conforme o valor da variância. 11
12 Na curva normal os pontos x = µ ± σ são os pontos de inflexão, isto é, os pontos nos quais a concavidade da curva normal se modifica. Entre µ σ e µ + σ a concavidade está voltada para baixo e, fora desse intervalo a concavidade está voltada para cima. Na curva normal a reta x = µ representa um eixo de simetria tal que f(µ δ) = f(µ + δ), para todo δ R. 12
13 Distribuição Normal Padrão Quando µ = 0 e σ 2 = 1 a distribuição é chamada normal padrão ou normal reduzida. Z N(0, 1) Vamos usar a letra Z para denotar uma variável aleatória normal com distribuição normal padrão. Nesse caso, a densidade é dada por f Z (z) = 1 2π e z2 2, z R E[Z] = 0 e V ar(z) = 1. Uma notação muito usada é φ(z) = P (Z z), para a função de distribuição da normal padrão. 13
14 Como calcular probabilidades usando o modelo normal? Vamos começar com a situação em que Z N(0, 1), ou seja, em que a distribuição considerada é uma normal padrão. De fato, não é possível calcular de forma e- xata probabilidades do tipo P (a < Z < b), mas podemos obter aproximações desses valores u- sando métodos numéricos. No caso da distribuição normal padrão, valores de probabilidades específicas são tabulados. Em quase todos os livros de estatística estão disponíveis tabelas da distribuição normal padrão. 14
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16 A tabela anterior, disponível no livro-texto (Bussab e Morettin), pode parecer incompleta, mas não é. Ela serve para calcular probabilidades de diversos intervalos, inclusive incluindo valores negativos em seus extremos, se explorarmos a propriedade de simetria em torno de zero da curva normal padrão. Cuidado: Sempre leia o cabeçalho da tabela que você estiver usando, pois não existe uma norma universal de apresentação de tabelas da normal padrão. No Bussab, temos as probabilidades entre zero e um valor positivo, mas as tabelas podem fornecer probabilidades acumuladas ou mesmo as caudas superiores da distribuição. Usando a tabela fornecida no texto de Bussab & Morettin podemos escrever, para a > 0, φ(a) = P (Z a) = 0, 5+ P (0 Z a) }{{}. disponível na tabela do Bussab 16
17 A seguir, vamos ver exemplos de como obter probabilidades referentes a outros intervalos. Pela tabela disponível podemos concluir que, por exemplo, φ(1) = P (Z 1) = 0, 5 + 0, 3413 = 0,
18 φ(1, 64) = P (Z 1, 64) = 0, 5 + 0, 4495 = 0, 9495 φ(2, 33) = P (Z 2, 33) = 0, 5 + 0, 4901 = 0, 9901 Lembre que a área total sob a curva é 1 e, portanto, é fácil deduzir que P (Z > 1) = 1 φ(1) = 1 0, 8413 = 0, 1587 P (Z > 1, 64) = 1 φ(1, 64) = 1 0, 9495 = 0, 0505 P (Z > 2, 33) = 1 φ(2, 33) = 1 0, 9901 = 0,
19 Observe que como a curva normal padrão é simétrica em torno de zero, segue que Logo, φ( z) = 1 φ(z), z. φ( 1) = 1 P (Z 1) = 0, 1587 φ( 1, 64) = 1 P (Z 1, 64) = 0, 0505 φ( 2, 33) = 1 P (Z 2, 33) = 0,
20 Observe que P (1 < Z < 2) = P (Z < 2) P (Z < 1) = φ(2) φ(1) = 0, , 8413 = 0, 1360 De modo similar P ( 2 < Z < 1) = P (1 < Z < 2) = 0,
21 Observe que P ( 1 < Z < 2) = P (Z < 2) P (Z < 1) e P (Z < 1) = P (Z > 1) = 1 P (Z 1) = 1 φ(1) Logo, P ( 1 < Z < 2) = φ(2) + φ(1) 1 = 0, , = 0, 8186 No caso da normal padrão observe que para intervalos simétricos em torno de zero vale P ( c < Z < c) = 2φ(c) 1 e, a probabilidade das caudas, P ( Z > c) = 2 (1 φ(c)). 21
22 Logo, apesar da tabela parecer ser limitada, vimos que é possível calcular, via aproximações, probabilidades associadas a uma variável aleatória com distribuição normal padrão para quaisquer intervalos fixados. No entanto, na prática, as variáveis em questão, apesar de serem consideradas normais, certamente não terão média zero e variância um. Como calcular probabilidades no caso de uma distribuição normal qualquer? Uma propriedade importante das curvas normais, independentemente de sua média e seu desvio-padrão, está ilustrada na figura a seguir. 22
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24 Trasnformação de Padronização Um resultado importante que vale para a distribuição normal é que ao efetuarmos transformações afins numa variável aleatória normal, a variável transformada continua sendo uma variável normal, isto é se X é normal e definimos Y = ax + b, com a 0, então Y também é normal. 24
25 Para relacionar uma normal qualquer à normal padrão temos o seguinte resultado 1. se X N(µ, σ 2 ), então Z = X µ σ }{{} transf. de padronização N(0, 1) Essa relação torna possível calcular probabilidades associadas a uma variável normal qualquer, transformando-a numa normal padrão. 2. se Z N(0, 1), então X = σz+µ N(µ, σ 2 ). Podemos usar qualquer uma das relações. 25
26 Exemplo: Suponha distribuição N(100, 24 2 ) para o QI, responda os itens a seguir. Determine a probabilidade de que uma pessoa submetida ao teste apresente QI 1. maior ou igual a 148; P (X 148) = }{{} t.p. P (Z ) = = 1 φ(2) = 1 2 P (0 < Z < 2) menor que 76; P (X < 76) = P (Z < ) = P (Z < 1) = P (Z > 1) = 24 P (0 < Z < 1) = entre 80 e 120; P (80 < X < 120) = P ( < Z < ) = P (Z < 5/6) P (Z < 5/6) = 2P (0 < Z < 5/6) Exercícios recomendados do capítulo 7: 14 a 20, 33 a 38 e
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