Escolha sob Incerteza VNM. Aula 03. Bibliograa: MWG, cap. 06. Cláudio R. Lucinda FEA-RP/USP. Cláudio R. Lucinda Aula 03

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1 Aula 03 Bibliograa: MWG, cap. 06 Cláudio R. Lucinda FEA-RP/USP

2 Objetivos da Aula Escolha sob Incerteza 1 Escolha sob Incerteza Preferências sobre

3 Objetivos da Aula Escolha sob Incerteza 1 Escolha sob Incerteza Preferências sobre 2

4 Preferências sobre Escolha Sob Incerteza Até o momento, pensamos nas escolhas de cestas entre as quais nosso consumidor tem que escolher como sendo coisas certas. Muitas decisões importantes dizem respeito a escolhas cujas conseqüências são incertas no momento em que a decisão é tomada. Nada que estudamos impede que analisemos tais mercadorias. No entanto, a natureza destas coisas é tal que podemos Fazer hipóteses adicionais sobre as preferências do consumidor sobre tais coisas Ter algumas coisas mais consistentes sobre a demanda do consumidor por estes tipos de mercadorias

5 Teoria da Escolha sob Incerteza Preferências sobre Para começar, imagine um conjunto de resultados denotado por C, e um conjunto de distribuições de probabilidade sobre estes resultados. Seja P o conjunto de distribuições de probabilidade sobre os prêmios em C. Ou seja, P é uma função P : C R que satisfaz duas propriedades: P(c) 0, x X x X P(c) = 1

6 TEI (Cont.) Escolha sob Incerteza Preferências sobre Exemplos: Seja X = { 1000, 900,, 100, 0, 100,, 900, 1000} 1 Uma moeda justa é jogada e o sujeito ganha $100 se der cara, e zero se der coroa: p 1 (x) = { 1/2if x {0, 100} 0 x / {0, 100} 2 Fazer uma aposta de 100 no preto em uma roleta: 18/37 x = 100 p 2 (x) = 19/37 x = x / {100, 100}

7 Preferências sobre Podemos entender cada elemento deste conjunto P como sendo uma loteria. Notação: a loteria que dá o prêmio x com probabilidade 1 é denotado δ x. É interessante notar que podemos olhar o processo de escolha do consumidor de uma forma completamente diferente a partir disso. Ou seja, ao invés de escolhermos quantidades dos produtos, podemos escolher distribuições de probabilidade sobre quantidades. Exemplo: ao invés de quantas unidades de cerveja e vinho estamos dispostos a consumir, podemos falar de uma distribuição de probabilidades sobre quantas latas de cervejas e taças de vinho.

8 Aula 03 Escolha sob Incerteza Podemos entender cada elemento deste conjunto P como sendo uma loteria. Notação: a loteria que dá o prêmio x com probabilidade 1 é denotado δx. É interessante notar que podemos olhar o processo de escolha do consumidor de uma forma completamente diferente a partir disso. Ou seja, ao invés de escolhermos quantidades dos produtos, podemos escolher distribuições de probabilidade sobre quantidades. Exemplo: ao invés de quantas unidades de cerveja e vinho estamos dispostos a consumir, podemos falar de uma distribuição de probabilidades sobre quantas latas de cervejas e taças de vinho. 1. A vantagem disso é que estamos levando em consideração a distribuição conjunta (marginal e condicional).

9 Denições Escolha sob Incerteza Preferências sobre Seja L o conjunto de todas as loterias simples em cima do conjunto C. Suponhamos que o consumidor possua uma relação de preferências fracas completas e transitivas sobre L

10 Preferências sobre Compostas Podemos combinar loterias. Imagine que tenhamos dois elementos em P, denotados p e q, e um número α [0, 1]. Podemos criar uma nova loteria l αp + (1 α)q, em dois passos: O suporte (valores de X ) desta nova loteria é a união dos suportes das loterias componentes. Para qualquer x no suporte desta nova loteria, a probabilidade de ocorrência é dada por l(x) = αp(x) + (1 α)q(x), com p(x) = 0 se x não estiver no suporte de p e q(x) = 0 se x não estiver no suporte de q.

11 Compostas Escolha sob Incerteza Preferências sobre Exemplo Suponha que uma moeda justa é lançada e o jogador jogará p 1 se der cara e p 2 se der coroa. { 1 /2 p {p 1, p 2 } l(p) = 0 p / {p 1, p 2 } O suporte de l(p) é { 100, 0, 100}, e após a redução, temos:

12 LC (II) Escolha sob Incerteza Preferências sobre Loteria reduzida: = 0, 493 x = l(p) = = 0, 25 x = = 0, 257 x = x / { 100, 0, 100}

13 Preferências sobre Preferências sobre loterias Vamos antes de assumir qualquer axioma, estabelecer o consequencialismo. Ou seja, o indivíduo se preocupa apenas com os resultados, sendo indiferente entre a loteria e qualquer loteria composta que chegue ao mesmo resultado. Vamos denir aqui alguns axiomas sobre a relação de preferências. Denição Continuidade: A relação de preferências em L é contínua se, para L, L, L os conjuntos {α [0, 1] : αl + (1 α)l L } [0, 1] e {α [0, 1] : L αl + (1 α)l } [0, 1] são fechados Isso signica que pequenas alterações nas probabilidades não altera o ordenamento de preferências entre as loterias. Isso também tira a possibilidade de um ordenamento lexicográco em relação a alguns elementos de C.

14 Preferências sobre Preferências sobre loterias (II) Vamos antes de assumir qualquer axioma, estabelecer o consequencialismo. Ou seja, o indivíduo se preocupa apenas com os resultados, sendo indiferente entre a loteria e qualquer loteria composta que chegue ao mesmo resultado. Vamos denir aqui alguns axiomas sobre a relação de preferências. Denição Continuidade: A relação de preferências em L é contínua se, para L, L, L os conjuntos {α [0, 1] : αl + (1 α)l L } [0, 1] e {α [0, 1] : L αl + (1 α)l } [0, 1] são fechados Isso signica que pequenas alterações nas probabilidades não altera o ordenamento de preferências entre as loterias. Isso também tira a possibilidade de um ordenamento lexicográco em relação a alguns elementos de C.

15 Preferências sobre loterias (III) Preferências sobre Esta relação de preferências implica uma função utilidade U : L R tal que L L se e somente se U(L) U(L ). O que vamos ver é que esta função utilidade vai ter a forma de função utilidade esperada: U(L) = p i u(x i ) Denição A em L satisfaz o axioma da independência se L, L, L L e α [0, 1] temos L L se e somente se αl + (1 α)l αl + (1 α)l Esse é um axioma importante para provarmos que esta função U(L) tem a forma de utilidade esperada.

16 Função Utilidade Esperada Preferências sobre Denição A função utilidade U : L R tem uma forma de utilidade esperada se e somente se existe uma alocação de números (u 1, u 2,, u N ) para os N resultados desta loteria tal que, L = (p 1,, p N ) temos U(L) = n u i=1 ip i. U(L) é a chamada função de utilidade esperada de Von-Neumann e Morgestern.

17 Função Utilidade VN-M Denição Uma relação de preferências denida sobre o conjunto L de loterias no espaço C satisfaz os três axiomas acima se e somente se existe uma função U : L R tal que p q u(x)p(x) u(x)q(x) x supp(p) x supp(q) Além disso, é uma representação de no sentido que a desigualdade acima se mantém a qualquer transformação am de u, ou seja se ao invés de u colocássemos v(x) a u(x) + b

18 Função Utilidade VN-M Denição A função de utilidade U : L R tem uma forma de utilidade esperada se e somente se ela for linear nos argumentos, ou seja: U( k α kl k ) = k α ku(l k ), para qualquer loteria L k L, k = 1, 2, K e números (α 1,, α K ) 0, k α k = 1

19 Prova Escolha sob Incerteza Demonstração. Primeiro, vamos supor que U( ) é linear. Então, podemos escrever qualquer L = (p 1,, p N ) como uma combinação convexa de loterias, ou L = n p nl n (ou seja, uma loteria composta das loterias com um resultado somente. Portanto, U(L) = U( n p nl n ) = n p nu(l n ) = n p nu n. Então ela tem a forma de utilidade esperada. A seguir, temos a volta. U( ) tem a forma de utilidade esperada. Considere então qualquer loteria composta (L n, L k, p 1,, p k ) em que L k = (p k,, 1 pk N ). Assim, temos a loteria reduzida L = k α kl k então ( k α kl k ) = n u n( k α kpn) k = k α k( n u npn) k = k α ku(l k ). Ou seja, temos a prova.

20 Função Utilidade Esperada Fato A forma da utilidade esperada é preservada por transformações lineares crescentes. Suponha que U : L R é uma função VN-M para a relação de preferência em L. Então se eu tiver uma Ũ : L R é uma função de VN-M para estas relações de preferências se existir um β > 0 e um γ tal que Ũ(L) = βu(l) + γ, L L

21 Função Utilidade Esperada-Prova Demonstração. Escolhamos duas loterias L e L tal que L L L, L L. Vamos assumir que L L (porque se for maior ou igual o problema é trivial). Primeiro a volta da armação, ou seja se U( ) é VN-M e Ũ(L) = βu(l) + γ, então Ũ( k α kl k ) = βu( k α kl k ) + γ = β k α ku(l k ) + γ = k α k[βu(l k ) + γ] = k α kũ(l k). Então Ũ(L k ) tem a forma de utilidade esperada. Agora a volta. Se Ũ(L k) tem a forma de Utilidade esperada, ela é uma transformação am de U(L k ), ou seja, existe β > 0 e γ tal que Ũ(L) = βu(l) + γ, L L

22 Função Utilidade Esperada-Prova (II) Demonstração. Agora a volta. Se Ũ(L k ) tem a forma de Utilidade esperada, ela é uma transformação am de U(L k ), ou seja, existe β > 0 e γ tal que Ũ(L) = βu(l) + γ, L L. Considere qualquer loteria L L e dena λ L [0, 1] tal que U(L) = λ L U( L) + (1 λ L )U(L). Então λ L = U(L) U(L) U( L) U(L) desde que λ L U( L) + (1 λ L )U(L) = U(λ L L + (1 λ L )L) e U( ) é uma representação das preferências, devemos ter que L λ L L + (1 λ L )L.

23 Função Utilidade Esperada-Prova (III) Demonstração. Só que, se isso vale, então uma vez que Ũ(L) também é linear e representa as mesmas preferências, nós temos Ũ(L) = Ũ(λ L L + (1 λ L )L = λ L Ũ( L) + (1 λ L )Ũ(L) = λ L (Ũ( L) Ũ(L)) + Ũ(L). Substituindo a denição de cima para λ L, temos: Ũ(L) = U(L) U(L) U( L) U(L) (Ũ( L) Ũ(L)) + Ũ(L) Ũ(L) = U(L)Ũ( L) U( L) U(L) + Ũ(L) U(L)Ũ( L) Ũ(L) U( L) U(L) = U(L)β + γ

24 Resultados Importantes Fato Se em L é representada por uma função utilidade esperada, então, desde que esta função seja linear e contínua, isso segue que é contínua em L Denição Se em L é representada por uma função de utilidade U( ) com a forma de função de utilidade esperada, então satisfaz o axioma da independência