ELE2005: Análise Estratégica de Investimentos e de Decisões com Teoria dos Jogos e Jogos de Opções Reais.

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1 ELE2005: Análise Estratégica de Investimentos e de Decisões com Teoria dos Jogos e Jogos de Opções Reais. Segunda Prova (P2) 12/12/2006 OBS: 1) A prova é SEM CONSULTA. A nota da prova é = mínimo{10; pontuação da P2 + crédito da P1} 2) Múltipla escolha: responder na tabela da última folha (escrever a letra escolhida). 3) Siglas/notação usadas: MGB = movimento geométrico Browniano; OR = opções reais; r = taxa de juros livre de risco; EDO = equação diferencial ordinária; P = preço; β 1 = raiz positiva da equação quadrática fundamental da EDO; EN = equilíbrio de Nash; ENPS = EN perfeito em subjogos. 4) As figuras mencionadas na prova estão no final, antes da folha de respostas. 5) Formulário: * Lema de Itô para F(X) (subscritos denotam derivadas parciais): df = ½ F XX (dx) 2 + F X dx * Equação do movimento geométrico Browniano (MGB) para X: dx = α X dt + σ X dz. * Outros: (dz) 2 = dt; δ = dividend yield = µ α, onde µ é a taxa ajustada ao risco de X (ou taxa de retorno esperado total de X). Retorno total = ganho de capital + dividendos. * Valores esperados úteis: ; * Lucros em monopólio (M) e em duopólio de Cournot para firmas de alto custo (h) e baixo custo (l), com curva de demanda inversa linear dada por P = a - b Q T, com a > 0, b > 0, P > 0: Parte 1 Demonstração 5 pontos A demonstração pedida é a do duopólio assimétrico, que vale 5 pontos. Mas você tem uma opção de menor valor, que vale 4 pontos, que é a da competição perfeita. Você deverá assinalar qual das duas demonstrações você optou em fazer e fazê-la na folha de papel almaço (escreva o nome!). A seguir os enunciados da demonstração pedida (duopólio) e a demonstração alternativa. A) Demonstração que vale 5 pontos: Duopólio Assimétrico sob Incerteza. Firmas são não homogêneas (assimétricas) pois uma tem um custo operacional unitário mais baixo (c l ) do que a outra firma (c h ). As firmas planejam investir num novo mercado num país estrangeiro.

2 A demanda é determinística em moeda estrangeira, mas a taxa de câmbio X(t) é estocástica e segue um MGB. Logo, embora o fluxo de lucro π i em caso de exercício da firma i seja determinístico em moeda estrangeira, o fluxo de lucro em moeda doméstica da firma i = X(t). π i, é estocástico. Calcular o valor do seguidor (F i ), o gatilho do seguidor (X* Fi ), o valor do líder (L i ) e escrever resumidamente como se obtém o gatilho do líder (X* Li ). OBS: Podem calcular supondo que uma firma é líder (ex. a firma l) e a outra firma é seguidora (ex.: firma h), já que na situação inversa basta trocar h por l e vice-versa. Mas especifiquem l e h. * Podem usar tanto o método integral como o método diferencial (ou misto: método integral para alguns valores e método diferencial para outros). * Quem usar o método diferencial (contingent claims: escreve as equações de retorno de um portfólio que pode ser livre de risco, usa o lema de Itô, etc.), pode deduzir a EDO apenas uma vez (por ex., para o seguidor) e depois escrever a outra EDO diretamente (mas atenção para a diferença no termo de cash-flow da EDO). Isso evita trabalho repetitivo quase igual com notação diferente e apenas um termo realmente diferente (o termo de cash-flow). Mas é claro que as condições de contorno são diferentes. Mas se você não se sentir muito seguro(a), pode deduzir toda a EDO novamente. B) Demonstração alternativa que só vale 4 pontos: Competição Perfeita sob Incerteza. Seja um grande número de firmas homogêneas que podem entrar num mercado em competição perfeita. A entrada no mercado é livre, mas paga um investimento I. O preço do produto P é dada pela curva de demanda inversa P = Y D(Q), onde Y é um fator de choque estocástico da demanda e segue um MGB e Q é a produção total da indústria. Q também é o número de firmas ativas, pois cada firma produz uma unidade e o custo operacional é zero. O valor de uma firma ativa (produzindo uma unidade em perpetuidade) no mercado é V(P). Determine a equação do gatilho P* da competição perfeita, onde as outras firmas entram no mercado. Para tal mostre como chegar na chegar na EDO de V(P) pelo método dos contingent claims, escreva as soluções geral e particular da EDO e as condições de contorno e/ou equilíbrio.

3 Parte 2 Questões Conceituais 6 pontos 1) Assinale a afirmativa ERRADA. Vale 0,5 pontos: a) A teoria dos jogos tradicional geralmente ignora os avanços da teoria de finanças sobre risco e retorno, assim como o valor da flexibilidade sob incerteza. b) A teoria das opções reais tradicional geralmente ignora a presença de competidores ou trata a competição de forma exógena. c) A teoria das opções reais tradicional geralmente só considera o equilíbrio de Pareto entre as firmas, mas não o equilíbrio de Nash e outros conceitos consagrados de teoria dos jogos. d) A teoria das opções reais e a teoria dos jogos e são teorias complementares, pois a primeira modela o valor da flexibilidade sob incerteza e a segunda modela de forma endógena o equilíbrio sob competição. e) Nos modelos da teoria dos jogos de opções reais, é geralmente quantificado quanto vale a oportunidade de investimento de uma firma (opção real) dado que a presença de outra firma afeta o valor dessa opção. 2) Assinale a afirmativa ERRADA. Vale 0,5 pontos: a) A análise com ferramentas típicas de opções reais, tais como processos estocásticos e otimização sob incerteza, permite estender a teoria microeconômica tradicional para uma realidade dinâmica de mercado, com incertezas e opções. b) Suponha que uma firma produz em perpetuidade uma unidade de produto de preço corrente P 0, que segue um MGB e custo operacional determinístico C. No caso de competição perfeita, o valor da firma é igual a P 0 /δ C/r, onde δ é a taxa de conveniência (dividendo). c) No caso clássico de OR, o valor da firma é uma função convexa dos preços, enquanto que em competição perfeita o valor da firma é uma função côncava da demanda. d) Num equilíbrio em expectativas racionais, cada firma toma como dado o mesmo processo estocástico da variável estocástica de mercado relevante. e) No modelo dinâmico de competição perfeita com firmas homogêneas, o gatilho P* é uma barreira refletora, pois as firmas irão exercer suas opções de entrada ofertando a quantidade necessária para que os preços não subam mais que P*.

4 3) Assinale a afirmativa CERTA no modelo de competição perfeita, com preços P = Y D(Q), onde D(Q) é a função demanda inversa e Y é o fator estocástico (choque) da demanda. Vale 0,5 pontos: a) Enquanto o preço P segue um MGB sem restrição, o choque da demanda Y segue um MGB com restrição, pois D(Q) varia com a entrada de novas firmas. b) No ponto de entrada das firmas, em Y*, o grande aumento da oferta faz derrubar a demanda e sua queda faz a oferta recuar, aumentando os preços. c) O ponto de entrada das firmas no gatilho é EN, pois as firmas não têm incentivos para simultaneamente desviarem dessa estratégia de exercício de suas opções. d) A estratégia de entrada simultânea das firmas no gatilho é ENPS mas não é equilíbrio de Markov, pois a estratégia ótima independe do estado da natureza (valor corrente do preço). e) Em todo subjogo iniciado num instante t qualquer, não há incentivo unilateral para uma firma desviar da estratégia de exercer sua opção no primeiro instante em que P = gatilho. Logo, é um ENPS. 4) Assinale a afirmativa ERRADA. Vale 0,5 pontos: a) No modelo de competição perfeita sob incerteza, diz-se que a miopia é ótima devido ao fato do gatilho de entrada em competição perfeita ser igual ao gatilho de exercício ótimo quando ela não tem competidor. b) No modelo de competição perfeita sob incerteza, diz-se que a miopia é ótima também devido ao fato do valor da firma em competição perfeita ser igual ao valor da firma quando ela não tem competidor. c) A caracterização de miopia ótima significa que cada firma pode agir otimamente como se fosse a última firma a entrar no mercado, ignorando a competição. d) No modelo de competição perfeita, um aumento da incerteza aumenta o valor do gatilho, pois aumenta o valor presente das perdas competitivas e assim aumenta o gatilho requerido para uma firma racional entrar. e) No modelo de OR tradicional sem competição, um aumento da incerteza também aumenta o valor do gatilho de exercício ótimo da opção, mas porque aumenta o valor da espera. 5) Assinale a afirmativa CERTA. Vale 0,5 pontos: a) O valor esperado da firma em competição perfeita sob incerteza é zero tanto antes de entrar, como no ponto de entrada (gatilho).

5 b) O valor da opção de espera em competição perfeita sob incerteza é F = A P β1, onde A é uma constante negativa. c) O valor da opção de espera em competição perfeita sob incerteza é F = A P β1, onde A é uma constante positiva. d) O VPL esperado de exercício da firma em competição perfeita sob incerteza é maior que zero, mas menor do que no caso de monopólio. e) O valor da opção de espera é zero em competição perfeita sob incerteza, mas o valor esperado da firma é estritamente positivo no gatilho de exercício. 6) Assinale a afirmativa ERRADA. Vale 0,5 pontos: a) Nos jogos de parada ótima ( timing games ) as estratégias puras são tempos de parada. No contexto de jogos de opções reais, tempo de parada é o primeiro instante em que uma variável estocástica atinge um valor de gatilho. b) Vimos que no caso de jogos de parada ótima com estratégias simples de gatilho, em geral se pode resolver o jogo usando tanto o método diferencial como o método integral. c) No modelo de duopólio simétrico sob incerteza, o preço do produto depende tanto do fator estocástico da demanda (Y) como da quantidade produzida pela indústria (Q). d) O conceito de gatilho de exercício de uma firma pode ser visto como o ponto em que essa firma está indiferente entre exercer sua opção e não exercer (esperar). e) No modelo de duopólio simétrico sob incerteza, o valor do líder pode sofrer um salto para baixo no gatilho de entrada do seguidor, criando uma descontinuidade no valor do líder L(Y). 7) Assinale a afirmativa ERRADA. Vale 0,5 pontos: a) No modelo de duopólio simétrico, se o estado inicial da demanda Y 0 for menor que o gatilho do líder a probabilidade de cada firma ser líder é de 50%, mas se Y 0 estiver entre os gatilhos do líder e do seguidor, então existe uma probabilidade > 0 de exercício simultâneo por erro. b) No modelo de duopólio assimétrico, o valor de se tornar líder (L) pode ser visto como o valor da firma com lucro monopolista em perpetuidade, abatido do valor presente esperado das perdas competitivas devido a possível entrada do seguidor e abatido do investimento. c) No modelo de duopólio assimétrico, a vantagem competitiva de uma firma pode ser tão grande, que ela pode exercer otimamente a opção no gatilho do monopolista, ignorando a competição.

6 d) No modelo de duopólio assimétrico, sempre existem pelo menos dois ENPS em estratégias puras, um com a firma de alto custo sendo líder e a de baixo custo como seguidora e o outro invertendo os papéis das firmas. e) No modelo de duopólio assimétrico, o valor do seguidor pode ser visto como o valor presente do payoff de exercício da opção no gatilho, trazido a valor presente pelo fator de desconto esperado E[- r t*], onde t* é o tempo estocástico de exercício da opção pelo seguidor. 8) Assinale a afirmativa CERTA. Veja a FIGURA 1 para responder. Vale 0,5 pontos: a) O ponto A indica a entrada do líder, o ponto B a entrada do seguidor, a curva C é do valor do líder, a curva D é do valor do seguidor e a curva E é do valor em exercício simultâneo. b) O ponto A indica a entrada do líder, o ponto B a entrada do seguidor, a curva C é do valor do líder, a curva D é do valor em exercício simultâneo e a curva E é do valor do seguidor. c) O ponto A indica a entrada do líder, o ponto B a entrada do seguidor, a curva C é do valor do seguidor, a curva D é do valor do líder e a curva E é do valor em exercício simultâneo. d) O ponto A indica a entrada do seguidor, o ponto B a entrada do líder, a curva C é do valor do líder, a curva D é do valor do seguidor e a curva E é do valor em exercício simultâneo. e) O ponto A indica a entrada do líder, o ponto B a entrada do seguidor, a curva C é do valor do seguidor, a curva D é do valor do líder e a curva E é do valor em colusão tácita. 9) Assinale a afirmativa CERTA. Veja a FIGURA 2 para responder, que assinala o valor da firma numa das infinitas colusões tácitas possíveis. Vale 0,5 pontos: a) A região A assinalada indica que essa colusão não é ENPS se no instante inicial (t = 0) o fator Y pertencer a essa região. Mas se Y(t = 0) = 0,5 (por ex.), então a colusão é ENPS. b) Para valores de Y inferiores ao limite inferior da região A, a colusão é ENPS, mas para valores maiores (dentro ou fora da região), a colusão é apenas EN e não ENPS. c) Para valores de Y superiores ao limite superior da região A, a colusão é ENPS, mas para valores menores (dentro ou fora da região), a colusão é apenas EN e não ENPS. d) A colusão não é ENPS para todo Y, pois mesmo para valores de Y superiores ao limite superior da região A, a demanda Y pode oscilar para baixo num instante posterior t entrando na região A.

7 e) Para valores de Y superiores ao limite superior da região A, a colusão é ENPS, mas para valores menores (dentro ou fora da região), a colusão não é ENPS. Se Y oscilar para baixo, os jogadores não desviarão, pois já terão experimentado a colusão (efeito reputação). 10) Assinale a afirmativa CERTA. Veja a FIGURA 3 para responder, relativa ao modelo de duopólio assimétrico sob incerteza (uma firma é de alto custo e a outra é de baixo custo). Vale 0,5 pontos: a) A curva A indica o valor de líder da firma de alto custo, a curva B o valor de líder da firma de baixo custo, a curva C o valor em exercício simultâneo da firma de alto custo, a curva D o valor em exercício simultâneo da firma de baixo custo e as curvas E e F os valores das firmas como seguidoras. b) A curva A indica o valor de líder da firma de alto custo, a curva B o valor de líder da firma de baixo custo, a curva C o valor de seguidor da firma de alto custo, a curva D o valor de seguidor da firma de baixo custo e as curvas E e F os valores das firmas em exercícios simultâneos. c) A curva A indica o valor de líder da firma de baixo custo, a curva B o valor de líder da firma de alto custo, a curva C o valor de seguidor da firma de baixo custo, a curva D o valor de seguidor da firma de alto custo e as curvas E e F os valores das firmas em exercícios simultâneos. d) A curva A indica o valor de líder da firma de baixo custo, a curva B o valor de líder da firma de alto custo, a curva C o valor em exercício simultâneo da firma de baixo custo, a curva D o valor em exercício simultâneo da firma de alto custo e as curvas E e F os valores das firmas como seguidoras. e) Nenhuma das respostas acima está correta. 11) Assinale a afirmativa CERTA. Veja a FIGURA 4 para responder, que é um zoom da figura 3 anterior. Vale 0,5 pontos: a) O ponto A indica apenas o ponto de indiferença de uma das firmas em ser líder ou seguidor, mas o ponto ótimo de entrada como líder é o ponto B para a firma de baixo custo e o ponto C para a firma de alto custo (se a rival não tiver entrado antes). b) O ponto A indica o ponto ótimo de entrada da firma de baixo custo como líder e o ponto C indica o ponto ótimo de entrada da firma de alto custo como líder (se a rival não tiver entrado antes).

8 c) O ponto A indica o ponto ótimo de entrada da firma de alto custo como líder e o ponto C indica o ponto ótimo de entrada da firma de baixo custo como líder (se a rival não tiver entrado antes). d) O ponto A indica apenas o ponto de indiferença de uma das firmas em ser líder ou seguidor, mas o ponto ótimo de entrada como líder é o ponto B para a firma de alto custo e o ponto C para a firma de baixo custo (se a rival não tiver entrado antes). e) Nenhuma das respostas anteriores. 12) Assinale a afirmativa ERRADA sobre o modelo de oligopólio sob incerteza. Vale 0,5 pontos: a) No modelo existe um preço máximo (barreira refletora), causada pela expansão simultânea da produção das firmas no mercado. Quanto maior o número de firmas, maior é esse preço máximo. b) No modelo, o prêmio de exercício ótimo (VPL no exercício) diminui com o número de firmas e tende a zero quando o número de firmas tende a infinito. c) O modelo permite fazer simulações que mostra que a produção esperada em equilíbrio é maior quanto maior o número de firmas (n), mas o gatilho é menor com o aumento de n. d) O modelo é abrangente, pois como casos particulares pode se obter o monopólio (n = 1), o duopólio simétrico (n = 2) e a competição perfeita (n = infinito). e) O modelo é apropriado principalmente para análise individual de uma firma num mercado em oligopólio, mas não é tão interessante para analisar o equilíbrio de toda a indústria.

9 FIGURAS MENCIONADAS Figura 1 Duopólio Simétrico Sob Incerteza Figura 2 - Duopólio Simétrico Sob Incerteza e Colusão Tácita

10 Figura 3 Duopólio Assimétrico Sob Incerteza Figura 4 Duopólio Assimétrico Sob Incerteza: Zoom da Figura 3.

11 FOLHA DE RESPOSTAS DA MÚLTIPLA ESCOLHA Nome do aluno ou da aluna: Questão Resposta (letra) 1 C 2 B 3 E 4 B 5 A 6 E 7 D 8 C 9 D 10 D 11 A 12 E