T e o r e m a d e N a s h

Transcrição

1 T e o r e m a d e N a s h Primeiro Seminário de Teoria dos Jogos Maio de 2007 Fabrício Murai

2 S u m á r i o Objetivos Notação e definições Enunciado do Teorema Teoremas do Ponto Fixo Demostração do Teorema Referências 2

3 O b j e t i v o s Apresentar a demonstração do Teorema de Nash 3

4 N o t a ç ã o e d e f i n i ç õ e s Jogo estático finito na forma normal: Existem N jogadores, denotados por P 1; P 2; :::; P N. Vamos denotar o conjunto de índices f1; 2; :::; Ng por N. Seja m i o número de estratégias de um jogador P i e o conjunto de índices f1; 2; :::; m i g por M i, sendo um elemento típico de M i representado por. n i Se fn 1 ; n 2 ; :::; n N g é o resultado do jogo, a perda de é dada por. P i a i n 1 ;n 2 ;:::;n N 4

5 N o t a ç ã o e d e f i n i ç õ e s Um equilíbrio de Nash usando estratégias puras é uma N-upla fn 1; n 2; :::; n Ng, com n i 2 M i ; i 2 N, onde N inequações seguintes são satisfeitas para todo n i 2 M i ; i 2 N: a 1, a 1 n 1 ;n 2 ;:::;n N a 2, a 2 n 1 ;n 2 ;:::;n N a1 n 1 ;n 2 ;:::;n g N a2 n 1 ;n 2;:::;n N... a n, a n n 1 ;n 2 ;:::;n N an n 1 ;n 2 ;:::;n N 5

6 N o t a ç ã o e d e f i n i ç õ e s Uma estratégia mista y i adotada por um jogador i é uma distribuição de probabilidade sobre M i, onde yn i j é a probabilidade de escolher a estratégia n j. Exemplo: N = 2 Espaço de estratégias do jogador 1: m i = 2 m i = 3 1-simplex 2-simplex 6

7 N o t a ç ã o e d e f i n i ç õ e s Outra representação: y i 2 = 1 y i 1 N = 2; m i = 2; 8i 2 N 0 1 Espaço de estratégias do jogador 1 y Espaço de estratégias do jogador 1 e N = 3; m i = 2; 8i 2 N Todos esses são subespaços do < n fechados, limitados e convexos. 1 7

8 N o t a ç ã o e d e f i n i ç õ e s Um equilíbrio de Nash formado por estratégias mistas é uma N-upla fy i 2 Y i ; i 2 Ng, onde as seguintes inequações são satisfeitas para todo y j 2 Y j ; j 2 N : 8

9 N o t a ç ã o e d e f i n i ç õ e s ¹J 1, M1 ::: M 1 ¹J 2, M1 ::: M 1 ::: M N y 1 n 1 y 2 n 2 :::y N n N M N y 1 n 1 y 2 n 2 :::y N n N ::: M N y 1 n 1 y 2 n 2 :::y N n N a 2 n 1 ;:::;n N M N y 1 n 1 y 2 n 2 :::y N n N a 2 n 1 ;:::;n N... ¹J 1, ::: yn 1 1 yn 2 2 :::yn N N M1 M N ::: yn 1 1 yn 2 2 :::yn N N 9 M 1 M N ) Volta ao slide 16

10 E n u n c i a d o d o T e o r e m a Todo jogo estático finito com N jogadores em forma normal possui pelo menos um equilíbrio não-cooperativo (equilíbrio de Nash) usando estratégias mistas. Observação: Toda estratégia pura é uma estratégia mista. 10

11 T e o r e m a s d o P o n t o F i x o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer Se S é um subconjunto convexo e compacto do < n e f é uma função contínua mapeando em si mesmo, então existe pelo menos um x 2 S tal que f(x) = x. S 11

12 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a Seja fy i 2 Y i ; i 2 Ng uma N-upla de estratégias mistas para o jogo de N jogadores. Vamos definir: Ã i n i (y 1 ; :::y N ), M 1 ::: M N y 1 n 1 y 2 n 2 :::y N n N a i n 1 ;:::;n N M 1 ::: M i 1 M i+1 ::: M N y 1 n 1 :::y i 1 n i 1 y i+1 n i+1 :::y N n N a i n 1 ;:::;n N para cada n i 2 M i e i 2 N. Note que esta função é contínua. 12 perda esperada perda esperada usando a estrat. pura n i Voltar ao Slide 20

13 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a Agora, seja relacionado a por: c i n i à i n i c i n i, maxfã i n i ; 0g para cada e. Logo, é também uma função contínua. Então, introduzindo a transformação: n i 2 M i i 2 N c i n i (y 1 ; :::; y N ) ¹y i n i = yi n i + c i n i 1 + P j2m i c i j ; n i 2 M i ; i 2 N observe que não estamos usando c i n i para não confundir com o índice n i de ¹y n i i 13 Voltar ao Slide 20

14 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a Note que: ¹y i n i 0 y i n i 1; c i n i PM i c i n j ) ¹y i n I 1 g 0 ¹y i n i 1 ¹y n i i = yi n 1 + yn i 2 + ::: + yn i N + c i n 1 + c i n 2 + ::: + c i n N 1 + P M i j2m i c i j P ¹y i M n i = i yn i i + P n i 2M i c i n i 1 + P M i j2m i c i j ¹y n i i = 1 M i 14

15 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a E chamando-a de T : (¹y 1 ; :::; ¹y N ) = T (y 1 ; :::; y N ) podemos observar que T é um Q mapeamento contínuo de N Y i em si Q mesmo. Como N Y i é fechado, limitado e convexo, pelo Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, o mapeamento T tem pelo menos um ponto fixo. 15

16 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a Agora iremos provar que fy i 2 Y i ; i 2 Ng é um equilíbrio de Nash usando estratégias mistas se e somente se for um ponto fixo desse mapeamento. Sentido direto: Se fy i 2 Y i ; i 2 Ng é um equilíbrio de Nash usando estratégias mistas, então por definição, a função Ãn i i (y 1 ; :::; y N ) é não-positiva para todo n i 2 M i, e i 2 N, e por fim c i n i = 0 para todo n i 2 M i, i 2 N. 16

17 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a Como ¹y i n i = yi n i + c i n i 1 + P j2m i c i j ; c i n i = 0; n i 2 M i ; i 2 N então: T (y 1 ; :::; y N ) = (y 1 ; :::; y N ) provando que fixo de T. fy i 2 Y i ; i 2 Ng é um ponto 17

18 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a Sentido inverso: Suponha que fy i 2 Y i ; i 2 Ng é um ponto fixo de T, mas não é um equilíbrio de Nash. Então, para algum i 2 N (por exemplo, i = 1), existe um ~y 1 2 Y 1 tal que: ::: yn 1 1 yn 2 2 > ::: M 1 M N M 1 M N ~y 1 n 1 y 2 n 2 :::y N n N (1) Agora seja ~n 1 o índice onde a quantidade 18

19 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a M 2 ::: M N y 2 n 2 :::y N n N (2) Voltar ao Slide 21 alcança seu menor valor sobre n i 2 M i. Como ~y 1 é uma estratégia mista, o lado direito da equação (1) pode ser limitado por baixo por (2) com : ::: yn 1 1 yn 2 2 > M 1 M N n 1 = ~n 1 ::: ~y n 1 1 yn 2 2 M 1 M N M 1 ::: y 19 n 1 1 yn 2 2 > M N > ::: yn 2 2 a 1 ~n 1 ;:::;n N M 2 M N ::: yn 2 2 a 1 ~n 1 ;:::;n N M 2 M N

20 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a ::: yn 1 1 yn 2 2 > M 1 M N é equivalente a: M 2 ::: M N y 2 n 2 :::y N n N a 1 ~n 1 ;:::;n N E mais: c i n i 0 ) c 1 n 1 0 Ã 1 ~n i (y 1 ; y 2 ; :::; y N ) > 0 c 1 ~n 1 > 0 ) P M1 c1 n 1 > 0 definição de Psi definição de c 20 Voltar ao Slide 22

21 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a Agora seja ^n 1 o índice onde a quantidade (2) alcança o seu valor máximo. Então, podemos limitar superiormente o lado esquerdo de (1) pelo valor (2) quando : n 1 = ^n 1 ::: yn 2 2 a 1^n 1 ;:::;n N > M 2 M N ::: yn 2 2 a 1^n 1 ;:::;n N > ::: yn 1 1 yn 2 2 M 2 M N M 1 M N ::: yn 1 1 yn 2 2 > ::: ~y n 1 1 yn 2 2 M 1 M N M 1 M N 21

22 D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a ::: yn 2 2 a 1^n 1 ;:::;n N > M 2 M N é equivalente a: M 1 ::: M N y 1 n 1 y 2 n 2 :::y N n N E mais: ) Resultado obtido em 20 c 1^n P 1 = 0 M 1 c 1 n 1 > 0 Ã 1^n i (y 1 ; y 2 ; :::; y N ) < 0 ¹y 1^n 1 < y 1^n 1 CONTRADIÇÃO! ¹y 1^n 1 = y1^n 1 + c 1^n P j2m 1 c 1 j 22

23 R e f e r ê n c i a s T. Basar and G. J. Olsder Fixed-Point Theorems Nash Equilibrium Brouwer fixed point theorem Mahalanobis 23