PARTE 5 LIMITE. 5.1 Um Pouco de Topologia

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "PARTE 5 LIMITE. 5.1 Um Pouco de Topologia"

Transcrição

1 PARTE 5 LIMITE 5.1 Um Pouco de Topologia Vamos agora nos preparar para definir ite de funções reais de várias variáveis reais. Para isto, precisamos de alguns conceitos importantes. Em primeiro lugar, vamos recordar que dados dois vetores v = (v 1,v 2,..., v n ) e u = (u 1,u 2,..., u n ) em R n, a distância entre v e u é dada por v u = (v 1 u 1 ) 2 + (v 2 u 2 ) (v n u n ) 2, onde a função. : R n R é chamada de norma. Observe ainda que v = v1 2 + v vn 2 = v. v. Desta forma, uma bola aberta em R n de raio r com centro em X 0 = ( 10, 20,..., n0 ), que denotaremos por B r (X 0 ), é definida por B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) ( n n0 ) 2 < r 2 } e, uma bola fechada em R n de raio r com centro em X 0 = ( 10, 20,..., n0 ), que denotaremos por B r (X 0 ), é definida por B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) ( n n0 ) 2 r 2 }. Desta forma, no plano (R 2 ), temos que uma bola aberta de raio r com centro em ( 0, 0 ) é o conjunto de pontos que estão dentro da circunferência de raio r com centro em ( 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = r 2. E, no espaço (R 3 ), temos que uma bola aberta de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ) é o conjunto de pontos que estão dentro da esfera de raio r com centro em ( 0, 0, 0 ), cuja equação é ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 = r 2. Vamos definir agora pontos interiores, conjuntos abertos, viinhança, pontos de acumulação, pontos de fronteira e conjuntos fechados. 63

2 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise DEFINIÇÃO 5.1.1: (Ponto Interior) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que X 0 A é um ponto interior de A se eiste uma bola aberta com centro em X 0 inteiramente contida em A. DEFINIÇÃO 5.1.2: (Conjunto Aberto) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto aberto se todos os seus pontos são pontos interiores. Eemplo 5.1.1: Toda bola aberta B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 +( 2 20 ) ( n n0 ) 2 < r 2 } é um conjunto aberto em R n. Em particular, a bola aberta B r ( 0, 0 ) = {(,) R 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < r 2 } é um conjunto aberto em R 2. Eemplo 5.1.2: O conjunto A = {(,) R 2 0 < < 1 e 0 < < 1} é um conjunto aberto em R 2. DEFINIÇÃO 5.1.3: (Viinhança) Uma viinhança de X 0 R n é um conjunto aberto que contém X 0. Eemplo 5.1.3: Toda bola aberta B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 +( 2 20 ) ( n n0 ) 2 < r 2 } é uma viinhança de X 0. DEFINIÇÃO 5.1.4: (Ponto de Acumulação) Diemos que X 0 R n é um ponto de acumulação do conjunto A R n se toda bola aberta com centro em X 0 contém pelo menos um ponto X A, X X 0. Eemplo 5.1.4: O conjunto dos pontos de acumulação da bola aberta B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (,) < 1} é o conjunto {(,) R 2 (,) }. Eemplo 5.1.5: O conjunto dos pontos de acumulação da bola fechada B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (,) } é o conjunto {(,) R 2 (,) }. Eemplo 5.1.6: O conjunto dos pontos de acumulação do conjunto R \{(0, 0)} é todo o plano. Eemplo 5.1.7: O conjunto dos pontos de acumulação do conjunto B 1 (0, 0) {(2, 0)} é o conjunto {(,) R 2 (,) }.

3 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Observação 5.1.1: Se X 0 R n é um ponto de acumulação do conjunto A, podemos nos aproimar de X 0, o quanto quisermos, por uma sequência de pontos onde todos os pontos pertencem a A. Esta definição será necessária para apresentar o conceito de ite de funções de várias variáveis reais, pois a possibilidade de aproimação de um ponto em R n é bem mais ampla do que simplesmente se aproimar pela direita ou pela esquerda, ou através de uma combinação pela direita e pela esquerda, que eram os casos possíveis de aproimação em se tratando de pontos na reta. DEFINIÇÃO 5.1.5: (Ponto de Fronteira e Fronteira) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que X 0 R n é um ponto de fronteira de A, se toda bola aberta com centro em X 0 possuir pelo menos um ponto que pertence a A e um ponto que não pertence a A. O conjunto dos pontos de fronteira de um conjunto A é chamado de fronteira de A. A fronteira de A é denotada por A. Eemplo 5.1.8: A fronteira da bola aberta B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (, ) < 1} é a circunferência = 1. Eemplo 5.1.9: A fronteira da bola fechada B 1 (0, 0) = {(,) R 2 (,) } é a circunferência = 1. Eemplo : A fronteira do conjunto B 1 (0, 0) {(2, 0)} é a circunferência = 1 e o ponto (2, 0). DEFINIÇÃO 5.1.6: (Conjunto Fechado) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. Eemplo : Toda bola fechada B r (X 0 ) = {( 1, 2,..., n ) R n ( 1 10 ) 2 + ( 2 20 ) ( n n0 ) 2 r 2 } é um conjunto fechado em R n. Em particular, a bola fechada B r ( 0, 0 ) = {(,) R 2 ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 r 2 } é um conjunto fechado em R 2. Eemplo : O conjunto B 1 (0, 0) {(2, 0)} é um conjunto fechado. Eemplo : O conjunto A = {(,) R e 0 1} é um conjunto fechado em R 2. Vamos definir agora conjuntos itados e conjuntos compactos.

4 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise DEFINIÇÃO 5.1.7: (Conjunto Limitado) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto itado se eiste M > 0 tal que A R, onde R é o retângulo em R n dado por R = {( 1, 2,..., n ) R n M 1 M, M 2 M,..., M n M, }. Eemplo : Toda bola aberta, em R n, de raio r e centro em X 0 é um conjunto itado em R n e toda bola fechada, em R n, de raio r e centro em X 0 também é um conjunto itado em R n. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 2 4} é um conjunto itado em R 2. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 0 e 0} itado em R 2. NÃO é um conjunto DEFINIÇÃO 5.1.8: (Conjunto Compacto) Dado um conjunto A R n não-vaio, diemos que A é um conjunto compacto se ele é fechado e itado. Eemplo : Toda bola fechada, em R n, de raio r e centro em X 0 é um conjunto compacto em R n. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 2 4} é um conjunto compacto em R 2. Eemplo : O conjunto A = {(,) R 2 0 e 0} NÃO é um conjunto compacto em R 2, pois, apesar de ser um conjunto fechado, ele não é um conjunto itado. Vamos agora passar à definição de ite. 5.2 Limite A essência do conceito de ite continua sendo a que vimos em Cálculo 1A. Vamos portanto recordá-la.

5 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Recordação de ite de funções reais de uma variável real: Seja f : Dom(f) R R uma função real de uma variável real. Suponha que f está definida no intervalo aberto I contendo 0 (eceto possivelmente no próprio 0 ). Diemos que f() tende a l, l R, quando tende a 0, cuja notação é f() = l, se para todo ε > 0 dado, 0 eiste δ > 0 tal que, 0 < 0 < δ f() l < ε. Tradução: Dada uma função f : Dom(f) R R definida no intervalo aberto I contendo 0 (eceto possivelmente no próprio 0 ), diemos que f possui ite l quando tente a 0 se, dado uma distância máima que permitimos que f() se afaste de l (uma dada distância ε), sempre é possível encontrar uma outra distância (uma distância δ), tal que se não se afastar de 0 uma distância maior do que esta distância encontrada (a distância δ), o valor da função f, para pontos nesta viinhança itada, estará próimo de l o quanto queremos (a distância dada ε). Observação 5.2.1: Note que um ponto 0 pertencente a um intervalo aberto I é trivialmente um ponto de acumulação de I. O que devemos faer então para definir ite de funções reais de n variáveis reais é simplesmente adaptar o conceito de distância, que antes, em Cálculo 1A, era dado pelo módulo, uma ve que o domínio da função era um subconjunto da reta, para o conceito de distância em R n, que é onde os novos pontos do domínio estão. DEFINIÇÃO 5.2.1: (Limite) Seja f a função real de várias variáveis f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f). Diemos que f(x) tende a l, l R, quando X = ( 1, 2,..., n ) tende a X 0, cuja notação é f(x) = l, se para todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, para todo X Dom(f), 0 < X X 0 = ( 1 10 ) ( n n0 ) 2 < δ f(x) l < ε. Desta forma, para a função real de duas variáveis f : Dom(f) R 2 R (, ) f(,), temos que f(,) = l se, para todo ε > 0 dado, eiste δ > 0 tal que, para (,) ( 0, 0 ) todo (,) Dom(f), 0 < ( 0 ) 2 + ( 0 ) 2 < δ f(,) l < ε.

6 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo 5.2.1: Mostre que = 0. Solução: Aplicando a definição de ite, temos que ε > 0, eiste δ > 0 tal que, 0 < < δ < ε. = 0, se dado Observando que = , (1) para ε > 0 dado, basta faer δ = ε 5. De fato, se δ = ε, segue que 5 0 < < δ = ε < ε, portanto, de (1), temos que 0 < < ε < ε, conforme desejado. Eplicações das desigualdades: ( ) = 1 2 e ( ) = ). Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) = 52 sob diferentes ângulos, para facilitar a visualiação Vejamos agora as propriedades de ite. Cabe ressaltar que vimos todas as versões destas propriedades para funções da reta na reta em Cálculo 1A. TEOREMA 5.2.1: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação

7 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise do Dom(f), então f(x) = l f(x) l = 0. TEOREMA 5.2.2: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f), então f(x) = l f(y + X 0 ) = l. Y 0 TEOREMA 5.2.3: (Propriedades de Limite) Considere as funções f, g : D R n R, tais que X X0 f(x) = l, X X0 g(x) = m e seja k R. Neste caso, temos que a) X X0 (f ± g)(x) = l ± m; b) X X0 (kf)(x) ( ) = kl; f c) X X0 (X) = l, se m 0; g m d) X X0 f(x) = l. TEOREMA 5.2.4: Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f), então f(x) = 0 f(x) = 0. Observação 5.2.1: Note que é fundamental no Teorema que o valor do ite seja 0, pois caso contrário, é possível ter X X0 f(x) = l 0, sem que sequer eista X X0 f(x). Por eemplo, para a função { 1, se 0 f(,) = 1, se > 0, temos que f(,) = 1 = 1 0, enquanto que não eiste f(,). 1 1 TEOREMA 5.2.5: Seja f : Dom(f) R n R uma função polinomial, então X X0 f(x) = f(x 0 ).

8 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo 5.2.2: Calcule Solução: Como a função f(,) = + 2 é polinomial, temos pelo Teorema acima que f(,) = = f(0, 0) = 0. TEOREMA 5.2.6: Seja f : Dom(f) R n R uma função racional, e seja X 0 um ponto do Dom(f), então X X0 f(x) = f(x 0 ). Eemplo 5.2.3: Calcule (,) (1,2) Solução: Observe que o domínio da função racional f(,) = 52 é dado por Dom(f) = R\{(0, 0)}. Portanto, o ponto ( 0, 0 ) = (1, 2) Dom(f). Desta forma, pelo Teorema acima que (,) (1,2) f(,) = (,) (1,2) = f(1, 2) = = 2. TEOREMA 5.2.7: (Teorema do Confronto (ou do Sanduiche)) Sejam f, g, h : D R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de D. Suponha que eiste uma viinhança V X0 de X 0 tal que f(x) g(x) h(x) para todo X V X0 D, eceto possivelmente no próprio ponto X 0. Desta forma, se f(x) = l e h(x) = l então, g(x) também eiste e g(x) = l. TEOREMA 5.2.8: (Teorema do Anulamento) Sejam f,g : D R n R e seja X 0 um ponto de acumulação de D. Se f(x) = 0 e eiste uma viinhança V X0 de X 0 tal que g é itada em V X0 D, então f(x)g(x) também eiste e f(x)g(x) = 0.

9 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Eemplo 5.2.4: Calcule, caso eista, Solução: Observe que a função g(, ) = é itada, uma ve que = 1. Além disso, a função f(,) = 5 é tal que f(,) = 5 = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que (Esta função é a mesma do Eemplo ) = = 0. 2 Eemplo 5.2.5: Calcule, caso eista, Solução: Observe que a função g(,) = 2 2 é itada, uma ve que = 1. 2 Além disso, a função f(,) = é tal que f(,) = = 0. Portanto, estamos diante do ite do produto de duas funções que satisfaem as condições do Teorema do Anulamento. Sendo assim, segue que 3 2 = = 0. 2 Abaio temos um esboço da gráfico da função f(,) =

10 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise TEOREMA 5.2.9: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g), suponha que X X0 g(x) = a e suponha ainda que a é um ponto de acumulação de Dom(f). Se f não está definida em a ou se f é contínua em a, então f(g(x)) = u a f(u). Observação 5.2.2: Utiliamos a versão deste teorema dada em Cálculo 1A (g : sen (tan()) Dom(g) R R) para calcular ites do tipo. Neste caso, 0 tan g() = tan, f(u) = senu u, 0 = 0, a = g() = tan = 0 e f(u) = senu não 0 0 u está definida em a = 0, de modo que sen (tan()) f(g(x)) = 0 0 tan = u a f(u) = u 0 senu u = 1. Eemplo 5.2.6: Verifique se 1 cos( 2) (,) (1,2) 2 ( 2) 2 eiste. Solução: Neste caso, observe que desejamos saber X X0 f(g(x)), onde g(,) = ( 2), f(u) = 1 cos u, X u 2 0 = (1, 2), a = g(, ) = ( 2) = 0 e (,) (1,2) 0 f(u) = 1 cos u não está definida em a = 0. Portanto, pelo Teorema 5.2.9, temos que u 2 1 cos( 2) f(g(x)) = (,) (1,2) 2 ( 2) 2 = u a f(u) = u 0 1 cos u u 2 = 1 2. Observe que também podemos aplicar este mesmo raciocínio para determinar 1 cos( 2) 1 cos( 2) e. (,) ( 0,2) 2 ( 2) 2 (,) (0, 0 ) 2 ( 2) 2 Desta forma, também obteremos que 1 cos( 2) = 1 (,) ( 0,2) 2 ( 2) 2 2 = 1 cos( 2). (,) (0, 0 ) 2 ( 2) 2

11 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise Abaio temos um esboço do gráfico de f sob diferentes ângulos para facilitar a visualiação. Observe que o domínio da função f(,) = é dado por 1 cos( 2) 2 ( 2) 2 Dom(f) = {(,) R 2 0 e 2}, de modo que os pontos correspondentes às duas retas = 0 e = 2, encontram-se tracejados. Observação 5.2.3: Caso f esteja definida em a e não seja contínua neste ponto, as funções reais de variáveis reais abaio servem para eemplificar (conforme visto em Cálculo 1A) que a igualdade f(g(x)) = f(u) pode falhar. Considere as { u a u + 1, u 1 funções f(u) = 5, u = 1 e g() = 1 para todo real. Escolhendo 0 = 3, observe que g() = 1 = 1, de modo que a = 1. Além disso, temos que f(u) = u 1 mas, f(g()) = 5 = 5 2 = f(u). 3 3 u 1 Observação 5.2.4: Sabendo que X X0 g(x) = a, se eistir uma viinhança V X0 de X 0 tal que g(x) a para todo X V X0 Dom(g), X X0 g(x) = a, a igualdade X X0 f(g(x)) = u a f(u) do Teorema também irá valer, independente do comportamento de f em a. O enunciado do teorma para este caso seria assim: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g) e suponha que X X0 g(x) = a. Se a é um ponto de acumulação de Dom(f) e se eiste uma viinhança V X0 de X 0 tal que g(x) a para todo X V X0 Dom(g), então X X0 f(g(x)) = u a f(u). Observe que, pelo o Teorema acima, se X X0 g(x) = a e f é uma função contínua em a, então, ( ) f(g(x)) = f(u) = f(a) = f g(x). u a Em outras palavras, temos que se f é uma função contínua, podemos passar o ite para dentro, de modo que: o ite da f é igual a f do ite. Pela importância deste resultado, que é a própria caracteriação de funções contínuas (conforme visto em Cálculo 1A), vamos enunciá-lo abaio.

12 Cálculo 2B - Notas de Aula (em construção) - Prof a Denise COROLÁRIO 5.2.1: Sejam g : Dom(g) R n R e f : Dom(f) R R tais que Im(g) Dom(f). Seja X 0 um ponto de acumulação de Dom(g) e suponha que X X0 g(x) = a. Se a é um ponto de acumulação de Dom(f) e f é contínua em a, então ( ) f(g(x)) = f g(x). Agora vamos ver um teorema que será bastante útil para demonstrar que uma dada função NÃO possui ite. TEOREMA : Seja f : Dom(f) R n R e seja X 0 um ponto de acumulação do Dom(f). Suponha que f(x) = l. Considere agora a curva C parametriada pela função contínua γ : [a,b] R n, tal que γ(t 0 ) = X 0, t 0 [a,b]. Suponha que, para todo t t 0, tem-se que γ(t) X 0, e que, γ(t) Dom(f), t [a,b], t t 0. Neste caso, segue que f(γ(t)) = l, t t 0 ou um ite lateral apropriado. Observe que se for possível encontrar uma curva C 1 Dom(f) {X 0 }, parametriada pela função γ 1, e uma curva C 2 Dom(f) {X 0 }, parametriada pela função γ 2, de modo que γ 1 (u 0 ) = X 0 = γ 2 (v 0 ) e tal que f(γ 1 (u)) f(γ 2 (v)) (ou um ite lateral apropriado), podemos concluir pelo Teorema acima, que NÃO eiste u u0 v v0 f(x). Eemplo 5.2.7: Verifique se eiste. 2 Solução: Considere f(,) = Vamos mostrar que o ite acima não eiste apresentando dois caminhos distintos de aproimação, de modo que o ite ao longo destes caminhos não sejam iguais. Para isto, considere a curva C 1 parametriada por γ 1 (t) = (t, 0), t 0 e a curva C 2 parametriada por γ 2 (t) = (0,t), t 0. Desta forma, 2 2 calculando separadamente, 2 + ao longo das curvas C 2 1 e C 2, temos que e = f(γ t 2 0 1(t)) = 2 t 0 + t 0 + t = 1 = 1, t 0 + ao longo de C 1 = f(γ 0 t 2 2(t)) = t 0 + t t = 1 = 1. 2 t 0 + ao longo de C 2

LIMITE E CONTINUIDADE DE

LIMITE E CONTINUIDADE DE CAPÍTULO 4 LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 4.1 Um Pouco de Topologia Vamos agora nos preparar para definir ite de funções reais de várias variáveis reais. Para isto, precisamos

Leia mais

CAPÍTULO 8 REGRA DA CADEIA (UM CASO PARTICULAR)

CAPÍTULO 8 REGRA DA CADEIA (UM CASO PARTICULAR) CAPÍTULO 8 REGRA DA CADEIA UM CASO PARTICULAR 81 Introdução Em Cálculo 1A, aprendemos que, para derivar a função hx x 2 3x + 2 37, o mais sensato é fazer uso da regra da cadeia A regra da cadeia que é

Leia mais

CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE:

CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE: CAPÍTULO 9 VETOR GRADIENTE: INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 9.1 Introdução Dada a função real de n variáveis reais, f : Domf) R n R X = 1,,..., n ) f 1,,..., n ), se f possui todas as derivadas parciais de primeira

Leia mais

PARTE 10 REGRA DA CADEIA

PARTE 10 REGRA DA CADEIA PARTE 10 REGRA DA CADEIA 10.1 Introdução Em Cálculo 1A, quando queríamos derivar a função h(x = (x 2 3x + 2 37, fazíamos uso da regra da cadeia, que é uma das mais importantes regras de derivação e nos

Leia mais

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental

Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental Notas de aula: Cálculo e Matemática Aplicados à Notas de aula: Gestão Ambiental 3 Limites Considere a função f definida por: Qual o domínio dessa função? Se 1, então f () é dada por: (2 + 3)( 1). 1 2 +

Leia mais

Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof. Dr. Maurício Zahn Lista 01 de Exercícios

Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof. Dr. Maurício Zahn Lista 01 de Exercícios Fundação Universidade Federal de Pelotas Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina de Análise II - Prof Dr Maurício Zahn Lista 01 de Eercícios 1 Use a definição de derivada para calcular a derivada

Leia mais

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos

(versão preliminar) exceto possivelmente para x = a. Dizemos que o limite de f(x) quando x tende para x = a é um numero L, e escrevemos LIMITE DE FUNÇÕES REAIS JOSÉ ANTÔNIO G. MIRANDA versão preinar). Revisão: Limite e Funções Continuas Definição Limite de Seqüências). Dizemos que uma seqüência de números reais n convergente para um número

Leia mais

Limites. 2.1 Limite de uma função

Limites. 2.1 Limite de uma função Limites 2 2. Limite de uma função Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x 2 x + 2 para valores próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x) para valores de x próximos

Leia mais

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL CONTINUIDADE DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL a Edição Rio Grande Editora da FURG 206 Universidade Federal

Leia mais

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital.

CÁLCULO I. Apresentar e aplicar a Regra de L'Hospital. CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o : Limites Innitos e no Innito. Assíntotas. Regra de L'Hospital Objetivos da Aula Denir ite no innito e ites innitos; Apresentar alguns tipos

Leia mais

CAPÍTULO 16 REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS

CAPÍTULO 16 REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS CAPÍTULO 16 MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS EM COMPACTOS 161 Introdução Esta aula está baseada no Capítulo 16 do segundo volume do livro de Cálculo do Guidorii Nesta aula, estamos

Leia mais

PARTE 7 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE. Seja f : Dom(f) R n R m

PARTE 7 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE. Seja f : Dom(f) R n R m PARTE 7 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS 7.1 Introdução Seja f : Dom(f R n R m X = ( 1, 2,..., n f(x = f( 1, 2,..., n e seja X 0 = ( 10, 20,..., n 0 Dom(f. Vamos agora tentar generalizar o conceito

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital.

CÁLCULO I. 1 Aproximações Lineares. Objetivos da Aula. Aula n o 16: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L'Hôspital. CÁLCULO I Prof Marcos Diniz Prof André Almeida Prof Edilson Neri Júnior Prof Emerson Veiga Prof Tiago Coelho Aula n o 6: Aproimações Lineares e Diferenciais Regra de L'Hôspital Objetivos da Aula Denir

Leia mais

Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a

Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a Santos Alberto Enriquez Remigio Março de 2018 Notação Seja y = f (x) a regra de correspondência da função f, então: 1. x tende

Leia mais

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro

Resolução dos Exercícios Propostos no Livro Resolução dos Eercícios Propostos no Livro Eercício : Considere agora uma função f cujo gráfico é dado por y 0 O que ocorre com f() quando se aproima de por valores maiores que? E quando se aproima de

Leia mais

Volume de um gás em um pistão

Volume de um gás em um pistão Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo Volume de um gás em um pistão Suponha que um gás é mantido a uma temperatura constante em um pistão. À medida que o pistão é comprimido, o volume

Leia mais

Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a

Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a Limite de uma função quando a variável independente tende a um número real a Santos Alberto Enriquez Remigio 10 de abril de 2018 Notação Seja f uma função e y = f (x) sua regra de correspondência, então:

Leia mais

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais.

Aula 3 Propriedades de limites. Limites laterais. Propriedades de ites. Limites laterais. MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Propriedades de ites. Limites laterais. Objetivos Estudar propriedades elementares de ites, tais como: soma, produto, quociente e confronto.

Leia mais

Máximos e mínimos em intervalos fechados

Máximos e mínimos em intervalos fechados Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 Máximos e mínimos em intervalos fechados No texto em que aprendemos a Regra da Cadeia, fomos confrontados com o seguinte problema: a partir

Leia mais

1. Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R

1. Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R . Funções Reais de Variável Real Vamos agora estudar funções definidas em subconjuntos D R com valores em R, i.e. f : D R R D x f(x). Uma função é uma regra que associa a cada elemento x D um valor f(x)

Leia mais

1 Distância entre dois pontos do plano

1 Distância entre dois pontos do plano Noções Topológicas do Plano Americo Cunha André Zaccur Débora Mondaini Ricardo Sá Earp Departamento de Matemática Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro 1 Distância entre dois pontos do plano

Leia mais

PARTE 4. ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa)

PARTE 4. ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa) PARTE 4 REVISÃO DE PLANOS, CILINDROS, SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO, ESFERAS E SUPERFÍCIES QUÁDRICAS EM GERAL (Leitura para Casa) Vamos agora faer uma revisão de planos, cilindros, superfícies de revolução,

Leia mais

Limites: Noção intuitiva e geométrica

Limites: Noção intuitiva e geométrica Eemplo : f : R {} R, f sen a Gráfico de f b Ampliação do gráfico de f perto da origem Limites: Noção intuitiva e geométrica f Apesar de f não estar definida em, faz sentido questionar o que acontece com

Leia mais

Exercícios - Propriedades Adicionais do Limite Aula 10

Exercícios - Propriedades Adicionais do Limite Aula 10 Exercícios - Propriedades Adicionais do Limite Aula 10 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 05 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia

Leia mais

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 1) 2 Norma. Distância. Bola. R n = R R R

CDI-II. Resumo das Aulas Teóricas (Semana 1) 2 Norma. Distância. Bola. R n = R R R Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires CDI-II Resumo das Aulas Teóricas (Semana 1) 1 Notação R n = R R R x R n : x = (x 1, x 2,, x n ) ; x

Leia mais

Capítulo Diferenciabilidade de uma função

Capítulo Diferenciabilidade de uma função Cálculo - Capítulo.6 - Diferenciabilidade de uma função 1 Capítulo.6 - Diferenciabilidade de uma função.6.1 - Introdução.6.4 - Diferenciabilidade e continuidade.6. - Diferenciabilidade.6.5 - Generalização

Leia mais

Módulo 1 Limites. 1. Introdução

Módulo 1 Limites. 1. Introdução Módulo 1 Limites 1. Introdução Nesta disciplina você vai estudar o cálculo diferencial e integral e suas aplicações em diversos problemas relacionados à Economia. O conceito de limite é conceito mais básico

Leia mais

Capítulo Limites e continuidade

Capítulo Limites e continuidade Cálculo 2 - Capítulo 2.2 - Limites e continuidade Capítulo 2.2 - Limites e continuidade 2.2. - Domínio e imagem 2.2.3 - Continuidade 2.2.2 - Limites Limites são a base do Cálculo Diferencial e Integral

Leia mais

CAPÍTULO 6 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE

CAPÍTULO 6 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE CAPÍTULO 6 DERIVADA DE FUNÇÃO REAL DE VÁRIAS VARIÁVEIS 6.1 Introdução Neste capítulo, vamos generalizar, para funções reais de várias variáveis, o conceito de derivada de funções reais de uma variável

Leia mais

Vejamos na seguinte tabela como se comportam os valores x(n) quando n aumenta. n

Vejamos na seguinte tabela como se comportam os valores x(n) quando n aumenta. n QUESTÕES-AULA 32 1. Considere a sequência de termo geral x : N R; x(n) = x n = 2n+1 1 2 n π Considerando valores cada vez maiores para a variável independente n, pode-se observar que os valores x(n) ficam

Leia mais

Cálculo diferencial em IR n

Cálculo diferencial em IR n Cálculo diferencial em IR n (Limites e Continuidade) Sandra Nunes e Ana Matos DMAT 3 Maio 2001 Conteúdo 1 Limites e Continuidade em Campos Escalares 2 1.1 NoçãodeLimite... 2 1.2 LimitesRelativos... 4 1.3

Leia mais

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA

Universidade Federal de Pelotas. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino. Módulo de Limites. Aula 01. Projeto GAMA Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Limites Aula 0 208/ Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática Ideia Intuitiva

Leia mais

CAPÍTULO 13 (G F )(X) = X, X A (F G)(Y ) = Y, Y B. F G = I da e G F = I db,

CAPÍTULO 13 (G F )(X) = X, X A (F G)(Y ) = Y, Y B. F G = I da e G F = I db, CAPÍTULO 3 TEOREMA DA FUNÇÃO INVERSA 3 Introdução A função identidade em R n é a função que a cada elemento de R n associa o próprio elemento ie I d : R n R n X x x n I d X X x x n A função identidade

Leia mais

3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais

3.1 Funções Reais de Várias Variáveis Reais CAPÍTULO 3 FUNÇÕES REAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS REAIS 3. Funções Reais de Várias Variáveis Reais Vamos agora tratar do segundo caso particular de funções F : Dom(F) R n R m, que são as funções reais de várias

Leia mais

Derivadas Parciais Capítulo 14

Derivadas Parciais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS 14.2 Limites e Continuidade Nesta seção, aprenderemos sobre: Limites e continuidade de vários tipos de funções. LIMITES E CONTINUIDADE Vamos comparar o

Leia mais

Limites, derivadas e máximos e mínimos

Limites, derivadas e máximos e mínimos Limites, derivadas e máimos e mínimos Psicologia eperimental Definição lim a f ( ) b Eemplo: Seja f()=5-3. Mostre que o limite de f() quando tende a 1 é igual a 2. Propriedades dos Limites Se L, M, a,

Leia mais

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda

Bases Matemáticas Continuidade. Propriedades do Limite de Funções. Daniel Miranda Daniel De modo intuitivo, uma função f : A B, com A,B R é dita contínua se variações suficientemente pequenas em x resultam em variações pequenas de f(x), ou equivalentemente, se para x suficientemente

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 07: Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Confronto e Limite Trigonométrico Fundamental Objetivos da Aula Conhecer e aplicar o Teorema

Leia mais

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites

Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites Acadêmico(a) Turma: Capítulo 7: Limites 7.1. Noção Intuitiva de ite Considere a função f(), em que f() = 2 + 1. Para valores de que se aproima de 1, por valores maiores que 1 (Direita) e por valores menores

Leia mais

Aula 26 A regra de L Hôpital.

Aula 26 A regra de L Hôpital. MÓDULO - AULA 6 Aula 6 A regra de L Hôpital Objetivo Usar a derivada para determinar certos ites onde as propriedades básicas de ites, vistas nas aulas 3, 4, e 5, não se aplicam Referência: Aulas 3, 4,

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 9 Etapa Questão. Determine se as afirmações abaio são verdadeiras

Leia mais

FFCLRP-USP LIMITES FUNDAMENTAIS - CÁL. DIF. E INT. I. Professor Dr. Jair Silvério dos Santos TEOREMA DO SANDUICHE

FFCLRP-USP LIMITES FUNDAMENTAIS - CÁL. DIF. E INT. I. Professor Dr. Jair Silvério dos Santos TEOREMA DO SANDUICHE FFCLRP-USP LIMITES FUNDAMENTAIS - CÁL. DIF. E INT. I Professor Dr. Jair Silvério dos Santos TEOREMA DO SANDUICHE Teorema 0.. Dadas f,g, : A R funções e 0 ponto de acumulação de A. (i) Supona eiste ǫ >

Leia mais

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática Mestrado em Ensino de Matemática

UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática  Mestrado em Ensino de Matemática UFRJ - Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática www.pg.im.ufrj.br/pemat Mestrado em Ensino de Matemática Seleção 0 Etapa Questão. Considere f : [, ] R a função cujo gráfico

Leia mais

O domínio [ 1, 1] é simétrico em relação a origem.

O domínio [ 1, 1] é simétrico em relação a origem. QUESTÕES-AULA 33 1. Determine quais das funções abaixo são pares, quais são impares e quais não são pares nem impares. Justifique as suas respostas. (a) g : [ 3, 3] R, x x 3 (b) h : ( 3, 3) R, x x 3 x

Leia mais

Capítulo Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais

Capítulo Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais Cálculo 2 - Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais Capítulo 27 - Diferenciabilidade e continuidade das derivadas parciais 27 - Teorema do Valor Médio 272 - Diferenciabilidade

Leia mais

Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x 1 x 1. 1 sen x 1 (x 2 1) 2 (x 2 1) 2 sen

Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x 1 x 1. 1 sen x 1 (x 2 1) 2 (x 2 1) 2 sen UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL - 07. A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - TURMA EL Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas

Leia mais

Capítulo 4. Campos escalares e vetoriais

Capítulo 4. Campos escalares e vetoriais Capítulo 4 Campos escalares e vetoriais Existem várias situações em que uma variável depende de várias outras. Por exemplo, a área de um retângulo depende do comprimento e da altura deste. O volume de

Leia mais

10 AULA. Funções de Varias Variáveis Reais a Valores LIVRO

10 AULA. Funções de Varias Variáveis Reais a Valores LIVRO 1 LIVRO Funções de Varias Variáveis Reais a Valores Reais META Estudar o domínio, o gráfico e as curvas de níveis de funções de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Estender os conceitos de domínio

Leia mais

Limites - Aula 08. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 14 de Março de 2014

Limites - Aula 08. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil. 14 de Março de 2014 Limites - Aula 08 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 14 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014104 - Engenharia Mecânica Limite - Noção Intuitiva

Leia mais

3.6 EXERCÍCIOS. o x2 sen 1 x2, V x O. =0. Multiplicando a desigualdade por x2, temos

3.6 EXERCÍCIOS. o x2 sen 1 x2, V x O. =0. Multiplicando a desigualdade por x2, temos 86 Cálculo A - Funções, Limite, Derivação, Integração 0 < sen 1 1, V O. Multiplicando a desigualdade por 2, temos o 2 sen 1 2, V O. Como lim 0 = O e lim 2 = O, pela proposição 3.5.3 concluímos que ->I3

Leia mais

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por =

LIMITE. Para uma melhor compreensão de limite, vamos considerar a função f dada por = LIMITE Aparentemente, a idéia de se aproimar o máimo possível de um ponto ou valor, sem nunca alcançá-lo, é algo estranho. Mas, conceitos do tipo ite são usados com bastante freqüência. A produtividade

Leia mais

CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior

CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 4: Aproximações Lineares e Diferenciais. Regra de L Hôspital. Definir e calcular a aproximação linear

Leia mais

Cálculo II - B profs.: Heloisa Bauzer Medeiros e Denise de Oliveira Pinto 1 2 o semestre de 2017 Aulas 6 e 7 Limites e Continuidade

Cálculo II - B profs.: Heloisa Bauzer Medeiros e Denise de Oliveira Pinto 1 2 o semestre de 2017 Aulas 6 e 7 Limites e Continuidade Cálculo II - B profs.: Heloisa Bauzer Medeiros e Denise de Oliveira Pinto 2 o semestre de 207 Aulas 6 e 7 Limites e Continuidade Estas duas aulas envolvem detalhes muito técnicos. Por essa razão, serão

Leia mais

Capítulo Topologia e sucessões. 7.1 Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : xy > 1}.

Capítulo Topologia e sucessões. 7.1 Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : xy > 1}. Capítulo 7 Introdução à Análise em R n 7. Topologia e sucessões 7. Considere o subconjunto de R 2 : D = {(x, y) : > }.. Indique um ponto interior, um ponto fronteiro e um ponto exterior ao conjunto D e

Leia mais

Cálculo 1 Lista 03 Limites

Cálculo 1 Lista 03 Limites Cálculo Lista 0 Limites Professor: Daniel Pinguim Definições intuitivas iniciais ) Considere a função f: A R, f() = 4 a) Dê o domínio máimo possível para essa função. b) G Faça um esboço do gráfico da

Leia mais

Limites. Slides de apoio sobre Limites. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 7 de outubro de 2013

Limites. Slides de apoio sobre Limites. Prof. Ronaldo Carlotto Batista. 7 de outubro de 2013 Cálculo 1 ECT1113 Slides de apoio sobre Limites Prof. Ronaldo Carlotto Batista 7 de outubro de 2013 AVISO IMPORTANTE Estes slides foram criados como material de apoio às aulas e não devem ser utilizados

Leia mais

Derivadas Parciais Capítulo 14

Derivadas Parciais Capítulo 14 Derivadas Parciais Capítulo 14 DERIVADAS PARCIAIS Como vimos no Capítulo 4, no Volume I, um dos principais usos da derivada ordinária é na determinação dos valores máximo e mínimo. DERIVADAS PARCIAIS 14.7

Leia mais

14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO

14 AULA. Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais LIVRO 1 LIVRO Vetor Gradiente e as Derivadas Direcionais 14 AULA META Definir o vetor gradiente de uma função de duas variáveis reais e interpretá-lo geometricamente. Além disso, estudaremos a derivada direcional

Leia mais

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015

Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 bras.png Cálculo I Logonewton.png Aula 05 - Limite de uma Função - Parte I Data: 30/03/2015 Objetivos da Aula: Definir limite de uma função Definir limites laterias Apresentar as propriedades operatórias

Leia mais

Introdução à Linguagem da Topologia

Introdução à Linguagem da Topologia Introdução à Linguagem da Topologia Corpos Define-se corpo por um conjunto K, munido de duas operações básicas chamadas de adição e multiplicação. São os axiomas do corpo: Axiomas da Adição Associatividade:

Leia mais

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo

Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática. MTM Pré-cálculo Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciências Físicas e Matemáticas Departamento de Matemática MTM3 - Pré-cálculo a lista complementar de eercícios (6//7 a 7//7) Diga quais dos conjuntos abaio

Leia mais

1 Limites e Conjuntos Abertos

1 Limites e Conjuntos Abertos 1 Limites e Conjuntos Abertos 1.1 Sequências de números reais Definição. Uma sequência de números reais é uma associação de um número real a cada número natural. Exemplos: 1. {1,2,3,4,...} 2. {1,1/2,1/3,1/4,...}

Leia mais

Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy

Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial (soluções) 2.Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy Ficha de Problemas n o 6: Cálculo Diferencial soluções).teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Seja f) = 3 e. Então f é contínua e diferenciável em R. Uma vez que f) = +, f0) = conclui-se do Teorema do

Leia mais

MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández

MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández MAT-2453 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - BCC Prof. Juan Carlos Gutiérrez Fernández Lista 3: Introdução à Derivada, Limites e continuidade. Ano 207. Determine a função derivada e seu domínio para a função

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função;

CÁLCULO I. 1 Velocidade Instantânea. Objetivos da Aula. Aula n o 04: Limites e Continuidade. Denir limite de funções; Calcular o limite de uma função; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 04: Limites e Continuidade Objetivos da Aula Denir ite de funções; Calcular o ite de uma função; Utilizar as propriedades operatórias do

Leia mais

O limite trigonométrico fundamental

O limite trigonométrico fundamental O ite trigonométrico fundamental Meta da aula Continuar a apresentação de ites de funções. Objetivo Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular ites usando o ite trigonométrico fundamental.

Leia mais

Teorema de Green Curvas Simples Fechadas e Integral de

Teorema de Green Curvas Simples Fechadas e Integral de Cálculo III Departamento de Matemática - ICEx - UFMG Marcelo Terra Cunha Teorema de Green Agora chegamos a mais um teorema da família do Teorema Fundamental do Cálculo, mas dessa vez envolvendo integral

Leia mais

2.1 O problema das áreas - método de exaustão

2.1 O problema das áreas - método de exaustão Capítulo 2 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo de construção surge historicamente a partir de problemas geométricos

Leia mais

MAT Cálculo I - POLI Gabarito da P2 - A

MAT Cálculo I - POLI Gabarito da P2 - A MAT 45 - Cálculo I - POLI - 006 Gabarito da P - A Questão A) Calcule (.0) (a) lim ( cos() ) / (.0) (b) 0 ( ( π ) ) cos + e d (a) Tem-se, ( π/4, π/4) \ {0}: (cos ) / = ep( ln(cos )). Pondo f() =. ln(cos

Leia mais

Aula 7 Os teoremas de Weierstrass e do valor intermediário.

Aula 7 Os teoremas de Weierstrass e do valor intermediário. Os teoremas de Weierstrass e do valor intermediário. MÓDULO - AULA 7 Aula 7 Os teoremas de Weierstrass e do valor intermediário. Objetivo Compreender o significado de dois resultados centrais a respeito

Leia mais

Capítulo 3 Limite de uma função

Capítulo 3 Limite de uma função Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 3 Limite de uma função Podemos afirmar que o conceito de ite é uma das ideias fundamentais do Cálculo Diferencial. Seu processo

Leia mais

CÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta;

CÁLCULO I. Calcular o limite de uma função composta; CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 06: Limites Laterais. Limite da Função Composta. Objetivos da Aula Denir ites laterais de uma função em um ponto de seu

Leia mais

CÁLCULO I Aula 05: Limites Laterais. Teorema do Valor Intermediário. Teorema do Confronto. Limite Fundamental Trigonométrico.

CÁLCULO I Aula 05: Limites Laterais. Teorema do Valor Intermediário. Teorema do Confronto. Limite Fundamental Trigonométrico. s Laterais CÁLCULO I Aula 05: s Laterais.... Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará s Laterais 1 s Laterais 2 3 4 s Laterais Considere a função de Heaviside, denida

Leia mais

Limites infinitos e limites no infinito Aula 15

Limites infinitos e limites no infinito Aula 15 Propriedades dos ites infinitos Limites infinitos e ites no infinito Aula 15 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Abril de 2014 Primeiro Semestre de 2014

Leia mais

Aula 33 Limite e continuidade

Aula 33 Limite e continuidade MÓDULO 3 - AULA 33 Aula 33 Limite e continuidade Objetivo Aprender a definição de ite de uma função real, de uma variável real, na versão com épsilon e delta, e estendê-la para uma função vetorial de uma

Leia mais

CÁLCULO II. Lista Semanal 6-04/05/2018. Questão 1. Mostre que não existe o limite abaixo. x 4 y 2 lim. Solução: Seja f(x, y) = x4 y 2

CÁLCULO II. Lista Semanal 6-04/05/2018. Questão 1. Mostre que não existe o limite abaixo. x 4 y 2 lim. Solução: Seja f(x, y) = x4 y 2 CÁLCULO II Prof. Juaci Picanço Prof. Jerônimo Monteiro Lista Semanal 6-04/05/018 Questão 1. Mostre que não eiste o ite abaio. Seja f(, y) = 4 y 4 +y. Tomando o caminho C 1 (t) = (t, 0),tem-se que: 4 y

Leia mais

A integral definida Problema:

A integral definida Problema: A integral definida Seja y = f(x) uma função definida e limitada no intervalo [a, b], e tal que f(x) 0 p/ todo x [a, b]. Problema: Calcular (definir) a área, A,da região do plano limitada pela curva y

Leia mais

Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12

Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Propriedades das Funções Contínuas e Limites Laterais Aula 12 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 27 de Março de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 -

Leia mais

Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos

Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios sugeridos MAT 1351 Cálculo para funções uma variável real I Curso noturno de Licenciatura em Matemática 1 semestre de 2016 Docente: Prof. Dr. Pierluigi Benevieri Resumo das aulas dos dias 4 e 11 de abril e exercícios

Leia mais

Revisão do Teorema de Green

Revisão do Teorema de Green Curso: MAT 0- CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL IV - IFUSP Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira Período: Segundo Semestre de 009 A Terceira Prova: - Não cobrirá questões sobre sequências numericas nem

Leia mais

Leitura gráfica: domínio e image

Leitura gráfica: domínio e image LEITURA GRÁFICA O que queremos com a LEITURA DE UM GRÁFICO? O nosso objetivo, quando temos o gráfico de uma função, é ver se é possível encontrar: domínio, imagem, pontos do domínio onde f (x) > a ou f

Leia mais

A Regra da Cadeia. V(h) = 3h 9 h 2, h (0,3).

A Regra da Cadeia. V(h) = 3h 9 h 2, h (0,3). Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 1 A Regra da Cadeia Suponha que, a partir de uma lona de plástico com 6 metros de comprimento e 3 de largura, desejamos construir uma barraca

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Eame - Parte I - de Julho de 8 LERC, LEGI, LEE, LEIC-T Número: Nome: valores a) valores b) valores 3 4 valores 4 valores 5 a) 3 valores 5 b) 3 valores 6 valores páginas

Leia mais

Capítulo Aplicações do produto interno

Capítulo Aplicações do produto interno Cálculo - Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno - versão 0/009 1 Capítulo 1.4 - Aplicações do produto interno 1.4.1 - Ortogonalidade entre vetores 1.3.3 - Ângulo entre vetores 1.4. - Projeção ortogonal

Leia mais

MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2 o semestre de Prova Substitutiva - 03/12/2012. Gabarito - TURMA A

MAT Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2 o semestre de Prova Substitutiva - 03/12/2012. Gabarito - TURMA A MAT 25 - Cálculo Diferencial e Integral para Engenharia II 2 o semestre de 2012 - Prova Substitutiva - 0/12/2012 Gabarito - TURMA A Questão 1.( pontos) Seja a função f(x,y) = ( ) x5 sen x +y x 2 +y 2,

Leia mais

Aula 5 Derivadas parciais

Aula 5 Derivadas parciais Aula 5 Derivadas parciais MÓDULO 1 AULA 5 Objetivos Aprender a calcular as derivadas parciais de funções de várias variáveis. Conecer a interpretação geométrica desse conceito. Introdução Ao longodas quatro

Leia mais

CÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c

CÁLCULO I. Estabelecer a relação entre continuidade e derivabilidade; Apresentar a derivada das funções elementares. f f(x + h) f(x) c c CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 11: Derivada de uma função. Continuidade e Derivabilidade. Derivada das Funções Elementares. Objetivos da Aula Denir

Leia mais

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE:

LTDA APES PROF. RANILDO LOPES SITE: Matemática Aplicada - https://ranildolopes.wordpress.com/ - Prof. Ranildo Lopes - FACET 1 Faculdade de Ciências e Tecnologia de Teresina Associação Piauiense de Ensino Superior LTDA APES PROF. RANILDO

Leia mais

3. Limites e Continuidade

3. Limites e Continuidade 3. Limites e Continuidade 1 Conceitos No cálculo de limites, estamos interessados em saber como uma função se comporta quando a variável independente se aproxima de um determinado valor. Em outras palavras,

Leia mais

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5

Capítulo III. Limite de Funções. 3.1 Noção de Limite. Dada uma função f, o que é que significa lim f ( x) = 5 Capítulo III Limite de Funções. Noção de Limite Dada uma unção, o que é que signiica ( 5? A ideia intuitiva do que queremos dizer com isto é: quando toma valores cada vez mais próimos de, a respectiva

Leia mais

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite

Cálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 2: Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão Exercícios de Limite Eercícios de Limite. Eercícios de Fiação Cálculo I (05/) IM UFRJ Lista : Limites e Continuidade Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 30.03.05 Fi.: Considere o gráco de = f() esboçada no gráco

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 14

Cálculo III-A Módulo 14 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 4 Aula 25 Teorema de tokes Objetivo Estudar um teorema famoso que generalia

Leia mais

Cálculo III-A Módulo 9 Tutor

Cálculo III-A Módulo 9 Tutor Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada álculo III-A Módulo 9 Tutor Eercício : alcule a integral de linha diretamente e, também, pelo teorema

Leia mais

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função

A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função A Segunda Derivada: Análise da Variação de Uma Função Suponhamos que a função y = f() possua derivada em um segmento [a, b] do eio-. Os valores da derivada f () também dependem de, ou seja, a derivada

Leia mais

CÁLCULO I. Se a diferença entre eles é igual a 100, escrevemos

CÁLCULO I. Se a diferença entre eles é igual a 100, escrevemos CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 21: Problemas de Otimização Objetivos da Aula Utilizar o Cálculo Diferencial para resolução

Leia mais

ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi

ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi ATIVIDADES EM SALA DE AULA Cálculo I -A- Humberto José Bortolossi http://www.professores.uff.br/hjbortol/ 06 Limites, Assíntotas Horizontais e Assíntotas Verticais [0] (2006.2) Considere a função f() =

Leia mais

12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais.

12 AULA. ciáveis LIVRO. META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. 1 LIVRO Diferen- Funções ciáveis META Estudar derivadas de funções de duas variáveis a valores reais. OBJETIVOS Estender os conceitos de diferenciabilidade de funções de uma variável a valores reais. PRÉ-REQUISITOS

Leia mais

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1

Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume 1 Cálculo - James Stewart - 7 Edição - Volume. Eercícios. Eplique com suas palavras o significado da equação É possível que a equação anterior seja verdadeira, mas que f? Eplique.. Eplique o que significa

Leia mais