Pré-Cálculo. Humberto José Bortolossi. Aula 6 29 de março de Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense Aula 6 29 de março de 2010 Aula 6 Pré-Cálculo 1

2 Implicações e teoria dos conjuntos f (x) =g(x) u(x) =v(x) Hipótese: f (x) =g(x). Tese: u(x) =v(x). Implicações e teoria dos conjuntos A proposição é verdadeira se, e somente se, todo x que satisfaz a hipótese também satisfaz a tese! Defina os conjuntos: H = {x R f (x) =g(x)} e T = {x R u(x) =v(x)}. A proposição é verdadeira se, e somente se, H T. Aula 6 Pré-Cálculo 2 Aula 6 Pré-Cálculo 12 Implicações e teoria dos conjuntos: exemplo A sentença abaixo é verdadeira ou falsa? (x 1) (x + 1) =x 1 (x 1) (x + 1) x 1 = x 1 x 1 H = {x R f (x) =g(x)} = {0, 1}, T = {x R u(x) =v(x)} = {0}. Números reais algebricamente (axiomaticamente) A proposição é falsa, pois H T. Note que a recíproca da proposição é verdadeira, pois T H. Aula 6 Pré-Cálculo 23 Aula 6 Pré-Cálculo 24

3 Números reais algebricamente (axiomaticamente) A partir do conjunto dos números naturais, é possível construir o conjunto dos números reais (R): um corpo ordenado completo. R é ordenado Não faremos esta construção aqui, mas explicaremos o significado de corpo ordenado completo. Aula 6 Pré-Cálculo 25 Aula 6 Pré-Cálculo 26 R é ordenado Números reais positivos e a reta numérica Existe um subconjunto dos números reais, denominado conjunto dos números reais positivos e designado por R +, que satisfaz as seguintes propriedades: (O1) (O2) Dado a um número real, existem três possibilidades que se excluem mutualmente: ou a é positivo, oua = 0 ou a é positivo. Em símbolos: se a R, então ou a R +,oua = 0ou a R +. A soma e produto de números positivos são ainda números positivos. Em símbolos: se a, b R +, então a + b R + e a b R Notação: escreveremos a > 0 para indicar que a é um número positivo, isto é, que a R +. Diremos que um número real a é negativo se a é positivo. O conjunto dos números reais negativos será designado por R. Escrevemos a < 0 para indicar que a é um número negativo, isto é, que a R. Escrevemos a < b para indicar que b a > 0 e escreveremos a > b para indicar que b a < 0. números reais negativos números reais positivos Aula 6 Pré-Cálculo 41 Aula 6 Pré-Cálculo 44

4 Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado Todas as proposições abaixo são verdadeiras! As demonstrações serão feitas na disciplina Matemática Básica. a R, oua > 0, ou a = 0oua < 0 (tricotomia). [PO01] a, b, c R, a < b a + c < b + c. [PO02] a, b R, c > 0, a < b a c < b c. [PO03] a, b R, c < 0, a < b a c > b c. [PO04] a, b, c R, a < b e b < c a < c. [PO05] a, b R, oua < b, oua = b ou a > b. [PO06] a, b, c R, a < b a + c < b + c. [PO07] a R {0}, (i) a > 0 1/a > 0 e (ii) a < 0 1/a < 0. [PO08] a, b R, c > 0, a < b a c < b c. [PO09] a, b R, c < 0, a < b a c > b c. [PO10] a, b R, (i) a < b a > b e (ii) a > b a < b. [PO11] a, b R, a b > 0 (a > 0eb > 0) ou (a < 0eb < 0). [PO12] a, b R, a b < 0 (a > 0eb < 0) ou (a < 0eb > 0). [PO12] a R, a 0 a 2 > 0. [PO16] Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado [PO07] a, b, c R, a < b a + c < b + c. Aula 6 Pré-Cálculo 61 Aula 6 Pré-Cálculo 62 Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado [PO09] [PO10] a, b R, c > 0, a < b a c < b c. a, b R, c < 0, a < b a c > b c. Aula 6 Pré-Cálculo 63 Aula 6 Pré-Cálculo 64

5 Propriedades decorrentes do fato de R ser ordenado Observações A notação a b indica que a = b ou a > b. Ela deve ser lida da seguinte maneira: a é maior do que ou igual a b. São verdadeiras as afirmações 3 3e7 5. [PO12] a, b R, a b > 0 (a > 0eb > 0) ou (a < 0eb < 0) a, b R, a b < 0 (a > 0eb < 0) ou (a < 0eb > 0) A notação a b indica que a = b ou a < b. Ela deve ser lida da seguinte maneira: a é menor do que ou igual a b. São verdadeiras as afirmações 3 3e5 7. Todas as propriedades enunciadas anteriormente continuam verdadeiras se trocarmos > por e/ou < por. Alguns autores usam o símbolo R + para indicar os reais nãonegativos e o símbolo R + para indicar os reais positivos. O conjunto dos números racionais (Q) munido com as operações usuais de adição e multiplicação também é exemplo de um corpo ordenado. Aula 6 Pré-Cálculo 65 Aula 6 Pré-Cálculo 73 Observações Resolvendo inequações... O conjunto dos números complexos (C) munido com as operações usuais de adição e multiplicação não pode ser ordenado com uma estrutura compatível com a ordenação de R. De fato: i não satisfaz o princípio da tricotomia. Certamente i 0. O número i não é maior do que 0, pois i > 0 i i > i 0 i 2 > 0 1 > 0 (absurdo). O número i não é menor do que 0, pois se i < 0, então i > 0 e, portanto, i > 0 ( i) ( i) > ( i) 0 i 2 > 0 1 > 0 (absurdo). 2 x 4 > 0 [PO07] (2 x 4)+4 > [PA03] (2 x 4)+4 > 4 (C3) 2 x +( 4 + 4) > 4 [PA07] 2 x + 0 > 4 (C5) 2 x > 4 [PO09] 1 2 (2 x) > ( ) (C3) x > [PA08] 1 x > [PA04] x > = 2 Aula 6 Pré-Cálculo 90 Aula 6 Pré-Cálculo 111

6 Resolvendo inequações... (x 5) (x 1) > 0 [PO12] (x 5 > 0ex 1 > 0) ou (x 5 < 0ex 1 < 0) [PO07, PA03, C3, C5] (x > 5ex > 1) ou (x < 5ex < 1) Sejam a, b R, com a b. Os nove subconjuntos de R abaixo definidos são denominados intervalos: [a, b] = {x R a x b}, (, b] = {x R x b}, (a, b) = {x R a < x < b}, (, b) = {x R x < b}, [a, b) = {x R a x < b}, [a, + ) = {x R a x}, (a, b] = {x R a < x b}, (a, + ) = {x R a < x}, (, + ) =R. x > 5oux < 1 Os quatro intervalos da esquerda são limitados, com extremos a e b: [a, b] é um intervalo fechado, (a, b) é um intervalo aberto, [a, b) é fechado à esquerda, (a, b] é fechado à direita. Os cinco intervalos da direita são ilimitados: (, b] é a semirreta esquerda, fechada, de origem b. Os demais têm denominações análogas. Quando a = b, o intervalo fechado [a, b] reduz-se a um único elemento, chama-se intervalo degenerado e os outros três intervalos da esquerda, neste caso, são vazios. Aula 6 Pré-Cálculo 117 Aula 6 Pré-Cálculo 147 Observações Outra notações para intervalos: ]a, b[ para indicar o intervalo (a, b), [a, b[ para indicar o intervalo [a, b), etc. [a, b] ={x R a x b} e + não são números! Eles são apenas símbolos usados para indicar que os intervalos são ilimitados. Portanto, não podemos somá-los, multiplicá-los ou executar qualquer operação considerando-os como se fossem números. a b Aula 6 Pré-Cálculo 155 Aula 6 Pré-Cálculo 156

7 (a, b) ={x R a < x < b} [a, b) ={x R a x < b} a b a b Aula 6 Pré-Cálculo 157 Aula 6 Pré-Cálculo 158 (a, b] ={x R a < x b} (, b] ={x R x b} a b b Aula 6 Pré-Cálculo 159 Aula 6 Pré-Cálculo 160

8 (, b) ={x R x < b} [a, + ) ={x R a x} b a Aula 6 Pré-Cálculo 161 Aula 6 Pré-Cálculo 162 Resolvendo inequações... CUIDADO! a (a, + ) ={x R a < x} 1 2 x 6 x 1 > 0 1 > 2 x 6 x 1 # 2 x 6 < x 1 2 x x < x 6 x 1 < 1 x < 5. Existe algo de errado neste desenvolvimento? Sim! Aula 6 Pré-Cálculo 163 Aula 6 Pré-Cálculo 172

9 Resolvendo inequações... Resolvendo inequações... 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 2 x 6 x 1 < 1 2 x 6 2 x 6 (x 1) 1 < 0 x 1 x 1 < 0 x 5 x 1 < 0 Esta última inequação pode ser resolvida usando-se uma variação de [PO12]: x 5 x 1 < 0 (x 5 > 0ex 1 < 0) ou (x 5 < 0ex 1 > 0) Sinal de x 5 Sinal de x 1 Sinal de (x 5)/(x 1) Mas vamos resolvê-la usando um método mais esquemático! S = {x R 1 < x < 5} =(1, 5). Aula 6 Pré-Cálculo 181 Aula 6 Pré-Cálculo 198 Q é completo? R é completo x 1 = 0.9 x 2 = 0.99 x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = Em Q, x n é crescente e x n é limitada (x n < 0.4 para todo n). Em Q, x n converge para 0.3 = 1. Aula 6 Pré-Cálculo 199 Aula 6 Pré-Cálculo 213

10 Q é completo? Q é completo? x 1 = 0.3 x 2 = 0.33 x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = Será que toda sequência x n de números racionais crescente e limitada sempre tende a algum número racional? Resposta: não!. Em Q, x n é crescente e x n é limitada (x n < 0.4 para todo n). Em Q, x n converge para 0.3 = 1/3. Aula 6 Pré-Cálculo 227 Aula 6 Pré-Cálculo 229 Q é completo? x 1 = 1.4 x 2 = 1.41 x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = R é completo! x 1 = 1.4 x 2 = 1.41 x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = Em Q, x n é crescente e x n é limitada (x n < 0.2 para todo n). Mas, em Q, x n não converge para um número em Q! Em R, x n é crescente e x n é limitada (x n < 0.2 para todo n). Em R, x n converge para o número 2 R! Aula 6 Pré-Cálculo 242 Aula 6 Pré-Cálculo 243

11 Q é completo? x 1 = 0.1 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = R é completo! x 1 = 0.1 x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = x 7 = x 8 = Em Q, x n é crescente e x n é limitada (x n < 0.2 para todo n). Mas, em Q, x n não converge para um número em Q! Em R, x n é crescente e x n é limitada (x n < 0.2 para todo n). Em R, x n converge para um número em R! Aula 6 Pré-Cálculo 256 Aula 6 Pré-Cálculo 257 R é completo! R é completo! Q não é completo. R é completo. O que é 3 5? C é completo (usando uma definição mais geral de completude via sequências de Cauchy, que não depende do fato do corpo ser ordenado ou não) Aula 6 Pré-Cálculo 262 Aula 6 Pré-Cálculo 263

12 Construção dos números reais Construção dos números reais: sequências de Cauchy e cortes de Dedekind. Aula 6 Pré-Cálculo 264