A função afim. Pré-Cálculo. A função afim. Proposição. Humberto José Bortolossi. Parte 5. Definição

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1 Pré-Cálculo Humberto José Bortolossi Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal Fluminense A função afim Parte 5 Parte 5 Pré-Cálculo 1 Parte 5 Pré-Cálculo 2 A função afim Proposição O gráfico de uma função afim f : x y f x ax + b é uma reta Definição Uma função f : R R chama-se afim se existem constantes a, b R tais que f x ax + b para todo x R Exemplo de função afim: f : R R x f x 2x + 3 Demonstração Basta verificarmos que três pontos quaisquer do gráfico de f são colineares Sejam, portanto, P 1 x 1, ax 1 + b, P 2 x 2, ax 2 + b e P 3 x 3, ax 3 + b Para verificar que P 1, P 2 e P 3 são colineares é necessário e suficiente que o maior dos três números dp 1, P 2, dp 2, P 3 e dp 1, P 3 seja igual à soma dos outros dois Sem perda de generalidade, podemos supor que as abscissas x 1, x 2 e x 3 foram ordenadas de modo que x 1 < x 2 < x 3 A fórmula da distância entre dois pontos nos dá: dp 1, P 2 x 2 x a 2 x 2 x 1 2 x 2 x a 2, dp 2, P 3 x 3 x a 2, dp 1, P 3 x 3 x a 2 Daí se segue imediatamente que dp 1, P 3 dp 1, P 2 +dp 2, P 3 Parte 5 Pré-Cálculo 3 Parte 5 Pré-Cálculo 4

2 Cuidado! Observações Todo gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano, mas nem toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função afim! y f x a x + b 1 O gráfico de uma função afim é uma reta: a éocoeficiente angular com relação ao eixo x e b é o coeficiente linear da reta 2 O coeficiente linear b é a ordenada do ponto de interseção da reta com o eixo y 3 O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: ele é igual a tangente do ângulo entre a reta e o eixo x quando a mesma escala foi usada nos dois eixos coordenados Parte 5 Pré-Cálculo 5 Parte 5 Pré-Cálculo 6 A função afim Exercícios y f x a x + b 1 f é crescente se, e somente se, a > 0 f é decrescente se, e somente se, a < 0 2 Estude a equação ax + b 0 isto é, f x 0 A resposta dependerá dos sinais de a e b 3 Estude a inequação ax + b > 0 isto é, f x > 0 A resposta dependerá dos sinais de a e b Parte 5 Pré-Cálculo 7 Parte 5 Pré-Cálculo 8

3 Proposição Dados arbitrariamente x 1, y 1, x 2, y 2 R 2, com x 1 x 2, existe uma, e somente uma, função afim f : R R tal que Demonstração Observe que: { f x1 y 1, f x 2 y 2, f x 1 y 1 e f x 2 y 2 { a x1 + b y 1, a x 2 + b y 2 Assim, existe uma única função afim f : R R tal que f x 1 y 1 e f x 2 y 2 se, e somente se, o sistema linear nas variáveis a e b { a x1 + b y 1, a x 2 + b y 2, possui uma única solução Mas, como x 1 x 2, este é o caso, a y 2 y 1 x 2 x 1, b x 2y 1 x 1 y 2 x 2 x 1 Funções afins e progressões aritméticas x f x 2 x x f x 2 x Parte 5 Pré-Cálculo 9 Parte 5 Pré-Cálculo 10 Funções afins e progressões aritméticas x f x 2 x + 3 x 1 2 x x 1 + h 2 x h x h 2 x h x h 2 x h A função linear A função afim y f x 2 x + 3 transforma progressões aritméticas no domínio em progressões aritméticas no contradomínio Mais geralmente, qualquer função afim y f x a x + b transforma progressões aritméticas no domínio em progressões aritméticas no contradomínio prove! A recíproca é verdadeira? Parte 5 Pré-Cálculo 11 Parte 5 Pré-Cálculo 12

4 A função linear Observações Definição Uma função f : R R chama-se linear se existe constante a R tal que f x ax para todo x R Exemplo de função afim: f : R R x f x 2x 1 Se y f x ax é uma função linear, então f x 1 + x 2 f x 1 +f x 2 para todo x 1, x 2 R e f cx cfx para todo c, x R 2 A função linear é o modelo matemático para os problemas de proporcionalidade A proporcionalidade é, provavelmente, a noção matemática mais difundida na cultura de todos os povos e seu uso universal data de milênios Parte 5 Pré-Cálculo 13 Parte 5 Pré-Cálculo 14 O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1 Seja f : R + R + uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade: f k xkfx para todo k N e todo x R + 1 Então f x a x para todo x R +, com a f 1 O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1 Seja f : R + R + uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade: f k xkfx para todo k N e todo x R + 1 Então f x a x para todo x R +, com a f 1 Demonstração Primeiro mostraremos que f x a x para todo x racional > 0 e, depois, que f x a x para todo x irracional > 0 Caso 1 Seja r um número racional > 0 Logo, r m/n, com m N e n N Usando 1 temos que n f r x f n r x f m x m f x, logo f r x m f x r f x n Seja a f 1 Temos que para todo r racional, f r f r 1 r f 1 r a a r Demonstração continuação Caso 2 Observe que a f 1 > 0 Suponha, por absurdo, que exista algum número irracional x > 0 tal que f x a x Para fixar ideias, admitamos que f x < a x o caso f x > a x seria tratado de modo análogo Temos então que f x/a < x Tomemos um número racional r entre f x/a e x: f x a < r < x Então f x < a r < a x, ou seja, f x < f r < a x Mas isto é absurdo, pois f é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f r < f x Esta contradição completa a demonstração Parte 5 Pré-Cálculo 15 Parte 5 Pré-Cálculo 16

5 Aplicação A área de um retângulo de altura a e base x é igual a a x Demonstração Seja f x a área do retângulo de altura a e base x É claro que f é uma função crescente de x Além disso, é claro que um retângulo de altura a e base k x pode ser decomposto em k retângulos de mesma altura a, com um com base x O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2 Seja f : R R uma função crescente As seguintes afirmações são equivalentes: 1 f k xkfx para todo k Z e todo x R 2 Pondo a f 1, tem-se f x a x para todo x R 3 f x 1 + x 2 fx 1 +fx 2 para quaisquer x 1, x 2 R a Demonstração Vamos mostrar primeiro que 1 2 Vamos dividir a demonstração em dois casos: primeiro mostraremos que f x a x para todo x racional e, depois, que f x a x para todo x irracional x x x x Logo, f k x k f x Assim, pelo teorema fundamental da proporcionalidade, temos que f x c x, onde c f 1 é a área do retângulo de base 1 e altura a Vamos mostrar que c a O mesmo argumento aplicado aos retângulos de mesma base 1 e altura variável mostra que f 1 a u, onde u é área do quadrado de lado 1 a qual, por definição, é igual a 1 Logo, c f 1 a Caso 1 Seja r um número racional Logo, r m/n, com m Z e n Z Usando 1 temos que n f r x f n r x f m x m f x, logo f r x m f x r f x n Seja a f 1 Temos que para todo r racional, f r f r 1 r f 1 r a a r Parte 5 Pré-Cálculo 17 Parte 5 Pré-Cálculo 18 O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2 Seja f : R R uma função crescente As seguintes afirmações são equivalentes: 1 f k xkfx para todo k Z e todo x R 2 Pondo a f 1, tem-se f x a x para todo x R 3 f x 1 + x 2 fx 1 +fx 2 para quaisquer x 1, x 2 R O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2 Seja f : R R uma função crescente As seguintes afirmações são equivalentes: 1 f k xkfx para todo k Z e todo x R 2 Pondo a f 1, tem-se f x a x para todo x R 3 f x 1 + x 2 fx 1 +fx 2 para quaisquer x 1, x 2 R Demonstração continuação Caso 2 Como f 0 f f 0 0, o fato de f ser crescente nos dá que a f 1 > f 0 0 Assim, a é positivo Suponha, por absurdo, que exista algum número irracional x tal que f x a x Para fixar ideias, admitamos que f x < a x o caso f x > a x seria tratado de modo análogo Temos então que f x/a < x Tomemos um número racional r entre f x/a e x: Demonstração continuação As implicações 2 3 e 3 1 são mais fáceis de se demonstrar e ficam como exercício f x a < r < x Então f x < a r < a x, ou seja, f x < f r < a x Mas isto é absurdo, pois f é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f r < f x Esta contradição completa a prova de que 1 2 Parte 5 Pré-Cálculo 19 Parte 5 Pré-Cálculo 20

6 Versão para ser aplicada em grandezas positivas Seja f : R + R + uma função crescente, onde R + {x R x > 0} As seguintes afirmações são equivalentes: 1 + f nxnfx para todo n N e todo x R Pondo a f 1, tem-se f x a x para todo x R f x 1 + x 2 fx 1 +fx 2 para quaisquer x 1, x 2 R + Demonstração Defina F : R R por f x, se x > 0, F x 0, se x 0, f x, se x < 0 Caracterização da função afim Cada uma das afirmações 1 +, 2 + e 3 + para f equivale a umas das afirmações 1, 2 e 3 do teorema fundamental da proporcionalidade para f Parte 5 Pré-Cálculo 21 Parte 5 Pré-Cálculo 22 Proposição: caracterização da função afim parte 1 Seja f : R R uma função monótona Se o valor do acréscimo f x + h f x ϕh depender apenas de h, mas não de x, então f é uma função afim Proposição: caracterização da função afim parte 2 Seja f : R R uma função monótona que transforma progressões aritméticas em progressões aritméticas, então f é uma função afim Demonstração Para fixar as ideias, suporemos que a função f seja crescente Então ϕ: R R também é crescente, com ϕ0 0 Além disso, para quaisquer h, k R, temos: ϕh + k f x + h + k f x f x + k+h f x + k+f x + k f x ϕh+ϕk Logo, pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, pondo-se a ϕ1, tem-se ϕh a h, para todo h R Isto quer dizer que f x + h f x a h Tomando x 0 e escrevendo b f 0, resulta que f h a h + b Assim, f x a x + b para todo x R Em outras palavras, f é uma função afim Demonstração Considere a função ϕ: R R definida por ϕx f x f 0 A função ϕ é tal que ela transforma progressões aritméticas em progressões aritméticas e ϕ0 0 Se mostrarmos que ϕ é uma função linear, seguirá que f é uma função afim Para todo x R, os números x, 0e +x formam uma progressão aritmética, logo o mesmo ocorre com os números ϕ x, ϕ0 e ϕ+x Por conseguinte, g x gx Em seguida, consideremos x R e n N Então os números 0, x, 2x,, nx formam uma progressão aritmética, o mesmo se dando com suas imagens por ϕ: 0, ϕx, ϕ2 x,, ϕnx A razão desta progressão pode ser obtida tomando-se a diferença entre o segundo e o primeiro termo, logo esta razão é ϕx Segue-se então que ϕnx n ϕx Finalmente, se n é um inteiro negativo, temos n N, logo ϕnx ϕ nx n ϕx n ϕx Assim, vale que ϕnx n ϕx para todo n Z e para todo x R Pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, segue-se que ϕ é linear Parte 5 Pré-Cálculo 23 Parte 5 Pré-Cálculo 24

7 A função quadrática y f x a x 2 + b x + c com a 0 1 O gráfico de uma função quadrática é uma parábola A função quadrática 2 O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da parábola com o eixo y 3 Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima Se a é < 0, ela é côncava para baixo 4 Se b 2 4 a c < 0, então a parábola não intercepta o eixo x Parte 5 Pré-Cálculo 25 Parte 5 Pré-Cálculo 26 A função quadrática A função quadrática y f x a x 2 + b x + c 5 Se b 2 4 a c > 0, então a parábola intercepta o eixo x em dois pontos de abscissas: x 1 b 2 a a x 2 b + 2 a 6 Se b 2 4 a c 0, então a parábola intercepta o eixo x no ponto de abscissa: x 1 b 2 a Ir para o GeoGebra Parte 5 Pré-Cálculo 27 Parte 5 Pré-Cálculo 28

8 Completamento de quadrados: exemplo 1 Lembre-se que: u + v 2 u uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2 Completamento de quadrados x 2 8 x + 15 x 2 2 x4+?? + 15 x 2 2 x x Parte 5 Pré-Cálculo 29 Parte 5 Pré-Cálculo 30 Completamento de quadrados: exemplo 1 Logo: x 2 8 x x Completamento de quadrados: exemplo 2 Lembre-se que: u + v 2 u uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2 x x x 4 1 x 4 1 oux 4 1 x x x x x x x ?? x 3oux 5 Parte 5 Pré-Cálculo 31 Parte 5 Pré-Cálculo 32

9 Completamento de quadrados: exemplo 2 x x Logo: x x x x Completamento de quadrados: exemplo 3 Lembre-se que: u + v 2 u uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v x 2 3 x x 2 2 x 2 x 2 2 x 2 x 3 4 +?? x ou x x 2 oux 1 Parte 5 Pré-Cálculo 33 Parte 5 Pré-Cálculo 34 Completamento de quadrados: exemplo 3 Logo: 2 x 2 3 x x x x x Completamento de quadrados: exemplo 4 Lembre-se que: u + v 2 u uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2 x x 1 x 2 2 x1+? +? 1 x 2 2 x x 1 x ou x x 1oux 1 2 Parte 5 Pré-Cálculo 35 Parte 5 Pré-Cálculo 36

10 Completamento de quadrados: exemplo 4 Logo: x x 1 0 x Completamento de quadrados: exemplo 5 Lembre-se que: u + v 2 u uv+v 2 e u v 2 u 2 2 uv+v 2 x x x 1 0 x x + 4 x x1+?? + 4 x x x x 1 0 x 1 Parte 5 Pré-Cálculo 37 Parte 5 Pré-Cálculo 38 Completamento de quadrados: exemplo 5 Logo: x x x x Moral: como x para todo x R e 3 < 0, segue-se que a equação x x não possui solução real Completamento de quadrados: caso geral Hipótese: a 0 b ax 2 + bx+ c a x x +?? + c 2 a b a x x + b2 2 a 4 a 2? + c b a x x + b2 2 a 4 a 2 b2 4 a + c b a x x + b2 b 2 2 a 4 a 2 4 a c b a x x + b2 b 2 4 ac 2 a 4 a 2 4 a a x + b 2 2 a 4 a Parte 5 Pré-Cálculo 39 Parte 5 Pré-Cálculo 40

11 A forma canônica do trinômio Forma canônica do trinômio: se a 0, então A forma canônica do trinômio ax 2 + bx+ c a x + b 2 2 a b 2 4 ac 4 a Parte 5 Pré-Cálculo 41 Parte 5 Pré-Cálculo 42 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 0 ax 2 + bx+ c 0 a x + b a 4 a a x + b 2 2 a 4 a x + b 2 2 a 4 a 2 Moral: se b 2 4 ac < 0, então 4 a 2 < 0 e x + b a Logo, a equação quadrática ax 2 + bx + c 0 não possui solução real Parte 5 Pré-Cálculo 43 Parte 5 Pré-Cálculo 44

12 Aplicação: raízes de uma equação quadrática Hipótese: a 0 e b 2 4 ac 0 ax 2 + bx+ c 0 x + b 2 2 a 4 a 2 x + b 2 2 a 4 a 2 x + b 2 a 4 a 2 2 a 2a x + b 2 a 2a ou x + b 2 a + 2a x b 2 a 2a ou x b 2 a + 2a x b 2a ou x b + 2a A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960 Esse costume aparentemente só brasileiro não se encontra o nome de Bhaskara para essa fórmula na literatura internacional, não é adequado pois: 1 Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase 4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios Nesses textos o que se tinha era uma receita escrita em prosa, sem uso de símbolos que ensina como proceder para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos 2 Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os coeficientes de uma equação Isso passou a ser feito a partir de François Viète, matemático francês que viveu de 1540 a 1603 Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do segundo grau Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol 39, p 54 Parte 5 Pré-Cálculo 45 Parte 5 Pré-Cálculo 46 A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara? Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais antigos da Matemática Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois números conhecendo sua soma s e o seu produto p Os números procurados são raízes da equação de segundo grau x 2 s x + p 0 Com efeito: se x éum dos números, então s x é o outro pois a soma dos dois números deve ser igual a s Logo, o seu produto é igual a p xs x s x x 2, Aplicação: o gráfico de uma função quadrática de modo que x 2 s x + p 0 Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p Parte 5 Pré-Cálculo 47 Parte 5 Pré-Cálculo 48

13 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Aplicação: o gráfico de uma função quadrática Uma vez que ax 2 + bx+ c a x + b 2 b 2 4 ac, 2 a 4 a segue-se que se f x x 2 e gx ax 2 + bx+ c, então gx a f x + r+s, onde r b 2 a e s 4 ac b2 4 a Moral: o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e uma translação vertical do gráfico da função f x x 2 Ir para o GeoGebra Parte 5 Pré-Cálculo 49 Parte 5 Pré-Cálculo 50 Aplicação: o gráfico de uma função quadrática O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática f x ax 2 + bx+ c a V x + b 2 2 a têm coordenadas b 2 a, 4 ac b2 4 a b 2 4 ac 4 a, Parte 5 Pré-Cálculo 51