INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1

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1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 TÓPICO Gil da Costa Marques 1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos 1.2 Introdução 1.3 Conceitos Básicos 1.4 Subconjuntos e Intervalos 1.5 Conjuntos Numéricos O Conjunto dos Números Reais 1.6 Intervalos Vizinhança de um Ponto Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta) 1.7 Operações Com Conjuntos União ou Soma Intersecção Diferença Produto Cartesiano de Conjuntos Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp Elementos da Teoria dos Conjuntos 1.2 Introdução Georg Cantor ( ) recebeu o crédito por ter revolucionado a matemática com a Teoria dos Conjuntos, foi desenvolvida por ele a partir de Cantor iniciou seus estudos procurando uma formalização do conceito de infinito, e chegou à conclusão de que existem diferentes ordens de infinitos. A classificação dessas ordens se torna possível quando essa questão é formulada em termos de números, denominados por ele, transfinitos. A introdução desses conceitos levou-o a desenvolver um formalismo matemático conhecido hoje como Teoria dos Conjuntos. De acordo com Howard Eves, citação encontrada em seu livro História da Matemática, A moderna teoria matemática dos conjuntos é uma das mais notáveis criações do espírito humano. Ela adquire enorme importância em várias áreas da matemática, fazendo com que esse ferramental seja essencial quando se trata do estudo dos fundamentos da matemática. Esse é o caso do cálculo diferencial e integral. E isso justifica sua inclusão num texto dedicado ao cálculo. Pode-se considerar a Teoria dos Conjuntos como um formalismo interdisciplinar, ela serve como um elo entre a matemática, de um lado, a filosofia e a lógica, de outro lado. Donde se infere sua relevância para a ciência como um todo. 1.3 Conceitos Básicos Figura 1.1: George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor, russo, nasceu em 3 de Março de 1845, morte em 6 de Janeiro de / Fonte: CEPA De acordo com Cantor, um conjunto M é uma coleção de objetos (m) definidos e separados mas formando um todo. Os objetos pertencentes à coleção são designados elementos do conjunto. Objetos podem ser entendidos no sentido mais abrangente possível. Podem ser tanto reais quanto imaginários. No entanto, na matemática é mais usual trabalharmos com objetos associados a números. Figura 1.2: Conjunto de objetos. / Fonte: CEPA Figura 1.3: Conjunto de números. / Fonte: CEPA introdução à teoria dos conjuntos 1

3 4 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp Utilizamos a notação envolvendo o símbolo { } para designar conjuntos. Assim, representamos o conjunto M formalmente, como: { } conjuntos M = { m, m, m, m...} O fato de um objeto m 1 fazer parte, ou não, dos elementos de um conjunto é indicado, respectivamente, por: não pertence pertence mi M e i 1.2 e 1.3 Por exemplo, o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z é tal que seus elementos são dados por: m M Z conjunto dos números inteiros Z = { 0, 1, 1, 2, 2,3, 3, 4, 4... } 1.4 Muitas vezes, conjuntos são definidos a partir de uma restrição a ser satisfeita pelos seus elementos. Assim, utilizamos a seguinte notação para designar tais conjuntos: tal que M = { m i satisfazem a condição... } 1.5 Na notação acima, o símbolo m 1 deve ser lido como os elementos m 1 são tais que. Nessa notação, o conjunto dos números naturais seria especificado como o conjunto formado pelos números inteiros positivos, além do número zero. Admitindo-se os n 1 como sendo números inteiros, escrevemos: { ni ni } N = Quando não existem elementos satisfazendo uma determinada restrição dizemos que o conjunto é vazio. Ele é representado pelo símbolo conjunto vazio 1.7 TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I

4 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp Por exemplo, o conjunto de elementos constituído por número reais tais que m i 2 = 1 definido, portanto, por: { i2 i = 1 } M = m m é um conjunto vazio, uma vez que não existe número real que satisfaça á restrição imposta aos seus elementos. Conjuntos iguais são aqueles que têm todos os seus elementos em comum. Por exemplo o conjunto de raízes do polinômio de segundo grau x 2 3x + 2 = 0 é igual ao conjunto {1, 2}. Figura 1.4: Conjunto de números. / Fonte: CEPA Para conjuntos A e B iguais, escrevemos: A = B 1.4 Subconjuntos e Intervalos Denominamos subconjunto de um conjunto M a qualquer agregado de objetos, M 1, cujos elementos são elementos de M. Dizemos que o conjunto M 1 está contido em M e para indicar tal circunstância, escrevemos: M1 M 1.9 está contido Por exemplo: { 1, 5} { 1, 2, 4, 5} 1.10 Escrevemos, analogamente, quando um conjunto B contém o conjunto A (Figura 1.5): Figura 1.5: A : A é um subconjunto de B. B : B é um subconjunto de A / Fonte: CEPA Alguns dos subconjuntos dos números inteiros são: B A Z + = { 0,1,2,3,4,... } contém Z conjunto dos números inteiros conjunto Z dos números + inteiros positivos incluindo o 0 introdução à teoria dos conjuntos 1

5 6 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp Conjunto esse muitas vezes designado por conjunto dos números naturais (N). O conjunto dos números obtidos anteriormente, tomando-se o negativo dos mesmos: Z conjunto dos números inteiros negativos incluindo o 0 Z = { 0, 1, 2, 3, 4... } 1.13 O conjunto dos inteiros excluindo-se o número zero: * Z conjunto dos números inteiros excluindo o 0 { 1, 1, 2, 2,3, 3, 4, 4... } * Z = 1.14 Adotando-se a mesma notação, introduzimos ainda os subconjuntos dos números inteiros: * Z + = { 1,2,3,4,... } { 1, 2, 3, 4... } * Z = 1.5 Conjuntos Numéricos R conjunto dos números inteiros excluindo o 0 São aqueles cujos elementos são números. O conjunto de todos os números que podem ser colocados em correspondência biunívoca com os pontos do espaço localizados sobre uma reta orientada (com um ponto de referência denominado origem), é muitas vezes denominado reta real, ou simplesmente reta. Tal conjunto é representado pela letra R. Figura 1.6 / Fonte: CEPA Alguns subconjuntos notáveis de R, são: a) Conjunto dos números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4,...} b) Conjunto dos números impares: {..., -3, -1, 1, 3,...} c) Conjunto dos números primos: {2,-2, 3, -3,5,-5, 7, -7,11,-11, 13,-13, 17, } d) Conjunto dos números positivos e múltiplos de 3 e menores do que 10: {3, 6, 9} Figura 1.7 / Fonte: CEPA Figura 1.8 / Fonte: CEPA Figura 1.9 / Fonte: CEPA Figura 1.10 / Fonte: CEPA TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I

6 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp 7 O conjunto dos números racionais, será representado pela letra Q. Por definição, fazem parte desse conjunto todos os números que podem ser escritos como quocientes de números inteiros. Explicitamente, escrevemos: { /, } Q= x x= a b a Zb Z 1.17 Em se tratando de números reais, é costumeira a introdução de outros conjuntos além daqueles já definidos. Assim, se excluirmos o elemento zero, colocamos (como feito acima) um asterisco R*, Q*, N*,... para indicar tal conjunto. Temos assim que para n i inteiro, por definição: Figura 1.11 / Fonte CEPA { ni ni } N = > Dessa forma, definimos por exemplo, no caso dos números reais: Figura 1.12 / Fonte CEPA Figura 1.13 / Fonte CEPA Figura 1.14 / Fonte CEPA Figura 1.15 / Fonte CEPA { 0} R = x + R x { 0} R = x R x { 0} * R x R x + = > { 0} * R x R x = < O Conjunto dos Números Reais Para dois elementos pertencentes ao conjunto dos números reais valem as operações usuais como as de adição e multiplicação. Podemos introduzir ainda outra operação conhecida como relação de ordem. Ela será representada pelo símbolo. Se a e b forem dois elementos distintos de R(a b) a notação a < b significa que para tais números vale a relação de ordem a b. Se a,b, c e d R, a relação de ordem goza das seguintes propriedades: para números arbitrários, tem-se que a b ou a b; introdução à teoria dos conjuntos 1

7 8 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp se as duas condições, a b e b a, forem satisfeitas, então b = a; se a b e b c, então a c; se a b e c d, então a + c b + d. 1.6 Intervalos A partir de dois números reais, designados por a e b, de tal sorte que ambos sejam números reais tais que a b, então podemos definir conjuntos especiais a partir dos mesmos, aos quais designamos intervalos. Intervalo aberto é aquele definido por Figura 1.16: Intervalo aberto ]a,b[ / Fonte CEPA ] ab, [ = { x R a< x< b} Intervalo aberto à esquerda é o conjunto cujos elementos são dados por: 1.23 Figura 1.17: Intervalo semi-fechado ]a,b] / Fonte CEPA ] ab, ] = { x R a< x b} Intervalo aberto à direita é aquele para o qual seus elementos são dados por Figura 1.18: Intervalo semi-aberto [a,b[ / Fonte CEPA [ ab, [ = { x R a x< b} Finalmente, definimos os intervalos fechados como aqueles cujos elementos incluem os extremos do intervalo. Ou seja, Figura 1.19: Intervalo fechado [a,b] / Fonte CEPA [ ab, ] = { x R a x b} Os intervalos acima podem ser entendidos como subconjuntos dos números reais estendidos. Isto é o conjunto de números reais aumentados, ou estendidos, de tal forma a incluir e +. De acordo com essa interpretação, podemos introduzir os seguintes intervalos: mais infinito menos infinito ], b], ], b[, [ a, + [, e ] a, + [ 1.27 TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I

8 Em particular, o intervalo ], [ Licenciatura em Ciências USP/ Univesp + denota o conjunto de números reais. Utilizando essa simbologia, o conjunto R será representado pelo conjunto aberto, mas sem limite definido, sem pontos extremos do intervalo: 9 ], + [ = R 1.28 Todo intervalo é dotado da propriedade: xy, Ι, x z y z Ι 1.29 qualquer Ou seja, se dois números pertencem a ele, então o mesmo vale para um número entre eles Vizinhança de um Ponto Dado um ponto x 0 no eixo real, ou um elemento do conjunto dos números reais, definimos a vizinhança completa desse ponto representada por V(x 0 ) a um intervalo aberto I que o contenha. Ou seja, x 0 ε I. Definimos a vizinhança-ε de x 0 sobre o eixo real, denotada por Vε ( x 0 ), como sendo o intervalo aberto: ( ) = ], + [ V x x x ε 0 0 ε 0 ε Comprimento de um segmento (distância entre dois pontos numa reta) Antes de introduzirmos o conceito de distância entre dois pontos pertencentes à reta, ou de comprimento de um segmento de reta, introduzimos o módulo, ou valor absoluto, de um número real. Seja x um número real ou, analogamente, a coordenada cartesiana de um ponto sobre uma reta. Escrevemos, assim, x R. O módulo de um número real, ou seu valor absoluto, representado por x, é definido por: introdução à teoria dos conjuntos 1

9 10 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp x x se x 0 = x se x < Da definição (1.31) segue que, se y for outro número real x 0 xy = x y, x x 1.32 Dados dois pontos quaisquer, x 1 e x 2, podemos introduzir um intervalo fechado que os contenha. Tal intervalo corresponde a um segmento de reta. Definimos o comprimento do segmento, ou distância entre esses dois pontos, como: (, ) d x x = x x Operações Com Conjuntos 1.33 Definimos três operações envolvendo conjuntos. A união (ou soma), a intersecção e a diferença de conjuntos União ou Soma A união de dois conjuntos A e B é representada por: união A B é um novo conjunto cujos elementos são aqueles que pertencem a um dos dois conjuntos, ou a ambos. Ou seja, os elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos. Formalmente, escrevemos A união B da seguinte forma: 1.34 { ou } A B= x x A x B 1.35 Figura 1.20: União de conjuntos. / Fonte: CEPA TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I

10 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp 11 Exemplo: considere os conjuntos A B= A = { 1, 2, 4,6,7,9,11} B = { 0, 2,5,6,7,10,12} { 0,1, 2, 4,5, 6, 7,9,10,11,12} Pode-se verificar que as seguintes propriedades são válidas: A B = B A A B C = A B C ( ) ( ) A ( A B) A B se, e somente se A B = B A A = A A = A Intersecção A intersecção de dois conjuntos, representada por: A B 1.45 intersecção que se lê A intersecção B, é um novo conjunto, aqui incluída a possibilidade de um conjunto vazio, cujos elementos são comuns a ambos os conjuntos. Formalmente, escrevemos: { } A B= x x Aex B No exemplo dado anteriormente: A B= { 2,6,7} 1.47 Figura 1.21: Intersecção de conjuntos. / Fonte: CEPA introdução à teoria dos conjuntos 1

11 12 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp A B = B A A B C = A B C ( ) ( ) A B A A A = A A = A B se, e somente se A B = A Diferença Podemos definir o conjunto diferença (C) de dois conjuntos A e B (A B), como aquele cujos elementos pertencem ao conjunto A, mas que não pertencem ao conjunto B. Ele é representado por: C = A B 1.54 Figura 1.22: A diferença entre os conjuntos A e B representado por A B é o conjunto dos elementos que estão em A mas não estão em B. / Fonte: CEPA Se B for um subconjunto de A, ou o próprio conjunto(b A), dizemos que o conjunto diferença é o complemento de B em A. Exemplos {1, 2} {vermelho, preto, branco} = {1, 2} {1, 2, verde} {vermelho, branco, verde} = {1, 2} {1, 2} {1, 2} = {1, 2, 3, 4} {1, 3} = {2, 4} Produto Cartesiano de Conjuntos A partir de dois conjuntos A e B podemos criar um novo conjunto mediante uma operação denominada produto cartesiano dos mesmos. Tal produto será representado por: A B 1.59 Este novo conjunto (o produto cartesiano de A e B) é construído mediante associação de todo elemento de um conjunto a todo elemento pertencente ao outro. Assim, o produto TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I

12 Licenciatura em Ciências USP/ Univesp 13 cartesiano A B de dois conjuntos é formado por elementos que são pares ordenados (a, b) tais que a é um elemento de A e b é um elemento de B. Temos, assim, que: {(, ) e } A B= xy x A y B 1.60 Exemplos: {1, 2} {vermelho, branco} = {(1, vermelho), (1, branco), (2, vermelho), (2, branco)}. {1, 2} {1, 2} = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}. Algumas propriedades dos produtos cartesianos são: A = 1.63 ( ) ( ) ( ) A B C = A B A C ( A B) C = ( A C) ( B C) O produto cartesiano R R 1.66 é um conjunto que pode ser colocado em correspondência biunívoca com os pontos do plano. O produto cartesiano R R R 1.67 Figura 1.23: Plano cartesiano. / Fonte: CEPA é um conjunto que pode ser colocado em correspondência biunívoca com os pontos do espaço. introdução à teoria dos conjuntos 1