Notas de aulas. álgebra abstrata

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1 1 Notas de aulas de álgebra abstrata UEMA LICENCIATURA EM MATEMATICA Elaborada por : Raimundo Merval Morais Gonçalves Licenciado em Matemática/UFMA Professor Assistente/UEMA Especialista em Ensino de Ciências/UEMA São Luís Ma MARÇO/2012

2 2 ÍNDICE 1. Relações p. 2. Relação de Equivalência Relação de Ordem Aplicações Operações Leis de Composição Interna Grupos e Subgrupos Anéis... 40

3 3 RELAÇÕES 1. INTRODUÇÃO DEFINIÇÃO 1 : Dados dois conjuntos A e B, não vazios, chama-se Produto Cartesiano de A por B ( A x B ), o conjunto formado por todos os pares ordenados( x, y ), onde x A e y B, ou seja : A x B = { ( x, y ) x A e y B }. DEFINIÇÃO 2 : Chama-se Relação Binária de A em B todo subconjunto R de A x B, ou seja, R é uma relação de A em B R A x B. NOTAÇÃO : Se ( a, b ) R, podemos escrever a R b, e se ( a, b ) R, então escrevemos a R b. Os conjuntos A e B são denominados, respectivamente, Conjunto de Partida e Conjunto de Chegada da relação R. EXEMPLOS DE RELAÇÕES : a) Se A = { 0, 1, 2 } e B = { 2, 1, 0, 1, 2 }, então : R 1 = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) } R 2 = { ( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 0, 1 ) ; ( 1, 0 ) } R 3 = { ( 2, 2 ) } R 4 = b) Se A = B = Z, um exemplo de Relação de A em B é : S = { ( x, y ) A x B x = y }. c) Se A = B = R, podemos ter como exemplo de relação, o conjunto : T = { ( x, y ) A x B y 0 }. 2. DOMÍNIO E IMAGEM Seja R uma relação de A em B. DEFINIÇÃO 1 : Chama-se Domínio de R o subconjunto de A constituído pelos elementos x para cada um dos quais existe algum y em B tal que x R y, ou seja : D( R ) = { x A y B e x R y }.

4 4 DEFINIÇÃO 2 : Chama-se Imagem de R o subconjunto de B constituído pelos elementos y para cada um dos quais existe algum x em A tal que x R y, ou seja : Im. ( R ) = { y B x A e x R y }. EXERCÍCIO PROPOSTO : Tomando os exemplos anteriores, encontre o Domínio e a Imagem de cada relação. 3. REPRESENTAÇÕES 3.1 GRÁFICO CARTESIANO A grande maioria das relações de que se trata em Matemática, são Relações em que A R e B R, logo é possível representá-la através de um gráfico em um plano cartesiano. EXEMPLOS : a) R 1 = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) } R 2 = { ( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 0, 1) ; ( 1, 0 ) } b) E = Z, F = Z e S = { ( x, y ) A x B x = y } c) E = R, F = R e T = { ( x, y ) A x B y 0 } 3.2 ESQUEMA DE FLEXAS Quando A e B são conjuntos finitos com poucos elementos, é possível representar uma Relação ( R ) de E em F, por meio de um diagrama de Venn. EXERCÍCIO PROPOSTO : Sejam A = { 0, 1, 2, 4 } e B = { 2, 1, 0, 1, 2 }. Represente as relações em diagrama de Venn. a) R 1 = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) } b) R 2 = { ( x, y ) A x B y = x 2 } 4. RELAÇÃO INVERSA DEFINIÇÃO : Seja R uma Relação de A em B. Chama-se Relação Inversa de R e indica-se por R 1, a seguinte relação de B em A : R 1 = { ( y, x ) B x A ( x, y ) R }. EXERCÍCIO PROPOSTO : Para cada uma das relações abaixo, encontre a sua inversa : a) A = { 0, 1, 2, 4 } e B = { 1, 0, 1 } e R = { ( 0, 1 ) ; ( 1, 0 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 0, 0 ) }

5 5 b) A = B = R e S = { ( x, y ) R 2 y = 2x + 5 } c) A = B = R e T = { ( x, y ) R 2 y = 3x 4 5 } 4.1 GRÁFICOS A) Se R admite um gráfico cartesiano, então o mesmo ocorre com R 1. EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja R = { ( x, y ) R 2 y = 2x 1 }, represente em plano cartesiano R 1. B) Dado um diagrama de Venn de uma relação( R ), obtemos o diagrama de Venn da relação inversa, simplesmente invertendo o sentido das flechas. EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja A = { 0, 1, 2, 4 } e B = { 1, 0, 1 } e R = { ( 0, 1 ) ;( 1, 1 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 4, 1 ) }, faça um diagrama de Venn de R PROPRIEDADES DA RELAÇÃO INVERSA Seja R uma relação binária, então R 1, possui as seguintes propriedades : a) D( R 1 ) = Im ( R ) b) Im( R 1 ) = D( R ) c) ( R 1 ) 1 = R 5. RELAÇÃO SOBRE UM CONJUNTO DEFINIÇÃO : Quando A = B e R é uma relação de A em B, diz-se que R é uma relação sobre A, ou ainda, R é uma relação em A. No estudo das relações sobre um conjunto A, com A finito e tendo poucos elementos, é possível a representação através do esquema de flechas. EXERCÍCIO PROPOSTO : Representar através de um diagrama de flechas a relação em A, R = { ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 1, 0 ) ; ( 2, 0 ) }, onde E = { 1, 0, 1, 2, 3 }.

6 6 5.1 PROPRIEDADES Seja uma relação R sobre um conjunto A e x, y e z elementos de A, então R possui as seguintes propriedades : A) REFLEXIVA Dizemos que uma relação R é Reflexiva quando é satisfeita a condição : para todo x x A x R x. EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) Seja A = { 4, 1, 2 } e S = { ( 4, 4 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 2, 1 )}. b) Seja A = { 1, 0, 2, 3 } e T = { ( 1, 1 ) ; ( 0, 0 ) ; ( 3, 3 ) ; ( 0, 2 ) }, não é reflexiva, pois ( 2, 2 ) T. c) Seja A = R e W = { ( x, y ) R 2 x = y } d) Seja A o conjunto das retas do espaço e R a relação de paralelismo em A, ou seja : x R y x // y. B) SIMÉTRICA Dizemos que uma relação R é Simétrica quando é satisfeita a condição : para qualquer que seja x, y A, temos que se : x R y y R x. EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) Seja A = { 0, 1, 2, 3 } e S = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 0 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 3, 2 ) ; ( 0, 1 ) }. b) Seja A = { 2, 1, 4, 5 } e W = { ( 5, 2 ) ; ( 1, 4 ) ; ( 2, 5 ) ; ( 5, 5 ) }, não é simétrica, pois ( 4, 1 ) W. c) Seja A o conjunto das retas do espaço e R a relação de perpendicularismo sobre A, ou seja : x R y x y. C) TRANSITIVA Dizemos que uma relação R é Transitiva quando é satisfeita a condição : para qualquer seja x, y, z A, temos que se : x R y e y R z x R z.

7 7 EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) Seja A = { 1, 2, 3 } e T = { ( 2, 2 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 1, 3 ) ; ( 2, 3 ) }. b) Seja A = { 1, 2, 4 } e S = { ( 1, 4 ) ; ( 4, 2 ) ; ( 1, 1 ) }, não é transitiva pois ( 1, 2 ) S. c) Seja A o conjunto dos triângulos do espaço e R a relação de Semelhança sobre A, ou seja : x R y x y. d) Seja A = N e R definida por x R y x y. D) ANTI SIMÉTRICA Dizemos que uma relação R é Anti Simétrica quando é satisfeita uma das condições : i) para qualquer seja x, y A, temos que se : x R y e y R x x = y, ou então, i i ) para qualquer seja x, y A, temos que se : x y x R y ou y R x EXEMPLOS DE RELAÇÕES ANTI SIMÉTRICASOBRE UM CONJUNTO A. a) Seja A = { 0, 1, 2, 3 } e T = { ( 0, 0 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 1, 1 ) }. b) Seja A = N e R a relação de divisibilidade em A, ou seja : x R y x y. c) Seja A = R e R a relação definida por x R y x y.

8 8 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Sejam A = { 0, 2, 4, 6, 8, 9 } e B = { 2, 0, 2, 5, 6 }. Enumerar os elementos da relação R = { ( x, y ) A x B y = x 2 }. Encontre o domínio, a imagem e a inversa de R. 2. Para cada uma das seguintes relações de A = { 2, 1, 0, 1, 2 } em B = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4 }, encontre os pares ordenados e as represente graficamente. a) R = { ( x, y ) A x B ; x + y = 2 } b) S = { ( x, y ) A x B ; x + y > 0 } c) T = { ( x, y ) A x B ; x = y } 3. A é um conjunto com 5 elementos e R = {( 0, 1 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 3, 4 ) } é uma relação sobre A. Encontre : a) os elementos de A b) o domínio e o conjunto imagem de R c) os elementos, o domínio e o conjunto imagem de R 1 d) os diagramas de Venn de R e R 1 4. Dado o conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }, enumere os pares ordenados e construa o gráfico cartesiano da relação R em A definida por : R = { ( x, y ) A 2 ; mdc( x, y ) = 2 }. 5. Qual é o domínio da relação : 2 S = { ( x, y ) R x R ; y = 2 4 x }? 6. Se R é a relação binária de A = { x R 1 x 6 } em B = { y R 1 y 4 }, definida por y = 2x, encontre : a) a representação cartesiana de R b) o domínio e a imagem de R

9 9 7. Seja R = { ( x, y ) R x R ; 4x 2 + 9y 2 = 36 }. Segue-se o esboço de R no diagrama cartesiano. Achar : a) o domínio de R b) a imagem de R c) R 1 8. Dados os conjuntos A = { x R ; 1 x 6 } e B = { y R ; 2 y 10 } e as seguintes relações binárias : a) T = { ( x, y ) A x B ; x = y } b) S = { ( x, y ) A x B ; y = x + 2 } Encontre o gráfico cartesiano dessas relações e das respectivas inversas. 9. Seja R a relação em A = { 1, 2, 3, 4, 5 } tal que R = { ( x, y ) A 2 ; x y é múltiplo de 2 }. Enumere os elementos de R e diga que propriedade possui. 10. Um casal tem 5 filhos : Álvaro, Bruno, Cláudio, Dário e Elizabete. Enumere os elementos da relação R definida no conjunto E = { a, b. c, d, e } por x R y x é irmão de y. 11. Determinar todas relações binárias sobre o conjunto A = { 1, 5 }. a) Quais são reflexivas? b) Quais são simétricas? c) Quais são transitivas? d) Quais são anti-simétricas? 12. Pode uma relação sobre um conjunto E não ser nem simétrica nem anti-simétrica? 13. Esboce o gráfico cartesiano das seguintes relações em R : a) R 1 = { ( x, y ) R 2 ; y 2 = x } b) R 2 = { ( x, y ) R 2 ; y < 3 x } 14. Sejam R e S relações no mesmo conjunto A. Provar que : a) R 1 S 1 = ( R S ) 1 b) Se R e S são transitivas, então R S é transitiva

10 10 RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA 1. DEFINIÇÃO Uma relação R sobre um conjunto não vazio, é chamada Relação de Equivalência sobre A se, e somente se, R é Reflexiva, Simétrica e Transitiva, ou seja valem as sentenças : i) para todo x x A x R x ii) x, y A, temos que se : x R y y R x iii) x, y, z A, temos que se : x R y e y R z x R z Quando R é uma Relação de Equivalência sobre A, podemos utilizar a notação : a b ( R ) ( a é equivalente a b módulo R ) ou ( a, b ) R. EXEMPLOS DE RELAÇÕES ANTI SIMÉTRICASOBRE UM CONJUNTO A A) Seja A = { a, b, d } e a relação T = { ( a, a ) ; ( a, d ) ; ( b, b ) ; ( d, d ) ; ( d, a ) }, sobre E. B) Seja a relação W = { ( x, y ) R 2 x = y }, sobre R. 2. CLASSE DE EQUIVALÊNCIA DEFINIÇÃO : Seja R uma Relação de Equivalência sobre A. Dado a A, chama-se Classe de Equivalência por ( a ), módulo R, o subconjunto a de E constituído pelos elementos x tais x R a, ou seja : a = { x A x R a } DEFINIÇÃO : O conjunto das Classes de Equivalência módulo R será indicado por A / R e chamado Conjunto Quociente de A por R. EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja a relação de equivalência R = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) ; ( a, c ) ; ( c, a ) }, encontre todas as classes de equivalência de R e o conjunto quociente A / R. 3. PARTIÇÃO DE UM CONJUNTO DEFINIÇÃO : Seja A um conjunto não vazio. Diz-se que uma classe F de subconjuntos não vazios de A é uma partição de A se, e somente se : a) dois membros quaisquer de F ou são iguais ou são disjuntos ; b) a união dos membros de F é igual a A

11 11 EXEMPLOS : a) F = { { 2 } ; { 1, 4 } ; { 3 } } é uma partição do conjunto A = { 1, 2, 3, 4 } b) Sejam P = { x Z ; x é par } e I = { x Z ; x é ímpar }, então : F = { P, I }. EXERCÍCIO PROPOSTO : Dado o conjunto A = { a, b, c, d, e } e seja a relação de equivalência associada a A : R = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) ; ( d, d ) ; ( e, e ) ; ( d, e ) ; ( e, d ) }, encontre o conjunto A / R. LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Quais das relações abaixo são relações de equivalência sobre E = { a, b, c }? a) R 1 = { ( a, a ) ; ( a, b ) ; ( b, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) } b) R 2 = { ( a, a ) ; ( a, b ) ; ( b, a ) ; ( b, b ) ; ( b, c ) } 2. Quais das seguintes sentenças abertas definem uma relação de equivalência em N? a) x R y k Z ; ( x y ) = 3k b) x R y ; x y 3. Seja A o conjunto dos triângulos do espaço euclidiano. Seja R a relação em A definida por : X R Y X é semelhante a Y. Mostrar que R é de equivalência. 4. Seja A = { x Z ; 0 x 10 } e R a relação sobre A, definida por : x R y k Z ; ( x y ) = 4k.Determinar o conjunto quociente A / R.

12 12 5. Seja R a relação sobre Q definida da seguinte forma : x R y ( x y ) Z. Provar que R é uma relação de equivalência. 6. Sejam P( x 1, y 1 ) e Q( x 2, y 2 ) pontos genéricos de plano cartesiano. Mostre que as relações abaixo são relações de equivalência sobre. a) P R Q x 1. y 1 = x 2. y 2 b) P S Q y 2 y 1 = x 2 x 1 7. Quais são as relações de equivalência sobre E = { 1, 3 }. 8. Sejam E = { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3 } e R = { ( x, y ) E x E x + x = y + y } uma relação de equivalência, encontre E / R. 9. Sejam o conjunto E = { 0, 1, 2 } e as propriedades : P 1 propriedade Reflexiva P 3 propriedade Transitiva P 2 propriedade Simétrica P 4 propriedade Anti Simétrica Dê exemplos de relações sobre E, tais que : a) satisfaz P 1, P 2 e P 3 c) satisfaz P 2 e não verifica P 1 e nem P 3 b) satisfaz P 1, P 2 e P 4 d) satisfaz P 4 e não verifica P 1 e nem P Seja E o conjunto das retas de um plano, seja Q um ponto dado de e seja A uma reta dada contida em. Verificar quais das propriedades P 1, P 2, P 3 ( do exercício anterior ) são verdadeiras para as seguintes relações R definidas sobre E ( X e Y indicam duas retas quaisquer de E ). a) X R Y se, e somente se, X não é paralela a Y b) X R Y se, e somente se, X e Y se cortam num ponto de A c) X R Y se, e somente se, X e Y passam pelo ponto Q ;

13 13 RELAÇÃO DE ORDEM 1. DEFINIÇÕES DEFINIÇÃO 1 : Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada Relação de Ordem Parcial sobre E se, e somente se, R é Reflexiva, Anti Simétrica e Transitiva, ou seja, se valem as sentenças : i) para todo x x A x R x ii ) x, y A se, x R y e y R x y = x iii) x, y, z A, temos que se : x R y e y R z x R z Quando R é uma Relação de Ordem Parcial sobre A, podemos utilizar a notação : a b( R ) ( a precede b na relação R ) ou ( a, b ) R. Para exprimirmos que ( a, b ) R e a b usaremos a notação a < b( R ) ( a precede estritamente b na relação R ). OBSERVAÇÃO : Quando não houver dúvidas quanto à relação de ordem que está sendo considerada, escrevemos apenas a b ( a precede b ) para indicar ( a, b ) R e a < b( a precede estritamente b ) para indicar ( a, b) R e a b. DEFINIÇÃO 2 : Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto sobre o qual se definiu uma certa relação de ordem parcial. DEFINIÇÃO 3 : Seja R uma relação de ordem parcial sobre A. Os elementos a, b A se dizem comparáveis mediante R se a b ou b a. DEFINIÇÃO 4 : Se dois elementos quaisquer de A forem comparáveis mediante R, então R será chamada Relação de Ordem Total sobre E. O conjunto E, neste caso, é chamado Conjunto Totalmente Ordenado. EXEMPLOS : a) A relação R = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) ; ( a, b ) ; ( b, c ) ; ( a, c ) } é uma relação de ordem total sobre o conjunto E = { a, b, c }. b) A relação R sobre o conjunto R definida por x R y x y é uma relação de ordem total sobre R. c) A relação R de divisibilidade sobre N : x R y x y é uma relação de ordem parcial sobre N.

14 14 2. LIMITES SUPERIORES E LIMITES INFERIORES Seja E um conjunto parcialmente ordenado mediante a relação R. Seja A um subconjunto de E, com A. DEFINIÇÃO 5 : Um elemento L E é um Limite Superior de A se, e somente se, qualquer elemento de A precede L, ou seja : x x A x L. DEFINIÇÃO 6 : Um elemento l E é um Limite Inferior de A se, e somente se, precede qualquer elemento de A, ou seja : x x A l x. 3. MÁXIMO E MÍNIMO Seja A um subconjunto não vazio do conjunto E parcialmente ordenado pela relação R. DEFINIÇÃO 7 : Um elemento M A é um Máximo de A quando M é um limite superior de A, ou seja : x x A x M. DEFINIÇÃO 8 : Um elemento m A é um Mínimo de A quando m é um limite inferior de A, ou seja : x x A m x. 3.1 PROPOSIÇÃO : Se A é um subconjunto do conjunto parcialmente ordenado E, e existe um máximo ( mínimo ) de A, então ele é único. 4. SUPREMO E ÍNFIMO Seja A um subconjunto não vazio do conjunto parcialmente ordenado E. DEFINIÇÃO 9 : Chama-se Supremo de A o menor dos limites superiores do conjunto A. DEFINIÇÃO 10 : Chama-se Ínfimo de A o maior dos limites inferiores do conjunto A.

15 15 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Se E = R, A = ( 1, 3 ) e a ordem é a habitual, encontre se existirem : a) limite superior b) limite inferior c) o máximo de A d) o mínimo de A e) o supremo de A f) o ínfimo de A 2. Se E = { 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }, A = { 3, 4, 6 } e a ordem é a divisibilidade, encontre se existirem a) limite superior b) limite inferior c) o máximo de A d) o mínimo de A e) o supremo de A f) o ínfimo de A

16 16 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Faça um diagrama simplificado da ordem divisibilidade no A = { 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15 }. 2. Dizer se cada um dos seguintes subconjuntos de N é ou não totalmente ordenado pela relação de divisibilidade : a) A = { 2, 4, 6, 12 } b) B = { 5, 15, 30 } 3. Seja o conjunto dos números complexos e sejam x = a + bi e y = c + di dois elementos de C. Mostre que R é uma relação de ordem parcial em C. x R y a c e b d. 4. Abaixo está o diagrama simplificado da relação de ordem R sobre E = { a, b, c, d, e, f, g, h, i, j }. Determine os limites superiores, os limites inferiores, o ínfimo, o supremo, o máximo e o mínimo de A = { c, e }. 5. Em N x N define-se ( a, b ) ( c, d ) a c e b d. Sendo A = { ( 2, 1 ) ; ( 1, 2 ) }, encontre os limites superiores, os limites inferiores, ínfimo, supremo, máximo e mínimo de A, se existirem. 6. Seja B = { 1, 2, 3, 4, 5 } e o diagrama simplificado da relação de ordem R sobre B, encontre : os limites superiores, os limites inferiores, o ínfimo, o supremo, o máximo e o mínimo do conjunto A = { 2, 3 }, se existirem.

17 17 APLICAÇÕES 1. DEFINIÇÃO Seja uma relação de E em F. Dizemos que é uma Aplicação de E em F se : a) D( ) = E b) Dado a D( ), é único o elemento b F de modo que ( a, b ). Se é uma aplicação de E em F, escrevemos b = ( a ) para significar que ( a, b ). Para representarmos em símbolos que é uma Aplicação de E em F escrevemos : E F. O conjunto F é chamado Contradomínio de. OBSERVAÇÕES : a) Se : E F e g : E F, é igual a g se, e somente se : ( x ) = g( x ), x E. b) Se o contradomínio de uma aplicação é um conjunto numérico ( contido em C ) é usual chamar-se de função. EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam E = { 0, 1, 2, 3 } e F = { 4, 5, 6, 7, 8 }, descubra quais das relações abaixo são aplicações de E em F e justifique a sua resposta. R 1 = { ( 0, 5 ) ; ( 1, 6 ) ; ( 2, 7 ) } R 2 = { ( 0, 4 ) ; ( 1, 5 ) ; ( 1, 6 ) ; ( 2, 7 ) ; ( 3, 8 ) } R 3 = { ( 0, 4 ) ; ( 1, 5 ) ; ( 2, 7 ) ; ( 3, 8 )} R 4 = { ( 0, 5 ) ; ( 1, 5 ) ; ( 2, 6 ) ; ( 3, 7 ) } 2. Seja E = F R, e consideremos as seguintes relações de R em R : R 1 = { ( x, y ) R 2 x 2 = y 2 }, R 2 = { ( x, y ) R 2 x 2 + y 2 = 1 } e R 3 = { ( x, y ) R 2 y = x 2 } 2. IMAGEM DIRETA E IMAGEM INVERSA Seja uma aplicação : E F. 2.1 DEFINIÇÃO 1 : Dado A E, chama-se Imagem Direta de A, segundo, e indica-se por ( A ), o subconjunto de F, formado pelas imagens dos elementos de A através de, ou seja : ( A ) = { ( x ) x A }. 2.2 DEFINIÇÃO 2 : Dado B F, chama-se Imagem Inversa de B, segundo, e indica-se por 1 ( B ), o subconjunto de E, formado pêlos elementos de E, que tem imagem em B através de, ou seja : 1 ( B ) = { x E ( x ) B }.

18 18 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam E = { 1, 3, 5, 7, 8, 9, 10 }, F = N e : E F é dada por ( x ) = x + 1, encontre ( A ) e 1 ( B ), onde A = { 1, 5, 9 } e B = { 4, 8, 11 }. B) Seja : R R tal que : ( x ) = 0, se x Q 1, se x R Q Encontre ( Q ), ( R Q ), ( [ 1, 2] ), 1 ( [ 2, 1 ] ) 3. APLICAÇÕES INJETORAS E SOBREJETORAS Consideremos uma aplicação : E F. 3.1 DEFINIÇÃO 1 : Dizemos que é uma aplicação Injetora ou uma Injeção quando, para elementos distintos de E têm-se imagens distintas em F, ou seja : para quaisquer x 1, x 2 E, temos que se : x 1 x 2 ( x 1 ) ( x 2 ). 3.2 DEFINIÇÃO 2 : Dizemos que é uma aplicação Sobrejetora ou uma Sobrejeção quando, todo elemento de F é imagem de algum elemento de E, ou seja : para todo y y F x E y = ( x ). 3.3 DEFINIÇÃO 3 : Dizemos que é uma aplicação Bijetora ou que é uma Bijeção, quando é Injetora e Sobrejetora. EXEMPLOS : a) Sejam os conjuntos E = { a, b, c, d } e F = { 1, 2, 3, 5, 8 } e aplicação = { ( a, 2 ) ; ( b, 3 ) ; ( c, 1 ) ; ( d, 8 ) }. b) Sejam os conjuntos E = { a, b, c, d } e F = { 2, 5, 8 } e aplicação = { ( a, 5 ) ; ( b, 8 ) ; ( c, 2 ) ; ( d, 8 ) }. c) A aplicação : R R definida pela lei ( x ) = 3x APLICAÇÃO INVERSA Seja a aplicação : R R. Se 1 é a relação inversa de, então - 1 é também uma Aplicação, chamada de Aplicação Inversa de se, e somente se, é Bijetora.

19 19 EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam os conjuntos E = { 1, 0, 2, 4 } e F = { 1, 3, 4, 5 } e as aplicações E em F, descubra se as mesmas são bijetoras e encontre as suas respectivas inversas. a) = { ( 1, 3 ) ; ( 0, 1 ) ; ( 2, 4 ) ; ( 4, 3 ) } b) g = { ( 1, 5 ) ; ( 0, 3 ) ; ( 2, 1 ) ; ( 4, 4 ) } 2. Sejam as aplicações abaixo, descubra quais são bijetoras, e encontre a sua respectiva inversa. a) : R R e ( x ) = 3x + 2 b) g : R R e g( x ) = x 2 c) h : R R e h( x ) = x d) m : R R e ( x ) = x 1 OBSERVAÇÃO : Pode-se provar que se é bijetora, então 1 também o é. Assim, 1 é Aplicação Inversa de e sendo 1 Bijetora, a relação inversa de 1 também é Aplicação. Como ( 1 ) 1 =, temos que e 1 são Aplicações Inversas entre si. 5. COMPOSIÇÃO DE APLICAÇÕES DEFINIÇÃO : Sejam : E F e g : F G. Chama-se Composta de e g a aplicação ( g o ) de E em G definida por : ( g o ) ( x ) = g( ( x ) ), para qualquer x E. EXERCÍCIOS PROPOSTOS : 1. Sejam : R R +, tal que ( x ) = 2x e g : R + R e g( x ) = x, encontre g o. b) Sejam : R R, tal que ( x ) = 3x 4 e h : R R, tal que h( x ) = x 3, encontre h o e o g. OBSERVAÇÕES : 1. A composta de e g só é definida quando o contradomínio de coincide com o domínio de g. 2. A composta de e g tem o mesmo domínio de e o mesmo contradomínio de g. 3. Quando E = G, então é possível definir, além de g o, também o g. PROPOSIÇÃO 1 : Se : E F e g : F G são Injetoras, então g o é Injetora. PROPOSIÇÃO 2 : Se : E F e g : F G são Sobrejetoras, então g o é Sobrejetora.

20 20 6. APLICAÇÃO IDÊNTICA DEFINIÇÃO : Dado E, a Aplicação i : E E, dada pela lei i E ( x ) = x é chamada Aplicação Idêntica de E. Temos que para cada E existe uma aplicação i E. PROPOSIÇÃO 4 : Se : E F é Bijetora, então o - 1 = i F e - 1 o = i E.

21 21 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Sendo E = { 0, 1, 2, 3 } e F = { 1, 0, 2, 3 }, descubra quais das relações abaixo, são aplicações de E em F. a) R = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 3, 3 ) } b) S = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 3, 3 ) } c) T = { ( 0, 0 ) ; ( 1, 1 ) ; ( 2, 0 ) ; ( 3, 3 ) } d) V = { ( 0, 2 ) ; ( 1, 2 ) ; ( 2, 2 ) ; ( 3, 2 ) } 2. Determinar todas as aplicações de E = { 2, 5 } em F = { 1, 3, 7 }. 3. Encontre todo os pares ordenados da função : E F, tal que ( x ) = 1, se x Q, e se ( x ) = 1, se x Q. São Dados E = ,,, 2,, e F = [ 1, 1 ] Seja a aplicação : N x N N tal que ( x, y ) = mdc( x, y ). Determinar ( 6, 2 ) ; ( 12, 9 ) ; ( 3, 1 ) ; ( 4, 9 ) e ( 0, 0 ). 5. Descubra em cada caso se e g são funções iguais. a) Sejam ( x ) = x 1 e g( x ) = 1, 2 } 2 x 1 x 1 funções de A em B, onde A = { 1, 2, 3 } e B = { 2, 1, 0, b) Sejam ( x ) = x 4 onde x R e h( y ) = y 4, onde y [ 2, 0 ]. c) Sejam ( x ) = x 2 e g( x ) = x funções de R em R. d) Sejam ( x ) = x e g( x ) = x funções de R em R. 6. Ao lado está o diagrama representativo de uma função : E F. Determinar ({ 2, 4 } ) e 1 ( { 7, 8 } )

22 22 7. Seja a função : R R definida por ( x ) = cos x. Determinar 0, 2 e Sejam A = { 0, 2, 4, 8 } e B = { 0, 1, 2, 3, 4 } e as aplicações abaixo de A em B, quais são injetoras? a) = { ( 0, 1 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 4, 0 ) ; ( 8, 1 ) } b) g = { ( 0, 4 ) ; ( 2, 3 ) ; ( 4, 1 ) ; ( 8, 2 ) } 9. Quais das seguintes aplicações de E = { 4, 5, 8, 9 } em F = { 1, 2,4 } são sobrejetoras? a) h = { ( 4, 1 ) ; ( 5, 2 ) ; ( 8, 4 ) ; ( 9, 2 ) } b) g = { ( 4, 2 ) ; ( 5, 4 ) ; ( 8, 4 ) ; ( 9, 2 ) } 10. Mostre que os conjuntos A = N e B = N * são equipotentes. 11. Sejam A = { 1, 2, 3 }, B = { 4, 5, 6, 7 } e C = { 8, 9, 0 }. Seja : A B dada por ( 1 ) = 4, ( 2 ) = 5, ( 3 ) = 6 e g : B C dada por g( 4 ) = 8, g ( 5 ) = 0, g( 6 ) = 9 e g( 7 ) = 0. Quais são os pares de g o? A função g o é injetora ou sobrejetora? 12. Sejam, g, h funções reais definidas por ( x ) = x 2, g( x ) = x 2 1 e h( x ) = 2x 3. a) Determinar o g ; o h ; g o h ; g o ; h o ; h o g ; b) Verifique que ( g o ) o h = g o ( o h ) 13. Sejam : R R e g : R R as aplicações assim definidas : x 1, se x 0 ( x ) = e g( x ) = 2x 4. Determinar as compostas o g e g o. x 1, se x Sejam as funções reais ( x ) = 2x + 7 e ( o g ) ( x ) = 4x 2 2x + 3. Determinar a lei de formação da função g. 15. Sejam as aplicações : E F e g : F E. Prove que se g o é injetora, então é injetora. 16. Seja : E F uma aplicação e sejam A E e B E. Prove que se A B, então ( A ) ( B ).

23 Quais são os valores do domínio da aplicação : R R, definida por ( x ) = x 2 5x + 9 que produzem imagem igual a 3? 18. É dada a função real. Calcule ( ) sabendo que : a) ( x ). ( y ) = ( x + y ) b) ( 1 ) = 2 c) ( 2 ) = Considere a função em R definida por ( x ) = x 3 3x 2 + 2x 1. Qual é a lei que define ( x )? E 1? E ( x 1 )? x 20. Dadas as aplicações reais definidas por ( x ) = 3x + 2 e g( x ) = 2x + b, determine o valor de b de modo que se tenha o g = g o. 21. Dadas as aplicações reais ( x ) = 2x + m e g( x ) = ax + 2, qual é a relação que a e m devem satisfazer para que se tenha ( o g )( x ) = ( g o )( x )? 22. Nas funções seguintes, descubra quais são Injetoras, Sobrejetoras e quais são Bijetoras? a) : R R e ( x ) = 2x 1 b) g : R R + e g ( x ) = 1 x 2 c) h : R R + e h( x ) = x 1 d) m : R R e g( x ) = x 2, se x 0 x, se x Considere a aplicação real definida por y = ( x ) = 2 + x. Descubras quais das proposições abaixo são verdadeiras. a) é sobrejetora b) não é injetora c ) a função pode ser representada pelo gráfico abaixo 24. Determine o valor de b em B = { y R y b } de modo que a função de R em B, definida por ( x ) = x 2 4x + 6, seja sobrejetora.

24 Os conjuntos A e B tem, respectivamente, m e n elementos. Considere uma função : A B. Qual a condição sobre m e n para que possa ser injetora? 26. O gráfico de uma aplicação é o segmento de reta que une os pontos A( 3, 4 ) e B( 3, 0 ). Se 1 é a aplicação inversa de, determine 1 ( 2 ). 27. Seja a aplicação : R R +, definida por ( x ) = x 2. Encontre a aplicação inversa de. 28. Obtenha a função inversa da função g : A R +, tal que A = { x R x 1 } e g( x ) = ( x 1 ) Obtenha a função inversa da função h : R { 3 } R { 1 }, tal que h ( x ) = x 3. x Seja a função : R { 2 } R { 4 }, definida ( x ) = 1 com imagem 5?. 4x 3. Qual é o valor do domínio de x Sejam os conjuntos A = { x R x 1 } e B = { y R y 2 } e a função de A em B definida por ( x ) = x 2 2x + 3. Obtenha a função inversa de.

25 25 OPERAÇÕES LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA 1. DEFINIÇÃO Sendo E um conjunto não vazio, toda Aplicação : E x E E recebe o nome de Operação sobre E ou Lei de Composição Interna. Uma operação sobre um conjunto E associa a cada par ( x, y ) de E x E um elemento x y ( x estrela y ) de E, ou seja, x y = ( x, y ) e também podemos dizer que E é um conjunto munido da operação ( estrela ). O elemento x y chama-se composto de x e y pela operação ; os elementos x e y do composto x y são chamados termos do composto ou ainda, primeiro e segundo termos, respectivamente. Notações que poderão ser usadas para indicar uma operação sobre E : A) ADITIVA Neste caso, o símbolo da operação é ( + ), a operação é chamada Adição, o composto x + y é chamado Soma e os termos são as Parcelas. B) MULTIPLICATIVA Neste caso, o símbolo da operação é (. ), a operação é chamada Multiplicação, o composto x. y é chamado Produto e os termos são os Fatores. C) COMPOSIÇÃO Neste caso, o símbolo da operação é ( o ) e a operação é denominada Composição. D) Outros símbolos poderão ser utilizados para designar operações genéricas, tais como :,,,,, etc. EXEMPLOS DE OPERAÇÕES : a) A aplicação : N x N N tal que ( x, y ) = x + y, é conhecida como operação de Adição sobre N. b) A aplicação : R x R R tal que ( x, y ) = x. y, é conhecida como operação de Multiplicação sobre R. c) Sendo F uma coleção de conjuntos, consideremos a aplicação g : F x F F tal que g( X, Y ) = X Y, que é conhecida com o nome de Reunião sobre F. d) A aplicação : N x N N tal que ( x, y ) = x y, é conhecida como operação de Potenciação sobre N. e) A aplicação : Q* x Q* Q* tal que ( x, y ) = y x, é conhecida como operação de Divisão sobre Q*.

26 26 f) A aplicação : E x E E, onde E = M m x n ( R ),tal que ( x, y ) = x + y, é a operação de Adição sobre o conjunto das Matrizes do tipo m x n. g) A aplicação : E x E E, onde E = M n ( R ),tal que ( x, y ) = x. y, é a operação de Multiplicação sobre o conjunto das Matrizes do tipo n x n. h) A aplicação : E x E E, onde E = R R = Conjunto da funções de R em R, tal que (, g ) = o g, é a operação de Composição sobre R R. 2. PROPRIEDADES Seja ( estrela ) uma Lei de Composição Interna em um conjunto E. Então esta operação apresentar algumas propriedades notáveis, que veremos agora. A) PROPRIEDADE ASSOCIATIVA Dizemos que tem a propriedade Associativa quando apara quaisquer que sejam x, y, z E, temos que : x ( y z ) = ( x y ) z. EXEMPLOS : a) As adições em N, Z, Q, R e C são operações associativas. b) A adição em M m x n ( R ) é uma operação associativa. c) A composição de funções de R em R é associativa. CONTRA EXEMPLOS : a) A potenciação em N não é uma operação associativa. b) A divisão em R * não é uma operação associativa. OBSERVAÇÃO : Quando a operação admite a propriedade associativa é possível calcularmos o composto de mais de dois elementos sem o uso de parênteses. B) PROPRIEDADE COMUTATIVA Dizemos que tem a propriedade Comutativa quando apara quaisquer que sejam x, y E, temos que : x y = y x.

27 27 EXEMPLOS : a) As adições em N, Z, Q, R e C são operações comutativas. b) A adição em M m x n ( R ) é uma operação comutativa. CONTRA EXEMPLOS : a) A potenciação em N não é uma operação comutativa. b) A divisão em R * não é uma operação comutativa. c) A multiplicação em M 2 x 2 ( R ) não é uma operação comutativa. C) ELEMENTO NEUTRO Dizemos que e E é um Elemento Neutro à esquerda para a operação todo x E, temos que : e x = x., quando para Dizemos que e E é um Elemento Neutro à direita para a operação, quando para todo x E, temos que : x e = x. Se ( e ) é Elemento Neutro à direita e à esquerda para a operação, então dizemos que ( e ) é Elemento Neutro para esta operação EXEMPLOS : a) O elemento neutro das adições em N, Z, Q, R e C é o número Zero. 1 0 b) O elemento neutro da multiplicação em M 2 x 2 ( R ) é a matriz. 0 1 CONTRA EXEMPLOS : a) A subtração em Z admite 0( zero ) como elemento neutro apenas à direita. b) A divisão em R * admite 1 ( um ) como elemento neutro apenas à direita. PROPOSIÇÃO 1 : Se a operação tem um elemento neutro ( e ), ele é único.

28 28 D) ELEMENTOS SIMETRIZÁVEIS Dizemos que x E é um elemento Simetrizável, para a operação, que tem para elemento neutro( e ) se existe x' E, tal que : x' x = e = x x'. O elemento x' é chamado Simétrico de x para a operação. Quando a operação é uma Adição( + ), o simétrico é chamado Oposto de x e indicado por ( - x ). Quando a operação é uma Multiplicação(. ), o simétrico de x é chamado Inverso de x e é indicado por x - 1. EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) 4 é um elemento simetrizável para a Adição em Z e seu simétrico é 4. b) 5 é um elemento simetrizável para a Multiplicação em Q e seu simétrico é 1 5 c) 7 não é um elemento simetrizável para a multiplicação em Z. d) A função ( x ) = 2x + 5 é bijetora de R em R ; logo existe a inversa de, tal que - 1 o = i R = = o - 1. Podemos dizer que é um elemento simetrizável de R R para a composição de funções. PROPOSIÇÃO 2 : Se a operação em E é associativa, tem elemento neutro( e ) e um elemento x E é simetrizável, então o simétrico de x é único. PROPOSIÇÃO 3 : Seja uma operação sobre E com elemento neutro( e ). a) Se x é simetrizável, então x' também é e ( x' ) ' = x. b) Se é associativa e x, y E são simetrizáveis, então x y é simetrizável e ( x y ) ' = y' x'. OBSERVAÇÃO : Sendo uma operação sobre E com elemento neutro( e ), indica-se por conjunto dos elementos simetrizáveis de E para a operação. U ( E ) o D) ELEMENTOS REGULARES Dizemos que um elemento a E é Regular( ou Simplificável ), em relação à operação se : a x = a y x = y e x a = y a x = y, para quaisquer que sejam x, y E. Valendo a igualdade, dizemos que ( a ) é Regular à Esquerda ; valendo a igualdade, dizemos que ( a ) é Regular à Direita. OBSERVAÇÃO : Se é comutativa, regular à esquerda, significa regular à direita e vice-versa.

29 29 EXEMPLOS E CONTRA EXEMPLOS : a) 7 é regular para a Adição em N. b) 8 é regular para a Multiplicação em Q c) 0 não é regular para a multiplicação em Z. 3 1 d) é regular para a adição em M 2x2 ( R ). 6 5 OBSERVAÇÃO : Sendo uma operação sobre E, indica-se R ( E ) o conjunto dos elementos regulares de E para a operação, por exemplo, temos R + ( N ) = N. F) PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA Sejam e duas operações sobre E. Dizemos que é Distributiva em relação a se para quaisquer que sejam x, y, z E, temos que : x ( y z ) = ( x y ) ( x z ) e ( x y ) z = ( x z ) ( y z ) OBSERVAÇÃO : Se é comutativa, então Distributiva à esquerda ou à direita de EXEMPLOS : a) A multiplicação em N é distributiva em relação à adição em N. b) A potenciação é distributiva à direita em relação à multiplicação em Z. são equivalentes. 3. PARTE FECHADA PARA UMA OPERAÇÃO DEFINIÇÃO : Seja uma operação sobre um conjunto E. Seja A um subconjunto não vazio de E, dizemos que A é Parte Fechada de E para a operação, se e somente se, temos : x A e y A x y A, para todo x, y A. EXEMPLOS : a) Os números racionais( Q ) são uma parte fechada para a operação de Adição sobre o conjunto R. b) As funções bijetoras de R em R formam um conjunto fechado para a composição de funções de R R

30 30 4. TÁBUA DE OPERAÇÃO CONSTRUÇÃO Seja E = { a 1, a 2, a 3,..., a n } ( n 1 ) um conjunto com n elementos. Cada operação sobre E é uma aplicação : E x E E que associa a cada par ( a i, a j ) o elemento a i a j. Podemos indicar o correspondente a i j para cada par ( a i, a j ) por meio de uma tábua de dupla entrada, construída como segue : EXEMPLOS : a) Tábua de operação de multiplicação sobre E = { 1, 3, 5 }. b) Tábua de operação de interseção sobre E = { A, C, E, F } onde os conjunto A, C, E, F são tais que A F C E.

31 31 c) Tábua de operação de MDC sobre E = { 2, 3, 6, 12 }, isto é ( x, y ) = mdc( x, y ). d) Tábua de operação de composição de funções sobre E = { 1, 2, 3 }, onde as funções 1, 2,f 3 são assim descritas : 1 = { ( a, b ) ; ( b, c ) ; ( c, a ) } 2 = { ( a, c ) ; ( b, a ) ; ( c, b ) } 3 = { ( a, a ) ; ( b, b ) ; ( c, c ) } OBSERVAÇÃO : Podemos estudar todas as propriedades de uma operação( E = { a 1, a 2, a 3,..., a n } utilizando a sua tábua de operação. ) sobre um conjunto

32 32 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Em cada caso, considere a operação ( ) sobre E e verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro. a) E = R e x y = x b) E = Q e x y = x + xy c) E = R + e x y = 2 x y 2 2. Considere a operação ( ) sobre Z x Z. Verifique se é associativa, se é comutativa, se existe elemento neutro e determine os elementos simetrizáveis. ( a, b ) ( c, d ) = ( a + c, b + d ) 3. Seja a operação x y = m.x + n.x, sobre Z. Encontre os valores que m e n devem assumir para que a operação definida em Z seja : a) associativa b) comutativa c) tenha elemento neutro 4. Dizer quais dos subconjuntos de Z são fechados para a operação de multiplicação. a) Z b) P = { x Z x é par } c) I = { x Z x é ímpar } d) m. Z = { x Z m divide x } 5. Verifique se a lei dada por ( a, b ) ( c, d ) = ( a.c, a.d + b.c ) é distributiva em relação à lei ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + c, b + d ), tudo em Z x Z. 6. Dizer quais dos subconjuntos de Z são fechados para a operação de adição. a) Z b) P = { x Z x é par } c) I = { x Z x é ímpar } d) m. Z = { x Z m divide x } 7. Em cada caso, está definida uma operação ( ) sobre E. Faça uma tábua de operação, verifique se é comutativa e se existe elemento neutro, determine ( E ) e U ( E ). R a) E = { 2, 3, 4, 6 } e x y = mdc( x, y ) b) E = P ( { a, b } ) e X Y = X Y c) E = { 1, i, 1, i } e x y = x. y d) E = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } e x y = resto da divisão em Z de x. y por 5

33 33 8. Seja a tábua, verifique se a operação é comutativa, se existe elemento neutro e que elementos são simetrizáveis. 9. Construir a tábua de uma operação sobre o conjunto E = { a, b, c, d } de modo que : a) seja comutativa b) a seja o elemento neutro c) x a = a, x d) ( E ) = E - { a } R 10. Sejam E = P ( { 1, 4, 5 } ), X E e Y E, encontre a condição para que A = { X, Y } seja fechado em relação à operação de interseção sobre E. 11. Seja o conjunto N munido da operação, definida como a b = a. b 2. Calcule : a) 2 3 b) ( 3 4 ) Seja o conjunto A = { A, B, C, D }, cujos elementos são os conjuntos : A =, B = { a, b }, C = { b, c } e D = { a, b, c }. Mostre que a interseção( ) não é uma operação em S. 13. Resolver em N a equação : [ 3 ( x x ) ] + ( 2 x ) = 160, onde é a operação em N definida por a b = a + b + a. b. 14. Seja o conjunto A = { 0, 1, 2, 3 }. Mostre que A é uma parte de Z que não é fechada em relação à operação em Z, definida por a b = a + b a. b. 15. Seja o conjunto A munido de uma operação e que possui a propriedade associativa. Se A é comutativo, mostre que : a ( b c ) = c ( b a ). 16. Mostre que as operações abaixo em E, são comutativas : a) E = R e a b = a b b) E = R x R e ( a, b ) ( c, d ) = ( a + c, b.d )

34 Mostre que as operações abaixo em E, são associativas : a) E = R e a. b = 3. a. b b) E = R x R e ( a, b ) ( c, d ) = ( a. c, b. c + d ) 18. Determine o elemento neutro da operação em A = Q definida por : a b = a. b Construir a tábua da operação em A = { 1, 2, 3 } definida pelas seguintes propriedades : a) x x = x, x A b) 2 é o elemento neutro c) 1 é regular 20. Determinar os elementos neutros à esquerda ou à direita par a operação definida por a b = a, no conjunto A = N. 21. No conjunto A = { 1, 2, 3 } munido da operação definida pela tábua de operação abaixo, determine o que se pede : a) o elemento neutro da operação se existir ; b) mostre que o elemento 2 é simetrizável e determine o seu simétrico. 22. Seja o grupóide ( Q, ), a operação em Q sendo definida por a b = a + b a. b. a) Calcular 3 4, 2 ( 5 ) e 7 b) Achar o Elemento Neutro para a operação. 1 2 c) Achar os simétricos dos elementos 3, ( 2 ) e 4 1. d) Determinar ( Q ). U

35 35 GRUPOS E SUBGRUPOS 1. CONCEITO DE GRUPO DEFINIÇÃO : Sejam G um conjunto não vazio e ( x, y ) x y uma lei composição interna em G. Dizemos que G é um grupo em relação a essa lei se, e somente se : a) a ( b c ) = ( a b ) c, para quaisquer a, b, c G ; b) existe e G de maneira que a e = e a = a, para quaisquer a G ; c) todo elemento de G é simetrizável em relação à lei considerada. Às vezes, por simplificação de linguagem, diz-se apenas " G é um grupo " ou " grupo G ", o que se pressupõe, uma lei de composição interna em G, com as proposições acima citadas. OBSERVAÇÕES : 1. Quando a lei de composição interna for uma "Adição " diremos que o grupo em questão é um " Grupo Aditivo " ; se a lei for a multiplicação " Multiplicação " nos referiremos a ele como " Grupo Multiplicativo ". 2. Na parte da teoria dos grupos aqui desenvolvida usaremos a notação Multiplicativa. 3. Se a lei que faz de G um grupo é dada por ( x, y ) x y também se costuma dizer que o par ( G, ), onde simboliza a operação, é um GRUPO. 2. GRUPOS COMUTATIVOS OU ABELIANOS DEFINIÇÃO : Dizemos que um grupo ( G, ) é Abeliano ou Comutativo se, e somente se a lei ( ) possui a propriedade comutativa, isto é : a b = b a, para quaisquer a, b G. 3. GRUPOS FINITOS TÁBUA DE UM GRUPO FINITO Um Grupo Finito é um grupo ( G, ) no qual o conjunto G é Finito. O número de elementos de G, neste caso é chamado Ordem do Grupo G. A tábua de um grupo finito ( G, ) é a tábua da lei de composição considerada em G. Denotaremos a ordem de um grupo finito G por o( G ). EXERCÍCIO PROPOSTO : Seja o conjunto G = { 1, 1 } e a operação de multiplicação usual. Construir a tábua de operação, verifique se G é um grupo e encontre a ordem, caso G seja um grupo.

36 36 4. EXEMPLOS DE GRUPOS IMPORTANTES a) Os conjuntos Z, Q, R e C munidos da operação de Adição usual são grupos abelianos. b)os conjuntos Q*, R* munidos da operação de Multiplicação usual são grupos abelianos. c) O conjunto dos números complexos ( C ) munido da operação de Multiplicação usual é grupo abeliano. d) O conjunto das matrizes M m x n ( R ), munido da operação de Adição é grupo abeliano. 5. PROPRIEDADES IMEDIATAS DE UM GRUPO Seja ( G, ) um grupo. As propriedades que já vimos sobre leis de composição interna nos garantem que : a) o elemento neutro é único ; b) existe um único simétrico para cada elemento a G ; c) indicando por x' o simétrico de um elemento genérico x G, temos : ( a b )' = b' quaisquer a, b G ; a', para d) para qualquer a G, temos que ( a' ) ' = a ; e) todo elemento de G é regular em relação a operação ; f) Se a, b G, então a equação a x = b, onde x é uma variável em G, admite uma única solução em G, ou seja : x = a' b. 6. SUBGRUPOS DEFINIÇÃO : Seja ( G, ) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H G é um Subgrupo se, e somente se : a) a b H, para quaisquer que sejam a, b H ; b) ( H, ) também é um grupo. PROPOSIÇÃO : Seja ( G, ) um Grupo. Para que um subconjunto não vazio H G seja um Subgrupo é necessário e suficiente que : a b' H, para quaisquer que sejam a, b H, onde b' é o simétrico de b. OBSERVAÇÃO : Todo Grupo G cujo elemento neutro indicamos por ( e ) admite pelo menos dois subgrupos G e { e }.

37 37 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo, são grupos e dizer quais são abelianos : a) ( N*, + ) b) ( Z,. ) c) ( Q*, ), onde a b = a. b 2 d) ( R, ), onde a b = a + b 2 2. Considere o grupo ( R *,. ). Mostre que H = { x R x > 0 } é um subgrupo de R*. 3. Considere o grupo ( Q, + ). Mostre que ( Z, + ) é um subgrupo de Q. 4. Mostre que o conjunto E = { a + b 3 R* a, b Q } é um grupo multiplicativo abeliano. 5. Seja G = { e, a, b, c } é um grupo em relação à operação dada na tabela abaixo, complete-a. 6. Sejam G um grupo multiplicativo e a, b, c elementos de G. Provar que : ( a. b. c ) 1 = c 1. b 1.a 1. Resolva a equação em G tal que a. b. c. x = c. 7. Verifique se são subgrupos : a) H = { a Q x > 0 } de ( R*,. ) b) J = { cos + i. sen Q } de ( C*,. ) c) I = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } de ( Z, + ) 3 d) L = { a + b 2 R* a, b Q } de ( R, + ) 8. Mostre que são grupos os conjuntos abaixo : a) A = { 3k k Z, + } b) G = { 2 k k Z,. } 9. Mostre que ( R { 1 }, ) é um grupo abeliano, onde a operação é definida por : a b = a + b a. b.

38 Mostrar que E = { 1, 1, i, i }, onde i 2 = 1 é um grupo multiplicativo. 11. Mostre que ( R, ) é um grupo abeliano, onde a operação em R é definida por : a b = 3 a 3 b Seja a operação sobre o conjunto G = { x R 1 < x < 1 } definida por : a b = a b. Mostre que ( G, ) é um grupo comutativo. 1 a.b 13. Mostre que (R 2, ) é um grupo, sendo a operação em R 2 definida por : ( a, b ) ( c, d ) = ( a + c, b + d ) Sejam as funções 1, 2, 3, 4 : R * : R, assim definidas 1 ( x ) = x, 2 ( x ) =, 3 ( x ) = x, x 1 4 ( x ) = e o conjunto G = { 1, 2, 3, 4 }. Mostre que ( G, o ) é um grupo, sendo " o " a operação x de composição de Funções. 15. Sejam ( G, ) um grupo e a operação em G definida por a b = b a. Mostre que ( G, ) é um grupo. 16. Sejam ( G 1, ) e ( G 2, ) dois grupos. Demonstre que ( G 1 x G 2, ) é um grupo, sendo a operação no produto cartesiano G 1 x G 2 definida por : ( a, b ) ( c, d ) = ( a c, b d ). 17. Seja a operação em R * assim definida por : a b = a.b, a / b, se a 0 se a 0. Mostre que (R *, ) é um grupo. 18. Seja ( G, ) um grupo tal que x x = e, para todo x G,. Mostrar que o grupo ( G, ) é abeliano. 19. Resolver a equação a c x = b, sabendo que é a operação de um grupo ( G, ) e que a, b, c, x G.

39 Seja ( G,. ) um grupo sejam a e b dois elementos tais que a 5 = e e a.b = b.a 3. Demonstre que a 2.b = b.a e a.b 3 = b 3.a Mostre que ( H,. ) é um subgrupo do grupo ( Q *,. ), onde H = { 2 n n Z } 22. Mostrar que ( J, + ) é um subgrupo dos grupos (Z, + ), (R, + ) e ( 3. Z, + ), onde J = 12Z. 23. Mostrar que ( G, ) é um subgrupo do grupo (R * x R, ), onde a operação em R * x R é definida como sendo ( a, b ) ( c, d ) = ( a. c, c + d ). 24. Sejam ( H, ) e ( K, ) dois subgrupos do grupo abeliano ( G, ) e seja J o conjunto : J = { x y x H e y K }. Mostre que ( J, ) é subgrupo de ( G, ). 25.Sejam ( H, ) um subgrupo de ( G, ( K, ) é um subgrupo de ( G, ). ) e ( K, ) um subgrupo de ( H, ). Demonstre que

40 40 ANÉIS 1. ANÉIS Sejam ( x, y ) ( x + y ) e ( x, y ) x.y leis de COMPOSIÇÃO INTERNAS num conjunto A não vazio. Suponhamos que : I) O conjunto A é um grupo abeliano em relação à primeira dessas leis( Adição ), isto é : a) a, b, c de A, temos que : a + ( b + c ) = ( a + b ) + c ; b) a, b de A, temos que : a + b = b + a ; c) Existe elemento neutro para essa Adição. Será ele indicado por 0 A ou 0, quando não houver possibilidade de confusão : é o Zero do anel. Portanto, para todo a A, temos : a + 0 = a. d) Todo elemento de A admite um simétrico aditivo, ou seja, para todo a A existe um elemento em A, indicado por ( - a ), de forma que a + ( a ) = 0( zero ). I I) A segunda das leis consideradas( multiplicação ) é associativa, ou seja, a, b, c de A, temos que : a. ( b. c ) = ( a. b ). c I I I ) A multiplicação é Distributiva em relação à Adição, ou seja, a, b, c de A, temos que : ( a + b ). c ) = a. c + b. c DEFINIÇÃO 1 : Nas condições expostas acima dizemos que o conjunto A é um Anel em relação à Adição e à Multiplicação consideradas. Ainda podemos dizer que, a terna ordenada formada pelo conjunto A, a Adição e a Multiplicação ( A, +,. ) é um Anel. Às vezes diremos apenas " A é um Anel ". 2. EXEMPLOS DE ANEL A) São exemplos clássicos de Anel : a) (Z, +,. ) b) ( Q, +,. ) c) (R, +,. ) d) ( C, +,. ) B) Os conjuntos n. Z = { n. q ; q Z, onde n N e n 1 } C) Os conjuntos M n ( Z ), M n ( Q ), M n ( R ), e M n ( C ), são anéis em relação à Adição e a Multiplicação de matrizes. D) Seja A = Z Z = { ; : Z Z }. Dadas duas funções quaisquer, g A, definindo + g e. g como : + g : Z Z e ( + g )( x ) = ( x ) + g( x ), x Z. g : Z Z e (. g )( x ) = ( x ). g( x ), x Z, então temos definidas uma "Adição" e uma "Multiplicação" em a. Nessas condições A é um Anel.

41 41 E) Sejam A e B anéis quaisquer. Se definirmos " Soma" e "Produto" de elementos A x B do seguinte modo : ( a, b ) + ( c, d ) = ( a + b, c + d ) e ( a, b ). ( c, d ) = ( a. c, b. d ), ( a, b ) e ( c, d ) A x B, então ( A x B, +,. ) é um Anel. 3. PROPRIEDADES DE UM ANEL Consideremos um anel ( A, +,. ). DEFINIÇÃO 2 : Dados dois elementos a e b de um Anel A, a diferença entre a e b, que indicaremos por a b, é o elemento a + ( b ). Assim a b = a + ( b ). DEFINIÇÃO 3 : Dados a A e n N*, define-se a n por recorrência do seguinte modo : a 1 = a e a n = a. a n 1, n > 1. I) Quanto à Adição, A é um grupo abeliano, então são verdadeiras as seguintes propriedades : a) o Zero do anel é único ; b) para cada a A existe um único simétrico aditivo ; c) dados a 1, a 2,..., a n A ( n > 1 ), então : ( a 1 + a a n ) = ( a 1 ) + ( a 2 ) ( a n ) ; d) a A, temos que : [ ( a )] = a ; e) a, x, y A, temos que : a + x = a + y x = y ; f) o conjunto solução de uma equação a + x = b, onde a, b A e x é a variável em A é {( a ) + b }; I I ) a A, temos que : a. 0 = 0. a = 0 I I I ) a, b A, temos que : a. ( b ) = ( a ). b = ( a. b ) IV) a, b A, temos que : a. b = ( a. b ) V) a, b, c A, temos que : a. ( b c ) = a. b a. c VI ) a A e m, n N*, temos que : a m. a n = a m + n VII) a A e m, n N*, temos que : ( a m ) n = a m. n

42 42 4. SUBANÉIS DEFINIÇÃO : Seja ( A, +,. ) um Anel. Dizemos que um subconjunto L A, não vazio, é um Subanel de A se, e somente se : a) L é fechado para ambas as operações de A, isto é, a, b A, temos que : a + b L e a. b L. b) ( L, +,. ) é Anel EXEMPLOS : a) 2. Z é um subanel de Z b) M n ( Z ) é um subanel de M n ( R ) PROPOSIÇÃO : Sejam um Anel e L um subconjunto não vazio de A. Então L é um subanel de A se, e somente se, a, b L temos que : a - b L e a. b L, ou seja, L é fechado para a subtração e para a multiplicação. EXEMPLO : Verifique se a terna ( 2 Z, +,. ) é um subanel do anel ( Z, +,. ). 5. ANÉIS COMUTATIVOS E ANÉIS COM UNIDADE DEFINIÇÃO 1 : Dizemos que um Anel A é um subanel comutativo, se a multiplicação é comutativa, isto é, a, b A, temos que : a. b = b. a. DEFINIÇÃO 2 : Um Anel com Unidade é um Anel A que possui elemento neutro para a multiplicação. Este elemento neutro será indicado por 1 A ou apenas 1 ( hum ), se não houver possibilidade de confusão. Suporemos sempre que 1 A 0 A. Um anel comutativo com unidade é um anel cuja multiplicação é comutativa e para a qual exista elemento neutro. O elemento neutro da multiplicação de um anel é chamado quando existe, de Unidade do Anel.

43 43 LISTA DE EXERCÍCIOS 1. Mostrar que a terna ( Z,, ) é um anel comutativo, e as operações por : e em Z são definidas a b = a + b 1 e a b = a + b a. b 2. Mostrar que a terna ( Q,, ) é um anel comutativo unitário, e as operações e em Q são definidas por : a b = a + b 3 e a b = a + b 3 1 a. b 3. Mostrar que a terna ( Z 2,, ) é um anel comutativo, e as operações e em Z 2 são definidas por : ( a, b ) ( c, d ) = ( a + b, c + d ) e ( a, b ) ( c, d ) = ( a. c, 0 ). 4. Mostre que são anéis : a) O conjunto Z dotado das leis de Adição usual e a Multiplicação assim definida a. b = 0, a, b Z. b) O conjunto Q com das leis definida por x y = x + y 1 e x y = x + y x.y. 5. Quais dos anéis do exercício anterior são comutativos? Quais tem unidade? Determinar a unidade no caso de existir. 6. Consideremos as operações e em Z definidas por : x y = x + ay 2 e x y = xy + by + d, onde a, b, c, d são números inteiros dados. Determinar a, b, c, d de modo que ( Z,, ) seja um anel. Para que valores obtidos de a, b, c, d a terna ( Z,, ) é um anel com unidade? 7. Sabe-se que A = { a, b, c, d } e ( A, +,. ) é um anel em que os elementos neutros das operações ( + ) e (. ) são respectivamente, a e b. Conhecendo-se os compostos b + b = a e c + c = a e c. d = a, construir as tábuas das duas operações.

44 44 8. Determinar quais dos seguintes subconjuntos de Q são subanéis : a) Z b) B = { x Q x Z } c) C = a Q b a Z, b Z e 2 b a d) D = n 2 Q a Z e n Z 9. Verifique se são subanéis os conjuntos abaixo : a) L = { a + b 2 a, b Q } do anel R b) Z do anel Q c) 2 Z x 2 Z do anel Z x Z 10. Dê um exemplo de anel A e subanel B de forma que : 1 A, 1 B, 1 A = 1 B. 11. Mostrar que a terna ( G,, ) é uma anel comutativo unitário, onde G = { 0, 1 } e as operações e em G estão definidas pelas tábuas abaixo. 12. Seja M 2 ( R ) o conjunto das matrizes reais quadradas de ordem 2 da forma : a b b a. Mostre que a terna ( M 2 ( R ), +,. ) é um anel comutativo com elemento unidade. 13. Seja o conjunto A = { a + b. 2 + c. 3 a, b, c Z }. Mostre que a terna ( A, +,. ) não é um anel. 14. Mostre que a terna ( H, +,. ) não é um anel, onde H = { b. i b R e i 2 = 1 }.