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1 Capítulo 1 Como motivação para a construção dos números complexos aconselha-se o visionamento do quinto do capítulo do documentário Dimensions, disponível em Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

2 Capítulo 1 Definição 1.1: 1. Definimos o número imaginário,, como o símbolo tal que. 2. Ao conjunto * + chamamos conjunto dos números complexos. Nota: Podemos identificar o subconjunto de * + com, passando este a ser considerado um subconjunto de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

3 Capítulo 1 Operações algébricas com complexos: Sejam Definimos dois números complexos. 1. adição de com ao complexo ( ) ( ); 2. multiplicação de por ao complexo ( ) ( ). Nota: Para complexos da forma,, estas operações coincidem com as operações usuais em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

4 Capítulo 1 Propriedades algébricas (1.2): Sejam complexos quaisquer. 1. (soma é comutativa); 2. (multiplicação é comutativa); 3. ( ) ( ) (soma é associativa); 4. ( ) ( ) (multiplicação é associativa); 5. é o elemento neutro da soma ( ); 6. é o elemento unidade da multiplicação, ou seja, ; 7. ( ) é o elemento simétrico de, ou seja, ( ) ; 8. ( ) (multiplicação é distributiva relativamente à adição); 9. se e só se ou (lei do anulamento do produto); 10. se e só se (lei do corte para a adição). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

5 Capítulo 1 Da motivação construção dos números complexos óbvio a existência de uma bijecção canónica entre e,, definida por ( ) ( ) onde. A aplicação inversa de é dada por ( ) Tendo em conta esta aplicação, definimos naturalmente um produto em ( ) ( ) ( ) dado por A aplicação respeita as operações definidas em e, ou seja, para todo o 1. ( ) ( ) ( ) 2. ( ) ( ) ( ) O mesmo se pode afirmar sobre. A identificado com, via, chamamos Plano de Argand. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

6 Capítulo 1 Definição (1.3): Seja, um número complexo. 1. Denominamos o real por parte real de e representamos este real por ( ); 2. Denominamos o real por parte imaginária de e representamos este real por ( ); 3. Se ( ), dizemos que é um imaginário puro. Nota: Dados dois números complexos e e. Temos que 1. se e só se ( ) ( ) e ( ) ( ); 2. se e só se ( ) ; 3. (linearidade) ( ) ( ) ( ) e ( ) ( ) ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

7 Capítulo 1 Interpretação geométrica da soma de complexos (regra do paralelogramo) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

8 Capítulo 1 Nota: Em, a relação de ordem usual todo o real, respeita a adição e a multiplicação, ou seja, para e. ; Ao contrário de não existe qualquer relação de ordem canónica em. Isto deve-se ao facto de se provar que não existe uma relação de ordem que respeite a multiplicação de números complexos. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

9 Capítulo 1 Definição (1.4): Dado um complexo, definimos o conjugado de como o complexo tal que ( ) ( ) e ( ) ( ). Propriedades do conjugado (1.5): Sejam complexos quaisquer. 1. ( ) ( ) ; 2. ( ) ( ) ( ( ) ( )) ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ( ) ; 7. ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

10 Capítulo 1 Definição de inverso de um complexo: Seja um complexo. O elemento inverso de, que representamos por ou por, é o complexo tal que. Como tal ( ) ( ) Definição do quociente de complexos: Sejam complexos quaisquer, com. Definimos quociente de por como o complexo ( ) ( ) Nota: Como, para as operações de soma e multiplicação definidas, os números complexos verificam as propriedades 1. a 8. de 1.2 e além disso todo o complexo não nulo admite inverso, algebricamente o conjunto dos números complexos tem a estrutura de corpo. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

11 Capítulo 1 Propriedades da divisão (1.6): Sejam complexos quaisquer. 1. Se, ; 2. Se, 3. Se, se e só se (lei do corte para a multiplicação); 4. Se,. / Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

12 Capítulo 1 A propriedade 2. De 1.5 motiva a seguinte definição. Definição (1.7): Seja um complexo qualquer. Definimos módulo de como ( ) ( ) Nota: Sejam e complexos quaisquer. 1. Se ( ), então o módulo de é igual ao módulo real de ; 2. ( ( ) ( )) ( ( ) ( )), ou seja, mede a distância entre e enquanto pontos no plano de Argand. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

13 Capítulo 1 Propriedades do módulo (1.8): Sejam complexos quaisquer. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. Se, 6. ( ) ( ) e ( ) ( ) ; 7. (desigualdade triangular); 8.. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

14 Capítulo 1 Definição de potenciação: Seja um complexo não nulo e um natural. Definimos, por recorrência, Nota: Dado natural, definimos como o complexo ( ). Propriedades da potenciação (1.9): Sejam complexos quaisquer e inteiros. 1. Se, ; 2. Se, ( ) ; 3. Se, ( ) 4. ; 5.( ) ; 6.( ) ; 7.( )( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

15 Capítulo 1 Teorema fundamental da álgebra (1.10): Todo o polinómio de variável complexa e coeficientes complexos, com constantes complexas e, admite uma factorização da forma ( ) ( ) ( ) onde são constantes complexas e são naturais tais que, Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

16 Capítulo 1 Como as funções seno e co-seno são periódicas de período, a escolha de não é única. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

17 Capítulo 1 Definição (1.11): Definimos grupo unitário como o conjunto * + Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

18 Capítulo 1 Nota: O produto de dois elementos de é um elemento de. Além disso a multiplicação de complexos restrita a elementos de ainda verifica é associativa, comutativa, admite elemento unidade e todo o inverso de um elemento de ainda é um elemento de. Nesta situação é dito que tem estrutura algébrica de grupo comutativo. Propriedade (1.12): Dado um complexo não nulo, existe um único real positivo e um único elemento de tal que. Definição de forma polar: Seja um complexo não nulo e um real tal que ( ( ) ( )) A esta representação chamamos forma polar ou forma trigonométrica. Chamamos a argumento de. um Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 18 ~

19 Capítulo 1 Nota: Seja um complexo não nulo. 1. Se e são dois argumentos de, como as funções seno e co-seno são periódicas de período, existe tal que ; 2. Se é um argumento de, é uma solução do sistema ( ) ( ) ( ) ( ) { e o conjunto solução deste sistema é * Se e é um argumento de, temos que ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 19 ~

20 Capítulo 1 Igualdade entre complexos na forma polar Sejam ( ( ) ( )) e ( ( ) ( )) dois complexos não nulos quaisquer. Temos que { Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 20 ~

21 Capítulo 1 Quando necessário, para remover a ambiguidade na escolha do argumento de um complexo, fixamos um intervalo do tipo - - ou do tipo,,,. Definição (1.13): À restrição do argumento de um complexo não nulo ao intervalo - - chamamos argumento principal e representamos por ( ). Representamos o conjunto de todos os argumentos de por ( ), ou seja, ( ) * ( ) + Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 21 ~

22 Capítulo 1 Cálculo do argumento de um complexo A alínea 2 da nota da página 19 fornece um método para calcular o argumento de um complexo, caso este esteja restrito ou não a um intervalo. Da alínea 3 da nota da página 19, e tendo em conta que a função o intervalo 1 0 e que a função tem período, obtemos tem por contra-domínio 1. ( ). /, se e ; 2. ( ), se e ; 3. ( ). /, se ; 4. ( ), se e ; 5. ( ). /, se e. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 22 ~

23 Capítulo 1 Definição (1.14): Definimos a aplicação de em como ( ) ( ) Propriedades (1.15): Sejam e. 1. é periódica de período, ou seja, ( ) ; 2. ; 3. ( ) ; 4. ( ) ; 5. ( ) ; 6.(igualdade de Moivre) ( ) ; 7.. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 23 ~

24 Capítulo 1 Temos assim que { } Na representação em forma polar, usaremos a notação exponencial, ou seja, dado complexo não nulo, escrevemos a sua forma polar como um ( ) Nota: Da propriedade 1. de (1.5), vem que ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 24 ~

25 Capítulo 1 Propriedades (1.16): Sejam complexos não nulos e um inteiro. 1. ( ) ( ) * ( )+; 2.. / ( ); 3. ( ) ( ) ( ) * ( ) ( )+; 4.. / ( ) ( ) * ( ) ( )+; 5. ( ) ( ) * ( )+. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 25 ~

26 Capítulo 1 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 26 ~

27 Capítulo 1 Definição (1.17): Sejam complexos não nulos e um inteiro. Dizemos que é uma raiz de ordem de se Teorema (1.18): A equação,, admite exactamente soluções distintas, sendo o conjunto destas dado por { } Nota: As raízes de são os vértices de um polígono regular de lados inscrito na circunferência de centro na origem e raio. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 27 ~

28 Capítulo 1 Na seguinte página de internet encontra-se um gif animado que apresenta algumas iteração das raízes da unidade, ou seja, as soluções de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 28 ~

29 Capítulo 1, Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 29 ~

30 Capítulo 1 O conjunto * + descreve a circunferência de centro em e raio. O conjunto * + descreve o círculo de centro em e raio. Ao conjunto * + chamamos disco aberto de centro em e raio, e representamos, respectivamente, por ( ). Ao conjunto * + chamamos disco fechado de centro em e raio, e representamos, respectivamente, por ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 30 ~

31 Capítulo 1 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 31 ~

32 Capítulo 1 O conjunto * + descreve a mediatriz do segmento de recta definido no plano complexo pelos pontos e. O conjunto * + descreve o semi-plano fechado que contem o ponto e definido pela mediatriz do segmento de recta definido no plano complexo pelos pontos. e Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 32 ~

33 Capítulo Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 33 ~

34 Capítulo 1 Tendo em conta a propriedade 2. de (1.5) e a definição (1.7), resulta que a aplicação ( ) ( ( ) ( )) é uma isometria entre e, ou seja, é uma bijecção tal que, para quaisquer dois complexos, ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) Como tal, facilmente adaptamos as noções topológicas de basicamente equivalentes também a nível topológico. para, sendo estes conjunto Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 34 ~

35 Capítulo 1 Definição (1.19): Seja e. 1. é ponto interior de se existe tal que ( ). Ao conjunto de todos os pontos interiores de chamamos interior de e representamos por ou. Se, dizemos que é aberto. 2. é ponto exterior de se existe tal que ( ). Ao conjunto de todos os pontos exteriores de chamamos exterior de e representamos por. 3. é ponto fronteiro de se, para todo o, ( ) e ( ). Ao conjunto de todos os pontos fronteiros de chamamos fronteira de e representamos por ou. 4. é ponto de acumulação de se, para todo o, ( ( ) * +). Ao conjunto de todos os pontos de acumulação de chamamos derivado de e representamos por. 5. Ao conjunto chamamos aderência de e representamos por. Se dizemos que é fechado. 6. Dizemos que é limitado se existir tal que, para todo o,. 7. Dizemos que é conexo se dados dois quaisquer pontos deste, existe uma curva que une estes pontos contida em. A um conjunto aberto conexo chamamos domínio. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 35 ~

36 Capítulo 4 Para, a transformação ( ( ) ( )) ( ( ) ( )) define a translação de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

37 Capítulo 4 Seja, com e. A transformação define a rotação centrada em e de ângulo. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

38 Capítulo 4 Para, a transformação define a reflexão de eixo. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

39 Capítulo 4 Reflexão de eixo { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

40 Capítulo 4, esta diz- Definição de isometria do plano de Argand: Dada uma aplicação bijectiva se uma isometria do plano se, para quaisquer complexos, temos ( ) ( ) As transformações apresentadas no início deste capítulo são exemplo de isometrias no plano. O seguinte teorema classifica todas as isometrias do plano que preservam a origem. Nota: Facilmente se prova que a composição de isometrias do plano é uma isometria do plano. (Prove-o!) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

41 Capítulo 4 Teorema (2.1): Seja uma isometria do plano tal que ( ). Então existe tal que uma das seguintes condições é verificada: 1. é uma rotação centrada em e ângulo, ou seja, ( ) ; 2. é uma reflexão de eixo, ou seja, ( ). Corolário (2.2): Seja uma isometria do plano e ( ). Então existe tal que uma das seguintes condições é verificada: 1. é uma isometria directa, ou seja, ( ) ; 2. é uma isometria indirecta, ou seja, ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

42 Capítulo 4 Classificação de isometrias directas Seja, ( ),. 1. Se, ( ) é uma translacção; 2. Se, seja. O ponto é o único ponto fixo de. Podemos reescrever a transformação como ( ) ( ) Como tal é uma rotação de centro em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

43 Capítulo 4 ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

44 Capítulo 4 Classificação de isometrias indirectas Seja, ( ),. 1. Se ( ), seja. Podemos reescrever a transformação como ( ) ( ) Como tal é uma reflexão de eixo. 2. Se ( ), seja ( ). Podemos reescrever a transformação como ( ) ( ) Temos que ( ) ( ). Como tal, ( ) ( ) e tendo em conta 1., é a composição da reflexão de eixo com a translacção de. Como é da forma a translacção é paralela ao eixo da reflexão e é dita uma reflexão deslizante. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

45 Capítulo 4 ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

46 Capítulo 4 ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

47 Capítulo 4 Teorema (2.3): Dada uma isometria do plano, esta é ou uma translacção ou uma rotação ou uma reflexão ou uma reflexão deslizante. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

48 Capítulo 4 Seja, com. A transformação define a homotetia centrada em e de razão. Seja ( ) uma homotetia centrada na origem e de razão. Temos que: 1. ( ) ; 2. ( ( )) ( ); 3. Para quaisquer complexos, ( ) ( ) Logo é uma isometria do plano se e só se, ou seja, se for a identidade. 4. Se, diz-se uma ampliação; 5. Se, diz-se uma redução. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

49 Capítulo 4 Ampliação Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

50 Capítulo 4 Redução Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

51 Capítulo 4 A transformação A transformação age sobre da seguinte forma: Sejam e. Esta transformação age sobre um conjunto do tipo { } transformando-o em { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

52 Capítulo 4 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

53 Capítulo 4 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 18 ~

54 Capítulo 4 A aplicação * ( ) +, ( ) é uma bijecção. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 19 ~

55 Capítulo 3 Definição (3.1): Sejam. Dizemos que uma correspondência é uma função complexa de variável complexa se para todo o elemento de fazemos corresponder um e um só elemento de. Denominamos o conjunto por domínio de definição. Nota: O conjunto não é obrigatoriamente o maior conjunto onde a função faz sentido. Por exemplo, podemos considerar a função definida num qualquer subconjunto de { }. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

56 Capítulo 3 Definição (3.2): Seja uma função de variável complexa e. Definimos o conjunto imagem de por,, como { } Definição (3.3): Seja uma função complexa de variável complexa. 1. Dizemos que é injectiva se, para todo o,. 2. Dizemos que é sobrejectiva se. 3. Dizemos que é bijectiva se é injectiva e sobrejectiva. (Prove que é bijectiva) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

57 Capítulo 3 Definição (3.4): Sejam e funções de variável complexa. Se, definimos a função composição como. Definição (3.5): Seja uma função complexa de variável complexa bijectiva. Definimos função inversa de, e representamos por, à única função tal tal que (Prove que se então ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

58 Capítulo 3 Seja uma função complexa de variável complexa. Através da identificação podemos considerar como uma função definida num subconjunto de e de contradomínio contido em, construída da seguinte forma: Seja, ( ( ) ( )) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

59 Capítulo 3 Definição (3.6): Seja uma função de variável complexa. Definimos gráfico de como o subconjunto de ( é o conjunto de pares ordenados cujas entradas são números complexos) {( ) } Nota: O gráfico de função complexa de variável complexa é um subconjunto de o gráfico de quer o gráfico de são subconjuntos de.. Mas quer Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

60 Capítulo 3 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

61 Capítulo 3 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

62 Capítulo 3 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

63 Capítulo 3 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

64 Capítulo 3 Definição (3.7): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de. Dizemos que o limite de quando tende para é, e representamos por se Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

65 Capítulo 3 Teorema (3.8): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de. O limite de quando tende para, caso exista, é único. Teorema (3.9): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de. As seguintes condições são equivalentes: ( ) e ( ). Nota: existe se e só se existem os limites ( ) e ( ). Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

66 Capítulo 3 Teorema (3.10): Sejam e funções de variável complexa. Seja um ponto aderente de. Suponhamos que existe e , onde é uma constante complexa; 3. ( ) ( ); 4. Se ; Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

67 Capítulo 3 Definição (3.11): Seja conjugada,, como uma função de variável complexa, definimos função Teorema (3.12): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de. Seja. 1. ; 2. ; 3. se e só se. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

68 Capítulo 3 Teorema (3.13): Sejam e funções de variável complexa. Seja um ponto aderente de. Suponhamos e que, então Teorema (3.14): Sejam e funções de variável complexa. Seja um ponto aderente de. Suponhamos que e que existe tal que para todo o. Então Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

69 Capítulo 3 Definição (3.15): Seja uma função de variável complexa e. Dizemos que é contínua em se ou seja, Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

70 Capítulo 3 Do teorema (3.9) resulta logo o seguinte teorema. Teorema (3.16): Seja uma função de variável complexa e. As seguintes condições são equivalentes: 1. é contínua em. 2. e são contínuas em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

71 Capítulo 3 Do teorema (3.10) resulta imediatamente o seguinte teorema. Teorema (3.17): Sejam e funções de variável complexa. Seja. Suponhamos que e são contínuas em. 1. é contínua em ; 2. é contínua em, onde é uma constante complexa; 3. é contínua em ; 4. Se é contínua em. Do teorema (3.10) resulta imediatamente o seguinte teorema. Teorema (3.18): Sejam e funções de variável complexa. Seja. Suponhamos que é contínua em e que é contínua em. Então é contínua em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

72 Capítulo 3 Definição (3.19): Seja uma função de variável complexa e um ponto aderente de. Seja. Definimos prolongamento por continuidade de a à função de domínio de definição { } de expressão { Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 18 ~

73 Capítulo 3 Exponencial Complexa Definimos a função exponencial complexa como a função [ ( ) ( )] Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 19 ~

74 Capítulo 3 Propriedades (3.20): 1. e ; 2. e ; 3. Para qualquer, e ; 4. Para qualquer ; 5. é periódica de período, ou seja,. 6. Por 1., a exponencial é uma função contínua em ; 7. O conjunto imagem de pela exponencial é { }, ou seja, é o contra-domínio da exponencial; 8. Dado, a restrição exponencial { ] ]} é uma bijecção. 9. Para quaisquer complexos Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 20 ~

75 Capítulo 3 Funções Trigonométricas Complexas Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 21 ~

76 Capítulo 3 Propriedades (3.21): 1. e ; 2. e ; 3. e ; 4. Quer quer são funções periódicas de período, ou seja, e ; 5. Por 1. e 2., as funções seno e co-seno são contínuas em ; 6. Para qualquer, 7. e ; 8. As funções seno e co-seno não são limitadas. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 22 ~

77 Capítulo 3 Para definimos a função tangente como Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 23 ~

78 Capítulo 3 Funções Hiperbólicas Complexas Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 24 ~

79 Capítulo 3 Propriedades (3.22): 1. e ; 2. e ; 3. e ; 4. Quer quer são funções periódicas de período, ou seja, e ; 5. Por 1. e 2., as funções seno hiperbólico e co-seno hiperbólico são contínuas em ; 6. Para qualquer, 7. e. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 25 ~

80 Capítulo 3 Logaritmo Complexo Definição de logaritmo: Dado, dizemos que o complexo é um logaritmo de se Representamos o conjunto de todos os logaritmos de por, ou seja, { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 26 ~

81 Capítulo 3 Propriedade (3.23): Dado, se e só se ou seja, se e só se existe tal que Propriedade (3.24): Dados, ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 27 ~

82 Capítulo 3 Definição (3.25): Seja. Dado, seja o argumento de pertencente ao intervalo ] ]. Definimos logaritmo de base como a função { } Propriedade (3.26): A restrição do logaritmo de base { } { } é uma bijecção. Além disso é a função inversa da restrição da exponencial { } { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 28 ~

83 Capítulo 3 Definição de ramo principal: Definimos ramo principal do logaritmo ao logaritmo de base e representamos este por, ou seja, para Nota: No caso do ramo principal do logaritmo, { } { } Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 29 ~

84 Capítulo 3 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 30 ~

85 Capítulo 3 Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 31 ~

86 Capítulo 3 Propriedades (3.27): 1. ( ) e ( ) ; 2. A função é contínua em { }. No caso do ramo principal, este é contínuo em ; 3. Sejam { } e., para um certo ; ( ), para um certo ;, para um certo. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 32 ~

87 Capítulo 3 Potências Complexas Definição (3.27): Seja e. Definimos o conjunto { } Propriedades (3.28): Sejam, e. 1. ; 2. =. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 33 ~

88 Capítulo 3 Definição de determinação principal da potência: Dado principal da potência complexa como, definimos determinação Propriedades (3.29): 1. A função é contínua em. 2. Sejam e, Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 34 ~

89 Capítulo 3 Nota: 1. Sejam e. Suponhamos que. Se, nem sempre é verdade a igualdade 2. Sejam e Se, nem sempre é verdade a igualdade Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 35 ~

90 Capítulo 3 Definição (3.30): Definimos a função raiz quadrada como Nota: Sejam. Suponhamos que. Nem sempre é válida a igualdade Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 36 ~

91 Capítulo 4 Definição de derivada: Seja uma função de variável complexa e um ponto interior de. Definimos derivada de no ponto, que representamos por ( ) ou ( ), ao limite, caso exista, ( ) ( ) Neste caso dizemos que é -derivável em. Nota: O limite acima indicado é equivalente ao limite ( ) ( ) Nesta notação, chamamos acréscimo à variável complexa acréscimo é.. Uma notação usada para o Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

92 Capítulo 4 Definição (4.1): Seja uma função de variável complexa e um ponto interior de. Dizemos que é -diferenciável em se existir um número complexo e uma função complexa definida numa bola aberta de centro em tais que e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

93 Capítulo 4 Teorema (4.2): Seja uma função de variável complexa e um ponto interior de. As seguintes afirmações são equivalente: 1. A função admite derivada no ponto. 2. A função é -diferenciável em. Teorema (4.3): Seja uma função de variável complexa e um ponto interior de. Se a função admite derivada no ponto então é contínua neste ponto. Nota: Se não é contínua em então não admite derivada no ponto. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

94 Capítulo 4 Definição de função holomorfa: Seja um aberto de e. Dizemos que é holomorfa em se é -derivável em todos os pontos de. Representamos o conjuntos de todas as funções holomorfas em por ( ). Definição (4.10): Seja uma função de variável complexa. Dizemos que é inteira se é holomorfa em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

95 Capítulo 4 Teorema (4.4): Sejam funções -deriváveis em e. 1. ( ) ( ) ( ) ( ); 2. ( ) ( ) ( ); 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); 4. Se ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )). Teorema (4.5): Seja uma função -derivável em e uma função -derivável em ( ). Então é diferenciável em e ( ) ( ) ( ( )) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

96 Capítulo 4 Teorema (4.6): Seja, aberto, uma bijecção holomorfa em. Suponhamos que, para todo o, ( ) e que é contínua. Então é holomorfa em e para todo o, ( ( )) ( ( )) Definição (4.7): A uma bijecção tal que ( ) e ( ) denominamos por função bi-holomorfa. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

97 Capítulo 4 Definição (4.8): Seja uma função de variável complexa e ( ) e ( ). Sejam e um ponto interior de. Definimos ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

98 Capítulo 4 Nota: 1. Se ( ) existir então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. Se ( ) existir então ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

99 Capítulo 4 Definição (4.9): Seja uma função de variável complexa, ( ), ( ) e. Dizemos que satisfaz as condições de Cauchy-Riemann em se ou seja, se ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) { ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( ) ( )) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

100 Capítulo 4 Teorema de Cauchy-Riemman: Seja uma função de variável complexa, ( ), ( ) e um ponto interior de. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. é -diferenciável em. 2. verifica as condições de Cauchy-Riemann em e as funções ( ) e ( ) são diferenciáveis (como funções de ) no ponto ( ( ) ( )). Além disso, ( ) ( ) ( ) Lembrete: Seja, com um aberto. Se admite derivadas parciais contínuas em, então é diferenciável em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

101 Capítulo 4 uma função de variável complexa, ( ), ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ( ) ( )) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

102 Capítulo 4 uma função de variável complexa, ( ), ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( ) ( )] ( ( ) ( )) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

103 Capítulo 4 Nota: Seja, aberto. 1. A função atisfaz as condições de Cauchy-Riemann em se e só se ( ) 2. Se ( ) e ( ) são funções de classe em, visto como subconjunto de ({( ( ) ( )) }), e se em e além disso ( ) em todo os pontos de, então é holomorfa ( ) ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

104 Capítulo 4 Teorema (derivação de funções elementares): 1. As funções exponencial, seno, co-seno, seno hiperbólico e co-seno hiperbólico são holomorfas em e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. Seja. A função é holomorfa em { }. No caso do ramo principal do logaritmo, esta é holomorfa em ( ( )). Além disso Nota: A expressão da derivada do logaritmo não depende da base deste. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

105 Capítulo 4 Definição (4.10): Seja, com aberto. Suponhamos que ( ). Dizemos que é harmónica em se, para todo o ( ), A ( ) ( ) chamamos Laplaciano de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

106 Capítulo 4 Teorema (4.11): Seja aberto e ( ). Então as funções ( ) e ( ) são harmónicas em, visto como subconjunto de ({( ( ) ( )) }). Teorema (4.12): Seja aberto um aberto simplesmente conexo e uma função harmónica em {( ( ) ( )) }. Então existe uma função harmónica em {( ( ) ( )) } tal que a função ( ) ( ) ( ) ( ) é holomorfa em. A função é única a menos da soma de uma constante e denominada por conjugada harmónica de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

107 Capítulo 4 O Teorema (4.12) diz-nos que qualquer função harmónica num simplesmente conexo pode ser encarada como parte real de uma função holomorfa. De forma análoga, qualquer função harmónica num simplesmente conexo pode ser encarada como parte imaginária de uma função holomorfa. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

108 Capítulo 5 Definição (5.1): A uma aplicação do tipo denominamos por sucessão complexa. Chamamos termo geral à expressão e representamos por. Representamos a sucessão por. Definição (5.2): Seja uma sucessão complexa e. Dizemos que é convergente para, e representamos tal por se Ao número chamamos limite de. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 1 ~

109 Capítulo 5 Teorema (5.3): O limite de uma sucessão quando existe é único. Definição(5.4): Se uma sucessão não admite limite dizemos que esta é divergente. Definição de sucessão limitada: Dada uma sucessão complexa limitada se, dizemos que esta é Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 2 ~

110 Capítulo 5 Teorema (5.5): Toda sucessão complexa convergente é limitada. Definição (5.6): Sejam e sucessões complexas. Dizemos que é uma subsucessão de se existir uma sucessão estritamente crescente tal que ( ) Teorema (5.7): Seja uma sucessão complexa convergente para. Toda a subsucessão de é convergente para. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 3 ~

111 Capítulo 5 Teorema (5.8): Seja uma sucessão complexa convergente para zero e uma sucessão complexa limitada. Então Teorema (5.9): Seja uma sucessão complexa convergente para. 1. se e só se ; 2. Se, então ; 3. Se, então. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 4 ~

112 Capítulo 5 Teorema (5.10): Sejam duas sucessões complexas convergentes , onde é uma constante complexa; 3. ; 4. Se Seja uma sucessão complexa. Via a bijecção, podemos identificar esta sucessão com a sucessão de ( ) Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 5 ~

113 Capítulo 5 Teorema (5.11): Seja uma sucessão complexa e. As seguintes afirmações são equivalentes: 1. ; 2. e. Teorema (5.12): Seja uma função de variável complexa e. A função é contínua em se e só se para toda a sucessão complexa de elementos em e convergente para, a sucessão ( ) converge para. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 6 ~

114 Capítulo 5 Definição (5.13): Seja definida por uma sucessão complexa. Consideremos a sucessão Denominamos esta por sucessão das somas parciais. Representamos o limite da sucessão das somas parciais por Se este limite existir, dizemos que a série de termo geral é convergente e o seu valor denominamos por soma da série. Caso contrário dizemos que a série é divergente. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 7 ~

115 Capítulo 5 Teorema (5.14): Se é convergente, então. No caso de, dizemos que é grosseiramente divergente. Teorema (5.15): Sejam e duas séries de soma, respectivamente, e. Seja. 1. A série tem por soma ; 2. A série tem por soma. Teorema (5.16): Se é convergente, então é convergente. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 8 ~

116 Capítulo 5 Definição (5.17): Dizemos que a série é absolutamente convergente se a série é convergente. Se a série é convergente e é divergente, dizemos que é semi-convergente ou simplesmente convergente. Do Teorema (5.11) resulta imediatamente o seguinte teorema. Teorema (5.18): Seja uma sucessão complexa e. As seguintes afirmações são equivalentes. 1. A série é convergente de soma ; 2. As séries reais e são ambas convergentes de soma, respectivamente, e. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 9 ~

117 Capítulo 5 Teorema (5.19): Seja uma sucessão complexa. Se as séries e são ambas convergentes, então a série é absolutamente convergente. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 10 ~

118 Capítulo 5 Definição (5.20): Seja { } uma sucessão complexa e. Definimos série de potências ou série inteira, centrada em, à função definida por Nota: O domínio de definição de uma série de potências é o conjunto dos pontos onde faz sentido calcular a série, ou seja, onde esta é convergente. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 11 ~

119 Capítulo 5 Teorema (5.21): Se a série de potências converge para, então esta série converge absolutamente para todo o pertencente ao disco aberto de centro em e raio. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 12 ~

120 Capítulo 5 Teorema (5.22): Seja uma série de potências. Existe [ ] único, denominado por raio de convergência, tal que: 1. A série converge absolutamente em todos os pontos do disco de convergência { } 2. A série diverge no exterior do disco aberto de centro em e raio ; Nota: 1. O teorema nada conclui sobre a convergência da série de potências em pontos sobre a circunferência de centro em e raio ; 2. Se, a série converge absolutamente em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 13 ~

121 Capítulo 5 Teorema (5.23): Dada uma série de potências com raio de convergência, temos que: 1. ; 2. Se o limite existe (permitimos que este limite seja ), então este é igual a ; 3. Se o limite existe (permitimos que este limite seja ), então este é igual a. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 14 ~

122 Capítulo 5 Teorema (5.24): Seja uma série de potências com raio de convergência positivo. Então é holomorfa em e ou seja, a série é derivável termo a termo e a sua derivada é a série das derivadas. Teorema (5.25): Sejam e séries de potências. Se em algum disco aberto de centro então Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 15 ~

123 Capítulo 5 Definição (5.26): Seja, aberto, uma função de variável complexa e um ponto interior de. Dizemos que é analítica em se existe e uma série de potências tal que e Dizemos que é analítica em se f é analítica em todos os ponto de. Nota: Se é analítica em, pelo teorema (5.24), resulta imediatamente que é holomorfa em. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 16 ~

124 Capítulo 5 Teorema de Taylor: Seja uma função de variável complexa holomorfa em. Dado e ] ] tal que, temos que À série de potência em torno de. chamamos desenvolvimento em série de Taylor de Nota: 1. Se é o maior disco aberto centrado em contido em e o raio de convergência de, então ; 2. Do teorema de Taylor resulta imediatamente que toda a função holomorfa em é analítica em ; 3. Pelo teorema (5.25), o desenvolvimento em série de Taylor de em torno de é único; 4. O teorema de Taylor não é válido para funções reais de variável real. Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 17 ~

125 Capítulo 5 Corolário: Uma função complexa de variável complexa é holomorfa em em. se e só se é analítica Nota: Uma função holomorfa em de. admite derivada de qualquer ordem em qualquer ponto Reflexão: Tendo em conta o Teorema de Cauchy-Riemann, o que se pode afirmar quanto à classe das funções parte real e parte imaginária de uma função holomorfa? Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 18 ~

126 Capítulo 5 Alguns desenvolvimentos em série de Taylor em torno de zero Slides de apoio ao turno T2 João Cabral ~ 19 ~