Linguagens Formais e Autômatos

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Linguagens Formais e Autômatos"

Transcrição

1 Linguagens Formais e Autômatos (notas da primeira aula 1 Definições básicas 1.1 Conjuntos Definição 1. Um conjunto é uma coleção de objetos, denominados elementos. Notação 1. Para indicar que um elemento x pertence a um conjunto A, escreve-se x A. Se x não é um elemento de A, escreve-se x A. Um conjunto pode ser denotado por uma lista de seus elementos delimitada por chaves. Por exemplo, o conjunto dos inteiros positivos menores que 4 é representado por {1, 2, 3}. Usa-se três pontos para dar um sentido de continuidade, quando o significado estiver claro. Por exemplo, {2, 4, 6,... } denota o conjunto dos números naturais pares, {a, b,..., z} denota o conjunto de letras do alfabeto, etc. Muitas vezes descrevemos um conjunto pelas propriedades que seus elementos satisfazem. É comum escrevermos {x: P 1 (x,..., P n (x}, onde P 1,..., P n são propriedades que devem ser satisfeitas por todos os elementos do conjunto sendo definido. Por exemplo, a expressão {n: n N, n > 100, 2 n} denota o conjunto dos números naturais, maiores do que 100 e que são pares (a expressão a b significa que a divide b. No exemplo acima temos P 1 (n = n é natural ; P 2 (n = n é maior que 100 ; e P 3 (n = n é par. 1

2 Notação 2. Denotamos por N o conjunto dos números naturais e por Z o conjunto dos números inteiros. N := {1, 2, 3,... }, Z := {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... }. Notação 3. Dado n N, denotamos o conjunto dos n primeiros números naturais por [n] := {1, 2,..., n}. Notação 4. Dado um conjunto X, denotamos por X a cardinalidade de X. (Se X é finito, então X é o número de elementos de X. Definição 2. Um conjunto X é subconjunto de um conjunto Y se todo elemento de X for também elemento de Y. Ou seja, se valer a implicação x X = x Y Operações com conjuntos Definição 3. Se X e Y são conjuntos, a união de X e Y é o conjunto X Y definido por X Y = {a: a X ou a Y }. Definição 4. Se X e Y são conjuntos, a intersecção de X e Y é o conjunto X Y definido por X Y = {b: b X, b Y }. Definição 5. Se X e Y são dois conjuntos, definimos a diferença de conjuntos X \ Y como o conjunto dos elementos em X que não estão em Y. Em outras palavras, tem-se X \ Y := {x: x X, x Y }. Exemplo 1. {3, 4, 7, 17} \ {4, 17, 25} = {3, 7}. Definição 6. A diferença simétrica de dois conjuntos X e Y é o conjunto X Y definido por X Y := (X \ Y (Y \ X. Exemplo 2. {3, 4, 7, 17} {4, 17, 25} = {3, 7} {25} = {3, 7, 25}. 2

3 1.1.2 Famílias de conjuntos Notação 5. Dado um conjunto X, denotamos por 2 X a família 1 de todos os subconjuntos de X. Equivalentemente, temos Exemplo 3. Se X = {1, 2, 3}, temos 2 X := {Y : Y X}. 2 X = { {1, 2, 3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1}, {2}, {3}, }. Exercício 1. Se X tem n elementos, quantos membros 2 tem a família 2 X? Definição 7. Dados um inteiro não-negativo k e um conjunto X, dizemos que Y é k-subconjunto de X se Y X e Y = k, ou seja, se Y for um subconjunto de X e se Y possuir exatamente k elementos. Exemplo 4. O conjunto {, } é um 2-subconjunto de {,,, }. Notação 6. É comum denotarmos por ( X k a família de todos os k-subconjuntos de X. Em outras palavras, temos k := {Y : Y X, Y = k}. Exemplo 5. Se X = {A, B, C}, então { } 2 = {A, B}, {B, C}, {A, C}. Exercício 2. Se X tem n elementos, quantos membros tem a família k? Igualdade de conjuntos Uma igualdade de conjuntos A = B é verdadeira quando ambas as inclusões A B e B A forem válidas. Portanto, para se demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais, é necessário provar duas coisas. Primeiro, devemos mostrar que x A = x B, estabelecendo a inclusão A B. Posteriormente, para estabelecer a inclusão B A, devemos mostrar que x B = x A. Exercício 3. Mostre que, para quaisquer três conjuntos A, B e C, tem-se A (B C = (A B (A C. 1 Um conjunto de conjuntos é geralmente chamado de família de conjuntos. 2 Elementos de uma família de conjuntos são chamados de membros. 3

4 Exercício 4. Sejam A, B e C três conjuntos. Suponha que A C. Mostre que A (B C = (A B C. Exercício 5. Mostre que, para quaisquer dois conjuntos X e Y, tem-se X Y = (X Y \ (X Y. Proposição 1. Se X é um conjunto com n elementos, então 2 X = n i=0 i. (1 Prova. [Demonstração da Proposição 1.] Primeiro mostramos que 2 X n i=0 i. Seja Y um membro qualquer de 2 X. Pela definição de 2 X, tem-se Y X. Pondo k = Y, sabemos que 0 k n. Portanto o que implica que Y k, Y n i=0 Agora vamos mostrar que n i=0 i 2 X. Seja Y um membro qualquer da família n ( i=0 i. Portanto Y X i para algum i {0, 1,... n}. Portanto Y X, o que imediatamente implica em Y 2 X. i. Definições básicas Definição 8. Um alfabeto é um conjunto finito não-vazio. Definição 9. Os elementos de um alfabeto são chamados símbolos. Definição 10. Uma palavra é uma seqüência finita de símbolos. Se todos os símbolos de uma palavra w pertencem a um alfabeto Σ, dizemos que w é uma palavra sobre Σ. Exemplo 6. Considere o alfabeto Σ = {0, 1}. Então 0 e 1 são os símbolos de Σ. As seqüências 00101, 00, são exemplos de palavras sobre Σ. Exemplo 7. Se o alfabeto é Γ = {a, b, c,..., z} então as seqüências avacaxi, meza, kuadrado, e iotxdyzz são exemplos de palavras sobre Γ. 4

5 Notação 7. Dada uma palavra w e um símbolo σ, denotamos por n w (σ o número de ocorrências de σ em w. Exemplo 8. Se w = aababababbb, então n w (a = 5 e n w (b = 6. Para x = iotxdyzz, temos n x (a = 0. Definição 11. A palavra vazia é uma palavra (e portanto uma seqüência com nenhuma ocorrência de símbolos, e é denotada pela letra grega ε. Definição 12. O comprimento de uma palavra é o número de símbolos nela contidos. Denotamos o número de símbolos de uma palavra w por w. Exemplo 9. A palavra ababba sobre o alfabeto {a, b} tem comprimento 6. Ou seja, ababba = 6. Exemplo = 18, palavra = 7, ε = 0. Notação 8. Uma palavra de comprimento 3 sobre Σ é uma seqüência de tamanho 3 de símbolos de Σ, e portanto, é um elemento do conjunto Σ Σ Σ = Σ 3. Mais em geral, para k 0, vamos denotar por Σ k o conjunto de todas as palavras de comprimento k sobre Σ. Assim, Σ 0 = {ε} e Σ 1 = Σ (com seus elementos interpretados como seqüências de tamanho 1, em vez de símbolos. Notação 9. Denotamos o conjunto de todas as palavras sobre um alfabeto Σ por Σ = Σ 0 Σ 1 Σ 2 Note que Σ é sempre um conjunto infinito, ainda que Σ seja um conjunto unitário. Exemplo 11. Se Σ = {a, b}, temos Σ = {ε, a, b, ab, ba, aaa, aab, aba, abb, baa, bab, bba, bbb,... }. Notação 10. Denotamos por Σ + o conjunto Assim, temos Σ + = Σ 1 Σ 2 Σ = {ε} Σ +. Definição 13. A concatenação das palavras x = σ 1 σ 2 σ n, com σ i Σ, e y = γ 1 γ 2 γ m, com γ j Γ, é a palavra sobre Σ Γ. xy = σ 1 σ 2 σ n γ 1 γ 2 γ m, 5

6 Exemplo 12. Considere x = corre, e y = dor. Então xy = corredor. Observação 1. Para duas palavras v e w, temos vw = v + w. Observação 2. A palavra vazia é o elemento neutro da operação de concatenação. Ou seja, para toda palavra w, temos εw = wε = w. Notação 11. Para um símbolo σ Σ, denotamos por σ k a palavra σ k = σσ }{{ σ }. k Notação 12. Da mesma forma, se x é uma palavra, denotamos a concatenação de k cópias de x por x k. Notação 13. Uma linguagem é um conjunto de palavras sobre um determinado alfabeto. Ou seja, se L é uma linguagem, então L Σ. Exemplo 13. Σ = {a, b, c,..., z} e L = conjunto de palávras da língua inglesa. Exemplo 14. Σ = {0, 1} e P = conjunto dos números primos representados em base binária. P = {10, 11, 101, 111, 1011,... }. Exemplo 15. Σ = {0, 1} e A = conjunto das palavras com n bits 0 seguidos de n bits 1, para n 0. A = {ε, 01, 0011, ,... } = {0 n 1 n : n 0}. Exemplo 16. Σ = {0, 1} e B = conjunto das palavras com o mesmo número de símbolos 0 e 1. B = {ε, 01, 10, 0011, 1100, 0101, 1010, 0110, 1001,... }. Curiosidade: quantas palavras existem em L com comprimento 2k? Exemplo 17. Σ = {0, 1} e C = conjunto das palavras com um número par de símbolos. C = {ε, 00, 01, 10, 11,... }. 6

7 Observação 3. Note que as linguagens dos três exemplos anteriores satisfazem a relaçao A B C. Exemplo 18. Seja Σ um alfabeto qualquer. Então Σ, e {ε} são sempre linguagens sobre Σ. Observação 4. e {ε} não são a mesma linguagem. Exemplo 19. Seja p um primo, e considere o alfabeto Σ = {0, 1,..., p 1}. Então L = {w Σ : a soma dos símbolos de w é divisível por p} é uma linguagem sobre Σ. Observação 5. Alfabetos são sempre não-vazios e finitos, enquanto linguagens podem ser conjuntos vazios ou infinitos. Definição 14. Dadas linguagens A e B, a concatenação AB é uma linguagem definida da seguinte forma: AB = {xy : x A, y B}. Exemplo 20. Por exemplo, considere A = {falar, ver} e B = {ei, ás, á, emos, eis, ~ao}. Então AB = {falarei, falarás, falará, falaremos, falareis, falar~ao, verei, verás, verá, veremos, vereis, ver~ao}. Notação 14. Para denotar a concatenação de uma linguagem L consigo mesma k vezes escrevemos Introdução L k = } L L {{ L }. k Um autômato é um modelo muito simplificado de um computador. Autômatos podem ser usados para modelar o funcionamento de eletrodomésticos e dispositivos simples, para processar grandes volumes de dados em busca de padrões, ou para testar o funcionamento de circuitos elétricos. Exemplo 21. Um interruptor tem dois estados: pode estar ligado (L ou desligado (D. Podemos realizar a ação de pressionar (P o interruptor para causar uma transição entre estado. O comportamento de um interruptor pode ser modelado com um autômato, que está representado na figura abaixo. 7

8 Os estados são representados pelos círculos. O estado destacado significa um estado de interesse. As transições são representadas pelas flechas. Sobre cada uma delas há um rótulo, que especifica a ação que a ocasionou. A flecha que vem do nada indica qual é o estado inicial do interruptor. Exemplo 22. Funcionamento de um trem com três botões de controle: acelerador (A, freio (F, e controle da porta (P. O trem tem duas velocidades. O trem não pode se movimentar se a porta estiver aberta e não pode abrir a porta se estiver em moviemnto. 8

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Prof.ª Danielle Casillo

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO. Prof.ª Danielle Casillo UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO CURSO: CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO TEORIA DA COMPUTAÇÃO Aula 02 Introdução à Teoria da Computação Prof.ª Danielle Casillo Linguagem: é uma forma precisa de expressar

Leia mais

Linguagens Formais - Preliminares

Linguagens Formais - Preliminares Linguagens Formais - Preliminares Regivan H. N. Santiago DIMAp-UFRN 25 de fevereiro de 2007 Regivan H. N. Santiago (DIMAp-UFRN) Linguagens Formais - Preliminares 25 de fevereiro de 2007 1 / 26 Algumas

Leia mais

Alfabeto, Cadeias, Operações e Linguagens

Alfabeto, Cadeias, Operações e Linguagens Linguagens de Programação e Compiladores - Aula 3 1 Alfabeto, Cadeias, Operações e Linguagens 1.Conjuntos Para representar um determinado conjunto é necessário buscar uma notação para representá-lo e ter

Leia mais

Conceitos Básicos. Vocabulário Cadeias Linguagens Expressões Regulares Problema X Linguagem

Conceitos Básicos. Vocabulário Cadeias Linguagens Expressões Regulares Problema X Linguagem Conceitos Básicos Vocabulário Cadeias Linguagens Expressões Regulares Problema X Linguagem Alfabeto ou Vocabulário: Conjunto finito não vazio de símbolos. Símbolo é um elemento qualquer de um alfabeto.

Leia mais

Linguagem (formal) de alfabeto Σ

Linguagem (formal) de alfabeto Σ Linguagem (formal) de alfabeto Σ Linguagem é qualquer subconjunto de Σ, i.e. qualquer conjunto de palavras de Σ Σ = {a, b} {aa, ab, ba, bb} ou {x x {a, b} e x = 2} {a, aa, ab, ba, aaa, aab, aba,...} ou

Leia mais

Revisões de Conjuntos

Revisões de Conjuntos Revisões de Conjuntos {, {a}, {b}, {a, b}} a A a pertence a A, a é elemento de A a {a, b, c} a / A a não pertence a A d / {a, b, c} A B A contido em B, A subconjunto de B x A x B {a, b} {b, c, a} A B A

Leia mais

Capítulo 1: Alfabetos, cadeias, linguagens

Capítulo 1: Alfabetos, cadeias, linguagens Capítulo 1: Alfabetos, cadeias, linguagens Símbolos e alfabetos. Um alfabeto é, para os nossos fins, um conjunto finito não vazio cujos elementos são chamados de símbolos. Dessa maneira, os conceitos de

Leia mais

Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril

Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril 1 Conjuntos Aulas 10 e 11 / 18 e 20 de abril Um conjunto é uma coleção de objetos. Estes objetos são chamados de elementos do conjunto. A única restrição é que em geral um mesmo elemento não pode contar

Leia mais

Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série. Teoria da Computação. Aula 3. Autômatos Finitos

Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série. Teoria da Computação. Aula 3. Autômatos Finitos Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série Aula 3 Autômatos Finitos Alfabeto Alfabeto Conjunto finito de símbolos; Normalmente descrito por ; Exemplos: ={a, b} ={1, 2, 3} ={00, 11} Ø Alfabeto romano

Leia mais

Um alfabeto é um conjunto de símbolos indivisíveis de qualquer natureza. Um alfabeto é geralmente denotado pela letra grega Σ.

Um alfabeto é um conjunto de símbolos indivisíveis de qualquer natureza. Um alfabeto é geralmente denotado pela letra grega Σ. Linguagens O conceito de linguagem engloba uma variedade de categorias distintas de linguagens: linguagens naturais, linguagens de programação, linguagens matemáticas, etc. Uma definição geral de linguagem

Leia mais

n. 28 RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS

n. 28 RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS n. 28 RELAÇÕES BINÁRIAS ENTRE CONJUNTOS Uma relação é um conjunto de pares ordenados, ou seja, um subconjunto de A B. Utilizando pares ordenados podemos definir relações por meio da linguagem de conjuntos.

Leia mais

Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas.

Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas. Teoria dos Conjuntos Já falamos que, na Matemática, tudo se baseia em axiomas. Já estudamos os números inteiros partindo dos seus axiomas. Porém, não é nosso objetivo ver uma teoria axiomática dos conjuntos.

Leia mais

Aula 7: Autômatos com Pilha

Aula 7: Autômatos com Pilha Teoria da Computação Segundo Semestre, 2014 Aula 7: Autômatos com Pilha DAINF-UTFPR Prof. Ricardo Dutra da Silva Vamos adicionar um memória do tipo pilha ao nossos autômatos para que seja possível aceitar

Leia mais

Linguagens Formais e Autômatos (LFA)

Linguagens Formais e Autômatos (LFA) Linguagens Formais e Autômatos (LFA) Aula de 19/08/2013 Símbolos, Cadeias, Linguagens Propriedades e Representações Formais de Interesse 1 Nota preliminar ( O conceito de decomposição e suas representações

Leia mais

Definição: Todo objeto parte de um conjunto é denominado elemento.

Definição: Todo objeto parte de um conjunto é denominado elemento. 1. CONJUNTOS 1.1. TEORIA DE CONJUNTOS 1.1.1. DEFINIÇÃO DE CONJUNTO Definição: Conjunto é toda coleção de objetos. Uma coleção de números é um conjunto. Uma coleção de letras é um conjunto. Uma coleção

Leia mais

Conjuntos. Ou ainda por diagrama (diagrama de Venn-Euler):

Conjuntos. Ou ainda por diagrama (diagrama de Venn-Euler): Capítulo 1 Conjuntos Conjunto é uma coleção de objetos, não importando a ordem ou quantas vezes algum objeto apareça, exemplos: Conjunto dos meses do ano; Conjunto das letras do nosso alfabeto; Conjunto

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 TÓPICO Gil da Costa Marques 1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos 1.2 Introdução 1.3 Conceitos Básicos 1.4 Subconjuntos e Intervalos 1.5 Conjuntos Numéricos 1.5.1 O Conjunto

Leia mais

Existem conjuntos em todas as coisas e todas as coisas são conjuntos de outras coisas.

Existem conjuntos em todas as coisas e todas as coisas são conjuntos de outras coisas. MÓDULO 3 CONJUNTOS Saber identificar os conjuntos numéricos em diferentes situações é uma habilidade essencial na vida de qualquer pessoa, seja ela um matemático ou não! Podemos dizer que qualquer coisa

Leia mais

MATEMÁTICA. Aula 2 Teoria dos Conjuntos. Prof. Anderson

MATEMÁTICA. Aula 2 Teoria dos Conjuntos. Prof. Anderson MATEMÁTICA Aula 2 Teoria dos Conjuntos Prof. Anderson CONCEITO Na teoria dos conjuntos, um conjunto é descrito como uma coleção de objetos bem definidos. Estes objetos são chamados de elementos ou membros

Leia mais

Teoria das Linguagens. Linguagens Formais e Autómatos (Linguagens)

Teoria das Linguagens. Linguagens Formais e Autómatos (Linguagens) Teoria das Lic. em Ciências da Computação Formais e Autómatos () Carla Mendes Dep. Matemática e Aplicações Universidade do Minho 2010/2011 Teoria das - LCC - 2010/2011 Dep. Matemática e Aplicações - Univ.

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Câmpus Catalão Aluno: Bruno Castilho Rosa Orientador: Igor Lima Seminário Semanal de Álgebra

Universidade Federal de Goiás Câmpus Catalão Aluno: Bruno Castilho Rosa Orientador: Igor Lima Seminário Semanal de Álgebra Universidade Federal de Goiás Câmpus Catalão Aluno: Bruno Castilho Rosa Orientador: Igor Lima Seminário Semanal de Álgebra Notas de aula 1. Título: Subgrupos finitos de. 2. Breve descrição da aula A aula

Leia mais

Conceitos Básicos. Vocabulário Cadeias Linguagens Problema

Conceitos Básicos. Vocabulário Cadeias Linguagens Problema Conceitos Básicos Vocabulário Cadeias Linguagens Problema Alfabeto ou Vocabulário: Conjunto finito não vazio de símbolos. Símbolo é um elemento qualquer de um alfabeto. Ex: {A,B,C,.Z} alfabeto latino (maiúsculas)

Leia mais

Modelos de Computação Folha de trabalho n. 8

Modelos de Computação Folha de trabalho n. 8 Modelos de Computação Folha de trabalho n. 8 Nota: Os exercícios obrigatórios marcados de A a D constituem os problemas que devem ser resolvidos individualmente. A resolução em papel deverá ser depositada

Leia mais

Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos

Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos. Teoria dos Conjuntos Pode-se dizer que a é em grande parte trabalho de um único matemático: Georg Cantor (1845-1918). noção de conjunto não é suscetível de definição precisa a partir d noções mais simples, ou seja, é uma noção

Leia mais

Produtos de potências racionais. números primos.

Produtos de potências racionais. números primos. MATEMÁTICA UNIVERSITÁRIA n o 4 Dezembro/2006 pp. 23 3 Produtos de potências racionais de números primos Mário B. Matos e Mário C. Matos INTRODUÇÃO Um dos conceitos mais simples é o de número natural e

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1

Leia mais

Linguagens Formais e Autômatos P. Blauth Menezes

Linguagens Formais e Autômatos P. Blauth Menezes Linguagens Formais e Autômatos P. Blauth Menezes blauth@inf.ufrgs.br Departamento de Informática Teórica Instituto de Informática / UFRGS Matemática Discreta para Ciência da Computação - P. Blauth Menezes

Leia mais

LFA. Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos

LFA. Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos LFA Provas formais; Indução; Sintaxe e Semântica Teoria dos Conjuntos Técnicas de Demonstração Um teorema é uma proposição do tipo: p q a qual, prova-se, é verdadeira sempre que: p q Técnicas de Demonstração

Leia mais

Teoria Elementar dos Conjuntos

Teoria Elementar dos Conjuntos Teoria Elementar dos Conjuntos Este capítulo visa oferecer uma breve revisão sobre teoria elementar dos conjuntos. Além de conceitos básicos importantes em matemática, a sua imprtância reside no fato da

Leia mais

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos Tópicos de Matemática Lic. em Ciências da Computação Teoria elementar de conjuntos Carla Mendes Dep. Matemática e Aplicações Universidade do Minho 2010/2011 Tóp. de Matemática - LCC - 2010/2011 Dep. Matemática

Leia mais

Apostila 01 Fundamentação da Teoria da Computação e Linguagens Formais

Apostila 01 Fundamentação da Teoria da Computação e Linguagens Formais Cursos: Bacharelado em Ciência da Computação e Bacharelado em Sistemas de Informação Disciplinas: (1493A) Teoria da Computação e Linguagens Formais, (4623A) Teoria da Computação e Linguagens Formais e

Leia mais

Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série. Teoria da Computação. Aula 2. Conceitos Básicos da Teoria da Computação

Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série. Teoria da Computação. Aula 2. Conceitos Básicos da Teoria da Computação Curso: Ciência da Computação Turma: 6ª Série Aula 2 Conceitos Básicos da Computação pode ser definida como a solução de um problema ou, formalmente, o cálculo de uma função, através de um algoritmo. A

Leia mais

Conceitos básicos de Teoria da Computação

Conceitos básicos de Teoria da Computação Folha Prática Conceitos básicos de 1 Conceitos básicos de Métodos de Prova 1. Provar por indução matemática que para todo o número natural n: a) 1 + 2 + 2 2 + + 2 n = 2 n+1 1, para n 0 b) 1 2 + 2 2 + 3

Leia mais

Linguagens Formais. Aula 01 - Conceitos Básicos. Prof. Othon Batista Mestre em Informática

Linguagens Formais. Aula 01 - Conceitos Básicos. Prof. Othon Batista Mestre em Informática Linguagens Formais Aula 01 - Conceitos Básicos Prof. Othon Batista Mestre em Informática Sumário Introdução à Linguagem Alfabeto Cadeias de Símbolos, Palavras Tamanho de Palavra Prefixo, Sufixo ou Subpalavra

Leia mais

Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática

Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática 2014 Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem denição (noção primitiva):: Conjunto;

Leia mais

1 Conjuntos, Números e Demonstrações

1 Conjuntos, Números e Demonstrações 1 Conjuntos, Números e Demonstrações Definição 1. Um conjunto é qualquer coleção bem especificada de elementos. Para qualquer conjunto A, escrevemos a A para indicar que a é um elemento de A e a / A para

Leia mais

Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange. Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas.

Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange. Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas. Aula 05 GRUPOS QUOCIENTES METAS Estabelecer o conceito de grupo quociente. OBJETIVOS Definir classes laterais e estabelecer o teorema de Lagrange. Aplicar o teorema de Lagrange na resolução de problemas.

Leia mais

Expressões Regulares e Gramáticas Regulares

Expressões Regulares e Gramáticas Regulares Universidade Católica de Pelotas Escola de informática 053212 Linguagens Formais e Autômatos TEXTO 2 Expressões Regulares e Gramáticas Regulares Prof. Luiz A M Palazzo Março de 2007 Definição de Expressão

Leia mais

Universidade Federal de Alfenas

Universidade Federal de Alfenas Universidade Federal de Alfenas Linguagens Formais e Autômatos Aula 04 Linguagens Formais humberto@bcc.unifal-mg.edu.br Última aula... Relação da teoria dos conjuntos com LFA; Relação dos grafos com LFA.

Leia mais

Aula 1 Aula 2. Ana Carolina Boero. Página:

Aula 1 Aula 2. Ana Carolina Boero.   Página: Elementos de lógica e linguagem matemática E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Linguagem matemática A linguagem matemática

Leia mais

Aula 1 Conjuntos. Meta. Introduzir as noções básicas de conjunto e produto cartesiano de. conjuntos. Objetivos

Aula 1 Conjuntos. Meta. Introduzir as noções básicas de conjunto e produto cartesiano de. conjuntos. Objetivos Conjuntos AULA 1 Aula 1 Conjuntos Meta conjuntos. Introduzir as noções básicas de conjunto e produto cartesiano de Objetivos Ao final desta aula, você deve ser capaz de: Definir as noções básicas de conjunto

Leia mais

Linguagens Formais e Autômatos 02/2015. LFA Aula 02. introdução 28/09/2015. Celso Olivete Júnior.

Linguagens Formais e Autômatos 02/2015. LFA Aula 02. introdução 28/09/2015. Celso Olivete Júnior. LFA Aula 02 Linguagens regulares - introdução 28/09/2015 Celso Olivete Júnior olivete@fct.unesp.br 1 Na aula passada... Visão geral Linguagens regulares expressões regulares autômatos finitos gramáticas

Leia mais

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais não nulos (inteiros positivos) Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago Capítulo 1 Os Números Última atualização em setembro de 2017 por Sadao Massago 1.1 Notação Números naturais: Neste texto, N = {0, 1, 2, 3,...} e N + = {1, 2, 3, }. Mas existem vários autores considerando

Leia mais

MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08

MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 MA14 - Unidade 1 Divisibilidade Semana de 08/08 a 14/08 Neste curso, consideraremos o conjunto dos números naturais como sendo o conjunto N = {0, 1, 2, 3,... }, denotando por N o conjunto N \ {0}. Como

Leia mais

Expressões regulares

Expressões regulares Expressões regulares IBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação Evandro Eduardo Seron Ruiz evandro@usp.br Universidade de São Paulo E.E.S. Ruiz (USP) LFA 1 / 38 Frase do dia A vida é uma luta inteira

Leia mais

LINGUAGENS FORMAIS E AUTÔMATOS

LINGUAGENS FORMAIS E AUTÔMATOS LINGUGENS FORMIS E UTÔMTOS Introdução reve Histórico Em 1936, lan Turing (matemático) propôs a possibilidade de se construir um computador digital através da formalização de um procedimento em tempo finito.

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito

Leia mais

Tópicos de Matemática Elementar

Tópicos de Matemática Elementar Revisão Básica de Prof. Dr. José Carlos de Souza Junior Universidade Federal de Alfenas 26 de novembro de 2014 Revisão de Definição 1 (Espaço Vetorial) Um conjunto V é um espaço vetorial sobre R, se em

Leia mais

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA

INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/30 3 - INDUÇÃO E RECURSÃO 3.1) Indução Matemática 3.2)

Leia mais

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Prof.:

Leia mais

PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA

PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA PC Polícia Civil do Estado de São Paulo PAPILOSCOPISTA Concurso Público 2016 Conteúdo Teoria dos conjuntos. Razão e proporção. Grandezas proporcionais. Porcentagem. Regras de três simples. Conjuntos numéricos

Leia mais

Matemática Discreta - 07

Matemática Discreta - 07 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 07 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

Demonstrações. Terminologia Métodos

Demonstrações. Terminologia Métodos Demonstrações Terminologia Métodos Técnicas de Demonstração Uma demonstração é um argumento válido que estabelece a verdade de uma sentença matemática. Técnicas de Demonstração Demonstrações servem para:

Leia mais

Teoria da Computação. Unidade 1 Conceitos Básicos. Referência Teoria da Computação (Divério, 2000)

Teoria da Computação. Unidade 1 Conceitos Básicos. Referência Teoria da Computação (Divério, 2000) Unidade 1 Conceitos Básicos Referência (Divério, 2000) Conceitos Básicos Linguagem Conceito fundamental Forma precisa de expressar problemas Permite um desenvolvimento formal adequado ao estudo da computabilidade

Leia mais

Exercicios. 7.2 Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? Justifica. (d) abcd L((a(cd) b) )

Exercicios. 7.2 Quais das seguintes afirmações são verdadeiras? Justifica. (d) abcd L((a(cd) b) ) Exercicios 7.1 Escreve expressões regulares para cada uma das seguintes linguagens de Σ = {a, b}: (a) palavras com não mais do que três as (b) palavras com um número de as divisível por três (c) palavras

Leia mais

Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados

Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados Análise na Reta - Verão UFPA 1a lista - Números naturais; Corpos ordenados A lista abaixo é formada por um subconjunto dos exercícios dos seguintes livros: Djairo G. de Figueiredo, Análise na reta Júlio

Leia mais

Teoria da Computação

Teoria da Computação 1 Teoria da Computação Última atualização: 2/2/2009 1 Autômatos: Introdução e Conceitos Básicos A teoria de autômatos é o estudo de computadores abstratos, também chamados de máquinas. Em 1930, antes de

Leia mais

Disciplina: LINGUAGENS FORMAIS, AUTÔMATOS E COMPUTABILIDADE Prof. Jefferson Morais

Disciplina: LINGUAGENS FORMAIS, AUTÔMATOS E COMPUTABILIDADE Prof. Jefferson Morais UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS FACULDADE DE COMPUTAÇÃO CURSO DE BACHARELADO EM CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO Disciplina: LINGUAGENS FORMAIS, AUTÔMATOS E COMPUTABILIDADE Prof.

Leia mais

Teoria dos Conjuntos. Matemática Discreta. Teoria dos Conjuntos - Parte I. Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG.

Teoria dos Conjuntos. Matemática Discreta. Teoria dos Conjuntos - Parte I. Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG. Matemática Discreta Teoria dos Conjuntos - Parte I Profa. Sheila Morais de Almeida DAINF-UTFPR-PG abril - 2017 Letras maiúsculas: conjuntos. Letras minúsculas: elementos do conjunto. Pertinência: o símbolo

Leia mais

Conjuntos. Notações e Símbolos

Conjuntos. Notações e Símbolos Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas

Leia mais

Linguagens Regulares. Prof. Daniel Oliveira

Linguagens Regulares. Prof. Daniel Oliveira Linguagens Regulares Prof. Daniel Oliveira Linguagens Regulares Linguagens Regulares ou Tipo 3 Hierarquia de Chomsky Linguagens Regulares Aborda-se os seguintes formalismos: Autômatos Finitos Expressões

Leia mais

Ou seja, A consiste nos números 1, 3, 5, 7, 9. O segundo conjunto, o qual se lê

Ou seja, A consiste nos números 1, 3, 5, 7, 9. O segundo conjunto, o qual se lê Capítulo 1 Teoria de Conjuntos 1.1 INTRODUÇÃO O conceito de conjunto aparece em toda a matemática. Este capítulo introduz a notação e a terminologia básicas da teoria de conjuntos usadas ao longo deste

Leia mais

Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros

Universidade Federal Fluminense ICEx Volta Redonda Introdução a Matemática Superior Professora: Marina Sequeiros 1. Conjuntos Objetivo: revisar as principais noções de teoria de conjuntos afim de utilizar tais noções para apresentar os principais conjuntos de números. 1.1 Conjunto, elemento e pertinência Conjunto

Leia mais

Generalidades sobre conjuntos

Generalidades sobre conjuntos Generalidades sobre conjuntos E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Conjuntos e a noção de pertinência Na teoria dos

Leia mais

O que é Linguagem Regular. Um teorema sobre linguagens regulares. Uma aplicação do Lema do Bombeamento. Exemplo de uso do lema do bombeamento

O que é Linguagem Regular. Um teorema sobre linguagens regulares. Uma aplicação do Lema do Bombeamento. Exemplo de uso do lema do bombeamento O que é Linguagem Regular Um teorema sobre linguagens regulares Linguagem regular Uma linguagem é dita ser uma linguagem regular se existe um autômato finito que a reconhece. Dada uma linguagem L: É possível

Leia mais

Geometria Analítica. Cleide Martins. Turmas E1 e E3. DMat - UFPE Cleide Martins (DMat - UFPE ) VETORES Turmas E1 e E3 1 / 22

Geometria Analítica. Cleide Martins. Turmas E1 e E3. DMat - UFPE Cleide Martins (DMat - UFPE ) VETORES Turmas E1 e E3 1 / 22 Geometria Analítica Cleide Martins DMat - UFPE - 2017.1 Turmas E1 e E3 Cleide Martins (DMat - UFPE - 2017.1) VETORES Turmas E1 e E3 1 / 22 Objetivos 1 Entender a denição de VETOR 2 Aprender a somar dois

Leia mais

AFNs, Operações Regulares e Expressões Regulares

AFNs, Operações Regulares e Expressões Regulares AFNs, Operações Regulares e Expressões Regulares AFNs. OperaçõesRegulares. Esquematicamente. O circulo vermelho representa o estado inicial q 0, a porção verde representa o conjunto de estados de aceitação

Leia mais

Apontamentos de Modelos de Computação. Ana Paula Tomás

Apontamentos de Modelos de Computação. Ana Paula Tomás Apontamentos de Modelos de Computação Ana Paula Tomás Departamento de Ciência de Computadores Faculdade de Ciências da Universidade do Porto 1999 Conteúdo 1 Preliminares 3 1.1 Notação para conjuntos.................................

Leia mais

A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA

A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA MAT1513 - Laboratório de Matemática - Diurno Professor David Pires Dias - 2017 Texto sobre Lógica (de autoria da Professora Iole de Freitas Druck) A LINGUAGEM DO DISCURSO MATEMÁTICO E SUA LÓGICA Iniciemos

Leia mais

Linguagens e Autômatos

Linguagens e Autômatos 167657 - Controle para Automação Curso de Graduação em Engenharia de Controle e Automação Departamento de Engenharia Elétrica Universidade de Brasília Linguagens e Autômatos Geovany A. Borges gaborges@ene.unb.br

Leia mais

Compiladores I Prof. Ricardo Santos (cap 3 Análise Léxica: Introdução, Revisão LFA)

Compiladores I Prof. Ricardo Santos (cap 3 Análise Léxica: Introdução, Revisão LFA) Compiladores I Prof. Ricardo Santos (cap 3 Análise Léxica: Introdução, Revisão LFA) Análise Léxica A primeira fase da compilação Recebe os caracteres de entrada do programa e os converte em um fluxo de

Leia mais

Teoria dos Conjuntos. Prof. Jorge

Teoria dos Conjuntos. Prof. Jorge Teoria dos Conjuntos Conjuntos Conceitos iniciais Na teoria dos conjuntos, consideramos como primitivos os conceitos de elemento, pertinência e conjunto. Exemplos - Conjunto I. O conjunto dos alunos do

Leia mais

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais (inteiros positivos)

Capítulo 1. Os Números. 1.1 Notação. 1.2 Números naturais (inteiros positivos) Capítulo 1 Os Números 1.1 Notação Números naturais: N = {1, 2, 3,...}, mas existem vários autores considerando N = {0, 1, 2, 3,...}. Por isso, é recomendado dizer números positivos, números não negativos,

Leia mais

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n

Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n Método prático para extrair uma base de um conjunto de geradores de um subespaço de R n 1. Descrição do método e alguns exemplos Colocamos o seguinte problema: dado um conjunto finito: A = {a 1, a 2,...,

Leia mais

Um conjunto é uma coleção de objetos. Esses objetos podem ser qualquer coisa. Costumamos chamar esses objetos de elementos do conjuntos.

Um conjunto é uma coleção de objetos. Esses objetos podem ser qualquer coisa. Costumamos chamar esses objetos de elementos do conjuntos. Capítulo 1 Conjuntos 1.1 Noção de conjuntos Um conjunto é uma coleção de objetos. Esses objetos podem ser qualquer coisa. Costumamos chamar esses objetos de elementos do conjuntos. 1. Uma coleção de revista

Leia mais

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais

Leia mais

Contando o Infinito: os Números Cardinais

Contando o Infinito: os Números Cardinais Contando o Infinito: os Números Cardinais Sérgio Tadao Martins 4 de junho de 2005 No one will expel us from the paradise that Cantor has created for us David Hilbert 1 Introdução Quantos elementos há no

Leia mais

Introdução à Matemática

Introdução à Matemática Universidade Estadual de Goiás Unidade Universitária de Ciências Sócio-Econômicas e Humanas de Anápolis Introdução à Matemática Conjuntos e Conjuntos Numéricos Introdução A noção de conjunto Propriedades,

Leia mais

Fundamentos da Teoria da Computação

Fundamentos da Teoria da Computação Fundamentos da Teoria da Computação Primeira Lista de Exercícios - Aula sobre dúvidas da lista Sérgio Mariano Dias 1 1 UFMG/ICEx/DCC Entrega da 1 a lista: 31/03/2009 Sérgio Mariano Dias (UFMG) Fundamentos

Leia mais

1 TEORIA DOS CONJUNTOS

1 TEORIA DOS CONJUNTOS 1 TEORIA DOS CONJUNTOS Definição de Conjunto: um conjunto é uma coleção de zero ou mais objetos distintos, chamados elementos do conjunto, os quais não possuem qualquer ordem associada. Em outras palavras,

Leia mais

para Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!

para Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados! Álgebra: É Necessário ter Ideias para Fazer Contas? A primeira e, de longe, mais importante lição é 1. Fatoração é legal; fatoração é sua amiga 1.1. Produtos notáveis; em especial, diferença de quadrados!

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação

Leia mais

Autómatos Finitos Determinísticos (AFD)

Autómatos Finitos Determinísticos (AFD) Folha Prática Autómatos Finitos 1 Autómatos Finitos Determinísticos (AFD) 1. Determine e implemente computacionalmente um AFD que aceita todas as cadeias de cada uma das seguintes linguagens sobre o alfabeto

Leia mais

INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação

INE Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação INE543 - Fundamentos de Matemática Discreta para a Computação 5) Relações 5.) Relações e Dígrafos 5.2) Propriedades de Relações 5.3) Relações de Equivalência 5.4) Manipulação de Relações 5.5) Fecho de

Leia mais

Definições Exemplos de gramáticas

Definições Exemplos de gramáticas Definições Exemplos de gramáticas 1 Gramáticas Conceito introduzido pela lingüística Objetivo de ensinar o inglês pelo computador e conseguir um tradutor de línguas Fracasso da tradução por volta dos anos

Leia mais

Gramáticas ( [HMU00], Cap. 5.1)

Gramáticas ( [HMU00], Cap. 5.1) Gramáticas ( [HMU00], Cap. 5.1) Vimos que a seguinte linguagem não é regular L = {0 n 1 n n 0} Contudo podemos fácilmente dar uma definição indutiva das suas palavras: 1. ɛ L 2. Se x L então 0x1 L L é

Leia mais

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Agosto de 2017

Análise I. Notas de Aula 1. Alex Farah Pereira de Agosto de 2017 Análise I Notas de Aula 1 Alex Farah Pereira 2 3 23 de Agosto de 2017 1 Turma de Matemática. 2 Departamento de Análise-IME-UFF 3 http://alexfarah.weebly.com ii Conteúdo 1 Conjuntos 1 1.1 Números Naturais........................

Leia mais

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Conjuntos. Rafael Carvalho 7º Período Engenharia Civil

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Conjuntos. Rafael Carvalho 7º Período Engenharia Civil CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2 Conjuntos Rafael Carvalho 7º Período Engenharia Civil Definição Noção intuitiva: São coleções de elementos da mesma espécie. - O conjunto de todos

Leia mais

14 AULA. Funções LIVRO. META: Apresentar o conceitos de funções.

14 AULA. Funções LIVRO. META: Apresentar o conceitos de funções. 2 LIVRO Funções META: Apresentar o conceitos de funções. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Identificar se uma dada relção é uma função. Determinar a imagem direta e a imagem inversa

Leia mais

Alfabeto e palavras. Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ).

Alfabeto e palavras. Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ). Alfabeto e palavras Alfabeto conjunto finito de símbolos (Σ). {A,...,Z}, {α, β,... }, {a,b}, {0,1}, ASCII Palavra de Σ sequência finita de símbolos do alfabeto Σ Σ = {a, b} aabba a aaaaaaaa Comprimento

Leia mais

Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações

Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações Notas de aula de MAC0329 Álgebra Booleana e Aplicações Nina S. T. Hirata Depto. de Ciência da Computação IME / USP Este texto é uma referência-base para o curso de MAC0329 (Álgebra Booleana e Aplicações).

Leia mais

Gramática regular. IBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação. Evandro Eduardo Seron Ruiz Universidade de São Paulo

Gramática regular. IBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação. Evandro Eduardo Seron Ruiz Universidade de São Paulo Gramática regular IBM1088 Linguagens Formais e Teoria da Computação Evandro Eduardo Seron Ruiz evandro@usp.br Universidade de São Paulo E.E.S. Ruiz (USP) LFA 1 / 41 Frase do dia Através de três métodos

Leia mais

complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 - Jerônimo C. Pellegrini Relações de Equivalência e de Ordem

complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 - Jerônimo C. Pellegrini Relações de Equivalência e de Ordem Relações de Equivalência e de Ordem complemento para a disciplina de Matemática Discreta versão 1 Jerônimo C. Pellegrini 5 de agosto de 2013 ii Sumário Sumário Nomenclatura 1 Conjuntos e Relações 1 1.1

Leia mais

14.1 Linguagens decidíveis ou Turing reconhecíveis

14.1 Linguagens decidíveis ou Turing reconhecíveis Linguagens decidíveis ou Turing reconhecíveis Problemas decidíveis para Linguagens Regulares Teorema Seja A linguagem A DFA é decidível A DFA = {A : A é um DFA e aceita } Dem Basta mostrar como construir

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral

Leia mais

Introdução a Teoria de Conjuntos

Introdução a Teoria de Conjuntos Aula 01 Introdução a Teoria de Conjuntos A Teoria dos Conjuntos foi criada e desenvolvida pelo Matemático russo George Cantor (1845-1918), trata-se do estudo das propriedades dos conjuntos, relações entre

Leia mais

Bases Matemáticas. Definição ingênua de conjunto. Aula 3 Conjuntos. Rodrigo Hausen

Bases Matemáticas. Definição ingênua de conjunto. Aula 3 Conjuntos. Rodrigo Hausen 1 ases Matemáticas ula 3 Conjuntos Rodrigo Hausen v. 2012-9-26 1/14 Definição ingênua de conjunto 2 Um conjunto é uma qualquer coleção de objetos, concretos ou abstratos, sem repetição. Dado um conjunto,

Leia mais

Aula 4 Aula 5 Aula 6. Ana Carolina Boero. Página:

Aula 4 Aula 5 Aula 6. Ana Carolina Boero.   Página: E-mail: ana.boero@ufabc.edu.br Página: http://professor.ufabc.edu.br/~ana.boero Sala 512-2 - Bloco A - Campus Santo André Números naturais Como somos apresentados aos números? Num primeiro momento, aprendemos

Leia mais

O espaço das Ordens de um Corpo

O espaço das Ordens de um Corpo O espaço das Ordens de um Corpo Clotilzio Moreira dos Santos Resumo O objetivo deste trabalho é exibir corpos com infinitas ordens e exibir uma estrutura topológica ao conjunto das ordens de um corpo.

Leia mais

5 AULA. Teorias Axiomáticas LIVRO. META: Apresentar teorias axiomáticas.

5 AULA. Teorias Axiomáticas LIVRO. META: Apresentar teorias axiomáticas. 1 LIVRO Teorias Axiomáticas 5 AULA META: Apresentar teorias axiomáticas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Criar teorias axiomáticas; Provar a independência dos axiomas de uma

Leia mais