Em Matemática existem situações em que há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Relações Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Relações 1.Par ordenado 2.Sistema cartesiano ortogonal 3.Produto cartesiano 4.Relação binária 5.Domínio e imagem 6.Relação inversa 7.Propriedades das relações

3 1. Par ordenado Chama-se par todo conjunto formado por dois elementos. Assim, [1, 2], [3, -1], [a, b] indicam pares. Lembrando do conceito de igualdade de conjuntos, observamos que inverter a ordem dos elementos não produz um novo par: {1, 2} = {2, 1}, {3, -1} = {-1, 3}, {a, b} = {b, a}. 3

4 1. Par ordenado Em Matemática existem situações em que há necessidade de distinguir dois pares pela ordem dos elementos. Por exemplo, no sistema de equações x + y = 3 x y = 1 x = 2 e y = 1 é solução, ao passo que x = 1 e y = 2 não é solução. Se representássemos por um conjunto, teríamos: {2, 1} seria solução e {1, 2} não seria solução. 4

5 1. Par ordenado Há uma contradição pois, sendo {2, 1} = {1, 2}, o mesmo conjunto é e não é solução. Por causa disso dizemos que a solução é o par ordenado (2, 1) em que fica subentendido que o primeiro elemento 2 refere-se à incógnita x e o segundo elemento 1 refere-se à incógnita y. 5

6 1. Par ordenado Admitiremos a noção de par ordenado como conceito primitivo. Para cada elemento a e cada elemento b, admitiremos a existência de um terceiro elemento (a, b) que denominamos par ordenado, de modo que se tenha ( a, b) = ( c, d) a = c e b = d 6

7 2. Sistema cartesiano ortogonal Consideremos dois eixos x e y perpendiculares em O, os quais determinam o plano α. condu- Dado um ponto P qualquer, zamos por ele duas retas: P α ' ' x // x e y // y Denominemos P 1 a intersecção de x com y e P 2 a intersecção de y com x. 7

8 2. Sistema cartesiano ortogonal y P 2 x y P α O P 1 x 8

9 2. Sistema cartesiano ortogonal Nessas condições, definimos: a)abscissa de P é o número real x P representado por P 1. b) ordenada de P é o número real y P representado por P 2. c) coordenadas de P são os números reais x P e y P, geralmente indicados na forma de um par ordenado (x P, y P ) em que x P é o primeiro termo. 9

10 2. Sistema cartesiano ortogonal d)eixo das abscissas é o eixo x (ou Ox). e)eixo das ordenadas é o eixo y (ou Oy). f) sistema de eixos cartesiano (ou ortonormal ou retangular) é o sistema xoy. g) origem do sistema é o ponto O. h) plano cartesiano é o plano α. 10

11 2. Sistema cartesiano ortogonal Exemplo: Localizar os pontos A(2, 0), B(0, -3), C(2, 5), D(-3, 4), E(-7, -3), F(4, -5), G(5/2, 9/2) e H(-5/2, -9/2) no plano cartesiano lembrando que, no par ordenado, o primeiro número representa a abscissa e o segundo a ordenada do ponto. 11

12 2. Sistema cartesiano ortogonal D y C G A x E B H F 12

13 3. Produto cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A x B cujos elementos são todos pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence a A e o segundo elemento pertence a B. {(, )/ } A x B = x y x A e y B O símbolo A x B lê-se A cartesiano B ou produto cartesiano de A por B. Se A ou B for o conjunto vazio, definiremos o produto cartesiano de A por B como sendo o conjunto vazio. A x = x B = x = 13

14 3. Produto cartesiano Exemplos: 1 o ) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}, temos A x B = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2)} e B x A = {(1, 1), (2, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3)} e as representações no plano cartesiano são as seguintes: 14

15 3. Produto cartesiano y A x B y B x A 3 (1, 3) (2, 3) 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) 2 (1, 2) (2, 2) 1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) 1 (1, 1) (2, 1) x 1 2 x 15

16 3. Produto cartesiano 2 o ) Se A = {2, 3}, então o conjunto A x A (que também pode ser indicado por A 2 e lê-se A dois ) é: A x A = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} y 3 A x A (2, 3) (3, 3) 2 (2, 2) (3, 2) 2 3 x 16

17 3. Produto cartesiano { R } { } 3 o ) Se A = x / 1 x < 3 e B = 2, então temos {(,2) / } A x B = x x A A representação gráfica de A x B dá como resultado o conjunto de pontos do segmento paralelo ao eixo dos x da figura abaixo. y x 17

18 3. Produto cartesiano { R } { } 4 o ) Se A = x / 1 x 3 e B = x R / 1 x 5, temos { 2 (, ) R / 1 3 e 1 5} A x B = x y x y representado graficamente no plano cartesiano pelo conjunto de pontos de um retângulo. Notemos que { 2 (, ) R / 1 5 e 1 3} B x A = x y x y é representado por um retângulo distinto do anterior. 18

19 3. Produto cartesiano y A x B y B x A x 1 5 x 19

20 3. Produto cartesiano Observações: 1 a ) Se A B, então A x B B x A, isto é, o produto cartesiano de dois conjuntos não goza da propriedade comutativa. 2 a ) Se A e B são conjuntos finitos com m e n elementos respectivamente, então A x B é um conjunto finito com m. n elementos. 3 a ) Se A ou B for infinito e nenhum deles for vazio, então A x B é um conjunto infinito. 20

21 3. Produto cartesiano Exercício 1: Dados os conjuntos A = {1, 3, 4}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 2} representar pelos elementos e pelo gráfico cartesiano os seguintes produtos: a)a X B b) B X A c)a X C d) B 2 e) C 2 21

22 3. Produto cartesiano Resolução: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } A X B = 1, 2 ; 1,1 ; 3, 2 ; 3,1 ; 4, 2 ; 4,1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } BX A = 2,1 ; 1,1 ; 2,3 ; 1,3 ; 2,4 ; 1,4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } A X C = 1, 1 ; 1,0 ; 1,2 ; 3, 1 ; 3,0 ; 3, 2 ; 4, 1 ; 4,0 ; 4,2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } C X A = 1,1 ; 0,1 ; 2,1 ; 1,3 ; 0,3 ; 2,3 ; 1, 4 ; 0,4 ; 2,4 ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 B = 2, 2 ; 2,1 ; 1, 2 ; 1,1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } 2 C = 1, 1 ; 1,0 ; 1, 2 ; 0, 1 ; 0,0 ; 0,2 ; 2, 1 ; 2,0 ; 2,2 22

23 3. Produto cartesiano Exercício 2: Dados os conjuntos A = {xxr/1 x 3} B = {xxr/-2 x 2} C = {xxr/-4 < x 1} representar graficamente os seguintes conjuntos: A X B, A X C, B X C, C X B, A 2, C 2. 23

24 3. Produto cartesiano Exercício 3: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {xxr/1 x 4} representar graficamente os conjuntos: A X B, B X A e (A X B) U (B X A). 24

25 3. Produto cartesiano Exercício 4: Sabendo que {(1, 2), (4, 2)} T A 2 e n(a 2 ) = 9, represente pelos elementos o conjunto A 2. 25

26 3. Produto cartesiano Resolução: O número de elementos de A 2 é igual ao quadrado do número de elementos de A, portanto n(a 2 ) = [n(a)] 2 = 9 n = 3. Se A é um conjunto de três elementos, (1, 2) X A 2 e (4, 2) X A 2, concluímos que A = {1, 2, 4}. Assim sendo, A X A = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4,1), (4,2), (4,4)} 26

27 3. Produto cartesiano Exercício 5: Se {(1, -2), (3, 0)} T A 2 e n(a 2 ) = 16, represente pelos elementos o conjunto A 2. 27

28 3. Produto cartesiano Exercício 6: Considerando A T B, {(0, 5), (-1, 2), (2, -1)} T A X B e n(a X B) = 12, represente A X B pelos seus elementos. 28

29 4. Relação binária Consideremos os conjuntos A = {2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}. O produto cartesiano de A por B é o conjunto {(, ) / e } A x B = x y x A y B formado por 3. 5 = 15 elementos representados na figura ao lado. Se agora considerarmos o conjunto de pares ordenados (x, y) de A x B tais que x y (lêse: x é divisor de y), teremos { } { } R = ( x, y) A x B / x y = (2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,6),(4,4), que é chamado relação entre os elementos de A e de B ou, mais simplesmente, uma relação binária de A em B. 29

30 4. Relação binária O conjunto R está contido em A x B e é formado por pares (x, y), em que o elemento x de A é associado ao elemento y de B mediante um certo critério de relacionamento ou correspondência. y x 30

31 4. Relação binária Será bastante útil a representação da relação por meio de flechas, como na figura abaixo A B 31

32 4. Relação binária Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação binária de A em B todo subconjunto R de A x B. R é relação binária de A em B R A x B Se, eventualmente, os conjuntos A e B forem iguais, todo subconjunto de A x A é chamado relação binária em A. R é relação binária em A R A x A 32

33 4. Relação binária Utilizaremos as seguintes nomenclaturas já consagradas: A = conjunto de partida da relação R B = conjunto de chegada ou contradomínio da relação R 33

34 4. Relação binária Quando o par (x, y) pertence à relação R, escrevemos x R y (lê-se: x erre y ). (x,y) R xr y e se o par (x, y) não pertence à relação R, escrevemos (lê-se: x não erre y). x R y (x,y) R x R y 34

35 4. Relação binária Exemplos: 1 o ) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4}, quais são os elementos da relação R = {(x, y) / x < y} de A em B? Os elementos de R são todos os pares ordenados de A x B nos quais o primeiro elemento é menor que o segundo, isto é, são os pares ordenados pela associação de cada elemento x A com cada elemento de y B tal que x < y. Temos então: R = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} 35

36 4. Relação binária 2 o ) Se A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, quais são os elementos da relação binária R de A em B assim definida: x R y y = x + 2? Fazem parte da relação todos os pares ordenados (x, y) tais que x A, y B e y = x

37 4. Relação binária Utilizando as representações gráficas: y x A B 37

38 4. Relação binária 3 o ) Se A = {-1, 0, 1, 2}, quais são os elementos da relação R = {(x, y) A 2 / x 2 = y 2 }? que: Fazendo a representação gráfica, notamos R = {(0, 0), (1, 1), (1, -1), (-1, -1), (-1, 1), (2, 2)} y x A A 38

39 4. Relação binária { R } { } 4 o ) Se A = x / 1 x 3 e B = y R / 1 y 2, pede-se a representação cartesiana de A x B e R = {(x, y) A x B / y = x}. y A x B y R 1 3 x 1 3 x 39

40 4. Relação binária Exercício 7: Pede-se para (a) enumerar pares ordenados; (b) representar por meio de flechas e, (c) fazer o gráfico cartesiano da relação binária de A = {-2, -1, 0, 1, 2} em B = {-3, -2, -1, 1, 2, 3, 4} definida por x R y x + y = 2. 40

41 5. Domínio e imagem Domínio: Seja R uma relação de A em B. Chama-se domínio de R o conjunto D de todos os primeiros elementos dos pares ordenados pertencentes a R. x D y, y B / ( x, y) R Decorre da definição que D A. 41

42 5. Domínio e imagem Imagem: Chama-se imagem de R o conjunto Im de todos os segundos elementos dos pares ordenados pertencentes a R. y Im x, x A / ( x, y) R Decorre da definição que Im B. 42

43 5. Domínio e imagem Exemplos: 1 o ) Se A = {0, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, qual é o domínio e a imagem da relação R = {(x, y) A x B / y é múltiplo de x}? R = {(2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3, 6), (4, 4)} D = {2, 3, 4} Im = {2, 3, 4, 6} 43

44 5. Domínio e imagem Utilizando o esquema das flechas é fácil perceber que D é o conjunto dos elementos de A dos quais partem flechas e que Im é o conjunto dos elementos de B aos quais chegam flechas D Im A B 44

45 5. Domínio e imagem { R } { } 4 o ) Se A = x / 1 x 3 e B = y R / 1 y 4, qual é o domínio e a imagem da relação R = {(x, y) A x B / y = 2x}? Utilizando a representação cartesiana, temos: { R / 1 2 } e Im { R / 2 4} D = x x = y y 45

46 5. Domínio e imagem y y 4 A x B B Im x x D A 46

47 5. Domínio e imagem Exercício 8: Estabelecer o domínio e a imagem das seguintes relações: a){(1, 1), (1, 3), (2, 4)} b){(-2, 4), (-1, 1), (3, -7), (2, 1)} c){(3, 1/2), (5/2, -1), (3/2, 0)} 47

48 5. Domínio e imagem Exercício 9: Sejam os conjuntos A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {-2, -1, 0, 1, 2} e R a relação binária de A em B definida por x R y x = y 2 Pede-se: a) enumerar os pares ordenados de R; b) enumerar os elementos do domínio e da imagem de R; c) fazer o gráfico cartesiano de R. 48

49 5. Domínio e imagem Exercício 10: Se R é a relação binária de A = {x X R / 1 x 6} em B = {y X R / 1 y 4} definida por Pede-se: x R y x = 2y a) a representação cartesiana de A X B b) a representação cartesiana de R c) o domínio e a imagem de R. 49

50 6. Relação inversa Dada uma relação binária R de A em B, consideremos o conjunto {(, ) / (, ) } 1 R = y x B x A x y R Como R -1 é subconjunto de B x A, então R -1 é uma relação binária de B em A, à qual daremos o nome de relação inversa de R. 1 (, ) (, ) y x R x y R Decorre dessa definição que R -1 é o conjunto dos pares ordenados obtido a partir dos pares ordenados de R invertendo-se a ordem dos termos em cada par. 50

51 6. Relação inversa Exemplos: 1 o ) Se A = {2, 3, 4, 5} e B = {1, 3, 5, 7}, quais são os elementos de R = {(x, y) A x B / x < y} e de R -1? R = {(2,3),(2,5),(2,7),(3,5),(3,7),(4,5),(4,7),(5,7) } 1 R = {(3,2),(5,2),(7,2),(5,3),(7,3),(5,4),(7,4),(7,5) } 51

52 6. Relação inversa Utilizando o esquema das flechas, R R A B B A 52

53 6. Relação inversa { R } { } 2 o ) Se A = x / 1 x 4 e B = y R / 2 y 8, representar no plano cartesiano as relações R = {(x, y) A x B / y = 2x} e sua inversa R -1. y 8 R y 4 R x 2 8 x 53

54 6. Relação inversa Exercício 11: Dados os conjuntos A = {x X R / 1 x 6}, B = {y X R / 2 y 10} e a seguinte relação binária T = {(x, y) X A X B / y = x + 2} pede-se o gráfico cartesiano dessa relação e da respectiva relação inversa. 54

55 7. Propriedades das relações São evidentes as seguintes propriedades: a) D(R -1 ) = Im(R) isto é, o domínio de R -1 é igual a imagem de R b) Im(R -1 ) = D(R) isto é, a imagem de R -1 é igual ao domínio de R c) (R -1 ) -1 = R isto é, a relação inversa de R -1 é a relação R 55