Introdução a Teoria de Conjuntos

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Márcio Filipe Neto
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1 Aula 01 Introdução a Teoria de Conjuntos A Teoria dos Conjuntos foi criada e desenvolvida pelo Matemático russo George Cantor ( ), trata-se do estudo das propriedades dos conjuntos, relações entre conjuntos e relações entre os elementos e o próprio conjunto. A noção de conjunto é bastante simples e fundamental na Matemática, pois a partir dela podem ser expressos os conceitos matemáticos. Existem três conceitos primitivos, são eles: conjunto, elemento e pertinência. Conjunto: é um agrupamento, uma coleção de objetos, elementos que podem ser chamados de conjunto vazio (não possui elementos) e conjunto universo (possui todos os elementos em questão). Exemplos: Conjunto de alunos gremistas, Conjunto de alunos colorados, Conjunto de Talheres, Conjunto de notas. Elemento: é um componente deste conjunto. Exemplos: 1 é um elemento do conjunto dos números naturais, Maria é um elemento do conjunto de alunos da sala, 7,5 é a nota de um dos alunos da sala de aula. Pertinência: a relação de pertinência indica se um elemento pertence ou não pertence a um determinado conjunto. Exemplos: Maria pertence ao conjunto de alunos da sala.1 pertence ao conjunto dos números naturais. Representação de Conjuntos Ao criarmos um conjunto, damos um nome no qual será sempre com letra maiúscula e seus elementos permanecem com letras minúsculas. Para representação de conjuntos usamos três formas diferentes.

2 Listagem de elementos: todos os elementos de um conjunto são apresentados em uma lista, envolvidos por um par de chaves e separados por ponto-e-vírgula ou por vírgula. Exemplo: Conjunto dos algarismos pares. A = {0; 2; 4; 6; 8}. Propriedade dos elementos: Quando, pela quantidade, não for conveniente escrever todos os elementos que formam um conjunto, o descrevemos então por uma propriedade possuída por todos os seus elementos. Exemplo: A = {x x é um algarismo par} Lê-se: O conjunto A é formado pelos elementos x, tal que x é um algarismo par. Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: Ven-óiler ): Os conjuntos são apresentados graficamente. Exemplo: A a u i o e a i Conjuntos especiais Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos e é representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos. Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Conjunto Unitário: É o conjunto que possui apenas um elemento. Relação de Inclusão A relação de inclusão indica se um determinado conjunto está contido ou não em outro conjunto. Se todos os elementos de um conjunto pertencem a outro, então o primeiro conjunto está contido no segundo. Basta um único elemento do primeiro conjunto não pertencer ao segundo para que o primeiro conjunto não esteja contido no segundo.

3 Simbologia entre conjuntos Quando fazemos uso da relação de inclusão estamos, necessariamente, relacionando um conjunto a outro conjunto. Se um conjunto A está contido no conjunto B, dizemos que A é um subconjunto de B.

4 Subconjuntos Se todos os elementos de A pertencem ao conjunto B, então A chama-se um subconjunto de B. Também dizemos que A está contido em B ou B contém A, que se escrevem e, respectivamente. Igualdade de conjuntos: Dois ou mais conjuntos são iguais quando apresentam os mesmos elementos, em qualquer ordem, sendo que elementos iguais, num mesmo conjunto, serão considerados uma única vez. Podemos afirmar que é verdadeira a igualdade dada por: A= {a; b; c} = {c; b; a} = {a; a; a; b; b; b; c; c} Esta igualdade entre conjuntos do exemplo acima é definida como: Operações com conjuntos A união de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou B. Indicamos a união pelo símbolo U. Exemplo:

5 Obs.: Hachurada: desenho da área de uma curva fechada riscada com restas paralela. Interseção de conjuntos A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos comuns a A e B. Indicamos a interseção pelo símbolo Diferença de conjuntos A diferença entre dois conjuntos A e B, é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

6 Exemplo: Conjunto complementar Dados os conjuntos A e U, se o conjunto A está contido no conjunto U, a diferença U A, é chamada complementar de A em relação a U. Chamaremos o conjunto U, um conjunto universo. Ao complementar de A em relação a U usaremos a notação: Então:

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