Capítulo 2- Funções. Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em.

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1 Conceitos Capítulo 2- Funções O termo função foi primeiramente usado para denotar a dependência entre uma quantidade e outra. A função é usualmente denotada por uma única letra,,,... Definição: Dado dois conjuntos não vazios e e uma lei que associa a cada elemento de um único elemento de, dizemos que é uma função de em. Indica-se que é uma função de em pela notação : O conjunto é denominado domínio da função e é formado pelos elementos que possuem correspondência em pela função, ou seja, existe pertencente a tal que. Denota-se,) O conjunto de é chamado de contradomínio da função. Denota-se,) O elemento de, associado ao elemento de é chamado de imagem de pela função. Indica-se que é imagem de pela notação. O conjunto de todos os elementos de que são imagens dos elementos de é chamado conjunto imagem ou simplesmente imagem da função. Denota-se,. Para toda função. Um elemento típico do é chamado variável independente e um elemento típico da é chamado variável dependente. O conceito de função tem grande generalidade, pois os elementos do domínio e da imagem podem ser de qualquer natureza. As variáveis e podem representar quantidades numéricas. Porém não representa uma quantidade, estabelece uma lei de associação entre e. Quando a função é definida apenas pela lei de associação, sem especificação dos conjuntos e, convenciona-se que e são subconjuntos de e diz-se que a função é uma função real de variável real. Cálculo I -

2 Exemplos ) Seja uma função que calcula a área de um círculo: a) Encontre a equação que representa a função Sabemos que a área de um círculo depende do tamanho do raio do círculo. Para cada valor de raio arbitrado obteremos um resultado para a área. Assim a área é uma função do raio. Se chamarmos o raio do círculo de "" e a área de "", a área do círculo pode ser expressa em função de um raio genérico pela equação: b) Identifique a variável independente e a variável dependente da função. A área do círculo, variável, depende do valor arbitrado para o raio, variável. Então A é a variável dependente e a variável independente. c) Calcule a área do círculo quando 2, =3 =4. Estamos querendo saber o valor da variável dependente para valores específicos de. Basta substituir na equação pelo valor desejado. == =2, == =3, =2= 2 =4.. á =3= 3 =9.. á == =4, =4= 4 =6.. á d) Encontre o domínio da função. O domínio da função é o conjunto de todos os valores possíveis de serem atribuidos para a variável independente (raio ) de tal forma que seja possível calcular através da função a variável dependente (área do círculo ). Como não é possível traçar um círculo de raio igual a zero ou negativo, os valores possíveis de serem atribuídos para o raio só poderão ser números reais maiores do que zero, assim: = R >0} e) Encontre o conjunto imagem da função. O conjunto imagem da função é o conjunto de todos os valores que a variável dependente (área do círculo) pode ter quando a função for aplicada a todos os elementos do domínio (raio ). Como >0, então = sempre será um número real maior do que zero. = R >0} Cálculo I - 2

3 2) Dada a função : R R, definida pela equação = 3 4. Identifique as variáveis dependente e independente e calcule os itens abaixo: Para obtermos o valor de temos que arbitrar valores para. Ou seja, depende de. Isto significa que é uma função de e o nome desta função é. Assim, é a variável dependente e é a variável independente: ==3 4 = 4 3 h 4 significa que queremos saber o valor da variável dependente quando é igual a -4. Temos que substituir por -4. == 3 4 4=3 4 4=48 4=44 =3 4=3 4= 3 =3 3 4= 3 4= 3 =3 4=3 4 =3 4=3 4 =3 4=3 4 h=3 h 4=3 2 h+h 4=3 6 h+3h 4 h 0 0= = =3 4 =3 3 4 =3 4= 3 4 4=3 Cálculo I - h 3

4 3) Dado o conjunto = 2,,0,,2}, determinar o conjunto-imagem da função : R, definida pela equação = = 2 =0 = =2 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2= 8 = = = 0=0 = = = 2=8 Para cada valor do domínio, = 2,, 0,, 2, foram determinados os valores correspondentes pela função, =. A imagem da função é o conjunto dos valores que assume para todos os valores do domínio, então = 8,, 0,, 8} 4) Seja uma função que identifica a letra inicial do nome de uma pessoa. Considere esta função aplicada a um grupo de cinco pessoas chamadas José, Gabriela, Mário, Marlene e Vítor e determine o Domínio, o Contradomínio e a Imagem da função. =é = =á = =í =é= == =á= == =í= = é,,á,,} =,,,} 5) Encontre o Domínio e a Imagem da função que calcula o quadrado de um número. Como não há especificação do domínio e do contradomínio, considera-se a função como uma função real de variável real. Chamando a variável independente de e a variável dependente de, a função pode ser representada pela equação: =. Como para qualquer valor de R, (negativo, zero, positivo) é possível calcular o valor de, tem-se: =R} Se <0 então = >0; se =0 então =0 e se >0 então >0. Portanto, poderá ser zero ou um número positivo, assim: = R 0}=[0,+ Cálculo I - h 4

5 6) Encontre o Domínio e a Imagem da função que calcula a área de um quadrado. Chamando o comprimento do lado do quadrado de e sua área de, podemos calcular a área de uma seção quadrada como. =. Assim, a função pode ser representada pela equação ==. Só é possível calcular a área de um quadrado se o tamanho de seus lados for maior do que zero = R >0}=0,+ Como é sempre maior do que zero, a área calculada pela equação = será sempre um número maior do que zero = R >0}=0,+ Observe que a função, que calcula o quadrado de um número, e a função, que calcula a área de um quadrado, podem ser expressas pela mesma equação =, porém não são funções iguais, pois seus domínios são diferentes. OBS: Duas funções e são iguais se elas têm o mesmo domínio e se = para todo do domínio. 7) Dada a função : R R, definida pela equação = 8+5. Pede-se: Os valores da imagem da função quando =0. Queremos saber o valor que será encontrado pela função (valor da variável dependente) quando for atribuído o valor zero para a variável independente, ou seja, queremos saber o valor de 0. 0= =5 Os valores de para os quais a imagem da função é nula Queremos saber qual o valor de quando =0 = 8+5=0 = 8± =5 =3 = 8± = 8±2 2 Os valores de para os quais a imagem da função é igual a 3, ou seja, =3 == 8+5=3 8+2=0 = 8± =6 =2 = 8± = 8± 6 2 = 8±4 2 Cálculo I - h 5

6 8) Encontre o domínio das funções reais indicadas abaixo: = Devemos ter simultaneamente: = 2 = R Devemos ter simultaneamente: >0 < < Devemos ter simultaneamente: Como o argumento da raiz cúbica pode ser qualquer número real, temos apenas a restrição do argumento da raiz quadrada, ou seja: Devemos ter simultaneamente: Cálculo I - h 6

7 9) Encontre o domínio e a imagem das funções reais indicadas abaixo. = +3 Substituindo por qualquer número real obteremos para um valor real. Portanto, =R =R = 2 A expressão somente terá sentido se 2 0, ou seja, 2 Logo =R 2} ou = R 2} Para determinar a imagem a função, devemos investigar quais os valores que a imagem pode ter. Isolando tem-se: = 2 2= =2 = 2 A expressão somente terá sentido se 0, ou,. Portanto, não existe =. Logo, =R } ou = R } = A expressão somente terá sentido se 0, logo =R,,=R 0} Como não existe R tal que a expressão se anule, =R. = 3 2 A expressão 3 2 somente terá sentido se 3 2 0, ou seja,. Logo, = R Como a raiz quadrada de um número é sempre maior ou igual a zero, =R Cálculo I - h 7

8 2 Gráfico de Funções O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pares ordenados, no plano tal que pertence ao e pertence a. Assim, o gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados,, pois =. Costuma-se dizer que uma função real a uma variável real gera uma curva em R 2. Como não é possível a representação de todos os pontos,, podemos escolher alguns valores de pertencentes ao para calcular as correspondentes imagens. Representando estes pontos no sistema de coordenadas obtemos o chamado gráfico de dispersão. Se os pontos de dispersão são suficientemente próximos e a forma da função é simples ou conhecidas podemos ligar os pontos do gráfico de dispersão com uma curva, obtendo o gráfico da função. Análise de gráficos Através do gráfico da função podemos visualizar seu domínio e sua imagem. O domínio de uma função é o conjunto das abscissas dos pontos do gráfico. A imagem da função é o conjunto das ordenadas dos pontos do gráfico. Para reconhecer se uma curva representa ou não o gráfico de uma função, basta verificar se qualquer reta paralela ao eixo vertical e que passe por um ponto do domínio encontra a curva em um só ponto. Se esta reta cruza a curva do gráfico em mais de um ponto não é função. Os valores de para os quais =0 chamam-se zeros da função f ou raízes da equação =0. Geometricamente os zeros reais de uma função são as abscissas dos pontos onde o gráfico corta o eixo horizontal. Exemplos: ) Esboce o gráfico da função dada pela equação = Inicialmente, construímos uma tabela na qual arbitramos alguns valores para e calculamos os valores correspondentes de =. Como =R podemos escolher valores positivos, negativos e o valor nulo para. A seguir, localizamos os pares ordenados, no sistema cartesiano bidimensional, obtendo o gráfico de dispersão. Quanto mais pontos forem calculados, melhor será a representação da função. Finalmente, unimos estes pontos, com retas ou curvas suaves, obtendo o esboço do gráfico da função. Devemos também observar o comportamento da função quando a variável independente é muito pequena ou muito grande. No exemplo =, se tender a um número muito pequeno,, = assume valores bem pequenos,. Se tender a um número muito grande, +, = assume valores muito grandes, +. Essas informações permitem a representação do comportamento da função em pontos distantes dos pontos da tabela. Cálculo I - h 8

9 Tabela Gráfico de Dispersão Gráfico da Função -2 f(-2)=-8 - f(-)=- 0 f(0)=0 f()= 2 f(2)=8 2) Esboce o gráfico das funções indicadas = =[0,, 0,, se então. Tabela Gráfico de Dispersão Gráfico da Função 0 g(0)=0 g()= 4 g(0)=2 9 g(9)=3 2, 0, Cálculo I - h 9

10 , 0, ,9 0, ,2 0,2 Cálculo I - 0

11 0 0,, ,, 0, ,3 3, 0, Cálculo I -

12 3 Operações com Funções Tais como os números, que podem ser somados, subtraídos, multiplicados e divididos para produzir outros números, assim também acontece com as funções. Dadas as funções e podemos ter as seguintes operações: a) Soma : b) Subtração: c) Multiplicação:.. d) Divisão: / 0 e) Divisão: / 0 Graficamente, as ordenadas são obtidas pela soma, diferença, multiplicação ou divisão das ordenadas e. Exemplos Dadas duas funções e, encontre as funções: ; ;. ; / ; / e determine seus domínios. ) 5 3 Domínio de : 50 5,5 Domínio de : , a) 5 3 3,5 b) 5 3 3,5 Cálculo I - 2

13 c) ,5 d / , , , 4 4 4, b 4 4 4, Cálculo I - 3

14 c 4 4 = = [4,+ = = = R =0 = 8 = [4,+ 8}=[4,+, pois -8 não está no intervalo [4,+ = = = R ,+ 4}=4,+ 3= 5 = =R =R =+= 5+ = + 6 = = R = = 5 += + 4 = = R =.= 5 = 5 +5 = = R =/= 5/ = R ± ± / / Cálculo I - 4

15 4= + = : 0 =R } : 0 0 =R 0} =+= = = = R 0} } = = + + = = = R 0} } =.= + + = = = R 0} } = + = = +. = + = R 0 0 =± = = R 0} } = = + = = + + = R =0 +=0 = = }= R 0} } } Cálculo I - 5

16 4 Função Composta Sejam três conjuntos distintos, e que entre eles existam as seguintes funções: : : Irá existir uma outra função h tal que h= que é chamada de função composta de e denotada por. Exemplo: Sejam três conjuntos = 3, 0,, 3},= 5,,3,7} =25,,9, 49} e as funções : tal que =2+ e : tal que =, conforme indicado no esquema abaixo Para cada elemento de existe um elemento em tal que =2+ e para cada elemento de existe um elemento de tal que =. Podemos concluir que existe uma função h: definina por h=, ou seja: h== =2+ ou h==2+= h h3= 3= 5=25 h0=0== h==3=9 h3=3=7=49 Cálculo I - 6

17 Na função composta, resolvemos primeiro a função interna, ao resultado, ou seja, à imagem de aplicamos a função. Assim, o domínio de é o conjunto de todos os elementos no domínio da função tal que esteja no domínio da função. } Na função, resolvemos primeiro a função interna, ao resultado, ou seja, à imagem de aplicamos a função. Assim, o domínio de é o conjunto de todos os elementos no domínio de tal que esteja no domínio de. = } É importante lembrar que as função e são geralmente diferentes. Exemplos: ) Dadas as funções = e =, encontre a função indicada e seu domínio. =R ; =R =[0,+ === = } = R 2 [0,+ } Como para todo R, [0,+ = R}= R == = = } = [0,+ R } Como para todo 0, R = [0,+ }= R + == = = = } = R R} Como para todo R, R = R}= R === = } = [0,+ [0,+ } Como para todo 0, 0 = [0,+ }= R Cálculo I - 7

18 2) Dadas as funções e, encontre a função indicada e seu domínio. = R =[0,+ ; =R === = } = R [0,+ } O domínio é todo R com a restrição de ( 0 0 = R }=, [,+ == = = } = [0,+ R} Como para todo 0, 0 = [0,+ }= R === = } = [0,+ [0,+ } Como para todo 0, 0 = [0,+ }= R == = = } = R R} Como para todo R, R = R}= R Cálculo I - 8

19 3) Dadas as funções 2 e = 2, encontre a função indicada e seu domínio. =[2,+ ; =R == 2= 2 2= 4 = } = R 2 [2,+ } O domínio é todo R com a restrição de ( = R 2 2} =, 2 [2,+ == 2= 2 2 = } = [2,+ 2 R} O domínio é todo 2 com a restrição de 2 R Para 2 ser número real, devemos ter: = [2,+ [2,+ } = [2,+ } == 2= 2 2 = } = [2,+ 2 [2,+ } O domínio é todo 2 com a restrição de = [2,+ [6,+ } =[2,+ [6,+ =[6,+ == 2= 2 2 = } = R 2 R} Como para todo R, 2 R = R}= R Cálculo I - 9

20 4) Dadas as funções e = domínio. == = =R; =R 0}= R = } = R R } O domínio é todo R com a restrição de 3 R 3 R 3 0 = R } = R } encontre a função indicada e seu == = = = } = R R } Como para todo 0, / 0 = R }= R 0} 5) Considere uma placa metálica de seção quadrada que, devido à variação térmica, os comprimentos de seus lados aumentam com a temperatura de acordo com a equação =0, +0, onde é o comprimento do lado do quadrado (em ) e é a temperatura (em ). Qual a área da placa quando a temperatura for de 0, 0, 20 e 30? O comprimento dos lados da placa depende da temperatura de acordo com a equação: =0, +0 =, o comprimento do lado é função da temperatura A área da placa depende do comprimento de seus lados de acordo com a equação: = =, a área é função do comprimento. === = = =0, +0 Quando =0 = 0,.0 +0 =0 =00 Quando =0 = 0,.0+0 = =2 Quando =20 = 0,.20+0 =2 =44 Quando =30 = 0,.30+0 =3 =69 Cálculo I - 20