1 Conjunto dos números naturais N

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1 Conjuntos numéricos Os primeiros números concebidos pela humanidade surgiram da necessidade de contar objetos. Porém, outras necessidades, práticas ou teóricas, provocaram a criação de outros tipos de número. Em Matemática, é usual classificar os números em categorias, como veremos a seguir. 1 Conjunto dos números naturais N Indicamos por N o conjunto dos números naturais e por N o conjunto dos números naturais não nulos: N = {0; 1; 2; 3;...} N = {1; 2; 3;...} 1.1 Números consecutivos, antecessor e sucessor Se n é um número natural, então n + 1 é um número natural tal que: n e n + 1 são chamados números naturais consecutivos; n é o antecessor de n + 1; n + 1 é o sucessor de n; Exemplo: a) Os números 3 e 4 são consecutivos. b) 3 é o antecessor de 4. c) 4 é o sucessor de Propriedades dos números naturais P1) Todo número natural tem sucessor. P2) A soma de dois número naturais quaisquer é um número natural. P3) O produto de dois números naturais quaisquer é um número natural. 2 Conjunto dos números inteiros Z Denominamos conjunto dos números inteiros (e indicamos por Z) o conjunto: Z =... ; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4;... Apresentamos aqui as notações especiais que usaremos para alguns subconjuntos de Z: Z = {... ; 3; 2; 1; 1; 2; 3;...} é o conjuntos dos números inteiros não nulos. Z + = {0; 1; 2; 3;...} é o conjunto dos números inteiros não negativos. Z + = {1; 2; 3;...} é o conjunto dos números inteiros positivos. Z = {... ; 3; 2; 1; 0} é o conjunto dos números inteiros não positivos. Z = {... ; 3; 2; 1} é o conjunto dos números inteiros negativos. 2.1 Números consecutivos, antecessor e sucessor Se n é um número inteiro, então n + 1 é um número inteiro tal que: n e n + 1 são chamados números naturais consecutivos; n é o antecessor de n + 1; n + 1 é o sucessor de n;

2 2.2 Propriedades dos números inteiros P1) Sendo P e I os conjuntos dos números pares e ímpares, respectivamente, temos que P I = Z e P I =. P2) Todo número inteiro tem sucessor e antecessor. P3) A soma de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. P4) A diferença entre dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. P5) O produto de dois números inteiros quaisquer é um número inteiro. 3 Conjunto dos números racionais Número racional é todo aquele que pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros, sendo o segundo não nulo. Indicando o conjunto de todos os números racionais pela letra Q, temos: { n Q = d ; n Z d Z } Na fração n d, n é chamado de numerador e d é chamado de denominador. Exemplo: a) Os números 3 7, 4 9, 3 5 são racionais, pois cada um está representado por uma razão entre números inteiros. b) O número 0, 5 é um número racional, pois pode ser representado por uma razão entre dois números inteiros: 0, 5 = 5 10 = 1 2 = 2 4 = 3 6 =... c) Os números 3, 5 e 0 (zero) são racionais, pois cada um pode ser representado por uma razão de dois número inteiros: 3 = 3 1 = 6 2 = 9 3 =... 5 = 5 1 = 10 2 = 15 3 =... 0 = 0 1 = 0 2 = 0 3 =... Assim como fizemos para o conjunto dos números inteiros, destacamos as notações especiais para alguns subconjuntos de Q: Q = {... ; 3; 2; 1; 1; 2; 3;...} é o conjuntos dos números racionais não nulos. Q + = {0; 1; 2; 3;...} é o conjunto dos números racionais não negativos. Q + = {1; 2; 3;...} é o conjunto dos números racionais positivos. Q = {... ; 3; 2; 1; 0} é o conjunto dos números racionais não positivos. Q = {... ; 3; 2; 1} é o conjunto dos números racionais negativos. 3.1 Propriedades dos números racionais P1) A soma de dois números racionais quaisquer é um número racional. P2) A diferença entre dois números racionais quaisquer é um número racional. P3) O produto de dois números racionais quaisquer é um número racional. P4) O quociente entre dois números racionais quaisquer é um número racional.

3 3.2 Representação Decimal Quando a partir de uma fração irredutível n d, mdc(n, d) = 1, dividirmos o numerador pelo denominador, dois tipos de números decimais poderão surgir no quociente: decimais exatos ou decimais inexatos. Há dois tipos de decimais inexatos: os periódicos (dízimas periódicas) e os ilimitados não periódicos, denominados números irracionais, que estudaremos no próximo tópico. 3.3 Números decimais exatos São aqueles que possuem um número limitado de algarismos na parte decimal. Exemplos: a) 3 8 = 0, 375 b) 7 2 = 3, Números decimais periódicos São números decimais inexatos em que, na parte decimal, aparece(m) um algarismo ou um grupo de algarismos repetindo-se infinitamente em uma determinada ordem. Exemplo: a) 7 3 b) 5 7 c) 23 6 = 2, = 0, = 3, O algarismo ou conjunto de algarismos que se repete(m) nas dízimas periódicas denomina-se período. 3.5 Conjunto dos números irracionais Número racional é todo número que, em sua forma decimal, é uma dízima não periódica. Indicando o conjunto dos números irracionais por Q: Exemplos: Q = {x x é dízima não periódica} a) Um dos números irracionais mais conhecidos é o quociente do perímetro de uma circunferência pelo seu diâmetro. Esse número é representado pela letra grega π (Lê-se: pi) que está reproduzido abaixo com 7 casas decimais π = 3, b) Outro número irracional é a medida da diagonal de um quadrado de lado 1, indicada por: 2 = 1, Um número irracional não pode ser representado como uma razão entre dois números inteiros. Obs.: Para saber mais sobre este assunto, acesse aqui e assista à aula sobre Segmentos Incomensuráveis. 3.6 Propriedades dos números irracionais P1) Sejam n N e a N. Se n a não é inteiro, então n a é irracional. P2) A soma de um número racional com um número irracional é um número irracional. P3) A diferença entre um número racional e um número irracional, em qualquer ordem, é um número irracional. P4) O produto de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional. P5) O quociente de um número racional não nulo por um número irracional é um número irracional.

4 4 Conjuntos dos números Reais Qualquer número racional ou irracional é chamado de número real. Indicando por R o conjunto dos números reais: R = Q Q Podemos dizer, portanto, que número real é todo número que pode ser representado na forma decimal, com número finito ou infinito de casas decimais. A seguir, destacamos alguns subconjuntos de R para os quais adotamos notações especiais: R = {... ; 3; 2; 1; 1; 2; 3;...} é o conjuntos dos números reais não nulos. R + = {0; 1; 2; 3;...} é o conjunto dos números reais não negativos. R + = {1; 2; 3;...} é o conjunto dos números reais positivos. R = {... ; 3; 2; 1; 0} é o conjunto dos números reais não positivos. R = {... ; 3; 2; 1} é o conjunto dos números reais negativos. 4.1 Propriedades dos números reais P1) A soma de dois números reais quaisquer é um número real. P2) A diferença entre dois números reais quaisquer é um número real. P3) O produto de dois números reais quaisquer é um número real. P4) O quociente de dois números reais quaisquer, sendo o divisor não nulo, é um número real. P5) Se n é um número natural ímpar e a R, temos: n a R P6) Sendo n um número natural par não nulo e a R, temos: n a R a 0 5 Eixo Real Vamos agora considerar uma reta r e associar o número 0 (zero) a um ponto O r. O ponto O determina em r duas semirretas opostas de origem O. A cada ponto A, A O, de uma dessas semirretas, vamos associar um número real positivo x, que indica a distância entre A e O em certa unidade u. A cada ponto A, simétrico de A em relação a O, vamos associar o oposto de x, isto é: Dessa maneira, a cada ponto da reta está associado um único número real e cada número real está associado um único ponto da reta e, portanto, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos da reta. O sistema assim construído é o eixo real cuja origem é o ponto O e cujo sentido é o mesmo da semirreta que representa R +. Os números associados aos pontos do eixo real são chamados de abscissas dos respectivos pontos.

5 5.1 Intervalos reais Sendo a e b números reais quaisquer, com a < b, os subconjuntos de R apresentados na tabela abaixo são chamados de intervalos reais. Representação Algébrica Representação no eixo real Descrição {x R; a x b} = [a, b] Intervalo fechado de extremos a e b {x R; a < x b} =]a, b] Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita, de extremos a e b {x R; a x < b} = [a, b[ Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita, de extremos a e b {x R; a < x < b} =]a, b[ Intervalo aberto de extremos a e b {x R; x a} = [a, + [ Intervalo ilimitado fechado à esquerda em a {x R; x a} =]a, + [ Intervalo ilimitado aberto à esquerda em a. {x R; x a} =], a] Intervalo ilimitado fechado à direita em a {x R; x < a} =], a[ Intervalo ilimitado aberto à direita em a. Observações: 1. O símbolo deve ser lido infinito. 2. A bolinha vazia em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo pertence ao intervalo. 3. A bolinha cheia em um extremo do intervalo indica que o número associado a esse extremo não pertence ao intervalo. 4. O intervalo sempre será aberto nos extremos e. 5. Os quatro primeiros tipos de intervalo da tabela são chamados intervalos limitados. Exemplos: a) O conjunto {x R 2 x 6} = [ 2, 6] é o intervalo fechado de extremos -2 e 6, cuja representação no eixo real é: b) O conjunto {x R 1 < x < 8} =] 1, 8[ é o intervalo fechado de extremos -1 e 8, cuja representação no eixo real é: c) O conjunto { x R; 2 3 < x 5} = ] 2 3, 5] é o intervalo fechado de extremos 2 3 e 5, cuja representação no eixo real é:

6 d) O conjunto { x R; x 2 } = [ 2, [ é o intervalo ilimitado fechado à esquerda em 2, cuja representação no eixo real é: e) O conjunto {x R; x < π} = ], π[ é o intervalo ilimitado aberto à direita em π, cuja representação no eixo real é: 6 Exercícios 1 a questão: Classifique como verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações: (a) 5 N (b) 5 / Z (c) 5 Z (d) Todo número inteiro é natural. (e) 3 2 Q (f) 3 8 Q (g) ( ) Q (h) ( ) Q (i) π 3 Q (j) π 3 R (k) Toda dízima não periódica é um número irracional. (l) Toda dízima é um número irracional. (m) Toda dízima periódica é um número racional. (n) Todo número que pode ser representado na forma decimal é real. (o) Números reais são somente aqueles que podem ser representados pela razão entre dois números inteiros. (p) O produto de um número racional qualquer por um número irracional é racional. (q) O produto de um número racional qualquer por um número irracional é irracional. (r) O oposto de um número irracional é irracional. (s) O inverso de um número irracional é um número irracional. 2 a questão: Obtenha a fração geratriz de cada uma das dízimas periódicas: (a) 4, (b) 5, a questão: Determine o menor número que pertence a cada um dos conjuntos: (a) A = {x N x > 3} (b) B = {x Z x > 3} (c) C = {x Q x > 3} (d) D = {x R x > 3} 4 a questão: Dados os intervalos: A =]5, 9], B = [7, 11], C =] 2, + [ e D =], 8], determine: (a) A B (b) A B (c) C D (d) (D A) (D B) 5 a questão: Dados os intervalos: A = [4, 12], B =]9, 19[, C =]0, 8] e D =], 14], determine: (a) A B

7 (b) A B (c) B D (d) A B C (e) A B C (f) (A B) (A C) 6 a questão: Sejam A =]3, 9] e B =]5, + [. Sabendo que um número x pertence a A B, podemos concluir que x não pertence ao intervalo: (A) [9, + [ (B) ]8, + [ (C) [7, 9] (D) ], 9[ (E) [10, 15] 7 a questão: Obtenha a fração geratriz de cada dízima periódica a seguir: (a) 3, (b) 2, a questão: Assinale a alternativa que apresenta um número irracional. (A) 0, (B) π 2π (C) 64 (D) 3 [ (E) ( 2) 2 ] 2 9 a questão: Um número real x só pode ser representado na forma decimal com infinitas casas decimais. Assinale a alternativa correta: (A) x é irracional. (B) x é racional. (C) x é irracional se for uma dízima periódica. (D) x é racional se for uma dízima não periódica. (E) x é irracional se for uma dízima não periódica. 10 a questão: Sabendo que x, y e z são números reais e (2x + y z) 2 + (x y) 2 + (z 3) 2 = 0, então x + y + z é igual a: (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7 11 a questão: Sendo A, B e C intervalos reais tais que A B =] 5, 8[ e A C = [ 3, 11[, determine A (B C). 12 a questão: Se A =] 2, 3] e B = [0, 5], então os números inteiros que estão em B A são: (A) 1 e 0. (B) 1 e 0. (C) 4 e 5. (D) 3, 4 e 5. (E) 0, 1, 2 e a questão: O número π 2 pertence ao intervalo: (A) [ ] 1, 3 2 (B) ] 1 2, 1] (C) [ 3 2, 2]

8 (D) ] 1, 1[ (E) [ 3 2, 0[ 14 a questão: Uma caixa automática de banco só trabalha com notas de 5 e 10 reais. Um usuário fez um saque de R$100,00. Pode-se concluir que entre as notas retiradas: (A) o número de notas de R$10,00 é par. (B) o número de notas de R$10,00 é ímpar. (C) o número de notas de R$5,00 é par. (D) o número de notas de R$5,00 é ímpar. (E) o número de notas de R$5,00 é par e o número de notas de R$10,00 é ímpar. 15 a questão: Os números que mensuram grandezas do cotidiano estão restritos a padrões, como o custo de uma caneta, de um livro ou de um carro; a duração de um dia, de um ano ou de um século; a massa de um pacote de café, de um tijolo ou de uma pessoa, etc.. Pelo hábito de fazer comparações com esses padrões, temos dificuldades em comparar números grandes, como a distância de 5 bilhões entre a Terra e Plutão, ou a distância de 41 trilhões de quilômetros entre a Terra e a estrela Alfa de Centauro. Por isso, para ter noção de comparações como essas, estudamos as medidas em uma escala menor, isto é, representamos a medida de uma das grandezas por uma unidade com a qual estamos habituados e, por meio de proporções, comparamos as medidas reais na escala adotada. Se representarmos por um segmento de reta de 1 m a distância entre a Terra e a estrela Alfa de Centauro, a medida do segmento de reta que representa a distância entre a Terra e Plutão mede: (A) menos de 0,5 mm. (B) mais de 0,5 mm e menos de 1,0 mm. (C) mais de 1 mm e menos de 1,5 mm. (D) mais de 1,5 mm e menos de 2,0 mm. (E) mais de 2,0 mm e menos de 2,5 mm.