CURSO DE MATEMÁTICA. Conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. (propriedades e operações) Josimar Padilha

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1 CURSO DE MATEMÁTICA Conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e irracionais. (propriedades e operações) Josimar Padilha

2 Qual a importância de conhecer os CONJUNTOS NUMÉRICOS? Meu querido aluno, como existem vários tipos de conjuntos, ou seja, os formados por pessoas, animais e até mesmo objetos, é importante percebemos também o conjunto formados por números que são indispensáveis para resolver vários problemas do dia-a-dia, logo fica a necessidade de interpretarmos conforme exemplo abaixo: Temos que conhecer os conjuntos numéricos, certo? (FCC) Perguntaram a José quantos anos minha sua filha e ele respondeu: A idade dela é numericamente igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x 2 31x 70 < 0. É correto afirmar que a idade da filha de José é um número a) menor que 10. b) divisível por 4. c) múltiplo de 6. d) quadrado perfeito. e) primo.

3 1.CONJUNTOS DOS NÚMEROS NATURAIS (N) : O Conjunto dos números naturais é representado pela letra Ν: Estes números foram criados pela necessidade prática de contar as coisas da natureza, por isso são chamados de números naturais. São aqueles números que aparecem naturalmente ao longo de um processo de contagem, são os positivos. O conjunto dos números naturais é formado por todos os números, ao mesmo tempo, inteiros e positivos e pelo zero. É importante destacar que esse conjunto também pode ser definido como o conjunto formado por todos os números inteiros não negativos, uma vez que o zero não é positivo nem negativo. A saber, a lista com os elementos (números) que pertencem ao conjunto dos números naturais é: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Essa é a sequência de números que usamos para contar. Acredita-se que sua origem seja essa: a contagem. Essa lista também pode ser representada pela notação de conjuntos da seguinte maneira: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, }

4 PROPRIEDADES: Os números naturais são aqueles que nos permitem contar os elementos de um determinado conjunto. Graças à isso, quando fazemos operações com eles, os resultados podem ser ou não de números naturais. Se adicionarmos dois números naturais, o resultado é sempre um outro número natural. O mesmo acontece quando multiplicamos, mas quando subtraímos dois números naturais o resultado não será sempre um outro número natural, o mesmo acontece com a divisão. Por exemplo, tente subtrair 45 menos 20. Você acha que é possível representar o resultado desta operação com um número natural? É por conta disso queconsideramos como parte do conjunto dos números naturais apenas resultados das duas operações: Adição e Multiplicação.

5 A ordem dos números naturais no conjunto Os números representam as quantidades, mas existem alguns números naturais que representam mais do que outros. Podemos dizer então que existem números naturais maiores ou menores que outros, esta relação é chamada de ordem. Para representar que um determinado número é maior que o outro vamos usar o"maior do que" >, da seguinte forma: colocamos o número maior do lado aberto do símbolo >, e o menor colocamos do outro lado. Desigualdades :

6 O primeiro número natural Como já dissemos, os números naturais são aqueles usados para representar a quantidade de elementos que têm um determinado conjunto, vamos considerar o conjunto de números naturais ou N começando a partir do número 00, pois este número 00 representa a quantidade de itens que têm o conjunto vazio. O sucessor de um número natural Outra propriedade importante deste conjunto de números é que cada um dos seus elementos tem um sucessor. Isto é, se usarmos como referência determinado número natural, podemos saber qual é seu próximo e ter a certeza de que entre um número e o seu próximo não haverá nenhum outro. Este número é chamado sucessor. Por exemplo, consideraremos o número 66, sabemos que o seu sucessor é o 77 e entre estes dois números não encontraremos nenhum outro. Embora possa parecer incrível nem todos os conjuntos numéricos possuem estas propriedades!

7 CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Para alguns números como o dois, o três, o cinco e outros, existem regras que permitem verificar a divisibilidade sem se efetuar a divisão. Essas regras são chamadas de critérios de divisibilidade. Divisibilidade por 2 Um número natural é divisível por 2 quando ele termina em 0, ou 2, ou 4, ou 6, ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos: 1) 5040 é divisível por 2, pois termina em 0. 2) 237 não é divisível por 2, pois não é um número par.

8 Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 3. Exemplo: 234 é divisível por 3, pois a soma de seus algarismos é igual a 2+3+4=9, e como 9 é divisível por 3, então 234 é divisível por 3. Divisibilidade por 4 Um número é divisível por 4 quando termina em 00 ou quando o número formado pelos dois últimos algarismos da direita for divisível por 4. Exemplo: 1800 é divisível por 4, pois termina em é divisível por 4, pois 16 é divisível por é divisível por 4, pois 24 é divisível por não é divisível por 4, pois não termina em 00 e 50 não é divisível por 4.

9 Divisibilidade por 5 Um número natural é divisível por 5 quando ele termina em 0 ou 5. Exemplos: 1) 55 é divisível por 5, pois termina em 5. 2) 90 é divisível por 5, pois termina em 0. 3) 87 não é divisível por 5, pois não termina em 0 nem em 5. Divisibilidade por 6 Um número é divisível por 6 quando é divisível por 2 e por 3. Exemplos: 1) 312 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 6). 2) 5214 é divisível por 6, porque é divisível por 2 (par) e por 3 (soma: 12). 3) 716 não é divisível por 6, (é divisível por 2, mas não é divisível por 3). 4) 3405 não é divisível por 6 (é divisível por 3, mas não é divisível por 2).

10 Divisibilidade por 8 Um número é divisível por 8 quando termina em 000, ou quando o número formado pelos três últimos algarismos da direita for divisível por 8. Exemplos: 1) 7000 é divisível por 8, pois termina em ) é divisível por 8, pois 104 é divisível por 8. 3) é divisível por 8, pois 112 é divisível por 8. 4) não é divisível por 8, pois 164 não é divisível por 8. Divisibilidade por 9 Um número é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for divisível por 9. Exemplo: 2871 é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos é igual a =18, e como 18 é divisível por 9, então 2871 é divisível por 9.

11 Divisibilidade por 10 Um número natural é divisível por 10 quando ele termina em 0. Exemplos: 1) 4150 é divisível por 10, pois termina em 0. 2) 2106 não é divisível por 10, pois não termina em 0.

12 Divisibilidade por 12 Um número é divisível por 12 quando é divisível por 3 e por 4. Exemplos: 1) 720 é divisível por 12, porque é divisível por 3 (soma=9) e por 4 (dois últimos algarismos, 20). 2) 870 não é divisível por 12 (é divisível por 3, mas não é divisível por 4). 3) 340 não é divisível por 12 (é divisível por 4, mas não é divisível por 3).

13 ASSUNTO: Conjuntos Numéricos MATEMÁTICA MATERIAL COMPLEMENTAR 01 PROF. JOSIMAR PADILHA QUESTÕES DE CONCURSOS Por que temos que conhecer os conjuntos numéricos? Vejamos alguns exemplos e depois vamos exercitar com questões. Ok? 01. (FCC) Perguntaram a José quantos anos minha sua filha e ele respondeu: A idade dela é numericamente igual à maior das soluções inteiras da inequação 2x 2 31x 70 < 0. É correto afirmar que a idade da filha de José é um número a) menor que 10. b) divisível por 4. c) múltiplo de 6. d) quadrado perfeito. e) primo. COMENTÁRIO: O objetivo não é resolvermos a inequação, apenas para mostrá-lo como é importante reconhecermos os conjuntos numéricos, uma vez que o resultado é um conjunto soluções reais. Quanto a inequação, este assunto será visto em outro momento. Porém vamos resolver a questão para que você observe a interpretação do resultado. Dada a inequação, 2x 2 31x 70 < 0, iremos encontrar as raízes: 2x 2 31x 70 = 0. = b 2 4 a c = ( 31) 2 4 (2)( 70) = = 1521 = 1521 x = b± 2a =

14 x = 31± ±39 = x = X = -2 X = 35/2= 17,5 É importante observar que temos uma solução formada por conjunto de valores, -2 x 17,5. A questão pede o maior valor inteiro, logo só pode ser 17. A idade da filha de José é igual a 17 anos, resposta letra e. 2. (FGV/2010) analise as afirmativas a seguir: I 6 é maior do que 5/2. II 0,555 é um número racional. III Todo número inteiro tem antecessor. Assinale: a) somente as afirmativas I e III estão corretas. b) somente a afirmativa II está correta. c) somente as afirmativas I e II estão corretas. d) somente a afirmativa I está correta. e) somente as afirmativas II e III estão corretas. COMENTÁRIO: Vamos analisar cada uma das afirmativas. Referente a afirmativa I, temos o resultado 5/2 igual a 2,5, uma maneira de representá-lo é (2,5) 2 = 6,25 = 5/2, desta forma podemos inferir que 6 < 6,25. Logo está errado.

15 Referente a afirmativa II, temos que toda dízima periódica pertence ao conjunto dos números racionais. Logo está correto. Referente a afirmativa III, temos que o conjunto dos números inteiros são todos os números que vão do menos infinito (- ) até o mais infinito (+ ), logo todo número inteiro irá possuir um antecessor e um sucessor. Logo está correto. Resposta: letra e. 03. (IBFC/2011) somando 2,33... e 3, podemos dizer que a terça parte dessa soma vale: a) 49/ 27 b) 49/ 9 c) 27/ 7 d) 54/ 8 COMENTÁRIO: Devemos primeiro descobrir as funções geratrizes dos dois números, ou seja, fragmentando os números e logo após colocando na forma fracionária para que possamos realizar a soma: 2,333...= 2 + 0, = 2 + 3/9 = 21/9 3,111...= 3 + 0, = 3 + 1/9 = 28/9 Somando-se as duas frações temos que 21/9 + 28/9 = 49/9 A terça parte desta soma será: 49/9 x 1/3 = 49/27 Resposta: letra a QUESTÕES PARA TREINAMENTO 01. (AOCP- PM TO 2018). É correto afirmar que (A) 13,5 é um número irracional. (B) 3 é um número racional. (C) o produto 3 X 27 não resulta em um número inteiro. 3 (D) ( 16) 6 é um número inteiro.

16 (E) a soma ( 5-11) + (7 + 11) resulta em um número irracional 02. (UFOP-MG) A respeito dos números a = 0, e b = 0,5, é correto afirmar: a) b = a + 0, b) a = b c) a é irracional e b é racional d) a < b 03. (UEL-PR) observe os seguintes números: I. 2, II. 3, III. π/5 IV. 3,1416 V. 4 Assinale a alternativa que identifica os números irracionais: a) I e II. b) I e IV. c) II e III. d) II e V. e) III e V. 04. (CEFET-CE) É unitário o conjunto: a) {x Z x < 1} b) {x Z x2 > 0} c) {x R x2 = 1} d) {x Q x2 < 2} e) {x N 1 < 2x < 4}

17 05. (PUC-RIO) A soma 1, , é igual a: a) ½ b) 5/2 c) 4/3 d) 5/3 e) 3/2 06. (UFMG). Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y obtém-se quociente z e resto 8. Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dízima periódica 7, Então, o valor de x + y + z é a) 190. b) 193. c) 191. d) (UFG). Sejam os conjuntos: A = {2n: n Z} e B = {2n - 1 : n Z} Sobre esses conjuntos, pode-se afirmar: I. A B = II. A é o conjunto dos números pares. III. B A = Z. Está correto o que se afirma em: a) I e II, apenas. b) II, apenas. c) II e III, apenas. d) III, apenas. e) I, II e III. 08. (FUVEST). Se x e y são dois números inteiros, estritamente positivos e consecutivos, qual dos números abaixo é necessariamente um inteiro ímpar? a) 2x + 3y b) 3x + 2y

18 c) xy + 1 d) 2xy + 2 e) x + y (UFMG). Considere o conjunto de números racionais M = {5/9, 3/7, 5/11, 4/7}. Sejam x o menor elemento de M e y o maior elemento de M. Então, é CORRETO afirmar que a) x = 5/11 e y = 4/7. b) x = 3/7 e y = 5/9. c) x = 3/7 e y = 4/7. d) x = 5/11 e y = 5/ (UEL ) São dadas as sentenças: I. O número 1 tem infinitos múltiplos. II. O número 0 tem infinitos divisores. III. O número 161 é primo. É correto afirmar que SOMENTE a) I é verdadeira. b) II é verdadeira. c) III é verdadeira. d) I e II são verdadeiras. e) II e III são verdadeiras. GABARITO: 1. D 2. B 3. C 4. E 5. E 6. C 7. E 8. C 9. C 10. D

19 Fique atento (a)!!! - Dicas sobre os números reais: - N Z Q R - Irracional = R - Q - Q Irracional = Ø - A soma e a multiplicação de dois números naturais têm como resultado um número natural; - O oposto, ou simétrico de um número inteiro é também um número inteiro; - Soma, subtração, multiplicação E divisão com denominador diferente de zero de dois números racionais é também um número racional; - O inverso multiplicativo de um número racional nulo é um número racional; - Se p é um número e q um número racional, então os números p,q + q, p/q e q/p são irracionais. DESAFIO DA QUESTÃO FGV 2017 VÍDEO AULA: Em um concurso, há 150 candidatos em apenas duas categorias: nível superior e nível médio. Sabe-se que: dentre os candidatos, 82 são homens; o número de candidatos homens de nível superior é igual ao de mulheres de nível médio; dentre os candidatos de nível superior, 31 são mulheres. O número de candidatos homens de nível médio é a) 42. b) 45. c) 48. d) 50. e) 52. Comentário:

20 Vamos construir uma tabela para que possamos organizar melhor as pessoas quanto ao sexo e nível de escolaridade: Homens Mulheres Superior x 31 Médio? x Total: 150 Para encontrar o valor de x: 31 + x = 68 X= X= 37 Homens Mulheres Superior Médio? Total: 150 Agora para que encontrar a resposta?, basta fazer a subtração: = 45 Resposta letra b Bons estudos! Do Senhor vem o livramento. A tua bênção está sobre o teu povo. (Salmos 3:8)