MATEMÁTICA I. Ana Paula Figueiredo

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1 I Ana Paula Figueiredo

2 Números Reais IR O conjunto dos números Irracionais reunido com o conjunto dos números Racionais (Q), formam o conjunto dos números Reais (IR ). Assim, os principais conjuntos numéricos são: IN, Z, Q, IR. IN conjunto dos números naturais. IN = {1, 2, 3,...} Z - conjunto dos números inteiros. Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2,... Q conjunto dos números racionais. Q = Z U { números fraccionários} IR conjunto dos números reais. IR = Q U I IN Z Q IR

3 IR - números reais Q - números racionais Z - números inteiros IN números naturais

4 Número Racional Q conjunto de números reais inteiros ou decimais, com número finito de casas e daqueles com infinitas casa decimais, porém, neste caso, seus elementos são iguais ou formam dízimas periódicas. 123 = 11 11, Número Irracional I conjunto de números decimais com infinitas casas, cujos elementos aparecem sem estabelecer nenhuma sequência. 3 = 1,

5 Exemplo de números Irracionais Todas as raízes quadradas de números naturais que não sejam quadrados perfeitos, isto é se a raiz quadrada de um número natural não for inteira, é irracional. Logo são irracionais, com n natural e n de um quadrado perfeito. Números representáveis por numerais decimais ou dízimas infinitas não periódicas. = 1,

6 Exemplos de Alguns Números Irracionais famosos: π = Perímetro da circunferência: P = 2πr Medida da hipotenusa

7 NÚMEROS RACIONAIS Q Um número racional é um número que pode ser escrito na forma onde m e n são números inteiros, devendo n ser diferente de zero. Números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q (quociente). Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação: Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

8 Um facto importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo o número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica numa fração. A transformação de uma fracção num número decimal não oferece dificuldade. No fundo basta dividir o numerador pelo denominador. Exemplos: (no segundo caso teremos uma dízima infinita de período 6)

9 FRAÇÕES Duas frações dizem-se equivalentes quando se passa de uma para a outra muiltiplicando ou dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número. Exemplos: Simplificar uma fração - é obter uma fração equivalente mais simples. Para isso podemos dividir o numerador e o denominador pelo seu m.d.c. Exemplo:

10 DÍZIMAS PERIÓDICAS Uma dízima periódica é um número real da forma: m,npppp... onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos:... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período. Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses. Exemplos de dízimas periódicas: 0, = 0,(3) 1, = 1,(6) 12, = 12,(12) 0, = 0,(9) 7, = 7,1(3)

11 Dízima Periódica Simples Numa Dízima Periódica Simples, o período aparece imediatamente após a vírgula. Exemplos: 0,4444 0, , Dízima Periódica Composta Na Dízima Periódica Composta, há um ou mais algarismos entre a vírgula e período, que não entra na composição do período. Exemplos: 0, , ,

12 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ALGÉBRICA Se pretendemos adicionar ou subtrair duas frações é necessário que elas se refiram a partes duma mesma unidade dividida em igual número de partes (ou seja que tenham o mesmo denominador) e então adicionam-se ou subtraem-se os numeradores mantendo o mesmo denominador. Exemplos:

13 Se não tiverem denominadores iguais, isto é não se referirem à mesma unidade, então temos de procurar frações equivalentes às dadas, mas com o mesmo denominador (é mais fácil fazê-lo encontrando o m.m.c. dos denominadores). Exemplos:

14 MULTIPLICACÃO Para multiplicar duas frações multiplicam-se os numeradores e os denominadores. Exemplo: Exercícios: Efetue os seguintes exercícios, simplificando os resultados:

15 DIVISÃO A divisão torna-se simples se a transformarmos numa multiplicação: Exemplo: Exercícios: Efetue os seguintes exercícios, simplificando os resultados:

16 PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES PROPRIEDADES DA ADIÇÃO E MULTIPLICAÇÃO: Propriedade comutativa - quaisquer que sejam dois números reais a e b, temos que: a+ b = b + a e ab = ba Propriedade associativa quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos que: (a + b) + c = a + (b + c) e a (b c) = (a b) c Propriedade distributiva quaisquer que sejam os números reais a, b e c, temos que: a(b + c) = ab + ac e (b + c)a = ba + ca

17 Elemento neutro existem números únicos reais, representados por 0 e 1, tais que: a + 0 = a e a x 1 = a

18 Potência Definição Potência de um número é o produto sucessivo de fatores todos iguais (base da potência) e em número igual ao expoente da potência. Assim, b n tal que: é a potência de expoente n do número a e representa um número b n = b x b x b x b...b n fatores A operação através da qual se obtém um potência, é denominada potenciação

19 Propriedades da potenciação: Após a definição dada anteriormente e convencionando que b 1 = b, passamos às propriedades de gozam as potências: Exemplos b m x b n = b m+n 2 5 x 2 3 = = 2 8 b m : b n = b m-n (m>n e b 0) 3 7 : 3 5 = = 3 2 a m x b m = (a x b) m 2 5 x 3 5 = (2 x 3) 5 = 6 5 a m : b m = (a : b) m (Se b 0) 8 4 : 4 4 = (8 : 4) 4 = 2 4 (a m ) n =a mn (4 2 ) 3 = 4 2x3 = 4 6 Em todas estas a e b são números reais (positivos ou negativos) e m e n são números naturais maiores ou iguais a 2.

20 Potência de expoente nulo: A potência de expoente nulo define-se como se segue: b 0 = 1 qualquer que seja b 0 Exemplos: 3 0 = 1 (- 5) 0 = = 1 Potência de expoente inteiro e negativo: A potência de expoente inteiro e negativo, define-se do seguinte modo: Exemplo: b -p 1 = (b 0) p b -4 2 = 1 2 4

21 RADICAIS Definição Chama-se raiz de índice n de um número a, ao número que elevado a n produz a. n a n índice da raiz a radicando À expressão chama-se radical No caso de n= 2, diz-se raiz quadrada. No caso de n= 3, diz-se raiz cúbica. Se n > 3, diz-se raiz de índice n.

22 Radiciação - é a operação pela qual se determina a raiz dum número. A radiciação é a operação inversa da potenciação. Expoente (índice) Dados Potência (radicando) Radiciação Pedido base (raiz) Potenciação Dados Base Expoente n a = b Pedido potência

23 Exemplos: 3 8 = 2 pois 2 3 = = 3 pois 3 4 = 81 De um modo geral, temos: b = n a n a = b

24 Definições A radiciação é a operação inversa da potenciação, portanto, e atendendo à definição de raiz, temos: ( ) n n n n a a = a = ( a 0, se n é par) Exemplos: ( ) a = a a = a 5 2

25 POTÊNCIAS DE EXPOENTE FRACCIONÁRIO A potência de expoente fracionário é igual a uma raiz cujo índice é o denominador do expoente e cujo expoente do radicando é o numerador do expoente. n m m a n = a m ( n natural, m racional, a 0, se n é par) Exemplos: a = a 3 = 3 2

26 SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS Se multiplicarmos ou dividirmos o índice do radical e o expoente do radicando pelo mesmo número inteiro maior do que zero, o valor do radical não se altera. n n a m = m a = n q m q n q a a m q ( a m 0, se n é par) Exemplos: a = a 4 3 = 3

27 ADIÇÃO DE RADICAIS SEMELHANTES Radicais semelhantes são os que apenas diferem no seu coeficiente. Exemplos:

28 PRODUTO E QUOCIENTE DE RADICAIS COM O MESMO ÍNDICE n n a a n n b b = = n n a b a b ( a, b 0 se n é par) ( a 0, b > 0, se n é par) Exemplos: a a = a 3 3 = a a b a b b c = a b b c = 3 b c 4 = ab c

29 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Na matemática por vezes temos necessidade de obter fracções cujo denominador não contenha radicais (raizes quadradas, cúbicas, etc.). Dizemos que então temos de racionalizar o denominador. O caminho é por vezes quase imediato, no entanto em alguns casos necessita de cálculos mais trabalhosos. Depende da expressão contida no denominador. O segredo dessa racionalização é transformar o denominador em um produto de radicais de mesmo índice, tal que a soma dos expoentes dos radicais seja igual a esse índice.

30 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Exemplos:

31 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES Exemplos: Caso notável: ( a b ) x ( a + b ) = a 2 b 2

32 RELAÇÕES DE ORDEM Até agora vimos propriedades dos números racionais que envolvem igualdade. Para examinarmos as propriedades que envolvem desigualdades é interessante termos uma visão geométrica do conjunto dos números reais, o que facilitará a compreensão dos resultados. Convenciona-se representar o conjunto dos números racionais por uma reta e sobre ela, escolhe-se um ponto para ser a origem. Neste ponto posiciona-se o número 0. À direita do 0 e em ordem crescente, encontram-se os números positivos e à esquerda, de modo simétrico, os números negativos.

33 Todo número racional a exceto 0 (zero), possui um elemento denominado simétrico ou oposto a caracterizado pelo facto geométrico de que tanto a como - a estarem à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que: O simétrico de 3/4 é -3/4. O simétrico de 5 é -5.

34 Assim, dados dois números racionais distintos a e b, se a está à esquerda de b, dizemos que a é menor que b e indicamos a < b, ou de um modo equivalente, dizemos que b é maior que a e indicamos b > a. Do ponto de vista algébrico, dizemos que b > a se b a > 0 e, analogamente, a é menor que b se a b < 0. Introduzimos a seguinte notação: a b significa a > b ou a = b a b significa a < b ou a = b

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38 REFERENCIAL CARTESIANO DO PLANO Um Referencial cartesiano do plano é constituído por duas retas orientadas concorrentes, em que se fixaram unidades de comprimento. O ponto de encontro das duas retas é a origem do referencial.

39 REFERENCIAL ORTOGONAL E MONOMÉTRICO Um referencial é ortogonal se os eixos são perpendiculares. É monométrico se a unidade de comprimento for igual nos dois eixos.

40 COORDENADAS DE UM PONTO As coordenadas de um ponto são os números xa e yb que constituem o par ordenado (xa, yb ) que lhe corresponde. O referencial cartesiano ortogonal e monométrico divide o plano em quatro quadrantes.

41 A primeira coordenada diz respeito ao eixo horizontal (eixo dos xx) e designa-se por abcissa e a 2ª coordenada diz respeito ao eixo vertical (eixo dos yy) e designa-se por ordenada. P ( 5, -2 ) abcissa ordenada Como IR 2 = IR x IR é o conjunto de todos os pares ordenados formados por números reais, também chamamos ao plano IR 2.

42 CONDIÇÕES E CONJUNTOS Uma condição define um conjunto. Condição Conjunto x 2-4 = 0 {- 2, 2} 2 < x < 3 ]2, 3[ x > 5 ]5, + [ x 2 < 0 Ø x > - 2 IR O conjunto definido pela condição é o conjunto-solução da condição.

43 OPERAÇÕES COM CONDIÇÔES Vamos estudar as seguintes operações: CONJUNÇÃO DE CONDIÇÕES é uma condição cujas soluções são os elementos do domínio que verificam simultaneamente as condições dadas. O símbolo de conjunção é Λ (lê-se e ). O conjunto-solução p(x) Λ q(x) é o conjunto interseção dos conjuntossolução de cada uma das condições p(x) e q(x).

44 Condição Conjunto x 2-4 = 0 P = {-2, 2} x > 1 Q = ]1, + [ x 2-4 = 0 Λ x > 1 P Q = { 2 } À conjunção de condições corresponde a interseção de conjuntos

45 DISJUNÇÃO DE CONDIÇÕES é uma condição cujas soluções são os elementos do domínio que verificam pelo menos uma das condições dadas. O símbolo de disjunção é V (lê-se ou ). O Conjunto-solução da condição p(x) V q(x) é o conjunto reunião dos conjuntos-solução de cada uma das condições p(x) e q(x).

46 Condição Conjunto x > 3 P = ]3, + [ x = 3 Q = {-3, 3} x > 3 V x = 3 P U Q = {-3} U [3, + ] À disjunção de condições corresponde a reunião de conjuntos

47 NEGAÇÃO DE UMA CONDIÇÃO O símbolo de negação é ~ (lê-se não ). O Conjunto-solução da condição ~p(x) é o conjunto dos elementos de IR (universo) que não são solução de p(x), ou seja, é o conjunto complementar do conjunto-solução de p(x). _ P IR _ P complementar de P _ P

48 Condição Conjunto x < 5 A = ]-, 5[ ~(x < 5) x 5 A = [5, + [ x 3 B = ]-, 3[ U ]3, + [ ~(x 3) x = 3 B = {3} À negação de uma condição corresponde o conjunto complementar do seu conjunto-solução.

49 CONJUNTO COMPLEMENTAR DE OUTRO CONJUNTO Chama-se complementar de um conjunto A em relação a B (ou diferença entre B e A) e escreve-se B \ A, ao conjunto dos elementos de B que não pertencem a A. B \ A = {x B : x A} Exemplo: P = ]1, 3[ P\Q = ]1 ; 1,3[ Q = [1,3 ; 5[ Q\P = ]3, 5[ 1 1,3 3 5

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