Hewlett-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS. Aulas 01 a 08. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

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1 Hewlett-Packard CONJUNTOS NUMÉRICOS Aulas 01 a 08 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Ano: 2019

2 Sumário CONJUNTOS NUMÉRICOS... 2 Conjunto dos números Naturais... 2 Conjunto dos números Inteiros... 2 FECHAMENTO... 2 Conjunto dos números Racionais... 2 Conjunto dos números Irracionais... 2 Conjunto dos números Reais... 3 RELAÇÃO DE INCLUSÃO... 3 SUBCONJUNTOS... 3 OBSERVAÇÕES... 3 INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO... 4 MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC)... 4 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO... 4 Módulo de um número (definição formal) CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS... 5 FRAÇÃO GERATRIZ CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS CONJUNTO DOS REAIS... 6 REAIS E A RETA NUMÉRICA... 6 INTERVALOS REAIS... 7 PRELIMINAR PRELIMINAR INTERVALOS REAIS... 7 REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS

3 QUESTÕES EXTRAS... 8 GABARITO QUESTÕES EXTRAS Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

4 AULA 01 CONJUNTOS NUMÉRICOS Alguns conjuntos numéricos já foram estudados em anos anteriores. São eles: Conjunto dos números Naturais Surgiu a partir da necessidade de contagem importante passo no desenvolvimento da matemática. N = {0, 1, 2, 3, 4,, n, } em que n representa um número natural genérico. Conjunto dos números Inteiros Surgiu a partir da necessidade gerada pela operação diferença. Z = N { 1, 2, 3, 4, } Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } FECHAMENTO Considere um conjunto A e quaisquer dois de seus elementos. Se o resultado de uma operação feita com esses dois elementos também for elemento de A, então é dito que A é fechado para essa operação. Exemplo 2.1: O conjunto dos números naturais é fechado para as operações de adição e multiplicação. Isto é, a, b N a + b N a b N = 5 e 5 N ; 2 0 = 0 e 0 N Note que na operação diferença isto nem sempre acontece, 3 2 = 1 N, no entanto 2 3 = 1 N. Veja, na tabela a seguir, para quais operações cada conjunto numérico estudado é fechado. Operação N Z Q R Q R Adição X X X X Multiplicação X X X X Subtração X X X Divisão X X Obs.1: Quando se trata do fechamento da operação divisão é evidente que estamos tratando dos respectivos conjuntos sem o elemento 0 (zero), pois a divisão por zero não está definida. Conjunto dos números Racionais O conjunto dos racionais surge da necessidade de representar algumas razões não exatas. Q = {x x pode ser escrito na forma m n, m Z e n Z } Exemplo Q ; 0 Q, pois 0 = 0 1 ; 0,12 Q, pois 0,12 = Quais números podem ser escritos na forma mencionada? Os números inteiros; Os decimais exatos (aqueles que, na sua representação decimal, têm parte decimal finita); Exemplos: 3,25 0,001 1,12243 As dízimas periódicas (aqueles que, na sua representação decimal, têm parte decimal infinita e com repetição de um "bloco" formado por um ou mais algarismos). Exemplo: 0, 3 = 0,333 Mas, pode-se dizer que o conjunto dos números racionais contém todos os números conhecidos? Não. Há alguns tipos de números que não são racionais, entre eles: As dízimas não-periódicas (aqueles que, na sua representação decimal, têm parte decimal infinita e SEM repetição de um "bloco" formado por um ou mais algarismos); e As raízes que têm índice par e radicando negativo. Conjunto dos números Irracionais Esse conjunto surgiu a partir da necessidade de calcular o comprimento da diagonal de um quadrado de lado com medida 1. (PITAGÓRICOS) O conjunto dos irracionais é um conjunto disjunto do conjunto dos números racionais e tem como elementos apenas as dízimas não-periódicas. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 2

5 Exemplo é irracional ; π é irracional ; 5 é irracional Conjunto dos números Reais É o conjunto formado pela união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais. R = {x x Q ou x é irracional} Note que, o conjunto dos números irracionais pode ser representado por R Q. RELAÇÃO DE INCLUSÃO A relação de inclusão entre os conjuntos estudados pode ser ilustrada pelos diagramas de Venn a seguir. R N Z Q R Q AULA 02 OBSERVAÇÕES Obs.1: O sucessor de um número natural é o número natural que vem imediatamente após o número em questão. Exemplo 2.1: a) 5 é sucessor de 4. b) 10 é sucessor de 9. c) (x + 1) é sucessor de x. d) 0 (zero) não é sucessor de nenhum número natural. Obs.2: Os conjuntos estudados são infinitos. Obs.3: Há uma forma para se representar números pares e ímpares de maneira genérica: PARES Se x é par, então x = 2n para algum n Z. ÍMPARES Se x é ímpar, então x = 2n + 1 para algum n Z. Obs.4: Podemos descrever cada número inteiro como um ponto na reta ordenada. Temos a seguinte cadeia de inclusão: N Z Q R. SUBCONJUNTOS Você deve lembrar-se de que um * na parte superior à direita do símbolo do conjunto exclui o zero do conjunto. um + na parte inferior à direita do símbolo do conjunto mantém somente o 0 e os positivos no conjunto. um na parte inferior à direita do símbolo do conjunto mantém somente o 0 e os negativos no conjunto. Obs.5: O oposto de um número a é dado por a. Na reta ordenada, dois números opostos são equidistantes da origem. INVERSO E OPOSTO DE UM RACIONAL Dado m Q, temos n Seu oposto: m n Seu inverso: ( m n ) 1 = n, onde m 0 m Exemplo 2.2 Tomando o número racional 5 3, temos seu oposto: 5 3 seu inverso: ( 5 3 ) 1 = 3 5 Obs.6: Uma fração m, n 0, é dita irredutível quando n mdc(m, n) = 1. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 3

6 2.1. Dados a e b números naturais, tais que a + b = 12 e a b = 20, determine: a) (6a) b b) (5a) (2a)(3b) + (5b) 2.2. Determine n natural, tal que n 2 n = Sabendo que a soma de três números consecutivos é 63, determine esses números. TAREFA 1: Unid. 2, cap. 5, PSA 2, 3, 4, 5 e 6. AULA 03 MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO INTEIRO Considere os números a, b N. Diz-se que a é divisor de b, ou que b é múltiplo de a, se existe um número inteiro c tal que b = a c. Exemplo 3.1: O número 26 é múltiplo de 13, pois 26 = 13 2, pode-se dizer ainda que 13 é um divisor do 26. MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM (MMC) Considere os números a, b N. O mínimo múltiplo comum de a e b é o menor c N que é múltiplo de a e de b. O mínimo múltiplo comum de dois ou mais números pode ser obtido por fatoração simultânea como podemos observar no exemplo a seguir. Exemplo 3.2: Vamos determinar o mmc ( 24, 30). Observe que vamos dividir pelos fatores dos dois números até que eles fiquem iguais a 1. 24, 30 12, 15 6, 15 3, 15 1, , Assim temos que mmc ( 24, 30) = 120 MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC) Considere os números a, b N. O máximo divisor comum de a e b é o maior c N que é divisor de a e de b. O máximo comum de dois ou mais números pode ser obtido por fatoração simultânea como podemos observar no exemplo a seguir. Exemplo 3.3: Vamos determinar o mdc ( 24, 30). Observe que vamos dividir apenas pelos fatores que dividem simultaneamente os dois números. 24, , , 5 23 Assim temos que mdc ( 24, 30) = 6 Obs.2: Todos os divisores comuns de a e b são divisores do mdc de a e b Dois corredores partem juntos numa pista circular no mesmo sentido. Sabendo que o primeiro completa uma volta a cada 12 minutos e o segundo uma volta a cada 15 minutos, determine o tempo mínimo para eles se encontrarem na linha de chegada. AULA 04 O VALOR ABSOLUTO DE UM NÚMERO Considere que, em uma reta ordenada, a abscissa 0 (zero) esteja associada a um ponto O (origem) e um ponto P qualquer tenha sua abscissa denominada x. O O módulo ou valor absoluto do número inteiro x, denotado por x, é um valor (necessariamente positivo) que nos diz a distância entre os pontos P e O. P 0 x Obs.1: Todos os múltiplos comuns de a e b são múltiplos do mmc de a e b. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 4

7 Se P está à direita de O, então sua abscissa x é um número inteiro positivo e, desse modo, seu valor absoluto é igual a ele mesmo. Em símbolos: Se x > 0, então x = x Determine o valor ou simplifique as expressões a seguir: a) ( 2) ( 2) b) x + 3 x 5 + 2x 4 + x 2, se 2 < x < 5 Exemplo 4.1 O P TAREFA 2 Unid. 2, cap. 5, PSA 7, 30 e 31. x = 5 > 0, então 5 = 5 Se P está à esquerda de O, então sua abscissa x é um valor inteiro negativo e, desse modo, seu valor absoluto é igual ao seu oposto (que é positivo). Em símbolos: Exemplo Se x < 0, então x = x. P x = 4 < 0, então 4 = 4 Módulo de um número (definição formal) O módulo ou valor absoluto do número inteiro x, denotado por x, é o quanto ele dista da origem na reta real. Temos que, x, se x 0 x = { x, se x < 0 O 4 0 Como retirar o módulo de uma expressão? Note que o resultado do módulo depende do sinal da expressão dentro dele. Logo, para retirar o módulo de uma expressão, faça o seguinte: 1º) Avalie o sinal da expressão dentro do módulo. Em geral, para avaliar o sinal das expressões algébricas, basta substituir alguns valores do intervalo ao qual x pertence. 2º) Se for positiva, apenas elimine o módulo e reescreva a expressão, sem alterá-la; se for negativa, elimine o módulo e escreva o oposto da expressão (isto é, troque os sinais de todos os seus termos). Este processo é relevante quando temos incógnitas dentro do módulo. AULA 05 CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS Vimos que os decimais exatos e as dízimas periódicas podem ser representados na forma m, com m e n n inteiros e n 0. Exemplo 5.1 3,5 = = 7 2 0,8333 = 5 6 FRAÇÃO GERATRIZ Como já foi dito, uma dízima periódica pode ser representada como uma fração de dois números inteiros (com denominador não nulo). A essa fração é dado o nome de fração geratriz. Obs.1: Em uma dízima periódica, a menor sequência de algarismos que se repete é denominada período. Destacamos o período de uma dízima periódica colocando um sobre ele. Veja: 0,83333 = 0,83 Exemplo 5.2 Determinar a fração geratriz de 2, I) x = 2,03 II) 10x = 20, 3 III) 100x = 203, 3 100x = 203, 3 IV) { 10x = 20, 3 90x = 183 Logo, x = 183 = Exemplo 5.3 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 5

8 Para determinar a fração geratriz (x) de 0,5555, basta utilizar o seguinte método: i) Escreva a dízima destacando o período, conforme a Obs.1 e iguale-a a x. x = 0, 5 ii) Se entre a vírgula e o período não houver nenhum algarismo, vá para o passo iii). Caso haja, conte o número de algarismos entre a vírgula e o período e multiplique ambos os lados da equação pela potência de 10 correspondente. Não há algarismos entre a vírgula e o iii) iv) período, logo continuamos com x = 0, 5. Conte o número de algarismos que formam o período (no caso, 1) e multiplique a equação obtida em i) pela potência de 10 correspondente. 10x = 5,5555 Subtraia ii) de iv) e resolva a equação resultante. 10x = 5,5555 { x = 0,5555 9x = 5 Logo, x = 5 9. TAREFA 3 Unid. 2, cap. 5, p. 40 Ler o exercício Sejam p e q, primos entre si, tais que p = 1 q Determine a diferença q p Encontre a fração geratriz, em cada caso a seguir. a) 0, b) 2, 3 c) 0, Escreva em ordem crescente as frações 2, 1, 7 e TAREFA 4 Unid. 2, cap. 5, PSA 35, 36, 37, 39, 40(a, d, f) e 41(a, b, c). AULA 06 CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS Vimos que o conjunto dos irracionais abrange todas as dízimas não periódicas. Exemplo 6.1 R Q = {x x p q ; p Z e q Z } π = 3, ; 2 ; Obs.1: É importante lembrar que o conjunto dos números irracionais não é fechado para as operações básicas, entre elas diferença e soma. Isto é, nem toda soma de irracionais é irracional Prove que 2 não é racional. DESAFIO: Prove que 3 não é racional. CONJUNTO DOS REAIS Já vimos que, R = {x x Q ou x é irracional} Em outras palavras, o conjunto dos números reais é dado pela união de racionais e irracionais. R = Q (R Q) REAIS E A RETA NUMÉRICA Para cada número real está associado um único ponto da reta. Reciprocamente, à cada ponto da reta está associado um único número real. Isto é, temos uma relação biunívoca entre a reta numérica e os números reais. Os números reais e a reta numérica É importante observar que os reais conseguem completar uma reta, ou seja, você consegue associar a cada ponto da reta um número real sem deixar nenhum buraco na reta. Note que, os conjuntos N, Z e Q não são capazes de completar a reta. As suas representações na reta numérica deixam buracos (pontos sem número). Essa associação será muito importante quando formos tratar os subconjuntos de R. TAREFA 5 Unid. 2, cap. 5, PSA 42 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 6

9 AULA 07 INTERVALOS REAIS Até agora, realizamos operações apenas entre conjuntos finitos. Será iniciado o estudo de uma nova classe de conjuntos, os intervalos. Estes, de modo geral, possuem infinitos elementos. PRELIMINAR 1 Dados os conjuntos A = {x N 2 < x < 7} e B = {x Z + 3 x < 5}, determine A B. A = {3, 4, 5, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4} Logo, A B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Note que os dois conjuntos são finitos; e para realizar a operação união, primeiro alteramos a representação dos conjuntos para a forma tabular. Obs.1: A representação dos conjuntos pode ser fundamental para facilitar a realização das operações entre conjuntos. PRELIMINAR 2 Dados os conjuntos A = {x R 2 < x < 7} e B = {x R 3 x < 5}, tente determinar A B. Note que os dois conjuntos são infinitos; e é complicado realizar a operação com a representação atual, e também não é possível representá-los na forma tabular. Portanto, ainda não sabemos como determinar A B. INTERVALOS REAIS Os intervalos são subconjuntos de R que podem ser expressos por meio de desigualdades. Exemplo 7.1 O conjunto A = {x R 1 x 3} é um intervalo real. REPRESENTAÇÃO DOS INTERVALOS Para representar os intervalos reais de maneira mais visual utilizaremos pedaços de retas. Exemplo 7.2 O conjunto A = {x R 1 x 3} pode ser representado da seguinte forma? 1 3 (onde a parte pintada representa os elementos de A) A representação apresentada é boa, porém, note que não fica claro se os extremos, 1 e 3, pertencem ou não ao intervalo. Para deixar claro quando os extremos pertencem ou não ao intervalo, será usada a notação explicada no quadro a seguir. Extremos do intervalo Bolinha fechada: quando o extremo pertencer ao intervalo, utilizaremos uma bolinha fechada para representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do extremo também está pintado. Evidenciando, desse modo, que ele também é elemento do intervalo. Bolinha aberta: quando o extremo não pertencer ao intervalo, utilizaremos uma bolinha aberta para representá-lo. A ideia é mostrar que o ponto do extremo não está pintado. Evidenciando, desse modo, que ele não é elemento do intervalo. Logo, o conjunto A (do exemplo 7.2) seria corretamente representado por 1 3 Assim, para representar qualquer intervalo de números reais, basta seguir o seguinte passo-a-passo: i. Desenhe uma reta (com a seta para a direita). ii. Coloque os elementos dos extremos. iii. Pinte a parte que representa os elementos do intervalo. iv. Avalie se os extremos pertencem ou não ao intervalo. v. Represente as bolinhas, deixando claro se estão fechadas ou abertas. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 7

10 Exemplo 7.3 O conjunto B = {x R x < 4} pode ser representado por 4 TAREFA 6 Unid. 2, cap. 5, p.46: Ler a tabela Intervalos com descrição, notação e representação. Parêntese e colchete Após a leitura recomendada, você deve ter observado que podemos representar os intervalos utilizando parênteses ou colchetes. Colchete no sentido normal [ ] : utilizado para denotar extremos fechados. Colchete no sentido contrário ] [ : utilizado para denotar extremos abertos. Parêntese: utilizado para denotar extremos abertos. Exemplo 7.4 O conjunto B = {x R x 4} pode ser também escrito na forma B =] ; 4 ] Obs.1: ou não são números Reais, portanto, nunca usamos qualquer notação que indique a ideia de fechado junto aos símbolos ou Represente cada intervalo a seguir, em seu caderno, utilizando as três notações estudadas: parênteses ou colchetes, pela propriedade e, também, na reta numérica. a) A = {x R 2 < x 5} b) B = {x R x 3 2 } c) C = [ 1 ; 4] d) D = ( 1; 3) e) E = [0 ; 4[ AULA 08 OPERAÇÕES ENTRE INTERVALOS Visto que os intervalos são conjuntos, podemos efetuar, entre eles, as operações união, interseção, diferença e complementar Dado o conjunto A = {x R 1 x 3}, B = ]0 ; 5], e C = [ 4; 2[ determine os conjuntos a seguir. a) A B b) A B c) A B d) B A e) (A C) B TAREFA 8 Unid. 2, cap. 5, PSA 46, 47 e 48 EXTRA EXTRA: Exercícios TSC 15 e 18. QUESTÕES EXTRAS 1. Sendo A = 1, 6, B = 0, 8 e C =, 10, tem-se que o conjunto ( B A) ( B C ) é igual a (A). (B) 8, 10. (C) 6, 10. (D) 6, 8. (E), 6 8, 10. TAREFA 7 Unid. 2, cap. 5, PSA 44 e 45(a, d) Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 8

11 2. Sejam x e y número primos entre si, tais que x 1 y = ,23 A soma x+ y é igual a (A) Dados os conjuntos A = {x R x 0 ou x > 2}, B = [0; 4[ e C = [ 2; 2], uma representação gráfica do conjunto (B C) A c é (B) 37. (C) 30. (D) 23. (E) Sendo x N, com 0 x 4, tem-se que a expressão 2x x + 30 x é igual a (A) 16x 98. (B) 16x (C) 18x 38. (D) 12x 38. (E) 12x Sejam A =] 3; 2], B =] 1; 4] e D =] 10; 10[. Represente, por meio de uma propriedade que caracterize seus elementos, o conjunto C D (A B). 5. Calcule o valor numérico da expressão a seguir. {2 4 0,75 + [( ( ) 2 2 (2,5) 2 )]} 6. Uma rodoviária possui duas linhas de ônibus. Um ônibus da linha A sai da rodoviária a cada 15 minutos e um ônibus da linha B sai a cada 25 minutos. Dado que às 6h saem juntos, da rodoviária, um ônibus de cada linha, determine o primeiro horário, após as 12h, no qual os ônibus das linhas A e B sairão juntos novamente. 8. Em algumas famílias de uma comunidade carente foram distribuídos 240 cadernos, 576 lápis e 1080 borrachas. A distribuição foi feita de tal modo que o maior número de famílias fosse contemplado e que cada família recebesse a mesma quantidade x de lápis, a mesma quantidade y de cadernos e a mesma quantidade z de borrachas. Nessas condições, a quantidade z de borrachas que cada família recebeu foi igual a a) 24. b) 28. c) 36. d) 40. e) 45. GABARITO 2.1. a) 120 b) n = , 21, minutos 4.1. a) 16 b) x a) 1 3 b) x 6 c) Demonstração 7.1. A representação por reta será feita em sala. a) 2, 5 b) 3, c) x 1 x 4 d) x 1 x 3 e) x 0 x a) 1, 5 b) 0, 3 c) 1, 0 d) 3, 5 e) 1, 0 Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 9

12 QUESTÕES EXTRAS 1. D 2. A 3. E 4. x 10 x 3 ou 4<x< h15 7. C 8. E Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 10