IGUALDADES EM IR IDENTIDADES NOTÁVEIS

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1 IGUALDADES EM IR Uma relação muito importante definida em IR (conjunto dos números reais) é a relação de igualdade. Na igualdade A = B, A é o primeiro membro e B é o segundo membro. As igualdades entre duas epressões algébricas podem se de dois tipos:. Identidades: são igualdades que se verificam quaisquer que sejam os valores atribuídos às variáveis.. Equações: são igualdades condicionais que se verificam apenas para determinado(s) valor(es) atribuído(s) às variáveis. IDENTIDADES NOTÁVEIS As igualdades entre epressões algébricas que independem das variáveis são chamadas de identidades. Dada a frequência com que são usadas, algumas identidades são ditas notáveis.. Quadrado da soma:. Quadrado da diferença: ( a + b) = a + ab + b. Produto da soma pela diferença: 4. Cubo de uma soma: 5. Cubo de uma diferença: ( a b) = a ab + b ( a + b)( a b) = a b ( a + b) = a + a b + ab + b ( a b) = a a b + ab b 6. Soma de dois cubos: a + b = ( a + b)( a ab + b ) 7. Diferença de dois cubos: a b = ( a b)( a + ab + b ) FATORAÇÃO DE POLINÔMIOS Fatorar um polinômio é escrevê-lo na forma de um produto, cujos fatores devem ser os mais simples possível. Casos de fatoração:. Fator evidência. Fatoração por agrupamento. Diferença de dois quadrados 4. Quadrado da soma ou da diferença 5. Trinômio quadrado perfeito Questão 0 Desenvolva: a) ( + y) Temos um quadrado da soma de dois termos ( + y) = () + y + (y) = 9 + y + 4y b) ( a b) Agora, temos um quadrado da diferença de dois termos ( a b) = ( a) a b + (b) = a 6ab + 9b

2 c) ( b + )(b ) Agora, temos um produto da soma pela diferença de dois termos (b + )(b ) = (b) = 9b 4 d) (a b)(9a + 6ab + 4b ) Diferença de dois cubos ( a b)(9a + 6ab + 4b ) = (a) (b) = 9a 8b e) ( m + 5y)( m 5my + 5y ) Soma de dois cubos ( m + 5y)( m 5my + 5y ) = ( m) + (5y) = m + 5y f) g) ( + b) Cubo da soma ( + b ) = () + () (b) + () (b) + (b) + b = = ( ) 8 4 b 9b 7b 8 6b 54b 7b ( 5 y ) Cubo da diferença ( 5 y ) = (5) (5) (y ) + (5) (y ) (y = ( 5 y ) 5 5 y 5 4y 8y 5 50y 60y 8y = ) + Questão 0 Fatore as epressões: a) 5 y + 0 y 5 yz Colocamos, y e 5 em evidência 5 y + 0 y 5 yz = 5y( + 4 y z) b) a y Colocamos a, e y em evidência a y + a y = a y( a + y ) a y +

3 c) y y Fatoramos por agrupamento y y = 5( ) + y( ) = ( )(5 + y) d) y + y 6y Fatoramos mais uma vez por agrupamento, só que agora, agrupamos de em y + y 6y = ( + ) y( + ) e agora colocamos + em evidência; y + y 6y = ( + )( y) e) 9 4 Diferença de dois quadrados 9 4 = () = ( )( + ) f) 5 6 a n 6b 8 Diferença de dois quadrados 5 n 6 5 n a 6b = a (4b) = a 9 n 5 4b a 9 n + 4b g) + 6y + 9y Trinômio quadrado perfeito + 6y + 9y = ( + y) h) 6 4m mn + 9n Trinômio quadrado perfeito 6 4m mn + 9n = (m n) i) 9a + ab + 4b 6n Note que nesse caso, temos uma mistura de duas fatorações. Primeiro, um trinômio quadrado perfeito e depois uma diferença de dois quadrados. 9a + ab + 4b 6n = (9a + ab + 4b ) 6n = (a + b) 6n [(a + b) 4n][ (a + b) + n] 9a + ab + 4b 6n = 9a + ab + 4b 6n = (a + b 4n)(a + b + 4n)

4 EQUAÇÕES Sentença é um conjunto de palavras que tem sentido completo. Por eemplo: Eu estudo para passar no concurso Quando uma sentença envolve números, ela é chamada de sentença matemática. Por eemplo: + = 5 As sentenças matemáticas podem ser abertas ou fechadas. Sentença matemática fechada: são aquelas que apresentam valores desconhecidos, podendo ser verdadeiras ou falsas. Por eemplo: a) 4 = 7 b) 5 7 = 5 Sentença matemática aberta: são aquelas que apresentam valores desconhecidos e, por isso, não podemos dizer se são verdadeiras ou falsas. Por eemplo: a) 7 = b) + y = 4 EQUAÇÃO é, portanto, uma sentença matemática aberta epressa por uma igualdade. Variável ou incógnita é um símbolo que está ocupando o lugar de um elemento desconhecido em uma epressão ou equação. PROPRIEDADES DAS EQUAÇÕES. Princípio aditivo: quando adicionamos ou subtraímos o mesmo número aos dois membros de uma equação, obtemos outra equação equivalente à anterior, ou seja: se a = b, então a + k = b + k. Esta propriedade permite: i. cancelar um termo comum aos dois membros de uma equação. 5 7 = = 0 ii. transpor um termo de um membro para outro, trocando seu sinal. 6 4 = 6 = + 4 NOTA: Por que princípio aditivo quando estamos subtraindo? Porque matematicamente subtrair é o mesmo que somar o oposto. + = 5 + = 5 E como a soma de dois números opostos é igual a zero, que é o elemento neutro da adição, temos que: + 0 = 5 =. Princípio multiplicativo: quando multiplicamos ou dividimos ambos os membros de uma equação por um mesmo número, diferente de zero, encontramos uma nova equação, equivalente à anterior, ou seja: se a = b, então a k = b k ( k 0). Esta propriedade permite: i. cancelar um fator não nulo comum aos dois membros de uma equação. a = a ( + ) = +, para a 0 ii. transpor um fator não nulo de um membro para o denominador do outro membro 6 = 6 = 4

5 iii. eliminar os denominadores de uma equação, multiplicando ambos os membros pelo mmc dos denominadores. + = 6 = 6 + NOTA: Por que princípio multiplicativo quando estamos dividindo? Porque matematicamente dividir é o mesmo que multiplicar pelo inverso. = 6 = 6 E como o produto de um número pelo seu inverso é igual a, que é o elemento neutro da multiplicação, temos que:: = = 6 CONCLUSÃO: Você percebeu que resolver uma equação significa isolar a incógnita, por que quando ela fica sozinha de um dos lados da igualdade e do outro conseguimos um único valor, neste momento encontramos o valor da incógnita daquela situação. EQUAÇÃO DE º GRAU COM UMA VARIÁVEL Chamamos de equação de º grau com uma variável, a toda equação que após efetuadas todas as simplificações possíveis, se reduz à forma: a + b = 0. Resolver essa equação é encontrar sua raiz, ou seja, o valor de que a satisfaz. SISTEMAS DE EQUAÇÕES DE º GRAU Sistema de equações é um conjunto de duas ou mais equações que são satisfeitas para os mesmos valores das incógnitas, isto é, que admitem pelo menos uma solução comum. PROBLEMAS DE º GRAU São problemas que podem ser resolvidos com equações ou ainda com sistemas de equações de º grau. Para resolver problemas de º grau, devemos seguir os seguintes passos:. traduzir o problema do português para o matematiquês. resolver a equação (ou o sistema). verificar se as raízes são compatíveis com o problema 5

6 Eemplos:. Resolver as equações: 5 a) = 4 5 Devemos tirar o mmc entre,, e 5 que nesse caso é 5 Multiplicamos os dois lados da igualdade pelo mmc que é 5, assim: = = (5 ) = = = = = 4 ( ) multiplicamos ambos os membros por ( ) e temos: 4 70 = 4 =, que simplificando dá: = 70 5 b) a b + = b a ( ab 0 e a b) Tiramos o mmc entre b, a e e temos ab. Multiplicamos os dois membros por ab. a b ab + = ab a( a) + b( b) = ab b a a a + b b = ab a + b = a + ab + b, note que a epressão do segundo membro é um produto notável a + ab + b = ( a + b), e colocando em evidência no primeiro membro, temos: ( a + b) a + b = a + ab + b ( a + b) = ( a + b) = a + b = a + b c) = ( ± ) + Tiramos o mmc( +, e ) que nesse caso é o próprio, pois = ( + )( ) Vamos dividir o mmc pelo denominador da primeira fração e multiplicar pelo numerador, em cada um dos membros, assim: = ( + )( ) dividimos por +, encontramos e multiplicamos por = ( + )( ) dividimos por, encontramos + e multiplicamos por = ( + )( ) dividimos por, encontramos e multiplicamos por Agora, temos o seguinte resultado, após as operações: ( ) ( + ) = (aqui cancelamos os denominadores, que é o mmc, dos dois lados da igualdade) = = = 6 6

7 d) ( )( + )( ) = 0 Nesse caso, temos um produto que é igual a zero, e daí temos que, se um produto é igual a zero, então os seus fatores também serão nulos. = 0 = = + = 0 = = = 0 = E então, temos três soluções para a equação que são:, e. Resolver os sistemas: 5 + y = 6 a) y = Podemos usar o método da substituição, e isolamos a variável y na primeira equação y = 6 5, agora, substituímos essa variável na segunda equação, assim y = (6 5) = = 7 = = 5 = encontrado o valor de, é só substituir em y y = 6 5 y = 6 5 = 6 5 y = S : (, ) b) + y = 8 5 y = Agora, vamos usar o método da adição + y = 8 () 4 + 6y = 6 somando membro a membro, temos: 5 y = () 5 6y = 9 = 9 = Substituindo o valor de em alguma das equações, temos: + y = 8 + y = 8 + y = 8 y = 6 y = S : (, ). Se a um número somarmos o seu dobro e subtrairmos a sua terça parte, encontramos 6. Qual é esse número? + = 6 = 6 9 = 48 8 = 48 = 6 7

8 4. A soma de quatro números naturais e consecutivos é 4. Calcule o menor desses números., +, +, = = 4 4 = 8 = 7 Assim, os números são: 7, 8, 9, 0 e o menor deles é 7 5. Numa escola, o número de alunos é 00. Se o número de rapazes é do número de moças, calcule o número de moças. M + R = 00 M + R = 00 e R = M e temos o sistema R = M substituir, logo: M + R = 00 M + M = 00 M + M = M = 900 M = 80 que já está no ponto de 6. A soma do dinheiro de Pedro e Manoel é R$ 00,00. Tendo Pedro gasto do que possuía e Manoel 4 do que possuía, a soma do dinheiro deles passou a ser agora de R$ 0,00. Quanto possuía cada um? + y = 00 + y = 00 + y = y = y = 00 ( 8) 8 8y = y = y =.50 y = 0 + y = = 00 = 80 8

9 EQUAÇÃO DO º GRAU É toda equação da forma a + b + c = 0. As equações do º grau podem ser completas ou incompletas. Por eemplo: Resolver as equações: a) 5 = 0 Note que essa equação do º grau, falta o termo b e c Ela pode ser resolvida facilmente assim: 5 = 0 = 0 = ± 0 = ± 0 = 0 Assim, quando a equação do º grau for incompleta e faltar os termos b e c, então ela terá uma única raiz que é {0} b) 6 = 0 Nesse caso, falta o termo c. Podemos resolver essa equação, colocando alguns termos em evidência. 6 = 0 ( ) = 0 = 0 = 0 e = 0 = Note que quando faltar o termo c, numa equação do º grau, uma das raízes sempre será igual a 0. c) 4 6 = 0 Agora, falta o termo b. 4 6 = 0 4 = 6 = 9 = ± Veja que quando faltar o termo b e o termo c for negativo (c < 0), numa equação de º grau, as raízes sempre serão simétricas. EQUAÇÃO COMPLETA Quando a equação de º grau, for completa, isto é, da forma a + b + c = 0, com todos os termos diferentes de zero, então podemos usar a fórmula de Bháskara: b ± =, onde = b 4ac é o discriminante, isto é, ele é responsável pelo número de raízes da equação: a Se > 0, então teremos duas raízes reais e diferentes; Se = 0, então teremos duas raízes reais e iguais ou uma única raiz real; Se < 0, então não teremos nenhuma raiz real. 9

10 Eemplos: Resolver as equações: a) 5 + = 0 = ( 5) 4 = 5 4 =, como > 0, então teremos duas raízes reais Aplicamos a fórmula de Bháskara ( 5) ± 5 ± = = = = = e = = = b) = 0 = = = 0, como = 0, então teremos apenas uma raiz real ± 0 ± 0 = = = = = c) = 0 = 5 4 ( ) ( 8) = 5 96 = 7, como < 0, então não temos raiz real SOMA DAS RAÍZES: PRODUTO DAS RAÍZES: RELAÇÕES ENTRE COEFICIENTES E RAÍZES S = + = b a P = = c a Observe que dada uma equação do segundo grau da forma a + b + c = 0, podemos dividir ambos os membros por a, assim: a b c 0 b c a + b + c = 0 ( a) + + = + + = 0 a a a a a a b c Agora, perceba que podemos fazer + = 0 assim S + P = 0. a a Temos ainda que a forma fatorada da equação do segundo grau é: a + b + c = a )( ) ( EQUAÇÕES TRINÔMIAS n n São equações da forma a + b + c = 0 que são resolvidas fazendo n = y EQUAÇÕES IRRACIONAIS São aquelas que apresentam incógnita sob o radical. 0

11 Questão 0 Sendo y IR {0} e é: ( y ) y a) b) y EXERCÍCIOS IR, a simplificação completa da epressão real y c) y d) Questão 0 Sobre o número m = ( 7 + ) (0 9) + 7 foram feitas quatro afirmativas:. m é um número primo;. m é um número racional;. m é múltiplo de 4; 4. m é número natural. O número de afirmativas FALSAS é: a) 0 b) c) d) e) 4 Questão 0 Considere os números a = + e b = 4 4. O valor de a + b a) b) 4 c) 5 d) 7 e) 9 é: Questão 04 Simplificando a epressão algébrica a) 4 b) , encontramos: 4 4 c) + 4 d) Questão 05 Seja y = 0 n n + n com n IN *. Simplificando-se a epressão, encontra-se: a) c) c) d) e) Questão 06 + Para que valor de, verifica-se a igualdade = +? 4 a) c) c) d) 4 Questão 07 ( a + ) + y = 5 O sistema linear, nas variáveis e y, admite como solução o par + ( a ) y = a (, y) com y =. Então, o valor de a é: a) 0 b) c) d) indeterminado

12 Questão 08 + α y = β Considere o seguinte sistema de equações em e y. Se α 5y = β (, y) = (, 5) é solução do sistema, então a soma α + β é igual a: a) 0 b) 6 c) 7 d) Questão 09 A soma de dois números inteiros e positivos é 04. Sabendo que a diferença entre o maior e o dobro do menor é 5, então: a) o maior é 78 b) o menor é c) o maior é 87 d) o menor é Questão 0 Considere a seqüência de operações aritméticas na qual cada uma atua sobre o resultado anterior: Comece com um número. Subtraia, multiplique por 5, some, multiplique por, subtraia e finalmente multiplique por para obter o número. O número pertence ao conjunto: a) {,,, 0} b) { 7, 6, 5, 4} c) {5, 6, 7, 8} d),,, 4} Questão Dois estudantes, A e B, receberam bolsas de Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o estudante A havia gasto 5 4 do total de sua Bolsa, o estudante B havia gasto 6 5 do total de sua Bolsa sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais que o estudante B. A soma dos algarismos do valor da Bolsa é: a) b) 4 c) 5 d) 6 Questão Em um estacionamento para veículos, paga-se por hora ou fração de hora de acordo com a tabela: ª hora R$,00 ª hora R$,90 ª hora R$,80 4ª hora R$,70 5ª hora R$,60 A partir da 6ª hora, cobra-se R$,0 por hora ou fração. Após p horas, um motorista retira o seu carro e deve pagar R$ 9,80. O valor de p em horas, é: a) b) c) 4 d) 5 e) 6

13 Questão Suponha que a temperatura T do ar ealado através das narinas varie com a temperatura ambiente A, obedecendo à seguinte lei: T = b + ma. Se T = quando A = 5 e T = 7 quando A = 0, então o valor de A para T = 0, é: a) b) c) 4 d) 5 Questão 4 A diferença entre o número positivo p e o seu inverso é. O valor de p é: a) b) c) d) e) Questão 5 Sabe-se que a e b são as raízes da equação a) a + b < 0 b) ab > 0 c) a b > 0 d) ab = 0 e) ab < 0 + =. É correto afirmar que Questão 6 + Sabe-se que a e b são as raízes da equação =. É correto afirmar que: 9 a) a + b < 0 b) ab > 0 c) a b > 0 d) ab = 0 e) ab < 0 Questão 7 A soma de todas as raízes de f ( ) = ( + 4 0)( ) é: 5 a) b) c) d) 5 5 Questão 8 As raízes e da equação a + a = 0 são tais que + =, 75. Então o valor de a é igual a: a) 0,5 b) 0,5 c) 0,5 d) 0,45 e) 0,75 5

14 Questão 9 Compondo a equação do º grau, cujas raízes são + e, encontramos: a) + b) c) d) + Questão 0 Para e, a epressão a) + + b) ( + ) é equivalente a: c) d) ( +) ( + ) Questão Somando-se a metade de um número à raiz quadrada da metade desse mesmo número, o resultado obtido é duas vezes menor que o número. O valor do número é: a) b) 8 c) 4 d) e) 0 Questão ( ) + y( ) = 4( ) No sistema, e y são número reais. A soma de todos os + y = 7 valores de que satisfazem a esse sistema é: a) b) c) d) 4 RESPOSTAS A 5, 6, 7 B, 4, 6,, C, 8, 9, 0,,, 4, 8, 9 D, 5, 7 E, 0 4