EQUAÇÃO DO 2º GRAU. Prof. Patricia Caldana

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1 EQUAÇÃO DO 2º GRAU Prof. Patricia Caldana Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja: 2x + 1 = 0. O expoente da incógnita x é igual a 1. Dessa forma, essa equação é classificada como do 1º grau. 2x² + 2x + 6 = 0. Há duas incógnitas x nessa equação, e uma delas possui expoente 2. Essa equação é classificada como do 2º grau. x³ x² + 2x 4 = 0. Nesse caso, temos três incógnitas x, e o maior expoente no caso, expoente 3 torna a equação como do 3º grau. As equações do tipo ax + b = 0, com a e b números reais e a 0 são consideradas equações do 1º grau, e podem ter no máximo um resultado. Os modelos de expressões que satisfazem a condição ax² + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a 0 se enquadram na condição de equações do 2º grau, sendo possível a sua resolução através do Teorema de Bháskara. A utilização desse teorema requer conhecimento dos valores dos coeficientes a, b e c, por exemplo, na equação 2x² + 4x 12 = 0 os coeficientes são: a = 2, b = 4 e c = 12. Uma equação do 2º grau pode ter no máximo duas raízes (soluções) reais, a condição de existência das raízes dependerá do valor do discriminante (Δ). De acordo com o seu valor podemos ter as seguintes situações: Δ < 0, não possui raízes reais. Δ = 0, possui duas raízes reais idênticas. Δ > 0, possui duas raízes reais e distintas. O que são raízes ou soluções de uma equação do 2º grau? Cada modelo de equação possui uma forma de resolução. Para as equações do 2º grau, utilizaremos o método de Bháskara. Determinar a solução de uma equação é o mesmo que descobrir suas raízes, isto é, o valor ou os valores que satisfazem a equação. Pagina: 1

2 As raízes da equação do 2º grau x² 10x + 24 = 0, por exemplo, são x = 4 ou x = 6, pois, substituindo x = 4 na equação, temos: x² 10x + 24 = 0 4² 10 * = = = 0 0 = 0 (verdadeiro) Substituindo x = 6 na equação, temos: x² 10x + 24 = 0 6² 10 * = = = 0 0 = 0 (verdadeiro) Podemos verificar que os dois valores satisfazem a equação, mas como podemos determinar os valores que tornam a equação uma sentença verdadeira? É essa forma de determinar os valores desconhecidos que abordaremos a seguir. Método de Bháskara Vamos determinar pelo método resolutivo de Bháskara os valores da seguinte equação do 2º grau: x² 2x 3 = 0. Uma equação do 2º grau possui a seguinte lei de formação: ax² + bx + c = 0, em que a, b e c são os coeficientes. Portanto, os coeficientes da equação x² 2x 3 = 0 são a = 1, b = 2 e c = 3. Na fórmula de Bháskara, utilizaremos somente os coeficientes. Veja: 1º passo: determinar o valor do discriminante ou delta ( ) = ( 2)² 4 * 1 * ( 3) Pagina: 2

3 = = 16 Prof. Patricia Caldana 2º passo: x = b ± 2 a x = ( 2) ± x = 2 ± 4 2 x' = = 6 = x'' = 2 4 = 2 = Os resultados são x = 3 e x = 1. 16=0. Exemplo II: Determinar a solução da seguinte equação do 2º grau: x² + 8x + Os coeficientes são: a = 1 b = 8 c = 16 = 8² 4 * 1 * 16 = = 0 x = b ± 2 a x = 8 ± x' = x'' = 8 = 4 2 Pagina: 3

4 No exemplo 2, devemos observar que o valor do discriminante é igual a zero. Nesses casos, a equação possuirá somente uma solução ou raiz única. Exemplo III: Calcule o conjunto solução da equação 10x² + 6x + 10 = 0, considerada de 2º grau. = 6² 4 * 10 * 10 = = 364 Nas resoluções em que o valor do discriminante é menor que zero, isto é, o número é negativo, a equação não possui raízes reais. Método da Soma e do produto Há também outro método para solucionar as raízes de uma equação do 2º grau, chamado de método da soma e do produto. Utilizando as fórmulas: e Com a fórmula matemática da soma, encontramos um número que é o resultado da soma das duas raízes da equação. Já no cálculo do produto, encontramos um número que é o resultado da multiplicação das duas raízes da equação. Assim, se na soma encontrarmos o resultado 5 e na multiplicação encontrarmos o resultado 6, podemos concluir que as raízes da equação são 2 e 3, pois 2+3 é igual a 5 e 2x3 é igual a 6. Exemplo: Dada a equação x 2 + 5x + 4 = 0, vamos calcular a soma e o produto das suas raízes. 1x4 = 4. Assim, podemos concluir que as raízes dessa equação são 1 e 4, pois 1+4 = 5 e Pagina: 4

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