O quadrado da diferença de dois termos Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir:
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- Bernadete Aires Domingos
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1 PRODUTOS NOTÁVEIS Chamamos de Produtos Notáveis algumas expressões algébricas ou polinômios que aparecem com mais frequência em cálculos algébricos. Devido a essa regularidade recebem esse nome e são utilizados principalmente para a fatoração de polinômios e também para evitar erros com sinais. Há cinco casos distintos de produtos notáveis, a saber: o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por fim, o cubo da diferença de dois termos. Vamos à explanação de cada um deles. O quadrado da soma de dois termos Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir: (a + b) 2 = (a + b). (a + b) Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo. Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: (a + b) 2 = (a + b). (a + b) (a + b) 2 = a² + ab + ab + b² (a + b) 2 = a² + 2ab + b² Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. O quadrado da diferença de dois termos Observe a representação e utilização da propriedade da potenciação a seguir: (a b) 2 = (a b). (a b) Dizemos que a é o primeiro termo, enquanto b é o segundo termo. Se desenvolvermos esse produto usando a propriedade distributiva da multiplicação teremos: (a b) 2 = (a b). (a b) (a b) 2 = a² ab ab + b² (a b) 2 = a² 2ab + b²
2 Desta forma, podemos afirmar que o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. O produto da soma pela diferença de dois termos Observe a representação e utilização da propriedade a seguir: (a + b). (a b) Se o desenvolvermos, poderemos transformá-lo em uma diferença de quadrados, veja: (a + b). (a b) = a² ab + ab b² (a + b). (a b) = a² b² Desta forma, podemos afirmar que o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. O cubo da soma de dois termos Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir: (a + b)³ = (a + b). (a + b)² Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade distributiva: (a + b)³ = (a + b). (a² + 2ab + b²) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ Desta forma, podemos afirmar que o cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo. distributiva: O cubo da diferença de dois termos Observe a representação da propriedade de potenciação a seguir: (a b)³ = (a b). (a b)² Agora, observe como podemos transformá-la, utilizando a propriedade (a b)³ = (a b). (a² 2ab + b²) (a b)³ = a³ 3a²b + 3ab² b³
3 Desta forma, podemos afirmar que o cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo. FATORAÇÃO DE EXPRESSÕES ALGÉBRICAS A fatoração de expressões algébricas tem por objetivo representar a soma polinomial de números e incógnitas através do produto de termos. Antes de compreender como funciona a fatoração de expressões algébricas vamos relembrar como realizamos a fatoração de algum número. Dê uma olhada na fatoração do número 27: Observe que, com a fatoração do número 27, ele ficou expresso como o produto = 27. Esse processo acontece de forma bem semelhante com as expressões algébricas. Quando fatoramos um polinômio, também pretendemos expressá-lo por meio de uma multiplicação. A fatoração de expressões algébricas é extremamente útil para simplificar cálculos com polinômios, isentando-nos de muitos cálculos desnecessários. Ela pode ocorrer de 7 diferentes formas. São elas: 1 caso: Fator comum 2 Caso: Agrupamento 3 Caso: Trinômio Quadrado Perfeito 4 Caso: Trinômio do tipo x² + Sx + P 5 Caso: Diferença de dois quadrados 6 Caso: Soma de dois cubos 7 Caso: Diferença de dois cubos Vamos estudar cada um separadamente.
4 1º caso de fatoração: fator comum Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse primeiro caso de fatoração, todos os monômios da expressão algébrica devem ter pelo menos algum termo em comum. A fatoração é feita colocando o termo comum em evidência. Vejamos alguns exemplos: Exemplo 1: a ab É necessário analisar todos os seus monômios (termos) para ver se há termos em comum. Essa expressão tem dois monômios a e ab. Os dois possuem termos semelhantes: o termo semelhante é a. Então, colocamos esse termo comum em evidência. Quando colocamos a em evidência devemos dividir a e ab (os monômios) por a (termo comum), assim: a : a = 1, pois todo número (ou letra) dividido por ele mesmo é igual a 1. ab : a = b, pois a : a = 1, então ficaria 1b que é o mesmo que b. Portanto, a ab = a (1 b) Exemplo 2: a 3 4a 2 Essa expressão algébrica tem 2 monômios a 3 e 4a 2. Eles têm o a como termo semelhante, então podemos colocá-lo em evidência, mas poderá surgir uma dúvida: devemos colocar o a 3 ou a 2? Devemos colocar sempre o de menor expoente, então colocamos a 2. Devemos dividir a 3 e 4a 2 por a 2, assim: a 3 : a 2 = a, pois a 3 = a.a.a, então a. a. a : a 2 é o mesmo que 1a = a. 4a 2 : a 2 = 4, pois a 2 : a 2 = 1, então ficaria 4. 1 que é mesmo que 4. Portanto, a 3 4a 2 = a 2 (a 4). 2º caso de fatoração: Agrupamento Para fatorar uma expressão algébrica utilizando o agrupamento é preciso agrupar os termos semelhantes e colocá-los em evidência. Quando aplicamos o caso de fatoração por agrupamento, utilizamos a fatoração por termos comuns.
5 Se observarmos a expressão ab + 3b + 7a + 21 veremos que não são todos os monômios que têm termos semelhantes, mas podemos unir os que possuem termos semelhantes. Assim, temos: ab + 3b + 7a + 21, agora aplicamos o 1º caso de fatoração (termo comum), colocando em evidência cada elemento comum de cada agrupamento. Então: b (a + 3) + 7 (a + 3) Mesmo fazendo essa fatoração observamos que ainda podemos fazer mais uma fatoração, pois os dois termos b (a + 3) e 7 (a + 3) possuem um termo em comum (a + 3). Então, aplicamos o processo do fator comum, ficando assim a fatoração: b (a + 3) + 7 (a + 3) (a + 3) (b + 7) Portanto, a expressão algébrica ab+3b+7a+21 fatorada fica assim: (a + 3) (b + 7). 3º caso de fatoração: Trinômio do quadrado perfeito Para fatorar uma expressão algébrica utilizando esse 3º caso, a expressão deverá ser um trinômio e formar um quadrado perfeito. Então, para compreender melhor esse tipo de fatoração vamos recapitular o que é um trinômio e quando um trinômio pode ser um quadrado perfeito. Trinômio: Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio, ela deverá conter exatamente 3 monômios. Veja alguns exemplos de trinômios: x 3 + 2x 2 + 2x - 2x 5 + 5y 5 ac + c b É importante ressaltar que nem todos os trinômios são quadrados perfeitos. É preciso verificar se um trinômio pode ser escrito na forma de um quadrado perfeito. Quadrado perfeito: Um número é um exemplo de quadrado perfeito, basta que esse número seja o resultado de outro número elevado ao quadrado, por exemplo: 36 é um quadrado perfeito, pois 6 2 = 36.
6 Agora, para aplicar isso em uma expressão algébrica, temos alguns exemplos. (x + y). (x + y) o resultado dessa multiplicação é o trinômio x 2 +2xy + y 2. Como vimos nos produtos notáveis, esse trinômio tem como quadrado perfeito (x + y) 2. Nem todos os trinômios são quadrados perfeitos, por isso é preciso que saibamos identificar se um trinômio é quadrado perfeito ou não. Veja como é feita essa identificação: Quando um trinômio é quadrado perfeito? O quadrado perfeito (x + y) 2 é composto por dois fatores (x e y). A resolução dele é um trinômio x 2 +2xy + y 2. O primeiro monômio é o quadrado do primeiro termo; o segundo monômio é duas vezes o primeiro termo vezes o segundo; e o terceiro monômio é o quadrado do segundo termo. Esse trinômio do quadrado perfeito é considerado uma forma geral seguida para qualquer quadrado perfeito. Portanto, para que um trinômio seja quadrado perfeito ele tem que seguir esse modelo. Fazendo um resumo podemos dizer que: Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características: Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados. Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois outros termos. Veja alguns exemplos: Veja se o trinômio 9a 2 12ab + 4b 2 é um quadrado perfeito. Para isso, siga as regras que foram citadas. Dois membros do trinômio 9a 2 12ab + 4b 2 têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio, então o trinômio é quadrado perfeito. Então, a forma fatorada do trinômio 9a 2 12ab + 4b 2 é (3a 2b) 2, pois é a soma das raízes ao quadrado.
7 Exemplo: Dado o trinômio 4x 2 8xy + y 2, devemos tirar as raízes dos termos 4x 2 e y 2, as raízes serão respectivamente 2x e y. O dobro dessas raízes deve ser 2. 2x. y = 4xy, que é diferente do termo 8xy, então esse trinômio não poderá ser fatorado utilizando o quadrado perfeito.
Fatorando o número 50 em fatores primos, obtemos a seguinte representação: = 50
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