Fatoração Algébrica. Casos Simples de Fatoração Algébrica

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1 Fatoração Algébrica Casos Simples de Fatoração Algébrica Como já aprendemos na Aritmética, todo número, não primo, pode ser decomposto em um produto de fatores primos. Assim, tem-se: 30 = 2 X 3 X 5 ; 72 = 8 x 9 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 3 x 3 2 Da mesma forma, podemos decompor algumas expressões algébricas em fatores. Assim, por exemplo : a 2 - b 2 = (a+b) (a - b) ; a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 ; 12a 2 b 3-18ab 2 = 6ab 2 (2ab - 3) O processo pelo qual transformamos uma adição algébrica em um produto algébrico denominamos fatoração algébrica, ou simplesmente, fatoração. No estudo da fatoração são conhecidos vários casos. Vamos estudá-los, classificandoos, para uma melhor compreensão. Primeiro Caso de Fatoração : Evidenciação Consideremos o polinômio 6ax 2-4ax 3 + 2ax, que pode ser escrito como : (2ax).(3x) - (2ax).(2x) + (2ax).(1). Percebemos que o fator 2ax esta presente em todos os termos do polinômio. 2ax é o fator comum e deverá ser colocado em evidência. Assim : 6ax 2-4ax 3 + 2ax = (2ax) (3x - 2x 2 + 1) Exemplo 01) Fatorar o polinômio 7m 2 p 4-14m 3 p m 4 p 3 Colocando o fator comum 7m 2 p 2 em evidência, teremos : 7m 2 p 4-14m 3 p m 4 p 3 = 7m 2 p 2 ( p 2-2m + 3m 2 p) Exemplo 02) Fatorar o polinômio 2m 3 (a - b) + 8m 2 ( a - b) Colocando o fator comum 2m 2 (a - b) em evidência, teremos : 2m 3 (a - b) + 8m 2 ( a - b ) = [2m 2 (a - b)] ( m + 4) = 2m 2 (a - b)( m + 4) Segundo Caso de Fatoração : Trinômio Quadrado Perfeito Já aprendemos em produtos notáveis que : (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 e (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2

2 O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a 2 ± 2ab + b 2 em sua forma fatorada (a ± b) 2. E para tal precisamos compreender que um trinômio será quadrado perfeito quando possuir dois de seus três termos quadrados e o terceiro sendo igual ao dobro do produto entre as raízes quadradas dos termos quadrados. Exemplo 03) Se possível, fatore o polinômio 4m mn 2 + 9n 4 O polinômio possui dois termos quadrados 4m 2 e 9n 4, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 2m e 3n 2. O dobro do produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 12mn 2. E dessa forma o polinômio 4m mn 2 + 9n 4 é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto ser fatorado. A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 2m, a raiz do segundo termo quadrado é 3n 2 e o sinal que os une será o sinal do terceiro termo + 12mn 2. Dessa forma, teremos : 4m mn 2 + 9n 4 = ( 2m + 3n 2 ) 2 Exemplo 04) Se possível, fatore o polinômio 16x x 2 y y 6 O polinômio possui dois termos quadrados 16x 4 e 25y 6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 4x 2 e 5y 3. O dobro do produto entre essas raízes é igual a 40x 2 y 3 que é diferente do terceiro termo 36x 2 y 3. E dessa forma o polinômio 16x x 2 y y 6 não é um trinômio quadrado perfeito e não pode, portanto, ser fatorado, pelo menos como um trinômio quadrado perfeito. Exemplo 05) Se possível, fatore o polinômio p 6n + 121p 12n O polinômio possui dois termos quadrados 36 e 121p 12n, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 6 e 11 6n. O dobro do produto entre essas raízes é exatamente igual ao terceiro termo 132p 6n. E dessa forma o polinômio p 6n + 121p 12n é um trinômio quadrado perfeito e pode, portanto, ser fatorado. A raiz quadrada do primeiro termo quadrado é 6, a raiz do segundo termo quadrado é 11p 6n e o sinal que os une será o sinal do terceiro termo - 132p 6n, Dessa forma, teremos : p 6n + 121p 12n = ( 6-11p 6n ) 2 Terceiro Caso de Fatoração : Diferença de Dois Quadrados Já aprendemos em produtos notáveis que : (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 O que faremos agora é transformarmos a diferença algébrica a 2 - b 2 em sua forma fatorada (a + b) (a - b). E para tal precisamos extrair as raízes quadradas de ambos os termos e montarmos com essas raízes a sua soma multiplicada por sua diferença. Exemplo 06) Fatore o binômio 64x 2-25y 8

3 O binômio é uma diferença de dois quadrados 64x 2 e 25y 8, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 8x e 5y 4. Montando a soma (8x + 5y 4 ) e a diferença (8x - 5y 4 ) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim : 64x 2-25y 8 = (8x + 5y 4 ) (8x - 5y 4 ) Exemplo 07) Fatore 81-0,49k 6 O binômio é uma diferença de dois quadrados 81 e 0,49k 6, e cujas raízes quadradas são, respectivamente, 9 e 0,7k 3. Montando a soma (9 + 0,7k 3 ) e a diferença (9-0,7k 3 ) e as multiplicando, teremos nossa fatoração concluída. Assim : 81-0,49k 6 = (9 + 0,7k 3 ) (9-0,7k 3 ) Veja que interessante: Já sabemos que = 24. Vamos fazer essa diferença entre dois quadrados utilizando a fatoração, que acabamos de aprender: = (7 + 5) ( 7-5 ) = 12 x 2 = 24 ( deu, é claro, o mesmo resultado ) Quarto Caso de Fatoração : Trinômio de Stevin Já aprendemos em produtos notáveis que : (a + b) (a + c) = a 2 + (b + c)a + bc, que podemos escrever como : a 2 + Sa + P, onde S é a soma dos termos não comuns e P o seu produto. O que faremos agora é transformarmos a soma algébrica a 2 + Sa + P em sua forma fatorada (a + b) (a + c). E para tal precisamos extrair a raiz quadrada do termo quadrado e descobrirmos dois número cuja soma seja S e cujo produto seja P. e verificarmos se a soma aparece multiplica pela raiz quadrada do termo comum. Só com alguns exemplos poderemos entender melhor esse tipo de fatoração. Vamos a eles. Exemplo 08) Fatore o trinômio k 2 + 8k + 15 Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado k 2, teremos k. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a 8 e multiplicados sejam iguais a 15. Esses números serão 3 e 5, já que: = 8 e 3 x 5 = 15. Percebemos, também, que a soma 8 aparece multiplicada pela raiz quadrada k de k 2. Assim : k 2 + 8k + 15 = (k + 3) (k + 5) Exemplo 09) Fatore o trinômio m 4-6m Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado m 4, teremos m2. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais

4 a - 6 e multiplicados sejam iguais a 8. Esses números serão - 2 e - 4, já que: = - 6 e (- 2) x (- 4) = + 8. Percebemos, também, que a soma - 6 aparece multiplicada pela raiz quadrada m 2 de m 4. Assim : m 4-6m = (m 2-2) (m 2-4) Exemplo 10) Fatore o trinômio 25y y 3-21 Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 25y 6, teremos 5y 3. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a + 4, lembremos que a raiz de 9y6, está presente nesse termo, assim, 20y 3 : 5y 3 = 4 e multiplicados sejam iguais a Esses números serão - 3 e + 7, já que: = 4 e como já vimos, que a soma + 4 aparece multiplicada pela raiz quadrada 5y3 de 25y 6. (- 3) x (+ 7) = Percebemos, Assim : 25y y 3-21 = (5y 3 + 7) (5y 3-3) Exemplo 11) Fatore o trinômio 4p 8-8p 4 a - 5a 2 Extraindo a raiz quadrada do termo quadrado 4p 8, teremos 2p 4. Vamos descobrir agora dois números que somados sejam iguais a - 4a, lembremos que a raiz de 4p8, está presente nesse termo, assim, - 8p4a : 2p 4 = 4a e multiplicados sejam iguais a - 5a 2. Esses números serão - 5a e + 1a, já que: - 5a + 1a = 4a e (- 5a) x (+ a) = - 5a 2. Percebemos, como já vimos, que a soma + 4a aparece multiplicada pela raiz quadrada 2p 4 de 4p 8. Assim : 4p 8-8p 4 a - 5a 2 = (2p 4 + a) (2p 4-5a) Quinto Caso de Fatoração : Soma de Dois Cubos Um binômio soma da forma x 3 + y 3 pode ser fatorado em um produto da forma: x 3 + y 3 = (x + y) ( x 2 - xy + y 2 ) A melhor forma para fatorarmos uma soma de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a soma das raízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro menos o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando entenderemos esse caso fatoração. Exemplo 12) Fatore a soma de dois cubos 8p Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada. A raiz cúbica de 8p 6 é 2p 2 e a raiz cúbica de 125 é 5. Assim já temos o nosso primeiro fator (2p 2 + 5) A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 2p 2 é 4p 4 ; o produto entre 2p 2 e 5 é 10p 2 e o quadrado do segundo é 5 2 = 25. E dessa forma, teremos: 8p = (2p 2 + 5) ( 4p 4-10p )

5 Exemplo 13) Fatore 27x 3 y z 6 Como ambos são termos cúbicos, essa soma poderá ser fatorada. A raiz cúbica de 27x 3 y 9 é 3xy 3 e a raiz cúbica de 64z 6 é 4z 3. Assim já temos o nosso primeiro fator (3xy 3 + 4z 2 ) A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 3xy 3 é 9x 2 y 6 ; o produto entre 3xy 3 e 4z 2 é 12xy 3 z 2 e o quadrado do segundo é (4z 2 ) 2 = 16z 4. E dessa forma, teremos: 27x 3 y z 6 = (3xy 3 + 4z 2 ) (9x 2 y 6-12xy 3 z z 4 ) Sexto Caso de Fatoração : Diferença de Dois Cubos Um binômio diferença da forma x 3 - y 3 pode ser fatorado em um produto da forma: x 3 - y 3 = (x - y)( x 2 + xy + y 2 ) A melhor forma para fatorarmos uma diferença de dois cubos é compreendermos que um dos fatores será a diferença das raízes cúbicas dos termos cúbicos originais, e a partir dele, montarmos o outro fator que será o quadrado do primeiro mais o produto entre o primeiro e o segundo mais ( sempre mais ) o quadrado do segundo. Só praticando, entenderemos esse caso fatoração. Exemplo 14) Fatore a diferença de dois cubos 216p3-125m6 Como ambos são termos cúbicos, essa diferença poderá ser fatorada. A raiz cúbica de 216p3 é 6p e a raiz cúbica de 125 m 6 é 5m 2. Assim já temos o nosso primeiro fator (6p - 5m 2 ) A partir dele montaremos o nosso segundo fator. O quadrado de 6p é 36p2 ; o produto entre 6p e 5m2 é 30pm2 e o quadrado do segundo é (5m 2 ) 2 = 25m 4. E dessa forma, teremos: 216p 3-125m 6 = (6p - 5m 2 ) ( 36p pm m 4 ) Sétimo Caso de Fatoração : Agrupamento Quando em um polinômio dois ou mais termos possuem um termo comum que evidenciado faz aparecer um termo comum à fatoração dos demais termos. Só com alguns exemplos podemos compreender melhor esse caso de fatoração. Por essa razão o deixamos como o último caso de fatoração. Exemplo 15) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (1ª resolução ) Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum b em evidência, teremos :

6 ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b( c + d). E colocando o novo fator comum (c + d) em evidência, teremos : ac + ad + bc + bd = a(c + d) + b(c + d) = (c + d) (a + b) Exemplo 16) Fatore o polinômio ac + ad + bc + bd (2ª resolução ) Vamos agrupar agora o primeiro e o terceiro termo e, também, o segundo e o quarto termo. ac + ad + bc + bd = ac + bc + ad + bd Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum c em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum d em evidência, teremos : ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) E colocando o novo fator comum (a + b) em evidência, teremos : ac + bc + ad + bd = c(a + b) + d(a + b) = (a + b) (c + d) Exemplo 17) Fatore o polinômio 2am + an - 6bm - 3bn Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum a em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum - 3b em evidência, teremos : 2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n). E colocando o novo fator comum (2m + n) em evidência, teremos : 2am + an - 6bm - 3bn = a(2m + n) - 3b(2m + n) = (2m + n) (a - 3b) Exemplo 18) Fatore 3a 2 x - 2b 2 + 2a 2-3b 2 x Reagrupando o polinômio, teremos : 3a 2 x - 3b 2 x + 2a 2-2b 2 Se colocarmos, nos dois primeiros termos, o fator comum 3x em evidência e colocarmos, nos dois últimos termos, o fator comum 2 em evidência, teremos : 3a 2 x - 3b 2 x + 2a 2-2b 2 = 3x(a 2 - b 2 ) - 2(a 2 - b 2 ) E colocando o novo fator comum (a 2 - b 2 ) em evidência, teremos : 3a 2 x - 3b 2 x + 2a 2-2b 2 = 3x(a 2 - b 2 ) - 2(a 2 - b 2 ) = (a 2 - b 2 ) (3x - 2) E como o fator (a 2 - b 2 ) é fatorável e igual a (a + b) (a - b), teremos, finalmente : 3a 2 x - 3b 2 x + 2a 2-2b 2 = 3x(a 2 - b 2 ) - 2(a 2 - b 2 ) = (a 2 - b 2 ) (3x - 2) = (a + b) (a - b) (3x - 2) Com isso, apresentamos os mais importantes casos de fatoração. Alguns exercícios resolvidos e um pouco mais complexos, nos ajudarão no entendimento desse assunto da Álgebra, que é um dos que mais dificuldades apresenta aos alunos.