COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO Curitiba - PR

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1 A P O S T I L A D E M A T E M Á T I C A - Á L G E B R A COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO Curitiba - PR Nome: TEORIA E PRÁTICA Hermes Jardim 01 Nº: Turma: Professor(a): 8º ANO

2 A P O S T COLÉGIO ADVENTISTA PORTÃO Curitiba - PR Apresentação Nesta apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas que é I de grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é efetuado. L A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos. A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (000), Álgebra é a parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, D por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma E variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr). 8º Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até 160 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos ANO símbolos no mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra. M Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento A da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo () para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável T pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète. A E passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra M de Viète: 1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação; Á ) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação; ) T passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas. I C Por que devemos aprender Álgebra? O A TEORIA E PRÁTICA ensino de Álgebra geralmente é iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª séri do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino da Álgebra - é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo, com resultados pequenos e desânimo. A maior Hermes dificuldade Jardim do aluno é aceitar uma letra representando número desconhecido e não percebe 01 o sentido de uma expressão algébrica. Outra Á dificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da Matemática. A L álgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos problemas G de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo. A E Álgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida relacionando-a com as informações de uma situação ou problema. B R O autor 1 1 Professor A de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão Licenciado em Matemática pela PUC-PR Álgebra

3 CAPÍTULO 14 - ÁLGEBRA Valor Numérico de uma Expressão Algébrica Termo Algébrico Monômios Adição e Subtração de Monômios Multiplicação de Monômios Divisão de Monômios Potenciação de Monômios Radiciação de Monômios Polinômios Adição e Subtração de Polinômios Multiplicação de Polinômios... CAPÍTULO 15 - PRODUTOS NOTÁVEIS Quadrado da Soma Quadrado da Diferença Produto da Soma pela Diferença... CAPÍTULO 16 - FATORAÇÃO Fator Comum Agrupamento Diferença de Dois Quadrados Trinômio Quadrado Perfeito Trinômio do º Grau Casos Combinados de Fatoração Simplificação de Expressões CAPÍTULO 17 - FRAÇÕES ALGÉBRICAS Simplificação de Frações Algébricas Operações com Frações Algébricas Multiplicação de Frações Algébricas Divisão de Frações Algébricas Adição e Subtração de Frações Algébricas CAPÍTULO 18 - EQUAÇÕES ALGÉBRICAS FRACIONÁRIAS... 6 Álgebra

4 4 Apresentação Nesta apostila abordaremos um assunto nada agradável para a maioria dos estudantes, mas que é de grande importância para a Matemática. O conhecimento de Álgebra é uma ferramenta que ajuda a compreender a forma como o algoritmo de resolução de muitos exercícios é efetuado. A Álgebra tem por finalidade simplificar muitos cálculos que de outra forma necessitariam de muito tempo e espaço para serem resolvidos. A palavra ÁLGEBRA tem origem árabe e conforme o Dicionário Luft (000), Álgebra é a parte da Matemática que generaliza as questões aritméticas, representando quantidades através de símbolos. Sua origem é estranha e intrigante. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por exemplo, a palavra "aritmética", que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr). Um advogado francês e apaixonado por álgebra, François Viète, que viveu de 1540 até 160 passou para a história como o principal responsável pela introdução dos símbolos no mundo da matemática, por isso, ficou conhecido como o Pai da Álgebra. Além de Viète, outros matemáticos da mesma época deram suas contribuições para o aperfeiçoamento da álgebra. Entre eles, Robert Record, inglês que criou o símbolo () para a expressão (igual a). Esse sinal foi usado por Thomas Harriot, outro matemático inglês, responsável pela eliminação das poucas palavras que ainda restavam na álgebra de Viète. A passagem para uma álgebra completamente simbólica foi obra de René Descartes, grande matemático e filósofo francês, que introduziu as seguintes inovações para aperfeiçoar a álgebra de Viète: 1) criou o símbolo (.) para a operação de multiplicação; ) criou a notação que usamos hoje para os expoentes de uma potenciação; ) passou a usar as primeiras letras do alfabeto para os coeficientes da incógnita e os termos independentes ( literais) e as últimas letras para representar as incógnitas. Por que devemos aprender Álgebra? O ensino de Álgebra geralmente é iniciado, mais sistematicamente, no 8º ano (antiga 7ª séri do Ensino Fundamental e visa apresentar regras de transformações de expressões e a resolução de equações e sistemas de equações e inequações. Para muitos profissionais, o ensino da Álgebra é uma fonte de dificuldade para os alunos o que demanda muito tempo de estudo, com resultados pequenos e desânimo. A maior dificuldade do aluno é aceitar uma letra representando número desconhecido e não percebe o sentido de uma expressão algébrica. Outra dificuldade é a tradução da linguagem comum para a linguagem simbólica da Matemática. A álgebra ajuda a estruturar o raciocínio e permite equacionar e resolver numerosos problemas de situações do cotidiano. A Álgebra ajuda a melhorar a compreensão e a desenvolver o raciocínio lógico matemático, contribuindo para um pensamento autônomo. A Álgebra capacita o aluno a representar simbolicamente uma quantidade desconhecida relacionando-a com as informações de uma situação ou problema. O autor 1 1 Professor de Matemática do Ensino Fundamental e Médio no Colégio Adventista Portão Licenciado em Matemática pela PUC-PR Álgebra

5 5 Depois do século XVI, os matemáticos começaram a representar números desconhecidos por meio de letras para indicar operações matemáticas de uma forma mais simples. O valor numérico de uma expressão algébrica é o número real que obtemos quando substituímos as letras por números reais dados e efetuamos as operações indicadas, obedecendo à seguinte ordem de resolução: Radiciação Potenciação Multiplicação ou divisão (na ordem que aparecerem) Adição ou subtração não esqueça de respeitar a sequência de eliminação dos ( 1º ) parêntesis [ º ] colchetes { º } chaves 1) Calcule o valor numérico da expressão: x - 4xy, para x 5 e y. V. N V. N V. N V. N. 15. ) Calcule o valor numérico da expressão: V. N. ( ). + 5.( ) V. N V. N. 1.V. N. 5. x y y, para x - e y. + 5x ) Calcule o valor numérico da expressão: V. N. V. N. V. N. V. N x x + 1 x V. N. 9.V. N.., para x 4. Álgebra

6 6 4) Calcule o valor numérico da expressão:. 5. V. N x 5x x , para x V. N Calcule o valor numérico da expressão: a) x + y, para x 5 e y -. x - x, para x -. x ab, para x, a e b. 4 p - 4pq - q 1, para p e q. 6 x - 5x + 1, para x - 4. f) a + ab + 5b + 1, para a - e b - 4. g) x + 4x - 5x + 4, para x - 4. h) m - mn + n 1 1, para m e n. 4 i) x + x - 6xy + xy, para x - e y. j).(x - y ) - 5.(x + y) +.(x + y ) - 4y, para Calcule o valor numérico da expressão: a) x y, para x - e y. y + x 4 a + ab + b, para a 6 e b. a b m + m + 4m 1, para m. m + m 5 x 4 x x+ +, para x 4. x+ x 1 a + a b+ a+ b, para a e b 4. 4 a 1 f) x xy + y 1 1, para x e y. x y 4 4 g) a ab b 1, para a e b. a + a b 4 h) ax bx + 5, para a, b - e x -. a ax i) (a +.(a, para a 4, b -. a + ab+ b j) a x + 6ax 4 1, para a a e x ax+ a x 1 x e y. Álgebra

7 Calcule o valor numérico da expressão: (a + (a + a a), para a e b 8. (a + (a.(a + f) x + xy+ ax+ ay a 8 ab 4b a x b b 4ac + a b b 4ac + a x x x x + xy x 1 y, para, para x 1, y -, a 5 e b -., para a, b - 5 e c -., para a 5, b - 9 e c -., para x -. 1 x e y 1. 8 g) 9x + 4 x + 1, para x 5. h) 1 x y 1 x 4y + +, para x 5 e 1 y. a a b a + c i) + +, para a, b e c a 4ax j) x+ x 4, para 1 1 a e b. 7 4 Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 4x - [x + y - (5x + y - x) - xy], para x e y Calcule o valor numérico das expressões algébricas: a) a + 5a b - ab - 5b, para a 5 e b -. x + 4 x + x 4 x x +, para x - 8. x + 6xy+ 9y x 9y, para x e y. 4 - [x + y - (5x + y - x) - xy], para x e y - 4. x x x 4x + 4, para x. 4 6 Simplifique a expressão algébrica ax + {5ax - [ax - (ax - 1ax) + 8ax] + 15ax}, e calcule seu valor numérico para a e x -. 7 Simplifique a expressão algébrica 10x y - {8x y + [x y - (x y + 7x y ) - (10x y - 9x y ) + 5x y ] - 5x y } - 8x y e calcule o seu valor numérico para x e y. Álgebra

8 8 8 Simplifique a expressão algébrica x y - [- 5x y - (x y + 4x y - x y ) - 8x y ] - 10x y e 1 calcule seu valor numérico para x e y Calcule o valor numérico da expressão algébrica: 5x - [x + 5y - (5x + y - x ) - 6xy] - 1, para x 5 e y - 4. Calcule o valor da expressão A p.(p a).(p.(p, sabendo que a 5, b 4 e c. a+ b+ c p, Quando uma expressão algébrica for um produto de números reais, expressa ou não por variáveis, isto é, letras, é chamada de termo algébrico. Essa expressão não pode ter somas ou subtrações. Exemplos: a) 5ab é uma expressão algébrica de um termo. x - 5y é uma expressão algébrica de dois termos. a - b + c é uma expressão algébrica de três termos. Um termo algébrico é composto de duas partes: a parte numérica, que será chamada de coeficiente. a parte literal, inclusive com seus expoentes. a) xy : coeficiente. xy parte literal 8 coeficiente - 8x y :. x y parte literal - km: 1 coeficiente. km parte literal Observações: Quando o coeficiente é 1, não devemos escrevê-lo. Nunca escreva 1xy, escreva apenas xy. Quando o coeficiente for - 1, escreva somente o sinal de -. Se tiver - 1a b, escreva apenas - a b. Se um termo algébrico tem zero como coeficiente, vai representar sempre um número real. 0m n 0 0x 0 Todo número real é considerado um termo algébrico sem parte literal., - 5 ou são termos sem parte literal. Álgebra

9 9 1 Nos termos algébricos abaixo, identifique seu coeficiente e sua parte literal: Termo Algébrico a) - 5x abc a b xy 5 f) - xy z g) 1 am h) a b 4 i) 5 x y j) 4 xyz 5 Coeficiente Numérico Parte Literal Monômio é toda expressão algébrica inteira na qual temos somente uma multiplicação de números ou de variáveis. Exemplos: a) 10x y é um monômio. a é um monômio. 8 é um monômio. x + y não é um monômio. Monômios Semelhantes Dois ou mais monômios são semelhantes quando apresentarem a mesma parte literal. Exemplos: a) xy e 5xy são monômios semelhantes, pois têm a mesma parte literal xy. - 4a b e ab são monômios semelhantes. 6a y e ay não são monômios semelhantes, pois apresentam partes literais diferentes. Álgebra

10 10 Operações com Monômios Somente podemos somar ou subtrair monômios semelhantes. Se numa expressão algébrica todos os monômios forem semelhantes, para torná-la mais simples, somamos algebricamente os coeficientes e repetimos a parte literal. 1) Calcule: a) xy + xy 5xy, pois a b - 7a b + 5a b a b, pois ax ax 1 ax ax ax ,7x + 1,9x - 6,1x 1,5x, pois 5,7 + 1,9-6,1 1,5. ) Simplifique as expressões algébricas: a) x - [11x - (- 7x + 9x ) - 1x ] - [4x + (x - 6x )] x - [11x - (+ x ) - 1x ] - [4x + (- x )] x - [11x - x - 1x ] - [4x - x ] x - [- x ] - [+ x ] x + x - x.5x. - 11ay + {- [1ay + (5ay - 0ay) - (ay + ay + 5ay)]} - 11ay + {- [1ay + (- 15ay) - (10ay)]} - 11ay + {- [1ay - 15ay - 10ay]} - 11ay + {- [- 1ay]} - 11ay + {+ 1ay} - 11ay + 1ay.ay. 1 Calcule: a) 8x - 1x f) a - a + 6a y + y g) xy + xy + xy 9x - 6x h) 5x + 8x - x - x 6ay + ay i) abc - abc + 5abc 5x y - 8x y j) 8a b - 5a b + a b - a b Polinômios

11 Calcule: a) 1 1 x x xy - xy 5 4 ab ab 1 xy xy + xy ab ab+ ab 6 f) ax ax ax 6 g) 7 1 xy xy + xy h) 1 1 ab ab ab 4 i) y+ y y+ y 6 4 j) 1 ab + ab + ab + ab Calcule: a) 1,6ax +,75ax 5,4x - 0,48x - 0,5x,4y - 1,78y 6xy - 0,7xy - 1,5xy -,4xy,8x y - 0,5x y - 1,6x y - 0,x y f) - 1,75a 4-0,6a 4-1,a 4-1,05a 4 g) 0,5ab - 0,ab + ab + 0,8ab h) 0,5x y - 1,5x y + 0,15x y i) - x - 0,8x + x - 0,5x j) mn +,mn -,4mn + 1,75mn 4 Simplifique as expressões algébricas: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno) a) 0ab + (- 5a - (+ a - (+ 10a 10x + (+ x) - (- 1x) + (- 11x) + (- x) 10ax - (- 7ax) - (+ 8ax) + (+ ax) - (+ 9ax) 8y - (- 4y + 7y) - (y - 5y) - 9y 10x y - [5x y + (x y - 6x y) - (9x y - 1x y)] f) 4x - [x - (6x - 7x ) - x ] - (5x - 9x + x ) g) ay + [8ay - (- ay + 10ay) + 6ay] - (- ay + 4ay) h) 5xy - {xy - [7xy - (xy + 5xy + 7xy ) - xy ] - xy } i) 1x y - {x y - [5x y + (4x y - 7x y ) - x y ] + 6x y } j) a - {- a - (4a - a ) + [10a - (1a - 7a )] + a } Polinômios

12 1 5 Simplifique as expressões algébricas: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno) a) 1,1x y - 0,48x y - 1,05x y + x y - 0,07x y -,1ap + (,4ap -,8ap) - (1,6ap - ap) 0,7a x - [0,a x + (5a x -,7a x) - 1,4a x] - 0,4a x - 1,5p q 5 + 1,75p q 5-0,15p q 5 + 0,p q 5-0,075p q 5 f) g) h) i) j) 7 1 ab ab ab ab 1 1 x 1,1x x 0,4x by by 1, by by by xy xy xy xy mn mn + mn mn mn m m+ m m m m m m Simplifique as expressões e calcule o seu valor numérico. (fazer no seu caderno) a) 15x + [- 5x + (5x - 7x + x - 4x) - x], para x 5. (- 10x y + 15x y - x y ) - [7x y + (- 4x y + x y ) - x y ], para x 1 e y. 5x y - [- x y - (x y - 5x y) - (8x y - x y) - 4x y] - 10x 1 y, para x 6 e y ab - {(ab + 6ab + a - [(ab - a - (10ab + a]}, para a e b. 1xy - {- xy + [- xy - (- 18xy - 4xy ) - xy ] - 8xy - 5xy }, para 1 x e 6 y. Para se entender bem a multiplicação de monômios, é muito importante recordarmos a propriedade da potenciação:.a m. a n a m + n, com a 0. Para multiplicar dois ou mais monômios, devemos: multiplicar os sinais; multiplicar os coeficientes; multiplicar as partes literais entre si, usando a propriedade acima. Polinômios

13 1 a) (+5a ).(- a - 15a 4 b (- 8x y ).(- a y) + 16a x y 4 (- 1,5xy ).(+ 0,4x y) - 0,54x y ab. ax a bx 1 5 mn. - mn + mn Calcule os produtos: Calcule os produtos: a) x. x a) (+ x).(+ x y) x 5. x. x (- xy ).(+ 4xy) (+ 4x).(- x ) (- 5axy).(- a y ) (- 7x ).(- 5x 4 ) (+ 6a).(- a).(- 4a ) (- 6m 4 ).(- mx ) (- 5x).(- xy).(- xy ) f) (+ 8am ).(+ a m ) f) (- x).(+ 5xy).(- x 4 ) g) 5a x. ax. a y g) (- a.(+ ac ).(+ a c ) h) (- 6x 4 y ).(- xy ) h) (- 4x ).(+ x ).(- x) i) (+ a b ).(+ 5ab ) i) (+ 7x y 4 ).(- xy ).(- xy) j) (+ 8x ).(- 7x 4 ) j) (- 5ab ).(+ 4.(- a x 5 ) Calcule os produtos: a) a. a 5 f) xy. + xy 4 g) 1 ax. y 4 h) 10 a. a 5 i) 1 14 j) ( 7xy ). x y am. am ( a). + a 4 xy.( + 4xy ). x y am. an.( 7mn) + ( 1mnp). m n.( 5np) Polinômios

14 14 4 Calcule os produtos: a) (- 1,4xy ).(- 0,x y ) f) (+,5a 6 x 5 ).(- 5a) (+ 1,5a).(- 0,5a x) g) (- 1,5x ).(- 0,ax ) (- xy).(- 1,5x y ) h) (+ 1,6m n).(- 0,5am) (- 4,5y ).(+ 0,x y ).(- y ) i) (- 0,75x).(- 0,ax).(+ 1,6a x ) (0,1xy).(100xy ).(0,01x ) j) (- 1,pq ).(+ 6p ).(+ 0,5pq) 5 Escreva o monômio que representa a área da figura: 6 Qual é o monômio que representa o volume da figura? 7 Calcule: Observe a figura abaixo e calcule o que se pede: a) o monômio que representa o volume do sólido. o valor numérico do volume quando a 1 e b 4. Vamos recordar a propriedade da potenciação:.a m : a n a m - n, com a 0. Para dividir dois monômios, devemos: dividir os sinais; dividir os coeficientes; dividir as partes literais entre si, usando a propriedade acima. a) (-6x 5 y ):(+x y) - x y (- 5m 4 n):(- m n) 5 10 xy : + xy x y 4 - x y 5 m Polinômios

15 15 1 Calcule: Calcule: a) x 8 : x 5 a) (- 5x y ):(+ 5x y ) 1y 6 : 4y (+ 8a ):(- 4a) 0a 5 y : (- 5a y) (- 1x y ):(- xy) (- m 4 y ):(- 8m ) (7x 5 y 4 ):(9x y ) (+ 9xy 6 ):(- xy 4 ) (- 6p 10 q 8 ):(+ p 9 q 5 ) f) (- a b ):(- ab ) f) (- 14xy ):(- 7xy ) g) (- 0x y ):(- 5xy ) g) (- 4a b 8 ):(+ 4a b 7 ) h) (+ 15x 8 ):(+ x 6 ) h) (+ x y):(- 4x ) i) (- 1m 7 n ):(+ m n ) i) (- 15a 7 b 5 ):(+ 0a 5 b 5 ) j) (+ 6ab ):(- 1ab ) j) (- 1x 4 y ):(- 14x ) Calcule: a) f) g) h) i) j) 1 p : p ac : ac xy : xy x : x 1 a 15 :( a 1 + ) ab : ab an : an 8 ( 0,4xy z ): xyz ax : ax by : by 4 Calcule: a) (- xy 4 ):(- 0,5y ) f) (+ 1,5x y ):(- 5x y ) (- 0,4a b 4 ):(+ 0,5ab ) g) (- 0,5mx ):(- x) (+ 0,1a 6 x ):(- 0,01a ) h) (4,096p 5 q ):(1,6p q) Polinômios

16 16 Precisamos recordar a propriedade da potenciação:.(a m ) n a m. n, com a 0. Para elevarmos um monômios a um potência dada, devemos: elevar o sinal ao expoente dado; elevar o coeficiente ao expoente dado; elevar a parte literal ao expoente dado, usando a propriedade acima. a) (+ x y) 4x 4 y (- 5a b ) 5a 6 b 4 (- 0,5m 5 n) - 0,15m 10 n ab 4 ab (- p q ) 5 - p 15 q 10 1 Calcule: Calcule: a) (a 4 ) a) (- m n ) 6 (x ) (- 5x y z) (a m) 5 (+ 8a bc ) (x y ) (- x y) (4a m z) (- am 6 x ) 4 f) (5x y ) f) (- a c ) g) (- 4a y) g) (- 5x 4 y ) h) (- p q) g) (+ 4p q 5 ) i) (- a ) 6 i) (- a 5 b c 4 ) 5 j) (+ ax 5 ) j) (+ 5a m 4 n ) Calcule: a) (- 0,x ) f) (+,5ab 5 ) (+ 1,5b y ) g) (0,1x y) 5 (0,4a 5 b ) g) (- 1,5a y ) (- 0,a b z) i) (0,8m 5 n ) (- 1,p 4 q ) j) (- 0,4a b c 4 ) Polinômios

17 4 Calcule: a) p 5 f) xy g) 4 ac 5 h) mn 5 5 i) b 5 c 4 4 j) xy 4 xyz xy 4 1 ab c 4 am n Vamos recordar a propriedade radiciação: m n a n a m, com a 0 e m O estudo da radiciação de monômios é semelhante ao que foi visto com números racionais positivos. Acompanhe os exemplos: a) Vamos considerar, para o estudo da raiz quadrada de monômios, que todas as variáveis utilizadas assumam valores reais positivos, isto é, não podem ser valores negativos. a). 16b 4b a raiz quadra de 16 é 4 e o expoente de b foi dividido pelo índice da raiz a b 4a b a raiz cúbica de 64 é 4 e os expoentes de a e b foram divididos pelo índice da raiz. 5 xy xy 49 7 foi extraída a raiz da fração e divididos os expoentes do radicando ,5m n mn 4 1 mn mn o decimal foi passado para fração e extraída sua raiz, os expoentes foram divididos pelo índice da raiz e a fração foi simplificada. Polinômios

18 18 1 Calcule: Calcule: 6 4 a) x a) 64a m 4 4 ab 65x 1 8 5x 4m n a 400x a b 89a m n f) 9m f), 5p q g) 16x y g) 1, 96x y h) 81a b c h) 0, 5a p 10 8 i) 169x y i) 0,01x y j) 144a m j) 0, 49x Calcule: a) 1 x 4 f) 8 am x 10 y 6 5 g) xy am h) 5 1 ac ac 6 64 i) abc 8 1 ax j) 64 a m Polinômios

19 19 Polinômio é uma sentença algébrica formada por monômios associados pelas operações da adição e subtração. Exemplos: a) 5a b monômio x - x binômio x + y - 5 trinômio x - x + 5x - 10 polinômio Observações: Toda adição algébrica de monômios é chamada de polinômio. Qualquer monômio é um polinômio. Os monômios que formam um polinômio são chamados de termos do polinômio. O grau de um polinômio é dado pelo seu termo de maior grau. Para se somar algebricamente dois ou mais polinômios, devemos reduzir os termos semelhantes. Acompanhe com atenção os exemplos abaixo: a) (5x - ) + (x + 7) polinômio dado 5x - + x + 7 eliminando os parênteses 5x + x reduzindo os termos semelhantes.6x + 4. polinômio reduzido (5x 4 - x + 1x -7) - (x x - x - 5) polinômio dado 5x 4 - x + 1x x 4-10x + x + 5 eliminando os parênteses 5x 4 - x 4 - x + 1x - 10x + x reduzindo os termos semelhantes.x 4 - x + x + x -. polinômio reduzido x + y + y x + + x y polinômio dado x + y + y + x + x y eliminando os parênteses x + x x + y y y + + reduzindo os termos semelhantes 4 4x + 6x x 1y 4y y mmc de polinômios semelhantes x + y polinômio reduzido Polinômios

20 0 Sejam os polinômios A x - x +, B x + 5x - 4x - 5 e C x - 10x - 7, determine A + B - C. (x - x + ) + (x + 5x - 4x - 5) - (x - 10x - 7) x - x + + x + 5x - 4x x + 10x + 7 x + x + 5x - x - x - 4x + 10x x +x + x Calcule: a) (9x - 7y) + (- 6x + y) (6x + 8x - ) + (x - x - 5x + 7) (4x - 4x + 5) - (x + 7x - 1) (x 4 - x - 5x - 6) - (x - 5x - ) (7x + y - 6) + (- x - 4y + 5) f) (x - x - x - ) - (x + x - 4) g) (5x + 4x - x + 1) + (- x - 4x + 7x - ) h) (x - 10x + x) - (- 8x - x + ) i) (a 4 + 5a + a ) - (- a + a + 6) j) (x - 5x - 4x + ) + (x + 8x - 5) Calcule: a) (4x - 7x + ) + (x + x + x + ) - (x - x - 1) (x - 4x + 6x - 4) - (x - x - 5) + (4x + 9x - 11x - ) (7a - ab +b ) - (a - 5ab - c - b ) + (- 6ab - c ) (9x - 8x + 10) + (- x + 6x - ) - (7x - 5x + 4x + 5) (ab + a b - 7a - - (4a b - 7a + b - a + (4b + 5a b ) f) (7m - m + m - 5) + (m - 4m + 9) - (5m + 4m - m + 1) g) (a 4 - a + 7a - 1) - (a 4 + a + 5a - 6) + (5a - a + a - ) h) (x + 5x - x + 11) - (x - 9x + 7) - (4x - x) i) (x - x + 5) + (x - 4x + x + ) - (- x - x - 4) j) (5y - 6y - 5y + 10) - (y - y - y - 1) + (y + y - 15) Calcule: a) x xy+ y xy+ y x 1 x x+ + x ax xy + ay ax xy + ay 4 Polinômios

21 4 Simplifique as expressões: a) (4x - x + ) -.(x + 6x - 8) +.(x + 7x - 15)..(x - x + x - 5) +.(x - 5x + ) - 5.(x - 4x - 1). (x + 7x - 4x + 15)+.(x - x + 6) 5.(x - x + 9) - 4(x + ). (x + 6x + 5x + ) -.(x - 6x - 5) + 5.(x - 4x - )..(x + 5x - 6) -.(x - 5x - 8) + 4.(x - 5x - 5). f) (x - 5x + x + 8) -.(x + 6x + 5) -.(- x - 5x + ). g) 6.(a + ax + x) -.(a - ax - x) +.(- a - ax + x). h).(x + x + 1) -.(x - x + 1) - 5.(x - 1). i).(x - 5x - 9x + 1) -.(4x - x - ) + 4.(- x + 4x + 6x). j).(x - x + 4x - ) - 5.(4x - x + 1) + 6.(x - 5x + 4). 1 5 Sejam os polinômios A x - x + 5x +, B 4x - x + 1 e C x - 5x + 4, determine: a) A + B + C. A - 4B - 5C. A - B - C. A + 4B - 5C. A + B - C. 6 Dados A x + x + 5x - 4, B 4x - 5x + e C - 4x +, calcule: a) A - B + 5C. A - B + 4C. A - B + 5C. 7 Dados os polinômios A x - x + 6, B x - 4x - x + 5 e C x - 4. Calcule: a) - A + B - C. A + B + 4C. A + B + 7C. - A + B + 5C. 8 Simplifique a expressão:.(a - 5a + ) + 5.(a 4 - a + a + 1) -.(a + a - 7) e calcule o seu valor numérico para a. 9 Dada a figura abaixo, determine: a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo. o valor numérico do perímetro para x 8 e y. Dados A x + x - 5x - 4, B 4x - 5x + e C x +, calcule: a) A + B + C. A - B + 4C. A - B + 5C. A + B - 5C. A - B + C. Polinômios

22 Vamos estudar dois casos de multiplicação de polinômios: 1º caso - Monômio por polinômio: 1) Calcule os produtos: a) x.(x - x + 1).x - 6x + x. 5x y.(x - xy + y ).5x 4 y - 15x y + 10x y. a.(a - a + a - 5).a 4-6a + 9a - 15a. º caso - Polinômio por polinômio: ) Calcule os produtos: a) (x - ).(x + ) (x - x).(x - ) x + x - x - 6 x - x - x + x.x - x - 6..x - 5x + x. (x + 5).(4x - ) 1x - 6x + 0x x + 14x (x + ).(x - ).(x - 4) (x - x + x - 6).(x - 4) (x + x - 6).(x - 4) x - 4x + x - 4x - 6x + 4.x - x - 10x + 4. (a + ).(a - ).(a - 1) (a - a + a - 6).(a - 1) (a - a - 6).(a - 1) a - a - a + a - 1a + 6.a - a - 11a + 6. ) Simplifique a expressão:.(x - 1).(x - ) + (x - ).(x + 4) -.(x + ).(x - ) + 5.(x - ).(x - x - x + ) + (x + 4x - x - 1) -.(x - x + x - 6) + 5x - 10 x - 6x - x x + 4x - x x + 6x - 9x x - 10 x + x - x - 6x - x + 4x - x + 6x - 9x + 5x x - 6x +. Polinômios

23 4) Observe a figura abaixo: a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura. P.(x + y) +.(x - y) P 6x + y + 6x - 4y.P 1x - y. Determine o valor numérico do perímetro quando x 6 e y 4. V. N V. N. 7-8.V. N. 64. Escreva o polinômio que representa a área da figura. A (x + y).(x - y) A 9x - 6xy + xy - y.a 9x - xy - y. Determine o valor numérico da área quando x 6 e y 4. V. N. 9x - xy - y V. N V. N V. N V. N V. N. 0. 5) Dado o sólido geométrico abaixo, determine: a) o polinômio que representa o volume do sólido. V (x + 5).(x + ).(x - ) V (x + 4x + 5x + 10).(x - ) V (x + 9x + 10).(x - ) V x - 6x + 9x - 7x + 10x - 0.V x + x - 17x - 0. Polinômios

24 4 o valor numérico do volume para x 5. V. N. x + x - 17x - 0 V. N V. N V. N V. N V. N Calcule os produtos: - Calcule os produtos: a) 5x.(x - x) a) am.(a m - m 5 ) 4ab.(a - ab + b ) x.(x - 5) x y.(x + xy - y ) (x + y).x 4a b.(a - ab + (y - 4y).ay 4 a.(a - 5b ) (x - ).(- x ) f) b.(a + f) (a + m).(- am ) g) x.(4p - 5q ) g) (- p - p + 1).(- p ) h) 8.(x - x + ) h) xy.(xy + x y - 4xy ) i) 5x.(x - ) i) 5y.(y 4 + 5y 5-8y ) j) - x.(- ax + xy) j) x.(x + y - xy + 5x ) - Calcule os produtos: 4 - Calcule os produtos: a) (x + 7).(x - 4) a) (x + ).(x - 4) (y - 6).(y - 5) (x - x + 1).(x - x) (a +.(a - (a + ab + b ).(a - (a - y).(a - x) (x + ).(x - x +x - 5) (ab - x).(ab + x) (a + x).(a + 5x) f) (x + 5y).( - x) f) (x - x - ).(x - ) g) (mx + y).(mx - y) g) (x + x - ).(x - x + ) h) (a + 5).(a - ) h) (x + y - ).(x - y) i) (x y + ).(5 - y ) i) (x - x - x - 5).(x + x - ) j) (y 4 - y ).(y - ) j) (a + a - a).(a - 4a - ) 5 - Calcule os produtos: a) (x + 9).(x - 6) f) (x + ).(x + x - ) (a + y).(a - y) g) (a - b ).(a - ab - 4b ) (y - 4).(y - 1) h) (a - ay + y ).(a + y) (b + a).(a - i) (x - x - 5x).(x - x) (x + a).(x - 4a) j) (a +.(a + Polinômios

25 6 - Calcule os produtos: a) x.(x - ).(x - 4) f) (y - 1).(y + ).(y - ) (a -.(a -.(a - g) (a + x).(a - x).(a + x) (a +.(a +.(a + h) (x + ).(x + ).(x - 1) (x - 4).(x - 5).(x + ) i) (x - 1).(x + ).(x - 4) (x + ).(x - ).(x - 1) j) (x - ).(x + ).(x - ) Calcule os produtos: 8 - Calcule os produtos: a) (x - y).(x - y).(x + y) a) (x + 8).(x - 1) (a -.(a -.(a + (5x + y).(x + y) (x - ).(x + 7).(x + ) (xy + 6).(x - y ) (a + x).(a - x).(a + x) (x + x - 4).(x - ) (x + ).(x + ).(x - 1) (y + y - ).(y + 5) f) (x - 1).(x + ).(x - 4) f) (x + ).(x - 1).(x - ) g) (p - 1).(p + 1).(p + ) g) (x - ).(x - 4).(x + ) h) (x - ).(x + ).(x + 1) h) (x - ).(x + 5).(x + 4) i) (x + ).(x - ).(x + 4) i) (x - y).(x - y).(x + y) j) (x + 1).(x - ).(x - ) j) (a - ).(a + ).(a - 5) 9 - Simplifique as expressões algébricas: a) (x + x + 4).(x - ) - (x - x + 4).(x + ) (x + 1).(x - ) + (x - 5).(x + 6) -.(x + ).(x - 4) (x - xy + y ).(x + y) - (x + xy + y ).(x - y) (x - 5).(x - x - ) +.(x + 1) - 5.(x + ).(x + 6) -.(x + 5) +.(x + ) - (x + 5) f) x.(x + y - 1) + y.(- x + y + 1) + (x - y + 1) g) (x - 1).(x + x - 1) - (x - 1).(x + 1) h).(a + a + 1) +.(a + a - ) - (a - a - ) - a.(a + 5) i).(x - ).(x + ) -.(x + ).(1 - x) - x.(x + ) j).(5x - x) + (x - 1).(x - x + 1) +.(x - 1) 10 - Resolva os problemas: a) Se A x -, B x - 1 e C x + 1, determine o polinômio A.B -.C e seu valor numérico, para x - 5. Sendo A - x, B x + 4, C 5 - x e D x -, determine o polinômio que representa a expressão AC - BD - 0A. Dados A - x, B x - 8, C 5 - x e D - x, calcule AC + BD. Dados A a + a + 1, B a + a - e C a - a -, calcule: A + B - C. Sendo A 4x - x, B x - 1, C x - x + 1 e D x - 1, calcule A + BC, (A - D).(B + C) e - A + CD + B. f) Simplifique a expressão: (x + a) - ax.(5x + 7a) - a.(x + a) e determine o seu valor numérico quando a x - 1. g) Simplificando a expressão (m + n) - (m + n)(n - m) - m.(m + n) e seu valor numérico para m -. Polinômios

26 6 h) Considere os polinômios: A x -, B x -, C x + e D 4x - 5. Calcule o valor da expressão: A - B - D + AC + 8x. i) Se P x + 1 e Q x - 1, determine o polinômio que representa a expressão PQ + Q + Q + 1 e seu valor numérico para x. j) Dados os polinômios A x + 5x - 6, B x - 5x - 8 e C x - 5x - 5, calcule A - B + 4C e o seu valor numérico para x Dada a figura abaixo, determine: a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo. o valor numérico do perímetro para x. o polinômio que representa a área do retângulo. o valor numérico da área para x. 1 - Observe a figura abaixo: a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura. Determine o valor numérico do perímetro quando a 8 e b 4. Escreva o polinômio que representa a área da figura. Determine o valor numérico da área quando a 8 e b Observe a figura abaixo: a) Escreva o polinômio que representa o perímetro da figura. Determine o valor numérico do polinômio acima quando x 4. Escreva o polinômio que representa a área da figura. Determine o valor numérico do polinômio acima quando x 4. Polinômios

27 14 - Observe a figura abaixo, determine: 7 a) o polinômio que representa o perímetro da figura. o valor numérico do polinômio acima quando x e y 5. o polinômio que representa a área da figura. o valor numérico do polinômio acima quando x e y Dada a figura abaixo, determine: a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo. o valor numérico do perímetro para x. o polinômio que representa a área do retângulo. o valor numérico da área para x Dada a figura abaixo, determine: a) o polinômio que representa o perímetro do retângulo. o valor numérico do perímetro para x 4. o polinômio que representa a área do retângulo. o valor numérico da área para x Dado o sólido geométrico abaixo, determine: a) o polinômio que representa o volume do sólido. o valor numérico do volume para x 6. Polinômios

28 Dado o sólido geométrico abaixo, determine: a) o polinômio que representa o volume do sólido. o valor numérico do volume para x Dado o sólido geométrico abaixo, determine: a) o polinômio que representa o volume do sólido. o valor numérico do volume para x Considere o sólido da figura abaixo: a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido. Calcule o valor numérico para x Os polinômios x + 1, x + e x + são as medidas de um paralelepípedo retângulo. Determine o polinômio que representa o volume do sólido e o seu valor numérico para x. - As arestas de um paralelepípedo retângulo são expressas x -, x + e x - 4. Calcule: a) o polinômio que representa o volume do paralelepípedo. o seu valor numérico para x 8. - Considere o sólido da figura abaixo: a) Escreva o polinômio que representa o volume do sólido. Calcule o valor numérico para x 4. Polinômios

29 9 O quadrado da soma de dois termos, a e b, é indicado por (a +. Como (a + (a +.(a +, temos: (a + a + ab + ab + b (a + a + ab + b. Podemos enunciar uma regra prática: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo. a) (x + ) x +.x. + x + 4x + 4. (x + y) (x) +.x.y + (y) 9x + 1xy + 4y. (x + y) x +.x.y + (y) x + 6xy + 9y. 1 Desenvolva os quadrados da soma: a) (x + 5) (a + 7) (x + 8) (h + 4) (x + 6) f) (x + 1) g) (4a + 5 h) (m + n) i) ( + xy) j) (x + x ) Desenvolva os quadrados da soma: a) (5x + 4y) (x + y) (x + 5) (x + ) (a + x) f) (5x + 1) g) (x + 6) h) (xy + 5) i) (m + 4n) j) (x 5 + x ) Polinômios

30 0 Desenvolva os quadrados da soma: a) (x + 5) (a + x ) (x + 1) (x + y ) (x + y ) f) (a + ) g) (x + y ) h) (a + 4a) i) (5x + x ) j) (a x + a x ) 4 Desenvolva os quadrados da soma: a) (x + y) (x + y) (a + ) (5a + 1) (4a + y ) f) ( + 5x) g) (4x + y ) h) (x + y) i) (4x + y ) j) (a + a ) 5 Desenvolva os quadrados da soma: a) 1 1 x+ y 1 a + a 4 x + y 5 x + m 4 1 x + y Produtos Notáveis

31 1 O quadrado da diferença de dois termos, a e b, é indicado por (a -. Como (a - (a -.(a -, temos: (a - a - ab - ab + b (a - a - ab + b. Podemos enunciar uma regra prática: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro vezes o segundo, mais o quadrado do segundo termo. a) (x - ) x -.x. + x - 4x + 4. (x - y) (x) -.x.y + (y) 9x - 1xy + 4y. (x - y) x -.x.y + (y) x - 6xy + 9y. 1 Desenvolva os quadrados da diferença: a) (x - 6) (x - y) (x 4 - b ) (7m - n ) (x - 4) f) (x - 5y) g) (x - ) h) (1 - a i) (x - x ) j) (x - y ) Desenvolva os quadrados da diferença: a) (x - ax) (4x - ) (x - 5) ( - x ) (x - ) f) (a - 5) g) (1-4y) h) (x - ) i) (x - x) j) (x - y ) Produtos Notáveis

32 Desenvolva os quadrados da diferença: a) (a - 5) (5-4a) (x - y) (a - y) (4x - x ) f) (a4 - g) (a - 1) h) (m - 5n) i) (5x - y) j) (x - x ) 4 Desenvolva os quadrados da diferença: a) (x - ) (a - a ) (x - 5y) (x - y ) (x - y 4 ) f) (5x - y) g) (x - y) h) (a - b ) i) (y - a ) j) (a - ) 5 Desenvolva os quadrados da diferença: a) (x - 1) (a - ) (x - 5) (x - 9) (5x - 6) f) (a - ) g) (x - y) h) (y 6-4) i) (a - 5 j) (m - 5n) 6 Simplifique as expressões: (este exercício deve ser feito no seu caderno) a) x - (x - ) f) (x + 1) - (x + ) + (x + ) (x + 1) + (x + ) g) (x + 5) - x.(x + ) + x (x + 1) + (x - 1) h) (x - ) - (x - 4) ( - x) - x.(4 - x) -.(x - ) i) (4x + ) -.(x + ) + x.(x + 1) + (x - 4) -.(x - ) j) (x + 4) - (x + 5) Produtos Notáveis

33 O produto da soma de dois termos, a e b, pela sua diferença é indicado por (a +.(a -. Como (a +.(a - a.(a + + b.(a -, temos: (a +.(a - a - ab + ab - b (a +.(a - a - b. Podemos enunciar uma regra prática: O produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o quadrado do segundo termo. a) (x + ).(x - ) x - x - 4. (x + y).(x - y) (x) - (y) 9x - 4y. (x + y).(x - y) x - (y) x - 9y. 1 Desenvolva os produtos da soma Desenvolva os produtos da soma pela diferença: pela diferença: a) (x + 8).(x - 8) a) (x + ).(x - ) (x + 4).(x - 4) ( - a).( + a) (x + y).(x - y) (4x + ).(4x - ) (ab -.(ab + (5 + y).(5 - y) (5x + y).(5x - y) (x - y).(x + y) f) (a + 10).(a - 10) f) (a + b ).(a - b ) g) (m + n).(m - n) g) (x + y ).(x - y ) h) (x + y ).(x - y ) h) (x + 5).(x - 5) i) (1 + xy).(1 - xy) i) ( - x).( + x) j) (x - 5).(x + 5) j) (m + 5).(m - 5) Desenvolva os produtos da soma 4 Desenvolva os produtos da soma pela diferença: pela diferença: a) (a + 7).(a - 7) a) (a +.(a - (x + ).(x - ) (a + 10).(a - 10) (1 + a).(1 - a) (m + n).(m - n) (t + 5).(t - 5) (p + 1).(p - 1) (x + x 5 ).(x - x 5 ) (a + ).(a - ) f) (ab + ).(ab - ) f) (x + y).(x - y) g) (1 + a x ).(1 - a x ) g) (x + xy).(x - xy) h) (a x + 10).(a x - 10) h) (x + y).(x - y) i) (a -.(a + i) (m + p).(m - p) j) (x + y ).(x - y ) j) (4x + 5y).(4x - 5y) Produtos Notáveis

34 4 5 Desenvolva os produtos da soma pela diferença: a) 1 1 a + b. a b 1 1 am. + am + x. x 4 4 f) a 4 a 4 + c c b b a x a x m+ n. m 6 Simplifique as expressões algébricas: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno) a) a. (a - 5) 5.(x - 1) - (x - 4) + (x - 5) (x - 8) + 8.(5x - 6) (x - y) - x.(x - y) (x - ) + (x + ).(x - ) f) (x + 4) + (x + ) - x.(x + 7) - 15 g) (x + 4).(x - 8) + (x + 4).(x - 4) - (x + 6).(x - 6) h) (m + 1).(m - 1) + (m + 1) - m i) (a + x) + (a - x).(a + x) - ax j) (xy - 1) - (1 - xy).(1 + xy) + xy 7 Simplifique as expressões: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno) a) x + (x - 1) - (x + 1).(x - 1) (x - ) + (x + ).(x - ).(x + ) - (x + 1).(x - 1) - (x + 1).(x + ).(x - ) - (x - 4) +.(x + 9).(x - ).(x + ) - (x + ) + (x - ) f) (x + 1).(x - 1) + (x + ).(x - ) - (x + ).(x - ) g).(x + y) - (x + y).(x - y) - (x - y) h) (a - x) + a.(a - x) - (a - x).(a + x) i) (x - y) + (x + y).(x - y) + xy j) (a - 1) - (a + ).(a - ) - (a + ) 8 Simplifique as expressões: (Esse exercício deve ser feito no seu caderno) a) (x + y).(x - y) + (x + y) (x - ) - (x - 5) (a + 1)(a - 1) + 5.(a - 1) + 5.(a - 1) + 1 (a - x) + (a - x).(a + x) - (a + x) + x (x + y) + (x - y).(x + y) - x y f) (a - + (b - a ).(b + a ) +.(a + g).(x - 1) +.(x - ) - 4.(x + 1).(x - 1) + 5. (x - 4) h) 4.(a - 8) - (a + 5).(a - 5) + 5.(a + 4) - 5.(a + 7) i) (a - x) + (a - x).(a + x) - (a + x) + 4ax j) 4.(x + ) - (x + ) - (x + ).(x - ) - x.(x + 6) - 8 Produtos Notáveis

35 5 Fatorar significa transformar em produto, isto é, em multiplicação. Estudaremos seis casos de fatoração: Fator Comum Agrupamento Diferença de Dois Quadrados Trinômio Quadrado Perfeito Trinômio do º Grau Casos Combinados de Fatoração Quando uma expressão algébrica (polinômio) apresenta um fator comum a todos os seus termos, podemos transformar num produto indicado onde um dos fatores é o fator comum e o outro é o quociente de cada termo pelo fator comum colocado em evidencia. Fatore as expressões: a) x + y.(x + y) 1ab - 18a 6a.(b - ) 0a 4 b + 50a b 4-0a b 7 10a b.(a + 5ab - b 5 ) Obs.: O fator comum literal é sempre a letra que aparece em todos os termos com o menor expoente. 1 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência: a) 9a + 9b x + x a b - ab x - x x + 4 f) y - y g) 4x y - 6xy h) 18mn - 7mn i) 5a - 5a j) 5x + x Fatoração

36 6 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência: a) ax 4 - x + 5ax 15x y + 0xy - 10x y a y + b y - c y 9ax + 1ay - 15az 9x - 6x + f) 10x - 15y + 0z g) x + 4x - 6x h) 6x 4-1x + 15x i) 15p q + 9p q - 18pq j) 4x 5-8x 4 + 1x Fatore as expressões, colocando os 4 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência: fatores comuns em evidência: a) x - 5x a) ax + ay 4x + x - y ax - mx a + b x + x bx + by x - x + x 7a - 7b f) a + a b f) ab + ac g) 4x - 6x g) x + x h) x 9 + x 6 - x 4 h) a - a i) x y + y i) x + xy j) x.(y + 4) -.(y + 4) j) ax 4-9ax + 15ax 5 Fatore as expressões, colocando os fatores comuns em evidência: a) 5x x - 10x m 5 - m 4a - 6a 1ax - 16ay f) ab + abc g) ab + a bc h) 9ax - 6a i) 5b - 5b j) ab - a b Fatoração

37 7 Para fatorar por agrupamento, aplicamos duas vezes o processo do fator comum. Separamos em grupos de dois termos, de modo que haja pelo menos um fator comum em cada grupo. Fatore as expressões: a) bx + x + by + y x + 5x - ax - 5a x.(b + ) + y.(b + ) x.(x + 5) - a.(x + 5) (b + ).(x + y) (x + 5).(x - a) mx - mc + 4x - 8c x + x + x + 1 m.(x (x - x.(x + 1) + 1.(x + 1) (x -.(m + 4) (x + 1).(x + 1) 1 Fatore, por agrupamento, as expressões: a) x 6 + x 4 + x + 1 ab + bc - 10a - 5c ab - ac + b - c x + y + bx + by ay + a + xy + x f) a + ab - ax - bx g) cy - y + cx - x h) x - x + 4xy - y i) ax + 5x + 6a + 15 j) ax + ay + x + xy Fatore, por agrupamento, as expressões: a) a b + b - a - ax + x + a + 1 kb + k - b - mx - my + 5x - 10y ax + bx + ay + by f) 5m - 4m + 10m - 8 g) xy x + 5y h) bx - x - b + 1 i) x + x - x - 1 j) p - pm + pm - m Fatoração

38 8 Fatore, por agrupamento, as expressões: a) ax + ay + 5x + 5y am - mb + 7a - 7b ax + bx + ay + by ax + 6x - ay - 6y ax + bx + ay + by f) am - bm + an - bn g) ay + a + y + y h) m + mx + mb + bx i) bx + by + x + y j) ay + a + xy + x 4 Fatore, por agrupamento, as expressões: a) a - a + ab - 6b am + bm - an - bn ap + px + a + x ax + bx - ay - by a + ab - ax - bx f) ab + bc - 10a - 5c g) 6p - 4pq - 9rp + 6rq h) mx - nx + m - n i) 5ax - 5a + bx - b j) p - 5p + 4p Fatore, por agrupamento, as expressões: a) m + m - m - 1 x - xy + xy - y mx - nx + m - n a + a + a + 1 ax + a + mx + m f) ax + x + a + x g) ab - y + ay - by h) ac - ad - bc + bd i) mp + mq + np + nq j) kx + ky + x + y Fatoração

39 9 Observe o produto: ( a +.(a a b. produto da soma pela diferença de dois termos diferença de dois quadrados Pelo que vimos (a +.(a - é a forma fatorada de a - b. Para fatorar uma diferença de dois quadrados, podemos usar a regra: 1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo. Achar a raiz quadrada do segundo termo. O resultado será o produto da soma pela diferença dessas raízes. Fatore as expressões. a) x - 5 (x + 5).(x - 5) a - 9 (a + ).(a - ) 4x - 16b 6 (x + 4b ).(x - 4b ) x y (xy + 1 ).(xy - 1 ) 1 Fatore as diferenças de dois quadrados: Fatore as diferenças de dois quadrados: a) x - 6 a) a x 4-1 x - y x x - 16 x b a - m n 4 4m - x x - y f) 49a - x y f) x 4 y 8 - y 6 g) a 4-9 g) 5a - 4b 4 h) x - 81 h) a x - y i) 6x 4 - y 6 i) x 6-64 j) 16x 6-5y 4 j) 4a - 9b 4 Fatore as diferenças de dois quadrados: 4 Fatore as diferenças de dois quadrados: a) a 4-4 a) p 6 - m a 4 b 6 6x - 49y x m 4 - n 6 5x - 16p 6 16p - 5q a - 1 4x - 1 x - 49 f) a - 5 f) 4a - 9b g) x - 4y g) x y 4 h) 4x - x 6 y h) 4p m - 11 i) x 6-9a 4 b 8 i) a 4 x - y j) 9 - x j) x - 16 Fatoração

40 40 5 Fatore as diferenças de dois quadrados: a) 4x - 49 f) x - y 4 a - 6 g) 9x a - 5b h) 1-5a a - 4b 4 i) x x 4-1 y j) 6x a 5 Vimos que: (a + a + ab + b ou (a - a - ab + b Então: a + ab + b tem para forma fatorada (a + a - ab + b tem para forma fatorada (a - Para fatorarmos um trinômio quadrado perfeito, temos que: 1 Achar a raiz quadrada do primeiro termo. Achar a raiz quadrada do último termo. O termo do meio deve ter o dobro do produto das raízes. 4 O resultado terá o sinal do termo do meio. Fatore as expressões. a) x + 10x + 5 a - 6a + 9 x x 5 5 a a 9. x. 5 10x. a. 6a x + 10x + 5 a + 6x + 9.(x + 5)..(a + ). 1 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: Fatore os trinômios quadrados perfeitos: a) a + ab + b a) 9m - 1mn + 4n x + 6x + 9 a - 8ab + 16b a + 8a + 16 a 4 + 0a m + 9m m + 4m + 4 x - 4xy + 4y x + x + 1 f) 4 + 1x + 9x f) x + 10xy + 5y g) 6a - 1ac + c g) 1-6m + 9m 6 h) 49p - 8pq + 4q h) 4x y + 0xy + 5 i) x + 10xy + 5y i) n - 10n + 5 j) a - 4ab + 4b j) x x Fatoração

41 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: 4 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: a) x - 14x + 49 a) a x 4-5ax + 6,5 5p + 0px + 9x x - 10x a m + 8am + 1 a + 4ax + 4x 9b - 6bc + c x - 8xy + 16y 16a a b + 49b 6 a - ax + x f) a - ax + x 4 f) y 4-1y + 6 g) 16b - 40b + 5 g) 9x + 1x + 4 h) 5x + 10x + 1 h) 5a + 10ax + x 4 i) 4a + 4a + 1 i) a + 5a j) x y + axy +,5a j) 9x + 4xy + 16y 5 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: 6 Fatore os trinômios quadrados perfeitos: a) y + y + 1 a) p - 8p 4a - 1ab + 9b x + 8xy + 16y x + 6x x - 4x + 5 x - 8x + 16 x + 1x + 6 4y + 4y + 1 m - 10mn + 5n f) 11a + 88a + 16 f) p + 4pq + 4q g) x 4-4x + 4 g) 49a + 8a + 4 h) 4a x - 4abx + b h) 6m - 60m + 5 i) m 8 + m 4 n + n 4 i) 16-40x + 5x j) 5x x + 9 j) b bc + c 9 41 Quando um trinômio não tiver as características de um quadrado perfeito, devemos verificar se ele pode ser fatorado com as condições de um trinômio do º grau. Para efetuarmos essa fatoração, precisamos saber as regras de sinais da adição e multiplicação. Veja os exemplos: 1) Fatore: x + 8x + 1. Vamos imaginar a expressão acima da seguinte forma: x + Sx + P, onde S significa SOMA e P, PRODUTO. Isto quer dizer que precisamos descobrir dois números que ao mesmo tempo em que multiplicados seja 1 e somados, seja 8. Fica mais fácil estabelecermos primeiro a multiplicação, pois existem poucos valores que satisfazem o que precisamos: São eles: 1 e 1 e 6 e 4 Agora os outros serão repetidos, só que ao inverso. Fatoração

42 4 Desses pares de números, vamos verificar aquele que ao somarmos ou subtraímos, encontraremos como resultado 8. Facilmente podemos descobrir que os números procurados são e 6. Vamos definir os sinais desses números. Como o produto é positivo, isso quer dizer que os números terão sinais iguais e como a soma é positiva, isso quer dizer que os dois serão positivos. Então podemos escrever que x + 8x + 1 (x + ).(x + 6). ) Fatore: x + 5x - 4. Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 4 e somados, iguais a 5. Estabelecendo primeiro a multiplicação, temos: 1 e 4 e 1 e 8 4 e 6 Dentre os números acima, vamos escolher o par em que somados ou subtraídos esses números, encontremos 5. Facilmente escolheremos e 8. Como o produto é negativo, isso quer dizer que os números têm sinais diferentes. Já a soma é positiva, isso quer dizer que o maior será positivo. Então podemos escrever: x + 5x - 4 (x - ).(x + 8). ) Fatore: x - 4x - 1. Vamos encontrar dois números que multiplicados sejam iguais a 1 e somados, iguais a 4. Encontrando primeiro a multiplicação, temos as opções: 1 e 1 e 7 Agora está bem simples a escolha. Os números são: e 7. Como o produto é negativo, os sinais são diferentes e a soma negativa, quer dizer que o maior tem que ser negativo. Então: x - 4x - 1 (x + ).(x - 7). Obs.: O processo da fatoração de um trinômio do º grau só é válido, quando o primeiro termo do trinômio, o que tem x, tiver coeficiente 1. 1 Fatore os trinômios do º grau: Fatore os trinômios do º grau: a) x + x + a) x + 4x - 5 y + 4x + y + 5y - 6 x + 5x + 4 x + x + x + 6x + 5 x + x - 10 m + 7m + 6 m + m - 18 f) a + 6a + 8 f) m - m - g) x + 8x + 15 g) x - x - h) x + x - h) x - 11x + 0 i) x + x - i) x + 7x + 1 j) m + m - 4 j) x + 7x + 10 Fatoração

43 Fatore os trinômios do º grau: 4 Fatore os trinômios do º grau: a) x - 7x + 6 a) x + x - 6 x - 6x + 8 x - 5x + 4 x - 9x + 14 x - 11x - 1 x + x - 1 m - 1m + 1 x - 9x + 18 x + 8x + 1 f) x - 9x + 8 f) a - a - 8 g) x - x - 1 g) y + 1y + 40 h) x + 4x - 1 h) x - 7x - 8 i) x + 7x - 8 i) x + x - 8 j) x - x - 15 j) x + x Fatore os trinômios do º grau: a) x - 8x + 1 f) x - x + x - 10x + 9 g) x - 4x - 5 x + 8x + 16 h) x - 10x + 4 x - 6x + 9 i) x - x - 1 x - x - 6 j) x - x - 4 Para se fatorar uma expressão é importante saber qual caso de fatoração aplicar. Segue abaixo orientações que o ajudarão na decisão do caso a ser usado. Se uma expressão algébrica tiver: Dois termos: Fator Comum Diferença de Dois Quadrados Três termos: Fator Comum Trinômio Quadrado Perfeito Trinômio do º Grau Quatro termos: Fator Comum Agrupamento Fatoração

44 44 6 Fatore as expressões: a) a + 4a x - 1 x - 18x + 81 a - ab + b 5y + y + 7y f) 6y - m g) x + 4xy + 4y h) a - 14a + 4 i) a + ab + a + b j) 4x - 6x 7 Fatore as expressões: a) y - 4ay + 4a m - 9n a - 4a + 4 a 4 - a b + b 4 ab + b + 7a + 1 f) a b + 6ab - 9ab g) a 4-9 h) x + 8x + 16 i) a - 5 j) p - 5p + 4p Fatore as expressões: a) 4x - 6x 6x + 8x 9 + 4a + 16a xy - y + 4x x - 5y 8 f) x + 10x + 16 g) ab + bc - 10a - 5c h) 4x - 5 i) a + ax + a + x j) 49x - 56x + 16 Fatoração

45 45 Muitas vezes a fatoração de um polinômio exige a aplicação de mais de um caso. Vamos fatorar expressões que exigem mais de um caso de fatoração. Fatore completamente as expressões: a) 4x - 16 fator comum 4.(x - 4) diferença de dois quadrados 4.(x + ).(x - ) polinômio fatorado a + 10a x + 5ax fator comum a.(a + 10ax + 5x ) trinômio quadrado perfeito a.(a + 5x) polinômio fatorado x 4 + 6x + 4x + 1x fator comum x.(x + x + x + 6) agrupamento x.[x.(x + ) +.(x + )] continuando o agrupamento x.(x + ).(x + ) polinômio fatorado a - 6a b trinômio quadrado perfeito (a - ) - b diferença de dois quadrados [(a - ) + b].[(a - ) - b] (a + b - ).(a - b - ) polinômio fatorado 1 Fatore as expressões: a) 5x - 5 ax - ay x - 6x + 9x m 4-1 a x - b x + a y - b y f) x - 6xy + y g) a x + ax + x h) x - 8x + 8 i) x + 8x + 16x j) 5x - 0x + 0 Fatoração

46 46 Fatore completamente as expressões: a) y - 14y x y 8 a b + b - a - a + a b 15ab + 10bc - 5 f) 5a + 0a b + 45ab g) 16a a b + 49b 6 h) ax - x + 5a - 10 i) 5a - 0a + 15 j) a - 7b 4 Fatore completamente as expressões: a) x - 7x 4-7 m - m y - y m 4 - m + mn - n f) ax - ax + bx - bx g) x - 4x + 4x h) a 4 b + ab 4 i) a + 1a + 18 j) a - 6ab + b 4 Fatore completamente as expressões: a) x + ax - bx - abx ax - axy + ay ab - ac + b - bc x - 1xy + 18y x - 4x + 4x f) a - ax g) 5x + 0x y + 45xy h) 5x y - 0 i) x - 4x + 6ax - 1a j) 1x - 60x + 75 Fatoração

47 5 Fatore completamente as expressões: a) 1x y - 6xy + 7y 4m - 100n 6ax + 4b + b x + 1a 6x - x + 1xy - 6y a a + a + 0a f) 8x - 4x + 18 g) 1a 4 x + 18a x h) x - 48x i) x - xy + x y - y j) ax - a + bx - b 47 6 Fatore as expressões: a) x - 4xy am - bm + 5a - 5b 9a - x 4 ax + 6x - 4a - 4 4x 6-9y 4 f) x y - y g) a - 0a + 50 h) ax - 6x + ay - 6y i) 1x + 84x + 7 j) xy + 9xz + 6x 7 Fatore as expressões: a) 5m + 0m ax - 6a + 5x a 6 + 1a 4 + 9a x 6 - x 4 y + x y bx - b + x - f) x 4-1x + 6 g) 4x - 48x h) x 4-5p i) 4x - 4 j) xy - 6y - x + Fatoração

48 48 Resolver todas as operações indicadas. Dada a expressão: (x - 6) - 4.(x - 4) + (x - ).(x + 6) + 5.(x - ) + (x + ) - 9.(x + 1) +. a) Simplifique a expressão. (x - 6) - 4.(x - 4) + (x - ).(x + 6) + 5.(x - ) + (x + ) - 9.(x + 1) +. x - 1x + 6-1x x + 6x - x x x + 6x + 9-9x x + x + x - 1x - 1x + 6x - x + 5x + 6x - 9x x - 18x + 7. Fatore completamente. x - 18x + 7.(x - 6x + 9)..(x - ). Calcule o seu valor numérico para x 8..(x - ).(8 - ) ) Dada a expressão: (x - ) -.(x - 5) +.(x + ) + 5.(x - 5). a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x. ) Dada a expressão:.(x - ).(x + ) -.(x - 5) + (x - 1) -.(x + ) + 5.(x + 4). a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x 1. ) Dada a expressão: 6.(x - 4) -.(x + ).(x - ) +.(x + 10) + x.(x - ) -. a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x. Fatoração

49 4) Dada a expressão: x.(4x - 5) - 7.(x + ) - (x - ) -.(x - ).(x + 4) + 15x. a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x ) Dada a expressão:.(5x + ) - (x - ).(x + 7) +.(x + 5) + (x + ).(x - )- 8.(x + 4). a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x ) Dada a expressão:.(x + 7) -.(x - ) + (x - ).(x + ) + (x + ).(x - 5) + x.(x - 4). a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x 5. 7) Dada a expressão: (x + 5) - 8.(x + ) -.(x - ) + x.(x - 7) + 6. a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x 7. 8) Dada a expressão:.(x - 5) - (x - ).(x + 4) +.(x - ) - 5.(x - 6) - 4.(x - 1). a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x 9. 9) Dada a expressão:.(x - 4).(x - 6) -.(x - ) + 5.(x - ) + 4.(x + ) +.(x - 5) + 1. a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x ) Dada a expressão: (x - 1) + (x + ).(x - ) +.(x + ) -.(x + 5) + (x + 4) + x. a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x. 11) Dada a expressão: 5.(6x + 19) +.(x - ).(x + 8) + (x - 5) +. a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x 5. 1) Dada a expressão:.(x - ) + 6.(x + 5) -.( - 7x) + 8. a) Simplifique a expressão. Fatore completamente. Calcule o seu valor numérico para x Fatoração