PRODUTOS NOTÁVEIS. Duas vezes o produto do 1º pelo 2º. Quadrado do 1º termo

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1 PRODUTOS NOTÁVEIS QUADRADO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) = + y + y Quadrado da soma de dois termos Duas vezes o produto do 1º pelo º Eemplo 1: a) ( + 3y) = +..(3y) + (3y) = + 6y + 9y. ) (7 + 1) = c) (a 5 +c) = 3 d) m + = 4 Quadrado do 1º termo Quadrado do º termo O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. QUADRADO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( y) = y + y Eemplo : 1) (7 4) = (7).(7) = ) (6a ) = 3) ( 3 y) = 1 4) p h = 5 Quadrado da diferença de dois termos Quadrado do 1º termo Duas vezes o produto do 1º pelo º Quadrado do º termo O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( + y). ( y) = y Soma dos termos Diferença dos termos Quadrado do 1º termo Quadrado do º termo O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. 1

2 Eemplo 3: 1) (3a + ). (3a )= (3a) () = 9a. ) ( + 5p). ( 5p)= 3) (10 a 4 ). (10 + a 4 )= 3 4) c. 3 c = 5 5 Eercícios. 1) Utilizando as regras dos produtos notáveis, calcule: a) ( + 3) ) (a + ) c) (5y 1) d) ( 6) e) ( + 7) f) (9 + 1). (9 1) g) (a y) 1 h) 3 y 6 i) ( + 3y) j) 1 y y 1 4 k) ( 3 y y 3 ) l) (3y 5) m) (5 + 8) n) (a + a ). (a a ) o) a. + a p) (10 a) q) (a 3 + 3a) r) (a 4 + a 4 ). (a 4 a 4 ) 1 s) t) 3 8 y 6

3 3 3 u) v) ( 3 + 3y ). ( 3 3y ) CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS ( + y) 3 = y + 3y + y 3 Cuo da soma de dois termos Cuo do 1º termo Três vezes o produto do quadrado do 1º pelo º Três vezes o produto do 1º pelo quadrado do º Cuo do º termo O cuo da soma de dois termos é igual ao cuo do primeiro, mais três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, mais o cuo do segundo. Eemplo 4: Efetue: a) (a + ) 3 = ) ( + 4) 3 = c) (a + y) 3 = CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS ( + y) 3 = 3 3 y + 3y y 3 Cuo da diferença de dois termos Cuo do 1º termo Três vezes o produto do quadrado do 1º pelo º Três vezes o produto do 1º pelo quadrado do º Cuo do º termo O cuo da diferença de dois termos é igual ao cuo do primeiro, menos três vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo, mais três vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo, menos o cuo do segundo. Eemplo 5: Efetue: a) (a ) 3 = ) ( 4) 3 = c) (a y) 3 = 3

4 FATORAÇÃO Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números. Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocálo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se otém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum. Diferença de Quadrados Considere o polinômio y. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença de quadrados é o resultado de ( + y).( y). Portanto, y = ( + y).( y). Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima. Eemplo 6: Fatore 5. Como 5 = 5, 5 = 5 = ( + 5)( 5). Trinômio Quadrado Perfeito O polinômio +y + y é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque tem três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de ( + y), ou seja, é o resultado de ( + y). Outro trinômio quadrado perfeito é y + y, que é o resultado de ( y). Assim, temos mais dois polinômios que saemos fatorar: + y + y = ( + y) y + y = ( y). Eemplo 7: a) Fatore Neste caso e 36 são quadrados e suas ases são e 6 e, além disso, 1 =..6. Assim, = ( + 6). ) é um quadrado perfeito? Ora, 9 = (3) e 5 = 5. Mas,.(3).5 = 30. Logo, não é um trinômio quadrado perfeito. c) Fatore 6 3 y + y. Nesse caso, 6 = ( 3 ) e y = (y) e. 3.y = 3 y. Logo, 6 3 y + y = ( 3 y). 4

5 Eercícios: ) Fatore as seguintes epressões: a) 4 ) y 36 c) 9 16 d) e) y 5 f) 4 5a g) h) i) j) k) + 1 l) m) 16y 4 n) 5m + 0m + 4 o) ) Oserve a fatoração seguinte: a 4 1 = (a + 1)(a 1) = (a + 1)(a + 1)(a 1) Agora, decomponha num produto de três fatores. a) 4 1 c) 0 81 ) 81a 4 1 d) ) Efetue as divisões seguintes, fatorando o dividendo a) c) 7 (5 1) 16 ) d) ) Simplifique e efetue

6 FATOR COMUM Vamos efetuar essa multiplicação: 3(y + 3z + ). 3(y + 3z + ) = 3y + 9z + 6. Agora, queremos fatorar 3y + 9z + 6. Oserve que em 3y + 9z + 6, o termo 3 está presente em todos os monômios, isto é, ou seja, 3y + 9z + 6 = (3)y + (3).3z + (3)., 3y + 9z + 6 = 3.(y + 3z + ). Ao fazer isso, dizemos que 3 foi colocado em evidência. Quando todos os termos de uma epressão algérica têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Eemplo 8: a) Fatore O fator comum é. Assim, colocando em evidência, temos: = (3 + 4). ) 14y 1z c) 33y 44 y + y d) 4a + 6a + 4a 3 FATORANDO POR AGRUPAMENTO Vamos fatorar a + ay + + y. Neste caso, não temos um fator comum a todas as parcelas. No entanto, a é o fator comum às duas primeiras parcelas e é o fator comum às duas últimas. Por isso, podemos separar a epressão em dois grupos e, colocar em evidência o fator comum de cada grupo: a + ay + + y = a( + y) + ( + y) Agora, cada parcela do memro tem o fator comum ( + y). Colocando ( + y) em evidência, otemos: a + ay + + y =( + y).(a + ) Fatoração por Agrupamento Para fatorar uma epressão algérica por agrupamento formamos grupos com os termos da epressão; em cada grupo, colocamos os fatores comuns em evidência; colocamos em evidência o fator comum a todos os grupos (se eistir). 6

7 Eemplo 9: a) Vamos fatorar ay + y a. ay + y a = + y ay a = ( + y) a(y + ) = ( + y)( a) ) y 3 5y + y 5 c) + ay + y + a d) y 3 3y + 4y 1 e) a + 3a 3 Colocando o fator comum em evidência, fatore cada um dos seguintes polinômios: a) 6 + 6y 3 a a a ) a 3 + 3a j) + + c) d) 15a + 10c l) a + a a e) y y + y 8 4 f) m) y + y g) 35a 4 m a 3 m h) a 0a + 50 n) 10ay ay 40ay i) y + y 3 o) 18mn + 30m n + 54mn Eercícios: 6) Fatore os seguintes polinômios: a) cy y + c ) a + a c) + 4y y d) am + m + a +1 e) 3 + y + a + ay f) a 3 + a 3 y a a y g) y 1 y 8 + y 4 1 h) a a + a + 0 i) a + 9a 9 j) 6an + n + 1a + a a 1 1 k) l) m + mn + p + pn ) Fatore 3 a 3 + 3a. 3 a 3 + 3a = ( a) + 3(a ) Oserve que a epressão (a ) é a oposta de ( a), isto é, a = ( a). Então: ( a) + 3(a ) = ( a) 3( a) = ( a)( 3) 8) Fatore: a) a + ay y ) a 4a c) a + a d) a y a 3 + 3a 3y 9) Simplifique as seguintes epressões: a) 4 ) 5( + ) 3y( + )

8 10) Vamos ver outro caso de fatoração. Primeiro oserve: ( + )( + 5) = = Então, para fatorar procuramos dois números de soma 7 e produto 10. Por tentativas, vemos que esses números são e 5. Portanto, = ( + )( + 5) Agora, vamos fatorar: a) d) ) e) c) f) 6 SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU MÉTODO DA SUBSTITUIÇÃO: + y = 81 Eemplo 1: Resolver o seguinte sistema. y = 35 Resolução: 1 passo: Isolar uma incógnita. Vamos isolar a incógnita na primeira equação. (você pode escolher qualquer equação e isolar qualquer incógnita) + y = 81 = 81 y passo: Sustituir a incógnita isolada. Na segunda equação sustituímos a incógnita por 81 y. y = 35 (81 y) y = 35 3 passo: Resolver a equação numa só incógnita. Resolvemos a equação otida: (81 y) y = y y = y = 35 y = y = 46 = 3 8

9 4 passo: Encontrar o valor da incógnita isolada no início. Ao isolarmos, vimos que = 81 y. Sustituindo o valor de y = 3 em = 81 y, otemos o valor de : = 81 y = 81 3 = 58 A única solução do sistema é S = {(58,3)} y = Eemplo : Resolver o sistema. 4 y = 6 Resolução: 5 Isolando uma incógnita: y =. 3 Sustituindo a incógnita isolada em outra equação: 4 y = = 6 4 Calculando a incógnita isolada no início: = = 1. A única solução do sistema é S = {(1, 1)}. 5 y = y = 3 = = y = 1. 3 MÉTODO DA ADIÇÃO + y = 81 Eemplo 3: Resolver o seguinte sistema. y = 35 Resolução: Oserve que a primeira equação tem o termo +y e a segunda equação tem o termo simétrico y. Esse fato permite-nos oter uma só equação sem a incógnita y, somando as duas equações memro a memro. + y = 81 y = = = 116 = 58. Agora, é só sustituir o valor de numa das equações do sistema: + y = y = 81 y = y = 3 A única solução do sistema é S = {(58,3)} 9

10 5 + 3y = Eemplo 4: Resolver o sistema. 4 y = 6 Neste caso, seria inútil somar imediatamente as equações. Como não há termos simétricos, nenhuma incógnita desaparece. Mas, podemos oter termos simétricos. Para isso, asta multiplicar amos os memros da primeira equação por e multiplicar amos os memros da segunda equação por y = y = 4 4 y = 6 1 6y = 18 Agora temos os termos simétricos +6y e 6y. Por isso, vamos somar as duas equações, memro a memro y = 4 1 6y = = + 0 = = 1. Agora, é só sustituir o valor de numa das equações do sistema: 5 + 3y = y = 3y = 5 y = 3/3 y = 1. A única solução do sistema é S = {(1, 1)} Eercícios. 1) Usando o método algérico da sustituição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações: a) ) + y = 17 y = 5 + 5y = 18 = 60 y y = c) 3y = y = d) 4 y = 3 y + = e) 10 = (y + ) 3( + y) 5( y) = 0 f) 3 = 5y + 10

11 ) Usando o método algérico da adição, determine a solução de cada um dos seguintes sistemas de equações: a) + y = 1 y = y = 13 ) 5 y = 1 3y = 3 c) 3 + y = 37 y + = e) 3 y 7 = ( + 1) 3(y + ) = f) y 1 = 4 5 d) 3 + 7y = 1 + y = 5 EQUAÇÕES DO º GRAU Uma equação do grau na variável é toda equação da forma: a + + c = 0, onde a, e c são os coeficientes da equação, representado por números reais, com a 0. Considere a resolução das seguintes equações do grau: 1) 7 = 0. ( 7) = 0 = 0 ou 7 = 0 = 0 ou = 7. S = { ε R = 0 ou = 7}. ) 5 = 0. = 5 = ± 5. S = { ε R = 5 ou = -5}. 3) = 0. ( 5) = 0 = 5. S = { ε R = 5}. 4) = = = 4 ( 3) = 4 3 = ± = 5 ou = 1 S = { ε R = 5 ou = 1}. 5) = = = = 16 ( 5) = 16 5 = ± 4 = 9 ou = 1. S = { ε R = 9 ou = 1}. 11

12 Agora, considere a equação geral do grau na forma normal Dividindo por a, tem-se: ou: ou, ainda: O termo do meio, a + + c = 0, com a 0. a + + c = a a c + + a a a = 0 a 0 a c +. + = 0. a a., pode ser escrito como... Assim, a equação ficará: a a c = 0 a a Para completar o quadrado, deve ser adicionado equação. Assim, ela fica: +.. ou, ainda, pode ser escrita como: ou, ou, ou, a a a a + + a a = = 4a + a c a c a = = a = c a a a 4a c a 4ac em amos os lados da ou, ou, + a = = = ± a ± ± 4ac a 4ac a 4.a.c a 1

13 A fórmula de Bhaskara Na equação do grau, a + + c = 0, indica-se 4ac por Δ. Quando Δ < 0, a equação não tem soluções reais. ± 4.a.c Quando Δ 0, as soluções são otidas pela fórmula: =. a Eercícios: 1) Resolva as seguintes equações incompletas do º grau: a) 1 = 0 ) + = 0 c) = 0 d) 50 = 0 ) Resolva as seguintes equações do º grau, etraindo raiz quadrada: a) ( 10) = 36 ) ( + 5) = 4 c) ( 3) = 49 d) ( + 5) = 16 3 e) ( 3) = 16 f) = 4 g) = 81 3) Resolva as seguintes equações, usando a mesma metodologia do eercício, transformando uma parte delas em um trinômio quadrado perfeito. a) 15 = 0 ) = 0 c) = 0 d) 6 = 40 e) = 0 13

14 f) = 0 g) = 0 h) = 0 i) = 0 4) Resolva equações do grau, usando fórmula de Bhaskara: a) = 0 ) = 0 c) = 0 d) ( + 4)( 1) + = 5( 1) e) (3 1) + ( 5) = 6( + 3) f) ( 3)( + 4) 10 = (1 )( + ) 5) O número real somado com o doro de seu inverso é igual a 3. Escreva na forma normal a equação do grau que se pode formar com os dados desse prolema. n ( n 3) 6)O número de diagonais de um polígono pode ser otido pela fórmula d =. Se d = 5, escreva, na forma normal, a equação do grau na incógnita n que se pode oter. 7)Dividindo o número 105 por um certo número positivo y, o quociente otido é eato e supera o número y em 8 unidades. Escreva a equação na forma normal que se pode formar com os dados desse prolema. 8)Em um retângulo de área 9 m, a medida do comprimento é epressa por ( + )m enquanto a medida da largura é epressa por ( 6)m. Nessas condições, escreva na forma normal a equação do grau que se pode formar com esses dados. 9) Um quadrado cuja medida do lado é epressa por ( 1)cm tem a mesma área de um retângulo cujos lados medem ( + )cm e ( + 3)cm. Nessas condições, escreva, na forma normal, a equação do grau que se pode oter com esses dados. FATORAÇÃO DO TRINÔMIO DO º GRAU Alguns tipos de epressões algéricas tais como diferença de quadrados da forma 49 ou trinômio quadrado perfeito, podem ser decompostos como ( 7)( + 7) ou ( + 5). Agora, veremos como as epressões do tipo a + + c = 0, com a 0, que são chamadas de trinômios do º grau são fatoradas. Para isso, consideremos o seguinte eemplo. 14

15 Eemplo 1: Consideremos a multiplicação de ( 3) por ( 5). ( 3)( 5) = = O lado esquerdo da igualdade pode ser visto como forma fatorada e o lado direito a forma não-fatorada. Assim, ( 3)( 5) e são epressões iguais. Na epressão ( 3)( 5), é fácil ver o que acontece quando sustituímos = 3 ou = 5: otém-se o resultado zero. Por isso dizemos que 3 e 5 são os anuladores de ( 3)( 5). Logo, 3 e 5 são tamém anuladores de Ou seja, para esses valores de, deve-se ter = 0. Então, os números 3 e 5 podem ser encontrados com a fórmula de Bhaskara: Δ = ( 8) ( 8) ± 4 8± = = 4; = =, isto é, = 3 ou = 5. Oserve então a fatoração de : = ( 3)( 5). Logo, generalizando, tem-se: Todo trinômio do º grau a + + c = 0, com Δ 0, pode ser fatorado assim: a + + c = a( 1 )( ) em que 1 e são as soluções de a + + c = 0. OBS.: O trinômio de º grau a + + c = 0, com Δ 0, não pode ser fatorado. Eemplo : Fatore o trinômio do º grau Solução: Inicialmente determinam-se os anuladores de Usando a fórmula de Bhaskara, temos: Δ = ( 6) ( 6) ± 4 6± = 36 3 = 4; = =, isto é, = 4 ou =. Então, = a( 1 )( ) = 1( 4)( ) = ( 4)( ). Você pode conferir, efetuando ( 4)( ) e verificando se otém Eemplo 3: Fatore o trinômio do º grau Solução: Inicialmente determinam-se os anuladores de Usando a fórmula de Bhaskara, temos: Δ = ( 6) ( 6) ± 0 6± = = 0; = =, isto é, 1 = = Então, = a( 1 )( ) = 3( 1)( 1) = ( 1). Você pode conferir, efetuando 3( 1) e verificando se otém Eercícios. 1) Fatore, quando for possível: a) ) 3 10 c) d) e) + 6 f) g) 4 4 h) i) 1 j) k) l) 8 15

16 ) Simplifique a epressão: + 6 a) ) 5+ 4 d) e) c) f) ) Qual é o valor da epressão para = 98? EQUAÇÕES FRACIONÁRIAS Equação fracionária é toda equação que tem pelo menos uma variável no denominador de uma fração algérica. Por eemplo, = é uma equação fracionária. 4 6 Eercícios. 1) Resolva a equação: 1 a) + = 1 3 ) = c) + = d) = e) = f) = 16

17 g) = h) = i) 4 + = 1 ( ) 8 j) 1 + = 4 ( 4) k) 1+ = 3 ( )( 3) l) 4 3 = ( + )( + 1) + 1 m) + = n) + = FUNÇÕES TRANSCENDENTAIS 1 Função Eponencial Suponha que atualmente a dívida de um certo município seja de 1 milhão de dólares e que, a partir de hoje, a cada década, a dívida dore em relação ao valor devido na década anterior. Dessa forma, podemos construir a taela a seguir, na qual o tempo zero indica o momento atual: Tempo (em décadas) Dívida (em milhões de dólares)