Matemática Aplicada à Farmácia

Transcrição

1 Matemática Aplicada à Farmácia. FUNÇÕES MATEMÁTIAS Este conteúdo é em geral ministrado na 5ª e 6ª séries do ensino fundamental, e aprimorado no ensino médio. Apesar da simplicidade é ele que nos proporcionará a ferramenta ásica para compreender o funcionamento de sistemas mais compleos. O que é uma função matemática? Uma função nada mais é do que uma relação entre dois conjuntos de elementos diferentes onde a ligação entre estes elementos é dada através de uma epressão matemática que funciona como uma lei que diz como este relacionamento é estaelecido. Eemplo 1: Na figura ao lado vemos dois conjuntos A e B e, para cada elemento de A eiste um correspondente em B. A correspondência é dada pela epressão: F() 5 (lei de relação) Então se eu fizer o 6 tem que: F(6) Então o correspondente de 6 do conjunto B será o 1 no conjunto A. O conjunto B no eemplo recee o nome de domínio e o conjunto a recee o nome de imagem. Para que seja uma função para cada elemento do domínio deverá haver um elemento na imagem. Pode ocorrer que os elementos do domínio possuam o mesmo elemento na imagem chamamos isso de função constante, entretanto o contrário não é possível. Eiste muito mais a respeito deste assunto, porém só a noção ásica é de interesse neste momento. Por interesse próprio não é perda de tempo aprender mais sore isso. Por fim, no plano cartesiano, F() será o eio Y e o eio X do gráfico..1 Potenciação e radiciação Este conteúdo é em geral ministrado na 5ª e 6ª séries do ensino fundamental, e aprimorado no ensino médio. Muitas aplicações em laoratório e por consequência na área de saúde dependem do uso e aplicação direta destas funções matemáticas. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 11

2 .1.1 O que é potenciação ou eponencial: Inicialmente vemos o prolema em querer multiplicar o mesmo número por ele mesmo, várias vezes, como por eemplo: 16 Note que a ase da conta é o número que é multiplicado por ele mesmo quatro vezes resultando em 16. Na representação de potência o número de vezes que o elemento será multiplicado por ele mesmo recee o nome de epoente. Logo, reescrevendo a conta acima em forma de potência de ase dois, temos que: O que a radiciação: A raiz é um eponencial fracionário. Agora o prolema é descorir qual o número que multiplicado por ele mesmo quatro vezes resulta em 16? Oserve que é eatamente o processo contrário do que foi feito na potência. O símolo utilizado chama-se radical, o número indicando o número de multiplicações que desejamos tamém se chama epoente, e o que está dentro do radical se chama radicando. Uma raiz pode ser escrita sore a forma de potência seguindo a regra: a a Eemplo : Se amas são operações inversas uma da outra, para um caso de uma igualdade, tem se que: ± ± negativo. Na passagem sempre haverá duas possiilidades, o valor positivo e o valor.1. Regras de potenciação e radiciação: O om fato de amas as situações poderem ser tratadas da mesma forma nos proporciona uma vantagem nas regras. Elas são válidas para amas as situações. O gráfico da função relacionada a raiz será sempre semelhante ao gráfico ao lado. f ( ) Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 1

3 Qualquer número elevado a zero é igual a Mas 0 1 / não pode eistir, pois não eiste divisão pro zero. Assim como não é um número real. Multiplicando potências de mesma ase repetimos a ase e somamos os epoentes: Dividindo potências de mesma ase repetimos a ase e sutraímos os epoentes: Dos resultados acima se tem que: O que mostra que qualquer potência escrita em forma de fração pode ser reescrita de forma não fracionária apenas trocando o sinal do epoente A potência elevada a uma potência é igual ase elevada a multiplicação das potências pois: De forma análoga pra radiciação se tem que: 4 ( 10 ) (10 10) Os resultados acima mostram que a raiz da raiz ou o epoente do epoente sempre será simplificado pela multiplicação de amos os epoentes. A potenciação de radicais resulta em: 3 3 ( ) Logo o epoente de fora passa para dentro do radicando elevando todo o radicando. Na divisão de radicais, divisão de potências ou radicais de mesmo epoente, a regra é a mesma para a situação: Logo, ( ) ( ) ou tamém é válido dizer Para o caso em que os epoentes sejam diferentes é possível fazer uma mudança de epoente de forma que eles fiquem iguais. O novo epoente deve ser divisível por amos epoentes anteriores No eemplo aaio 3/6 e /6 3 e com isso fazemos a troca. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 13

4 log0 /. Logaritmos e eponencial O logaritmo é a função inversa do eponencial. O gráfico ao lado mostra o comportamento de amas as funções. N Y log Y N Neste caso, significa dizer que o resultado é eatamente quantas vezes a ase deve ser multiplicada para que se otenha o valor do logaritmando L. f ( ) e f ( ) ln( ) log ase L N..1 Bases especiais Eemplo 3: Qual o resultado de log pois Note que é o valor determinado é log na 10 verdade 100? o epoente da ase para que de o logaritmando 100 como resposta, ou seja: A ase 10 é a ase mais comum e em geral tendemos sempre a usar esta ase. O logaritmo fica escrito como: log 10 log Eiste uma potência especial denominada eponencial natural cuja ase é dada em termos do número de Euler 1 e, 7188 ficando escrito como: e s Valor Da mesma forma a ase especial é aplicada ao logaritmo natural denominado logaritmo neperiano que escrito como: log e ln.. Regras de logaritmos Algumas definições importantes para o logaritmo: log log 1 Os.: Dizer que log 0 / é verdade. Por que não faz sequer sentido? O logaritmo de um número cuja ase é o mesmo número terá sempre como resultado 1 A multiplicação de logaritmandos da multiplicação e a soma dos logaritmos em mesma ase. log ( ) log + log A divisão de logaritmandos e a sutração dos logaritmos em mesma ase. log log log 0 1 Homenagem a Leonard Euler matemático suíço. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 14

5 Mudança em série: desejado. O logaritmando elevado a um epoente é igual ao log multiplicado pelo epoente para todo real. log ( ) log Daqui é otido um importante resultado: A mudança de ase pode ser realizada de duas formas: log X log log a X log X ln X Mudança por produto: log X. log log ln a X log a a neste modo a ase assume o valor Nesta situação, independente da ase escolhida o resultado será sempre o mesmo. Agora pense: Sendo a idéia principal da mudança de ase simplificar o prolema, então procure escolher uma ase que na mudança seja eatamente o logaritmando, pois isso resulta em Táua de logaritmos Uma rápida ferramenta é a táua de logaritmos (Apêndice B). A leitura pode ser feita facilmente pensando nas seguintes propriedades: 1) log ( a ) log a + log n ) log log log10 N N 3) log ( a 10 ) N + log a resultado? Eemplo 3: Deseja-se determinar pela taela o logaritmo de 5,11, qual o Os valores na taela sempre correspondem a mantissa numérica (valores após a, ). A coluna N da taela indica os primeiros algarismos, e a linha N indica o último algarismo. om isso, conforme a figura aaio, a mantissa pode ser lida: O mesmo pode ser feito para outros valores, como por eemplo: Oserve que usando as propriedades e a escrita em notação científica, o valor somado a frente da mantissa sempre será o epoente da ase 10. Assim a taela pode mostrar valores para todos os logaritmos possíveis. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 15

6 .3 Porcentagem É um valor adimensional otido ao aplicarmos uma taa percentual a um determinado valor que pode representar acréscimos ou reduções em números, quantidades, preços entre outras grandezas tomando como ase um valor de referência equivalente a 100 unidades..3.1 Razão entesimal É uma quantidade que representa uma fração de um número em relação a 100 unidades. A razão centesimal é tamém denominada taa centesimal ou taa percentual. Eemplo 5: Determine a taa percentual dos valores 7, 16, 15, e 10: Solução: Os valores percentuais estão em relação a quantidade de 100 unidades, logo: om isso, estes valores são:.3. Percentual relativo Percentual relativo refere-se a um valor percentual adimensional que significa a razão de uma quantidade sore um determinado valor tido como sendo o 100%. Eemplo 6: Qual o percentual relativo da população do Espírito Santo ( haitantes) em relação à população de São Paulo ( haitantes)? (Fonte dados IBGE 00) Solução: onsiderando a população de SP como 100%, temos: Percentualrelativo , ,47% Logo a população do ES representa aproimadamente 4,47% da população de SP. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 16

7 .4 Regra de três simples.4.1 Proporção Para entender regra de três é necessário entender proporção. Proporção é a igualdade entre duas razões. Para simples eemplo, veja que: 4 Se resolvida a igualdade entre as razões acima, será otido como resultado o que significa dizer que as razões que conduzem ao mesmo resultado são proporcionais. A igualdade por proporção é lida da seguinte forma: está para 4 assim como 1 esta para. Para efeito de estudo denominaremos nossa proporção da seguinte forma: A B Eistem algumas propriedades importantes de proporção: 1 D 1ª Propriedade fundamental: O produto dos etremos é igual ao produto dos meios. A B D ª Propriedade fundamental: A soma ou a diferença entre os numerador e quociente do primeiro termo está para o numerador do primeiro termo assim como a soma entre o numerador e quociente do segundo termo está para o numerador deste segundo termo. A D B A A ± B ± D B D A 3ª Propriedade fundamental: A soma ou a diferença entre os numerador e quociente do primeiro termo está para o numerador do primeiro termo assim como a soma entre o numerador e quociente do segundo termo está para o numerador deste segundo termo. A B D A + B + D Eemplo 5 Foram pagos por 1kg de carne o valor de R$15,00 e com R$5,00 teria comprado kg. As razões entre os preços e quantidades podem ser considerados proporcionais? Resolução: Para que sejam considerados proporcionais, amos os termos da igualdade devem resultar no mesmo valor. Logo, estaelecendo a relação entre os termos: R $15 $5 R 15 1,5 1 Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 17

8 omo o resultado otido para cada lado da igualdade não é igual não há correspondência na igualdade. Os preços em relação a quantidade não são proporcionais: Eemplo 6 Somados dois números o resultado é igual a 40. Sae-se que um deles está para 5, assim como o outro está para 7. Quais são estes números? Resolução: O prolema diz que eistem dois números desconhecidos, X e Y e que a soma de amos é 40. Aplicando a terceira propriedade de igualdade, temos que: Logo: X 0 X 5 X 5 Y X 5 Os números procurados são 100 e Y Y 0 Y Regra de três simples A regra de três simples é uma ferramenta matemática utilizada para solucionar prolema envolvendo quatro variáveis sendo que três destas variáveis possuem valores conhecidos e o quarto valor deseja-se determinar. omo solucionar a regra de três: i) Agrupar os valores separando as grandezas idênticas na mesma coluna de agrupamento e de espécimes diferentes em linhas. Velocidade Tempo A B ii) Verificar a proporcionalidade entre as grandeza. Estas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais. Esta deve ser indicada com uma seta. Velocidade Tempo A B iii) Montar a equação tomando o cuidado de inverter um dos lados caso haja uma proporção inversa. A B Eemplo 7: om uma área de asorção de raios solares de 1, m, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 W por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5 m, qual será a energia produzida? Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 18

9 Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: Área [m ] Energia [W.h] 1, 400 1,5 Analisando as informações do teto, é oservado que aumentando a área de asorção a produção de energia aumentará. Este fato demonstra que a relação entre as diferentes grandezas é diretamente proporcional. Logo a equação ficará montada de forma idêntica a taela. Resolvemos a igualdade acima isolando a variável em um dos memros e chegando a solução desejada. omo resposta é encontrado o valor de 500 W confirmando a idéia de que a energia deve aumentar. Eemplo 8: Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400 km/h, faz um determinado percurso em 3 h. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480 km/h? Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: Velocidade [Km/h] Tempo [h] Analisando as informações do teto, é oservado que aumentando a velocidade o tempo de viagem necessariamente deverá ser menor. onclui-se então que as grandezas são inversamente proporcionais e ao equacionarmos o prolema deveremos inverter um dos lados da igualdade. Logo, o tempo desse percurso seria de,5 h ou h e 30 minutos, novamente o resultado mostra que a idéia inicial da redução do tempo é confirmada. Eemplo 9: omprando 3 camisas é pago R$10,00. Quanto será pago se forem compradas 5 camisetas do mesmo tipo e preço? Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: amisas Valor [R$] Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 19

10 Analisando as informações do teto, é oservado que quanto maior a quantidade de camisas maior será o valor pago. Logo são grandezas diretamente proporcionais. Estaelecendo a equação: Logo, o preço pago pelas 5 camisas será de R$00,00. Eemplo 10: Uma equipe de operários, traalhando 8 horas por dia, realizou determinada ora em 0 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo traalho? Solução: Para compreender o prolema é montada uma taela: Horas por dia Prazo para término (dias) Oserva-se que uma redução no número de horas traalhadas por dia resulta em um aumento de dias a serem traalhados. Logo são eventos inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 0

11 APÊNDIE A: Eercícios resolvidos. 1) Resolva de forma a determinar o valor de : a) log 16 Resolução: Sendo É verdade que se log N N tem-se que log a a o que leva a conveniência de encontrar a mesma ase 4 para a potência para poder resolver o prolema. om isso, fatoramos 16 e 4 sustituindo no lugar do valor fatorado, log 16 4 como resposta. ) Resolução: Fatorando 3375 tem-se que: Logo, c) ( ) ) Um determinado grupo de actérias cresce eponencialmente conforme a função: N( t) N Determine o número de actérias N após decorrido um tempo de 15 minutos saendo que o número inicial de actérias é cerca de N o5 mil actérias: Resolução: As actérias tem a sua reprodução em caráter eponencial que em geral é dado funções do tipo a que é fornecida pelo prolema. A solução para este prolema é encontrar o valor N(t) para t15min. om isso, sustituindo os valores dados no prolema, se tem que: ,5 3 N( t) N 0 e 5 10 e 5 10 e , Logo em apenas 15 minutos as actérias chegarão ao númeor de 408,45 actérias. Danadinhas elas!!! t e t ,45 3)Dois números somados totalizam 510. Sae-se que um deles está para 8, assim como o outro está para 9. Quais são os dois números? Resolução: Dois números são números desconhecidos, logo os chamaremos de X e Y. O Prolema diz que um deles está para 8 e outro para 9, isso indica uma proporção entre eles. omo não saemos quais são X e Y e estes são apenas nomes que demos a valores que não conhecemos, tanto faz quem esta para 8 ou quem esta para 9 logo são por igualdade proporcionais. Sendo estes valores proporcionais, é possível dizer que em proporção, a soma dos quocientes é igual à soma dos numeradores, logo: X Y X + Y O prolema afirma que a soma de X+Y 510 isso facilita tudo, pois podemos sustituir pelo Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 1

12 valor dado: Temos então que; X 8 Y 9 X Y om isso por igualdade podemos dizer que; Y 30 X X 8 30 X ) Foram vendidos 50% de 50 ojetos. Quantos ojetos foram vendidos? Para solucionar esse prolema aplica-se a taa percentual (50%) sore o total de ojetos: % em 50ojetos 50 5 ojetos Logo 5 ojetos foram vendidos. 5) Determine 10% de ) Determine 5% de 00kg. Logo, 50kg é o valor correspondente a 5% de 00kg 7) Ao comprar um produto que custava R$ 1.500,00 otive um desconto de 1%. Por quanto acaei pagando o produto? Qual o valor do desconto otido? Resolução: Inicialmente, calculo o valor do desconto otido sore o valor inicial: 1.500,00 0,1 180,00 Fazendo a diferença entre o valor inicial e o desconto tem-se: 1.500,00 180, ,00 O valor procurado do desconto é R$ 180,00 e o valor pago é R$ 1.30,00 7) Um jogador de futeol, ao longo de um campeonato, corou 75 faltas, transformando em gols 8% dessas faltas. Qual a quantidade de gols de falta esse jogador fez? O jogador marcou 6 gols de falta. 8) Dos 8 irmãos que possuo, apenas 1,5% são mulheres. Quantas irmãs eu possuo? Resolução: O valor 8 é o total e equivale a 100% estaelecemos a proporção tem-se que: Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino

13 8 100% 1,5% 1, ,04 omo não é possível ter 0,4 de uma irmã, eiste apenas 1 irmã. 9)Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com m de altura. Traalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro? Resolução: Iniciando pela montagem da taela, verifica-se que se aumentar o número de pedreiros reduz o número de dias para a construção chegar ao fim, em contrapartida aumenta a possiilidade de construir muros maiores. Logo: edreiros Altura Dias Montando a proporção e resolvendo a equação temos: Logo, para completar o muro serão necessários 1 dias. Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 3

14 APÊNDIE B: Táua de logaritmos decimais. N N N N N N Prof. M.Sc. Reginaldo Rieiro de Aquino 4