Funções EXERCÍCIOS ( ) ( )

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1 Funções Quando relacionamos grandezas variáveis, onde variando uma interfere no valor de outra, estamos trabalhando com conceito de função. Por eemplo, um taista abastece seu carro no posto de combustível e sabe que o preço (variável ) que irá pagar depende diretamente do preço da gasolina e do número de litros (variável ) que irá colocar no tanque de seu carro. Se, num determinado posto, a gasolina está a R$,50 o litro, podemos criar uma tabela, como segue: Volume () em litros Preço () em reais,50 5,00 7,50 10,00 1,50 Logo, o preço a ser pago é função do número de litros, onde matematicamente fica: =,50 E através da função =,5 podemos calcular o valor de qualquer volume, em litros. Dizemos que é a variável dependente e a independente, porque o valor pago depende do volume em litros que o carro é abastecido. Outro eemplo: Uma formiga, próima a uma trena de 10 metros, encontra-se na posição,45 m e desloca-se na direção da posição 10 m paralelamente à trena. Um observador mede o tempo que a formiga leva para ir da posição,45 m até a posição 7,85 m. Esse tempo foi de 3 segundos. Dividindo o deslocamento (7,85,45=) pelo tempo 3s, obtém-se a velocidade média da formiga. Ou seja, Se considerarmos que a posição inicial,45 m e a velocidade média 1,8 m/s são valores fios podemos escrever a função: =,45 + 1,8 t onde é a posição da formiga num determinado tempo e t é o instante em que a formiga encontra-se em determinada posição. Assim, temos uma função matemática onde podemos estudar o movimento da formiga, sendo a variável dependente de t. Chamamos t de variável independente. Se quisermos saber onde chegaria a formiga ao completar 5 s de movimento, bastaria fazermos =,45 + 1,8 (5) = 11,45 m. Não precisamos ficar olhando o deslocamento da formiga, ao lado de uma trena. A função matemática nos dá a resposta. EXERCÍCIOS a) Uma torneira vazando, além de desperdiçar água, pode aumentar muito a conta a ser paga no final do mês. Suponha uma situação em que a quantidade de água desperdiçada por uma torneira gotejando pode ser obtida pela fórmula (ou função) Q =,4 t, onde Q é a quantidade de água, em litros e t é o tempo, em horas. Pede-se: a) construir uma tabela indicando a quantidade de água desperdiçada por essa torneira a cada intervalo de 1 hora, de 1 a 10 horas.

2 b) quantos litros de água essa torneira desperdiçará em: b.1) 1 dia? b.) 1 mês (30 dias)? b.3) 1 ano (365 dias)? b) Dê outros eemplos de funções presentes no nosso cotidiano, ou seja criativo e imagine situações, que possam ser resolvidas por funções matemáticas. Algumas definições para melhor compreender uma função Produto Cartesiano O produto cartesiano de dois conjuntos A e, não vazios, é dado pelos conjuntos de pares ordenados (,), sendo que pertence a A e pertence a. A simbologia de produto cartesiano é A, onde lemos produto cartesiano de A por. A = { (,) ϵ A e ϵ } O número de elementos de A é dado por n (A). n() Eemplo: Sejam os conjuntos A = {3, 5, 7} e = { -, 3}, então: A = {(3, -), (3, 3), (5, -), (5, 3), (7, -), (7, 3)} Observe que o número de elementos (pares ordenados) do conjunto A é 6, ou seja, 3. O número de elementos de A é dado por n (A). n(). Relação Denominamos relação R de A em, qualquer subconjunto do produto cartesiano A. Eemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 3, 5} e = { 3, 5, 7, 9}, dizemos que a relação R de A em é definida pela função = +, sendo ϵ A e ϵ, pois: Sendo =1 = + = 1 + = 3 =3 = + = 3 + = 5 =5 = + = 5 + = 7 Assim, A relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} Essa relação pode ser representada por um diagrama de flechas. A

3 Plano Cartesiano Ortogonal Uma relação pode ser representada num plano cartesiano que consiste em dois eios e que se cruzam perpendicularmente. b (a,b) a Os eios e se cruzam num ponto O, chamado origem do sistema cartesiano. Esses eios dividem o plano em 4 quadrantes, conforme desenho ao lado. Chamamos o eio de eio das abscissas, o eio de eio das coordenadas e o par ordenado (a,b) são as coordenadas de um ponto no gráfico. eio das ordenadas 1º quadrante º quadrante eio das abscissas 4º quadrante 3º quadrante Vamos usar o eemplo anterior e localizar os pares ordenados da relação R = { (1,3), (3, 5), (5, 7)} no plano cartesiano. Veja: (1,3) (3,5) (5,7) EXERCÍCIOS 1. Dados os conjuntos A = { -, 0, }, = { 0, 1, 3} e C = {3, 4}, represente por meio de conjuntos de pares ordenados: a) A d) C A b) A C e) C c) A f) C. Determine o número de elementos de A, sabendo que A = { 1,, 3} e = {3, 4, 5, 6} 3. Para cada item construa um plano cartesiano e nele localize os pares ordenados da relação. a) R = {(-1,-), (0,0), (1,), (,4), (3,6)} b) S = { (-,1), (-1,), (0,3), (1,4)} c) T = {(0,-1), (1,0), (,3), (-1,0)} d) U = {(5,0), (6,1), (7,), (4, -1)} 4. Sendo os conjuntos A = {1,,3,4} e = {0, 1,, 4, 6}, represente por meio de conjunto de pares ordenados e de diagramas de flechas as relações: a) R 1 = {(,) ϵ A = -1} b) R = {(,) ϵ A = } c) R 1 = {(,) ϵ A = - }

4 Definindo Funções Dados dois conjuntos A e, chamamos função a toda relação f: A na qual, para todo elemento de A, eiste um único correspondente em. Eemplos: 1) A ) 3) A A Observe que em cada diagrama todo elemento de A tem um único correspondente em, ou seja, nenhuma função de A em terão seus elementos com dois ou mais correspondentes em e ainda, poderão sobrar elementos em, mas nunca sobram elementos em A sem um parceiro em. Domínio (D), contradomínio (CD) e imagem(im) O conjunto A é chamado de domínio (D) e de contradomínio (CD). O conjunto formado pelos correspondentes de A em é a imagem (Im) da função. Eemplo1 : Dado o diagrama abaio, podemos determinar que: A 1-1 D = A = {-1, 1,, 3} CD = = {1, 4, 6, 8, 9} Im = {1, 4, 9} Eemplo : Dados A = {0, 1, } e = {0, 1,, 3, 4, 5} e f: A definida por f = {(, ) ϵ A X = +1}, obtenha a imagem dessa função. ϵ A = +1 0 = (0)+1 =1 1 = (1)+1 =3 = ()+1 =5 f= {(0,1), (1,3), (,5)} então, Im = {1, 3, 5} Observe que o domínio é formado pelos primeiros elementos dos pares ordenados e a imagem, pelos segundos elementos. A

5 Gráfico de uma função Da mesma forma que uma relação, uma função pode ser representada em gráficos. O mais comum é representarmos num plano cartesiano onde o eio das abscissas conterá o domínio e o eio das coordenadas, o contradomínio. Eemplos 1. Dada a função f() = +1, construa o gráfico num sistema de coordenadas cartesianas. NOTA: Caso não seja dado o domínio, atribui-se alguns valores reais ao e calculamos as respectivas imagens, formando uma tabela. A partir da tabela se constrói o gráfico. (,) -1 0 (-1,0) 0 1 (0,1) 1 3 (1,3) 5 (,5) Cálculos: Se f() = +1 então = +1 Se = -1 =(-1) +1 = -1 Se = 0 =(0) +1 = 1 Se = 1 =(1) +1 = 3 Se = =() +1 = Seja a função = -, construa o gráfico para o domínio ]-,[ e, em seguida, escreva a imagem dessa função NOTA: Neste caso, foi dado o domínio na forma de intervalo. Logo, espera-se a imagem na forma de intervalo Im = ] -4,0] Im = { ϵ R -4 < 0} -4-4 EXERCÍCIOS 1. Refaça o eemplo anterior para a função = (-).. Construa o gráfico da função f: A R, dada por = + 3, onde A = { 0, 1,, 3}. 3. Construa os gráficos das funções f: R R, dadas por: a) f() = 3 b) g() = 5 c) = d) f() = 4 e) = 1/ f) g() = - 3 g) f() = h) = + 3 i) = - + 1

6 Raiz de uma função Denominamos de raiz ou zero de uma função aos valores de para =0. Assim, as raízes de uma função são os valores em que gráfico corta o eio das abscissas. Para calcularmos a raiz, ou raízes, devemos igualar a função a zero e resolver a equação. Eemplos: 1. Seja a função f() = 3-1. Calcular a sua raiz. Resolução: Fazemos f() = 0 (zero), ou seja, 3 1 = 0 e resolvemos a equação. 3 1 = 0 3 = 1 X = 4 Logo, a raiz dessa função é 4. Seja a função g() = 3 +, qual a(s) sua(s) raiz(es)? Resolução: Fazemos 3 + = 0 e, usando áscara determinamos suas raízes. e Logo, as raízes dessa função são 1 e. EXERCÍCIOS Determine, se eistir, as raízes das seguintes funções: a) f() = b) f() = 49 c) g() = d) g() = 5 e) = f) = ( ) g) f() = 3 h) f() = Dada a função f() = + k, determine o valor de k para que sua raiz seja -3. Calcule m para que a função: a) f() = m 9 tenha 1 como raiz b) f() = m tenha como raiz c) f() = = + m tenha - como raiz d) f() = m + m + 4 tenha -1 como raiz e) f() = tenha 3 como raiz 3. Etraia a raiz de cada função abaio e, em seguida, construa o gráfico correspondente: a) c) b) d)

7 A inversa de uma função Dada a relação R de A em, denominamos relação inversa R -1 de em A a relação definida por: R -1 = {(,) (,) R} Por eemplo, se R = {(1,3), (,6), (3,9)}, então R -1 = {(3,1), (6,), (9,3)} Assim, podemos determinar a função inversa (F -1 ) de uma função dada, usando o seguinte artifício: 1º) Dada uma função qualquer, troca-se o por e o por ; º) Em seguida, isala-se o, obtendo-se assim a inversa da função dada. Eemplo: Dado: Trocamos por e por Fica: Logo: OSERVAÇÃO: Obtêm-se função inversa apenas de função bijetiva (ou bijetora), ou seja, aquela que tem uma correspondência biunívoca, na relação A e. Determine as inversas das funções abaio: EXERCÍCIOS

8 REPENSANDO GRÁFICOS E RAÍZES DE UMA FUNÇÃO Gráfico e Raiz(es) de uma função Para construir um gráfico, a partir de qualquer função, é preciso atribuir valores a variável que consta na função. Resolvendo a epressão numérica encontrada, acha-se o valor de correspondente àquele valor de, ou seja, temos um par ordenado (, ). Esse par ordenado é que forma o ponto no gráfico, ou seja, são as coordenadas do gráfico. NOTA: Nunca esqueça que cada eio e, que formam o plano cartesiano, deve ser dividido, a partir do zero, de forma proporcional. Somente assim, o gráfico terá sua forma correta: Eemplo: Dada a função f() = , a variável pode ser substituída por qualquer valor e a partir dele se determina o valor de. Observe que, nesta função, se escolhermos 6 para a variável e substituirmos na função dada, temos: f() = = (6) 19(6) + 84 = = 6 E assim, vamos escolhendo outros valores para e formando os diversos pares ordenados, necessários para formar o gráfico. Se usamos = 6, então, = 6 Se fizermos = 7, então = (7) 19(7) + 84 e, = 0 Se fizermos = 8, então = (8) 19(8) + 84 e, = -4 Se fizermos = 9, então = (9) 19(9) + 84 e, = -6 Se fizermos = 10, então = (10) 19(10) + 84 e, = -6 Se fizermos = 11, então = (11) 19(11) + 84 e, = -4 Se fizermos = 1, então = (1) 19(1) + 84 e, = 0 Se fizermos = 13, então = (13) 19(13) + 84 e, = 6 Os valores encontrados formam a tabela ao lado: TAELA X (,) Ponto 6 6 (6,6) A 7 0 (7,0) 8-4 (8,-4) C 9-6 (9,-6) D 10-6 (10,-6) E 11-4 (11,-4) F 1 0 (1,0) G 13 6 (13,6) H NOTA: Lembre-se que a função dada é uma equação do º grau. Logo, são necessário, no mínimo, 6 pares ordenados para que se obtenha a curva característica de uma equação do º grau. Se fosse uma equação do 1º grau, bastariam pontos, porque a função do 1º grau é sempre representada por uma reta e para traçar uma reta, dois pontos são suficientes. O gráfico fica: 6 4 A G H D E Raiz (ou raízes) de uma função são os valores de para que seja igual a zero. No gráfico acima, esses valores são = 7 e = 1.

9 Como calcular as raízes de uma função, sem fazer o gráfico? Dada a função f() = , as raízes da função são obtidas igualando essa função a zero e determinando o valor de. Veja: O(s) valor(es) que corta(m) o eio do, ou seja, quando é igual a zero, pode(m) ser obtido(s) pela resolução da equação obtida. No caso, = 0 Quando você for construir o gráfico de uma função qualquer, calcular antes a(s) raíz(es) da função facilita o processo porque já fica determinado um par ordenado. Justifique essa afirmação, com um eemplo. I - Calcule a(s) raiz(es), se houver(em), de cada função: 1) f() = ) f() = ) g() = ) h() = ) g() = 144 6) h() = ) = 9 4( ) 8) = 3( ) 5 9) f() = ) f() = II Escolha 3 funções acima e construa o gráfico correspondente.

10 EXERCÍCIOS ADICIONAIS 1. Etraia a raiz das funções abaio: a) f() = -6 b) g() = 81 c) = 3 -. Construa o gráfico, apresentando também a tabela com os pares ordenados de cada função abaio: a) f() = - b) g() = c) = 3. Determine a(s) raiz(es) de cada função representada nos gráficos abaio: a) b) c)

11 4. Classifique em crescente, decrescente ou constante cada função abaio: a) b) c) Determine a inversa de cada função abaio: a) f() = - 5 b) f() = c) f()= 3 1

12 Recordando potenciação e suas propriedades: Sabemos que: 3 4 = = 81 Função Eponencial Identificamos o 3 como a base da potência, o 4 como o epoente da potência e o 81 o resultado da potenciação indicada. Calcule: 1) ) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) = 1) 13) 14) 15) Propriedades da Potenciação Propriedade 1: Propriedade : para Propriedade 3: Propriedade 4: para Propriedade 5: Efetue: 1) ) 3) = 4) 5) =

13 Determinando a raiz de uma função eponencial Toda função (equação) que contém incógnita no epoente é chamada de função (equação) eponencial. Eemplos: a) b) c) Para resolver uma equação eponencial, devemos transformá-la de modo a obter potências de mesma base. Aplicamos as definições e propriedades da potenciação, sempre se > 0, 1, sendo a incógnita, para toda equação do tipo onde. 1) Eemplos: Transformamos ambos os membros para potência de mesma base. Fatorando 4 fica fatorando 51 temos. Então: =9 e Logo, a raiz dessa equação é. Ou ainda, o conjunto verdade é V ={ }