Engenharia Civil/Mecânica Cálculo 1 Profa Olga (1º sem de 2015)

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1 Engenharia Civil/Mecânica Cálculo Profa Olga (º sem de 05) Conteúdo: Função do º grau (Função Afim) Definição Chama-se função polinomial do o grau, ou função afim, a qualquer função f: dada por uma lei da forma f () = a + b, onde a e b são números reais dados e a 0. a: coeficiente de (coeficiente angular), fornece a taa de variação da função b: é o termo constante. (coeficiente linear), parte fia: mostra onde o gráfico cruza o eio y. Eemplo: ) Um tái cobra R$ 0,00 de bandeirada e R$,60 o km rodado. Encontre a fórmula que epressa preço da corrida ( C ) em relação a distância ( ) percorrida. )f() = 5 3) f () = - 6, (b = 0, ou seja, f () = a a função é denominada por função linear) Gráfico O gráfico de uma função polinomial do o grau, y = a + b, com a 0 é uma reta oblíqua aos eios e y. y 7 5 a > 0 a > 0 y a < 0 -

2 Coeficientes da função afim O coeficiente a é chamado o coeficiente angular da reta, ele está ligado à inclinação da reta em relação ao eio O.(eio ). a = tangente do ângulo de inclinação = y = taa de variação da função Obs: Apenas a função do º grau tem taa de variação constante O coeficiente b, é chamado coeficiente linear da reta, ou seja, a ordenada do ponto que a reta corta o eio Oy (eio y) Se b = 0 a função é dita função linear e o gráfico corta os eios coordenados no ponto O = (0, 0) Cálculo da raiz ou zero da função Raiz ou zero de uma função é o valor de para o qual f () = 0. Observe que o zero ou raiz de uma função indica o valor de do ponto de intersecção do gráfico com o eio. Eemplo: Determine a raiz da função f() = 4- Dada a função f () = 4, pede-se: Verificar se a função é crescente ou decrescente a) Determinar o ponto de intersecção com o eio y b) Determinar a raiz da função c) Determinar o ponto de intersecção com o eio d) Utilizando os pontos de intersecção com os eios e y, construa o gráfico da f() e) Verifique para que valores de a função é positiva e para quais valores ela é negativa Obs: No item e), avaliamos para quais valores de temos f () > 0, e para quais valores de temos f () < 0. Determinar para que valores de a função f() =0,f()>0 e f() <0 significa estudar os sinais da função, isto é, os sinais de y ( y é a imagem de ). Para analisar os sinais de um função, inicialmente calculamos as raízes da função que são os valores para os quais f() =0 Observe os gráficos abaio: f () < f () > 0 + f () > 0 - f () < 0 : raiz

3 Situações que observamos uma função do º grau: I) Dados obtidos através de tabelas Eemplo: Uma pessoa vai diariamente à uma padaria e tem os seguintes gastos: Quantidade de pães Gastos (R$), 50,75 3 3,00 4 3,5 a) Qual é a lei algébrica que determina o gasto (C()) que uma pessoa terá na compra de pães? b) Quanto uma pessoa gastará se comprar 50 pães? c) Uma pessoa gastou R$ 9,75, quantos pães ela comprou? II) Dados obtidos através de problemas Eemplo: Uma torneira que despeja 40 litros de água por minuto é aberta para acabar de encher uma caia d água que já contém 00 litros. a) Qual é a lei que associa o volume (V) da caia (em litros) em função do tempo t (em minutos) gasto para encher a caia? b) Quantos minutos serão necessários para encher totalmente a caia cuja capacidade é de litros de água? III) Dados obtidos através de gráficos Eemplo: (PUC-RS) Um determinado tipo de óleo foi aquecido a partir de 0 o C até atingir 60 o C e obteve-se o gráfico abaio, da temperatura (T) em função do tempo (t). a) Determine a lei da função b) Calcule T(3) c) Determine em que instante a temperatura é 0 o C. Eercícios: ) Dada a função f () = , pede-se: 3

4 f) Verificar se a função é crescente ou decrescente g) Determinar o ponto de intersecção com o eio y h) Determinar a raiz da função i) Determinar o ponto de intersecção com o eio j) Utilizando os pontos de intersecção com os eios e y, construa o gráfico da f() k) Verifique para que valores de a função é positiva e para quais valores ela é negativa ) O preço do serviço eecutado por um pintor consiste em uma taa fia de R$ 5,00 e mais uma quantia que depende da área pintada. A tabela seguinte mostra alguns orçamentos apresentados por esse pintor: Observando a tabela, responda: a) Como se eprime, matematicamente, o total a pagar (y) pela pintura de metros quadrados? b) Qual é o preço cobrado pela pintura de uma área de 50 m? c) Qual é a área máima que pode ser pintada dispondo-se de R$ 65,00? 3) Com auílio de um cronômetro, marcando-se o tempo em hora, verificaram-se as distâncias percorridas por um móvel. Essas distâncias, percorridas em determinados tempos, foram registradas na tabela a seguir: Tempo (h) 0, 0,4 0,8,6 Distância (km) a) Indicar as variáveis (dependentes e independentes) relacionadas nessa situação. b) Epressar a lei matemática que relaciona a distância percorrida com o tempo. c) Calcular a distância quando o tempo é igual a,8 horas. d) Calcular o tempo quando a distância é 330 km. 4) A figura abaio representa os gráficos das funções f() = m + n e g() = c + d. 4

5 Determinar a lei da f () e da g () 5) Uma função f afim é tal que f (-) = 3 e f () =. Determine o valor de f (3). 6) Dados os gráficos das funções de em, e considerando que cada quadradinho tem cm de lado, obtenha a lei de correspondência de cada uma; 7) A raiz da função y = - k + 3 é. Determine k. 8) O esboço abaio refere-se ao gráfico da função real definida por f () = m +. Determine m 9) O custo C de produção de litros de certa substância é dado por uma função afim com 0, cujo gráfico está representado abaio: 5

6 Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 0) O custo total de um fabricante consiste em um custo fio de R$ 00,00 e um custo variável de R$ 50,00 por unidade produzida. Epresse o custo total em função do número de unidades produzidas e desenhe o gráfico relacionado. ) Em certa cidade, a tarifa de tái é calculada da seguinte forma: R$ 5,00 a bandeirada mais R$,0 por quilômetro rodado. a) Pode-se estabelecer uma função entre essas grandezas? Em caso afirmativo, quais seriam as variáveis ( dependente e independente) dessa função? b) Qual a lei matemática definiria essa função? ) O gráfico esboçado, da função f () = a + b, representa o custo unitário de produção de uma peça em função da quantidade mensal produzida. Custo unitário quantidades produzidas Para que este custo unitário seja de R$ 6,00, a produção mensal deve ser igual a: a) 930 b) 90 c) 940 d) 960 e) 980 3) Na época do Natal, a loja A oferece aos funcionários temporários um salário fio de R$ 450,00 mais uma comissão de % (em reais) sobre o total vendido, já a loja B não oferece salário fio, mas paga 5% (em reais) de comissão sobre o total vendido. 6

7 a) Escreva a lei de formação das funções correspondentes ao salário recebido (y) em cada uma das lojas pelo total de vendas () em reais. b) Para um total de vendas de R$ 000,00, qual é o salário recebido na loja A? E na loja B? c) Qual deve ser o total de vendas para que um funcionário da loja A receba R$ 800,00 de salário? E na loja B? d) A partir de que valor de vendas é mais vantajoso trabalhar na loja B? 7