Matemática I Tecnólogo em Construção de Edifícios e Tecnólogo em Refrigeração e Climatização

Transcrição

1 35 Funções A função é um modo especial de relacionar grandezas. Por eemplo, como escrevemos o deslocamento de um móvel em movimento retilíneo variado dependendo do tempo? E se o móvel está em movimento retilíneo uniformemente variado? Como representar o número de habitantes de uma cidade em função do tempo? E a quantidade de calor transferido entre duas superfícies com temperaturas diferentes? Podemos relacionar essas grandezas na forma de funções, o que nos permitirão traçar e analisar gráficos, aprofundando o conhecimento sobre as grandezas que se relacionam e como se relacionam. Estudaremos apenas as funções que relacionam duas variáveis, geralmente usaremos e y. Em que a variável é chamada de independente e y de dependente.. Definição de função. Duas grandezas, e y, em que A e y B, A e B conjuntos não vazios, se relacionam como uma função se: I Todo se relaciona com algum y B. II Cada se relaciona com eatamente um y B. O conjunto A chamamos de domínio da função, B contradomínio e se eistir uma epressão que relacione y a, chamamos de lei da função. Notação: f: A B y = f() Eemplos:. Seja A o conjunto dos triângulos no plano e B o conjunto dos números reais. Se f relaciona o triângulo com a sua área, f: A B é função? 2. Seja A o conjunto das mulheres e B o conjunto dos homens. Se f associa a mulher com quem possui relacionamento romântico, f: A B é função?

2 36 3. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais. Se f associa cada pessoa com sua idade em anos, f: A B é uma função? 4. Seja A o conjunto das pessoas e B o conjunto dos números naturais. Se f associa cada pessoa com sua altura em metros, f: A B é uma função? 5. Seja A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números reais. Se f associa cada equação com suas soluções, f: A B é uma função? Observação: - O conjunto dos y B, tais que eistem algum relacionado a eles chama-se conjunto imagem. 2.Nosso objeto, nessa disciplina, é estudar funções cujo domínio e contradomínio são conjuntos numéricos. Eemplo:. Determine o conjunto imagem das funções entre os itens a 4, anteriores?

3 37 2. Considere A o conjunto das equações de segundo grau e B o conjunto dos números inteiros. Se f relaciona cada equação de segundo grau com o número de soluções reais, f: A B é função? Caso afirmativo determine o conjunto imagem. 3. Defina a função que relaciona a área de um quadrado com o seu lado. Determine o conjunto imagem da função. 4. Defina a função que relaciona cada número real com o seu dobro. Determine o conjunto imagem. 5. Defina a função que relaciona a ordenada com a abscissa dos pontos do plano que pertencem à reta que passa pela origem e faz um ângulo de 45º com o sentido positivo do eio. Determine o conjunto imagem da função.

4 38 2. Gráficos de funções. Nesta disciplina estudaremos o gráfico de algumas funções especiais. Não esboçaremos gráficos de outras funções. Aqui o objetivo é reconhecer o gráfico de uma função e reconhecer quando temos gráficos que não são de funções. Também poderemos definir domínio e imagem a partir do gráfico. (a) (b) (c) (d)

5 39 (e) (f) Observação: Passaremos a estudar funções específicas focando um maior número de detalhes. Geralmente se nada for dito, assume-se que o domínio e contradomínio da função são os reais. 3. Domínio de uma função. Se conhecemos apenas a lei de uma função podemos definir o domínio da mesma, pensando qual o maior subconjunto dos reais que torna a epressão uma função. Eemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) f: A R y y

6 40 Se pensarmos em domínios como subconjuntos dos números reais só eistem duas restrições: I Divisão por zero; II Radicando negativo em raiz de índice par. Podemos ter combinações dessas restrições. Eemplo: Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) g: A R y 2 y ² (c) f: A R y (d) h: A R y 3 5 (e) f: A R (f) g: A R y 3 ² 2 y 2

7 4 Observação: Após estudar as funções básicas voltaremos a determinar domínios com outras combinações destas restrições. 4. Função afim. É todo função que pode ser escrita na forma: f: R R y = a + b Em que a e b são constantes reais. Já estudamos esta função como a equação reduzida da reta. Sabemos o significado de a, coeficiente angular e b, coeficiente linear. Para completar o estudo desta função veremos: estudo do crescimento, raiz da função e o estudo do sinal. 4.. Estudo do Crescimento. Estudar o crescimento de uma função é indicar os valores de em que a função é crescente, decrescente ou constante. Agora, se a função for afim, ela não terá mudança no comportamento, ou ela é sempre crescente, sempre decrescente ou constante. Função crescente Função constante Função decrescente 0 < < 90º = 0 90º < < 80º tan > 0 tan = 0 tan < 0 a > 0 a = 0 a < 0

8 42 Resumindo: a > 0 função afim crescente R a = 0 função afim constante R a < 0 função afim decrescente R Eemplo: Determine o crescimento das funções afim, cujas leis são: 3 (a) y 6 (b) y Raiz da função afim. Em geral, raiz de uma função, é o valor de em que y = 0. Assim se a função é a afim: y = a + b a + b = 0 b a Não precisamos ter isso como uma fórmula. Apenas sabendo a definição de raiz, chegamos na equação muito simples de resolver. Eemplo: Determine a raiz das funções abaio: (a) f: R-{2} R (b) f: R R 3 7 y y = 4-0 2

9 Estudo do sinal. Estudar o sinal de uma função é indicar os intervalos do domínio, ou seja, valores de, em que a função, ou seja, y, assume valores positivos, negativos ou nulos. Observe o gráfico abaio. As regiões em rosa correspondem aos valores de em que o gráfico está acima do eio o, ou seja, y>0. As regiões em azul correspondem aos valores de em que o gráfico está abaio do eio o, ou seja, y < 0. E os pontos estão no eio o, ou seja, y = 0. Se a função é afim, temos quatro possibilidades: (a) a > 0 (b) a < 0 (c) a = 0 e b > 0 (c) a = 0 e b < 0

10 44 Eemplos:. Estude o sinal de cada função afim abaio: (a) y = 2 4 (b) y = Defina o conjunto A, maior subconjunto dos reais, para que f seja função. (a) f: A R (b) g: A R y 3 y Resolva as inequações abaio, em R: (a) 2 < 2 6 < 0

11 45 (b) Eercícios. - Determine o maior subconjunto dos reais que torna as epressões abaio em funções: a f : A f() lr 4 h : A lr c h() 2 2 g : A lr b 2 3 g() 2 g : A lr d g() ² 2- Determine o domínio de cada gráfico abaio. Analise se os gráficos abaio são referentes a funções, considerando o seu domínio. Justifique sua resposta. No caso de função determine o conjunto imagem. a b

12 46 c d 3 Responda: a. Uma função afim pode não ter raiz? Em que situação? b. O gráfico de uma função afim é uma reta. E toda reta pode ser definida como uma função afim? 4 Resolva as inequações abaio, em R: a. b. c. d. e. f. g. h.