Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

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1 9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNDAMENTAL Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel Casal

2 Ideia intuitiva de função. Veja o seguinte diagrama de flechas. A ƒ: A B B V (litros) t (min) Eplique por que a relação mostrada pelo diagrama representa uma função. É provável que essa relação represente uma função do o ou do o grau? Justifique.. A função h é dada pela lei h() 5. Determine: a) h(0) b) h ( 7 ) c) h() d) h(). Considere ƒ uma função dada pela lei: ƒ() 5 Calcule o valor da seguinte epressão:? ƒ() 5 ƒ(). Considere os conjuntos A 5 {, 5, 6, 7, 8} e B 5 {, m, 5, 7, n}. Para cada elemento de A há um elemento em B que corresponde ao seu dobro mais. Sendo m e n números reais, que valor eles podem assumir de modo que essa relação seja uma função? Função constante e função afim 5. Observe o gráfico da função dada por g() 5 m n. 0 ƒ a) Em quanto tempo o reservatório esvaziará? b) Após a abertura do registro, em quanto tempo haverá metade do volume de água no reservatório? c) Determine a vazão média de água, em litros por minuto, que sai pelo registro. d) Escreva uma equação que relaciona o volume de água no reservatório em função do tempo. e) Se V corresponde ao volume de água, em litros, dentro do reservatório, e t, ao tempo em minutos, complete as inequações abaio com os valores mínimos e máimos dessas duas grandezas., V,, t, 7. Um padeiro consegue fazer 00 pães por hora. a) Escreva uma equação que represente o número de pães feitos por ele em função do tempo. b) Quanto tempo o padeiro precisa para fazer 00 pães? c) Nessa padaria são vendidos, em média, 80 pães por hora. Os primeiros fregueses aparecem após h de serviço do padeiro. Se um freguês aparecer logo que sair a quinta fornada e quiser comprar 00 pães, haverá pães suficientes? d) Esboce o gráfico dessa função. 8. Veja o gráfico da função ƒ e responda às questões abaio. 7 a) O que o valor circulado em vermelho representa? b) E o circulado em verde? c) Determine os valores de m e n da função. 6. Um reservatório está completamente cheio de água e tem capacidade para 500 litros. Para realizar a sua limpeza, o reservatório será esvaziado através de um registro instalado no fundo do reservatório. O gráfico a seguir mostra o volume de água dentro do reservatório em função do tempo a) A função é do primeiro ou do segundo grau? Por quê? Atividades complementares 0

3 b) A função é crescente ou decrescente? c) Qual é a intersecção em e em? d) Para quais valores de, tem-se ƒ(). 0 e ƒ(), 0? e) Qual é a raiz da função? 9. O preço a ser pago por uma corrida de tái é uma composição de uma parcela fia (bandeirada) e uma parcela variável, que depende da distância percorrida. Um tái da empresa A cobra RS,50 pela bandeirada e RS 0,70 pelo quilômetro rodado. Um tái da empresa B cobra RS,50 pela bandeirada e RS 0,95 pelo quilômetro rodado. a) Uma pessoa deseja fazer uma viagem de 0 km. Qual opção é a mais barata: o tái da empresa A ou da empresa B? b) Desenhe os gráficos das duas funções. 0. Paulo pretende construir um galinheiro na forma de um retângulo com m de tela de arame. A fim de obter a maior área possível, Paulo utiliza uma parte do muro do seu quintal, precisando assim cercar apenas três lados do galinheiro. Determine a área do galinheiro em função do seu maior lado.. Considere a função ƒ, cujo gráfico está representado a seguir. 0 a) Para quais valores de a função ƒ assume valores negativos? b) Para quais valores de a função ƒ assume valores positivos? c) Para quais valores de a função ƒ é constante?. Determine os valores reais de k para os quais a função dada por ƒ() 5 (k ) k é crescente.. Considere um triângulo ABC, cujos vértices têm coordenadas cartesianas A(, ), B(7, ) e C(, 5). a) Represente esse triângulo no plano cartesiano. b) Calcule o valor da área desse triângulo.. Considere a figura a seguir, na qual ABCD é um retângulo, P é ponto médio de AD, Q é ponto médio de CD e é um número real positivo. A P D Q a) Calcule, em função de, as áreas dos triângulos retângulos ABP, DPQ e BCQ. b) Seja ƒ a função que associa, para cada, a área do triângulo BPQ. Escreva a lei da função ƒ. c) Calcule ƒ() e ƒ ( dxx 5 ). d) Determine tal que ƒ() 5 6. Função quadrática 5. Observe o gráfico de ƒ() 5 a b c, abaio: a) Que tipo de curva representa o gráfico da função ƒ? b) O que os valores circulados em vermelho representam? c) E o circulado em verde? d) Determine os valores de a, b e c da função. 6. Observe o gráfico da função ƒ e responda às questões abaio. 5 a) A função é do primeiro ou do segundo grau? Por quê? b) Se o gráfico representa a lei ƒ() 5 a b c, o que se pode dizer a respeito de a e de c? c) Quais são as raízes da função? B C Atividades complementares

4 d) Determine o vértice da parábola e verifique se é ponto de máimo ou de mínimo. e) Determine os valores de a, b e c. f) Faça o estudo dos sinais da função. g) O discriminante da equação a b c 5 0 é maior do que, menor do que ou igual a zero? Por quê? h) Determine ƒ(0). i) O que se pode dizer a respeito de ƒ(0) e ƒ(0)? Justifique. j) A função é crescente para quais valores de? 7. Parte do gráfico de uma função ƒ do o grau está representada abaio a) Calcule o valor de ƒ(5)? b) Calcule o valor de ƒ()? c) Determine todos os valores de para os quais se tem ƒ() Identifique quais afirmações são corretas e corrija as falsas. a) A concavidade do gráfico de uma função quadrática é para cima quando a, 0. b) Uma função quadrática tem valor máimo quando a, 0. c) O vértice de uma função quadrática não intersecta o eio das abscissas quando tem apenas uma raiz real. d) Uma função quadrática com concavidade para baio tem valor máimo. 9. O ponto V é o vértice da parábola definida pela lei ƒ() e o ponto V é o vértice da parábola definida pela lei g() 5. a) Determine os pontos V e V. b) Represente os pontos V e V no plano cartesiano. 0. Calcule todos os possíveis valores do número real m para os quais o gráfico de ƒ() 5 m (m ) intersecta o eio das abscissas em um único ponto.. Encontre, se eistirem, todas as raízes reais das seguintes funções do o grau. a) ƒ() 5 9 b) g() c) h() 5 6 d) i() 5 e) j() 5 8 f) k() A figura abaio mostra um retângulo e suas dimensões. a) Determine o valor de para que a área do retângulo seja máima. b) Calcule o valor da área máima. c) Na situação de área máima, qual é a figura geométrica obtida? Atividades complementares

5 9 ENSINO Matemática FUNDAMENTAL 9-º ano Resolução comentada Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel Casal

6 Ideia intuitiva de função. É uma função, pois todo valor do conjunto A se relaciona com um único valor do conjunto B. É mais provável que essa relação represente uma função do o grau, pois dois valores do conjunto A se relacionam com um mesmo valor do conjunto B. Na função do o grau isso não ocorre.. a) h(0) 5 (0 ) 0 5 b) h ( 7 ) 5 ( 7 ) 7 5 c) h() 5 ( ) 5 d) h() 5 ( ) 5. Primeiro vamos calcular ƒ() e ƒ() e depois substituir na epressão. ƒ() 5? 5 ƒ() 5? 5? ƒ() 5? ƒ() 5? 5? () 5 Logo, o valor da epressão é.. Para ser uma função, cada elemento de A deve estar associado a um único elemento de B. A relação descrita associa o valor 5 ao seu dobro mais, ou seja,, e o valor 8 ao 9. Portanto, m deve ser igual a e n igual a 9 para que a relação seja uma função. Função constante e função afim 5. a) A raiz da função. b) O valor do coeficiente n. c) g(0) 5 ä m? 0 n 5 ä n 5 g(0) também pode ser lido no gráfico g() 5 0 ä m? () 5 0 ä m 5 6. a) Pelo gráfico, temos que o reservatório estará completamente vazio em 5 minutos. b) Ao observar o gráfico, vemos que o volume do reservatório estará pela metade entre os instantes 5 e 0 minutos. Como toda a água será evacuada em 5 minutos, e considerando que a vazão é constante pois a curva do gráfico é uma reta, podemos calcular o momento eato em que metade da água foi evacuada dividindo o tempo total pela metade. Logo, o reservatório conterá metade do volume inicial de água após 7,5 minutos. c) Temos a seguinte relação: Vazão média litros 5 minutos 5 litros 00 minuto Portanto, a vazão média de água desse reservatório é 00 litros por minuto. d) Se V corresponde ao volume de água dentro do reservatório e t ao tempo, temos: V t e) 0, V, 500 0, t, 5 7. a) Se N representa o número de pães fabricados e t, o tempo em horas, temos: N(t) 5 00t b) N(t) 5 00t t t 5 6 horas c) Quando sair a quinta fornada, terão sido fabricados 000 pães (00? 5), mas terão sido vendidos 70 pães (80? ) até este momento. Logo, faltarão 0 pães. d) Eemplo do esboço do gráfico: Número de pães t (h) 8. a) A função é do primeiro grau, pois o gráfico é uma reta. b) A função é crescente, pois à medida que os valores de aumentam, os de também aumentam. c) A intersecção em é e em é 5. d) ƒ(). 0 para. e ƒ(), 0 para,. e) A intersecção em é, portanto é a raiz da função. 9. a) Vamos considerar P como preço a ser pago e como a distância percorrida. Empresa A: P 5,5 0,70 5,5 0,70? 0 5 7,50 Empresa B: P 5,5 0,95 5,5 0,95? 0 5,50 Portanto, a opção de ir com o tái da empresa A é a mais barata. b) Eemplo do gráfico que deve ser obtido: RS,50 7,50 6,0,50, (km) Resolução comentada

7 0. Vamos considerar como o maior lado do retângulo e o menor lado. Então: Logo A 5? 5? ( 7 ) Logo, a área do galinheiro será? ( 7 ) m.. a) A função ƒ assume valores negativos para, e,,. b) A função ƒ assume valores positivos para,, e.. c) A função ƒ é constante para,, 0 e... Para que essa função afim seja crescente é necessário que o coeficiente de seja maior do que 0, ou seja, k. 0; logo, a função é crescente para k... a) 6 5 C 0 A B b) (7 )? (5 ) 5 8 Logo, a área do triângulo ABC é 8.. a) A área de cada triângulo é dada por: A ABP 5? 5 A DPQ 5? 5 A BCQ 5? 5 b) A área do triângulo BPQ será a área do retângulo menos a área dos triângulos ABP, DPQ e BCQ. A BPQ 5? ( ) Logo, a lei da função é ƒ() 5. c) ƒ() 5 ( ) 5 7 ƒ ( dxx 5 ) 5 ( dxx 5 ) 5 5 d) ƒ() dxxx 5 dxx Função quadrática 5. a) Parábola com concavidade para baio. b) As raízes da função. c) O valor do coeficiente c. d) ƒ(0) 5 ä a? 0 b? 0 c 5 ä c 5 ƒ() 5 0 ä a? b? ä a b 5 ƒ() 5 0 ä a? () b? () ä ä a b 5 Podemos montar o seguinte sistema: a b 5 ä a 5 e b 5 0 a b 5 Assim: a 5, b 5 0 e c 5 Portanto, a função será definida por: ƒ() 5 6. a) A função é do segundo grau, pois o gráfico é uma parábola. b) Pode se dizer que a. 0, pois a parábola tem concavidade para cima e, c 5, pois a intersecção em corresponde à c. c) As intersecções em, ou seja, as raízes da função são e. d) O vértice da parábola é o ponto V(0, ) que é ponto de mínimo, pois a parábola tem concavidade para cima. e) ƒ(0) 5 ä a? 0 b? 0 c 5 ä ä c 5 ƒ() 5 0 ä a? b? ä a b 5 ƒ() 5 0 ä a? () b? () ä ä a b 5 Conseguimos montar o seguinte sistema: a b 5 a b 5 ä a 5 e b 5 0 Assim: a 5, b 5 0 e c 5 Portanto, a função será definida por: ƒ() 5 f) Para, e., temos. 0 e, para,,, temos, 0. g) O discriminante da equação é maior do que zero, pois há duas raízes reais e distintas. h) Como ƒ() 5, ƒ(0) 5 (0) 5 96 i) ƒ(0) 5 ƒ(0), pois a reta 5 0 é o eio de simetria da parábola. j) A função é crescente para todo valor de maior do que zero. 7. a) Pelo gráfico: ƒ(5) 5 7 b) Pelo gráfico: ƒ() 5 c) Pelo gráfico, as raízes de ƒ() são e, ou seja, são os valores de para ƒ() a) Falsa. Para a, 0, a concavidade do gráfico é para baio. b) Correta. c) Falsa. Neste caso, o vértice de uma função quadrática intersecta o eio das abscissas em um único ponto. d) Correta. Resolução comentada 5

8 9. a) Primeiro, vamos calcular o discriminante das duas funções. Discriminante da ƒ: D 5 (6)? ()? (9) 5 0 Discriminante da g: D 5 (0)? ()? () 5 6 Então, os pontos de cada vértice serão: 6 V (? (), 0? () ) 5 V (, 0) 0 V (? (), 6? () ) 5 V (0, ) b) V (, 0) V (0, ) 0 0. Para que o gráfico da função ƒ intersecte o eio das abscissas em um único ponto, é necessário que seu discriminante seja igual a zero. D 5 (m)? ()? (m ) 5 0 m 8m 5 0 Resolvendo essa equação de o grau, concluímos que os possíveis valores de m são e 6.. a) Primeiro, vamos calcular o valor do discriminante. D 5 (9)?? 5 5 Como o discriminante é maior do que zero, temos duas raízes reais. 5 9 ± dxxx ± ou 5 As raízes da ƒ são e 7. b) Primeiro, vamos calcular o valor do discriminante. D 5 (6)? ()? (8) 5 Como o discriminante é maior do que zero, temos duas raízes reais. 5 6 ± dxx 5 6 ± 5 ou 5. As raízes da g são e. c) Primeiro, vamos calcular o valor do discriminante. D 5 ()? ()? (6) 5 89 Como o discriminante é maior do que zero, temos duas raízes reais. 5 ± dxxxx 89 5 ± 7 5 ou 5 As raízes da h são e. d) Primeiro, vamos calcular o valor do discriminante. D 5 ()? ( )? ( ) 5 Como o discriminante é menor do que zero, a função i não tem raízes reais. e) Primeiro, vamos calcular o valor do discriminante. D 5 (8)? ()? Como o discriminante é maior do que zero, temos duas raízes reais. 5 8 ± dxxxx ± ou 5 As raízes da j são e. f) Primeiro, vamos calcular o valor do discriminante. D 5 (0)? 00? 0, 0 Como o discriminante é menor do que zero, a função k não tem raízes reais.. a) Tomando A como a área do retângulo, temos: A 5 ( )? ( ) 5 8 Como o gráfico é uma parábola com concavidade para baio, o vértice será ponto de máimo da função, assim: vértice 5 b 5 a 5 Para que a área do retângulo seja máima, o valor de deve ser. b) A área será máima para 5. A 5 8 5? O valor da área máima é 9. c) A figura obtida é um quadrado de lado Resolução comentada 6