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1 Aula 5 FUNÇÃO DE º GRAU ( ou função quadrática ) Dados três números reais, a, b e c, com a, denominamos função de º grau ou função quadrática à função f() = a b c, definida para todo número real. Eemplos: a) f() = 3 4 onde a =, b = 3 e c = 4 b) f() = 5 onde a =, b = e c = 5 c) f() = 4 onde a = 4, b = e c = d) f() = 6 onde a =, b = 6 e c = e) f() = 9 onde a = 9, b = e c = A curva que representa graficamente a função de º grau é denominada parábola. Eemplos: Construa o gráfico da função = f() = e = f() = = = James Stewart, Calculus, 4 Edition, Brooks/Cole Publishing Compan (999).

2 Concavidade A parábola que representa uma função quadrática pode ter a concavidade voltada para cima ou voltada para baio. A concavidade é voltada para cima quando a > e é voltada para baio quando a <. Assim, considerando a função quadrática = a b c, podem ocorrer dois casos: a > a < Zeros (ou Raízes) da Função Quadrática Os valores de para os quais a função de º grau f() = a b c se anula, isto é, f() = denominam-se zeros ou raízes da função. Achar os zeros da função quadrática equivale a resolver a equação de º grau: a b c = Podemos interpretar geometricamente os zeros da função de º grau, como sendo as abscissas dos pontos em que a parábola = a b c corta o eio. raiz raiz Eemplos: Determine os zeros da função f() = 5 3. f() = 5 3 = b 4ac James Stewart, Calculus, 4 Edition, Brooks/Cole Publishing Compan (999).

3 = b a A eistência dos zeros reais de uma função de º grau depende do sinal de. Temos três casos a considerar: > : nesse caso, a equação tem duas raízes reais e a parábola intercepta o eio em dois pontos; = : nesse caso, a equação tem uma raiz real e a parábola intercepta o eio em apenas um ponto; < : nesse caso, a equação não tem nenhuma raiz real e a parábola não intercepta o eio. 3 Já vimos que o gráfico da função do º grau pode ter concavidade voltada para cima ou para baio. Esse fato está relacionado ao sinal do coeficiente de : a. Observamos também, que a ordenada do ponto onde a parábola intercepta o eio pode ser obtida diretamente da epressão da função: é o termo independente c. Podemos, então, organizar os seguintes gráficos: > S = S < S o o a> a> o a> James Stewart, Calculus, 4 Edition, Brooks/Cole Publishing Compan (999). 3

4 alor Máimo e alor Mínimo da Função do º Grau Eaminando os gráficos abaio, observamos que: Se a >, então para = - b/a a função tem o seu valor mínimo dado por a> v v v = f (- b/a) = - /4a. Se a <, então para = - b/a a função tem o seu valor máimo dado por: v a< v v = f (- b/a) = - /4a. Estudo do Sinal O estudo do sinal da função é feito analisando-se o esboço do gráfico. Eemplos: James Stewart, Calculus, 4 Edition, Brooks/Cole Publishing Compan (999). 4

5 Estudar o sinal das seguintes funções do º grau: a) = 3-4 Para encontrarmos os zeros da função devemos fazer =. Dessa forma obtemos a equação: 3-4 =. b Lembrando que = b 4ac e, vamos resolver a equação. a = (- 4) = 6 = 4 ( 4) 4 e (3) 6 3 A parábola corta o eio nos pontos de abscissas /3 e. Como a = 3 >, sua concavidade está voltada para cima. 3 - Estudo do Sinal: Eaminando o esboço do gráfico podemos afirmar que: para < /3 ou > > ; para = /3 ou = = ; para /3 < < <. b) f() = Os zeros da função são calculados resolvendo-se a equação =. = 6 4. (-). (-9) = = = - 6/ (-) = - 6/- = 3 A parábola tangencia o eio no ponto de abscissa 3; como a = - <, sua concavidade está voltada para baio. James Stewart, Calculus, 4 Edition, Brooks/Cole Publishing Compan (999). 5

6 3 - - Estudo do Sinal: para 3 <. para = 3 =. c) = 3 Os zeros da função são calculados resolvendo-se a equação 3 =. = = 4 = - 8 A equação não possui raízes reais. A parábola não corta nem tangencia o eio. Como a = >, sua concavidade está voltada para cima. Estudo do Sinal R >. James Stewart, Calculus, 4 Edition, Brooks/Cole Publishing Compan (999). 6

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