A idéia de função. O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática.

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Maria de Fátima Fragoso Miranda
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1 Matemática Básica Unidade 5 Estudo de Funções RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE: O conceito de função é um dos mais importantes em toda a Matemática. A idéia de função Toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre eles... que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do segundo, ocorre uma função Trim. Trim. Leste Oeste Norte Em nosso dia-a-dia temos muitos eemplos de funções: O tempo de viagem é função, entre outras coisas, da distância percorrida. A altura de uma criança é função de sua idade; O consumo de combustível é função, entre outras coisas, da velocidade. Perímetro de um triângulo é função da medida de seus lados.

2 O conceito de função na história... René Descartes ( ), filósofo e matemático francês porpôs a utilização de um sistema de eios para localizar pontos e representar graficamente as equações. Galileu Galilei (56-6), astrônomo e matemático italiano iniciou o método eperimental a partir do qual se pode estabelecer uma lei que descreve relações entre as variáveis de um fenômeno. A função é um modo especial de relacionar grandezas. Duas grandezas e y se relacionam de tal forma que: pode assumir qualquer valor em um conjunto A dado. a cada valor de corresponde um único valor y em um dado conjunto B. os valores que y assume dependem dos valores assumidos por. Temos várias maneiras para representar a idéia de função. diagrama de setas Como representar uma função gráficos (plano cartesiano) lei de formação Representação gráfica No dia-a-dia utilizamos esse tipo de representação em vários setores.

3 Algumas funções especiais: Funções Produto Cartesiano A B = { (, y) A e y B} função do primeiro grau função do segundo grau o gráfico é uma reta o gráfico é uma parábola que pode ser com concavidade para cima com concavidade para baio crescente decrescente A = {, }; B = {,, } A B = { (, ), (, ), (, ), (, ), (, ), (, )} Definição de função Definição de função através de conjuntos Uma função (ou aplicação) f é uma lei segundo a qual cada elemento em um conjunto A está associado a eatamente um elemento, chamado f(), em um conjunto B. Não é função de A em B É função de A em B

4 Noção de função através de conjuntos Domínio, Contradomínio e Conjunto-Imagem Im(f) Não é função de A em B É função de A em B D(f) = A CD(f) = B Teste da reta vertical Domínio e imagem através do gráfico Para que uma curva num plano cartesiano seja gráfico de uma função y = f(), nenhuma reta vertical deve interceptá-la mais de uma vez. D = { IR e } e Im = {y IR < y }

5 Interpretação geométrica das raízes de uma função raiz raiz Seja f uma função de A em B. Denominamos raiz (ou zero) da função f todo elemento de A para o qual temos f() =0. FUNÇÃO INJETORA É quando quaisquer dois elementos diferentes do conjunto A têm imagens diferentes no conjunto B. Teste da reta horizontal para verificar se uma função é injetora A 0 B Ou seja, diferente tem y diferente!!! Uma função f() é injetora se nenhuma reta horizontal interceptar seu gráfico em mais de um ponto.

6 M FUNÇÃO SOBREJETORA É quando o conjunto Imagem da função for igual ao conjunto contradomínio. (Im = CD) - H Se M é o conjunto das mulheres e H é o conjunto dos homens, então não se pode ter homem solteiro!!! FUNÇÃO BIJETORA É uma função simultaneamente injetora e sobrejetora. M Injetora: diferente tem y diferente - H Ou seja, homens e mulheres com os mesmos direitos!! Sobrejetora: NÃO SOBRAM elementos no contra domínio. Injeção, sobrejeção e bijeção a) b) Injeção, sobrejeção e bijeção c) Não é injetora. É sobrejetora É injetora. Não é sobrejetora É injetora É sobrejetora É bijetora

7 Testando seus conhecimentos ) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora ou ainda nenhuma delas: a) b) c) d) é bijetora ) Classifique as funções como bijetora, sobrejetora, injetora, ou ainda nenhuma delas: 5 não é sobrejetora, nem injetora é injetora é sobrejetora ) Dada a função sobrejetora f : [; 8] B, tal que f() = ² 8 +7, observe atentamente seu gráfico e determine seu domínio e imagem. y D(f) = [;8] Im(f) = [-9;7] 7 f(b) f(a) f O a b A função f é crescente FUNÇÃO CRESCENTE: g(b) g(a) g O a b A função g é decrescente f(b) f(a) f a b A função f é crescente g(b) g(a) a g b A função g é decrescente Diz-se que f é crescente, se para a < b, então f(a) < f(b) Diz-se que g é decrescente, se a < b então g(a) > g(b). -9

8 6) A partir da análise do gráfico, determine os intervalos onde a função é: y Função crescente e Função decrescente a) Decrescente: ]0, [ b) Crescente: ]- ; 0[ e ] ; + [ Função crescente e Função decrescente Função crescente e Função decrescente

9 Função Par f() = f(-) = (-) - (-) = = f() Função ímpar GRÁFICO PARA 0 GRÁFICO COMPLETO Os gráficos das funções pares são simétricos em relação ao eio das ordenadas. Gráfico para 0 Função ímpar f() = + 5 FUNÇÃO PAR: f() = f(-) f(-) = (-) + (-) 5 = -( + 5 ) = - f() Uma função é PAR quando ela é simétrica em relação ao eio y. y f() = ² Eemplo: f() = ² é par pois ² = (-)² = Os gráficos das funções ímpares são simétricos em relação à origem do sistema cartesiano ortogonal. FUNÇÃO ÍMPAR: f(a) = - f(-a) Função ÍMPAR é simétrica em relação a origem. Eemplo: f() = ³ é ímpar pois ³ = - (-)³ y f() = ³

10 ) a) Verifique se f() = ³ + 5 é par ou ímpar: Primeiro vejamos que f() =.³ + 5. = 7 Em seguida, vejamos f(-) =.(-)³ + 5.(-) = -7 Logo f() = ³ + 5 é ÍMPAR, pois f() = - f(-) ou seja, f() = - f(-), pois 7 = - (-7) b) Mostre que f() = ² é par: Primeiro vejamos que f() = ()² = Em seguida, vejamos f(-) = (-)² = Logo f() = ² é PAR, pois f() = f(-) ou seja, f() = f(-), pois = 5) Sendo o gráfico ao lado de f(), o gráfico de f( ) será: Lembre-se: Se f() = f(-) Então a função f é par e ela é simétrica ao eio y. Resposta: E Esquema para a composição de funções FUNÇÃO INVERSA A idéia agora é entender que y = f() e seguir o seguinte procedimento: ) Isola ; ) Troca por y e vice versa. D f() R Sejam f e g duas funções quaisquer. Denomina-se função composta de g com f a função h definida por h() = g(f()). f - () y

11 FUNÇÃO INVERSA O símbolo para a função inversa de f é f - e lê-se função inversa de f. TESTE DA RETA HORIZONTAL FUNÇÃO INVERSA Uma função f tem inversa se e somente se o gráfico da mesma for cortado apenas uma vez por qualquer reta horizontal. EXEMPLO: a função f() = tem inversa? O símbolo em f - não é um epoente; f - () não significa /f(). y ou f() y = ou f() = reta horizontal - 0 Conclusão: a função f() = não tem inversa. Simetria das funções inversas.. 7. f A.. 7. A f - B B Os gráficos de f e f são simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares (reta y = ). RANILDO LOPES Slides disponíveis no nosso SITE:

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