Material de Apoio. Roteiro para Esboçar uma Curva 1

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1 Universidade Federal Rural de Pernambuco Departamento de Matemática Disciplina: Cálculo M I Prof a Yane Lísle Material de Apoio Roteiro para Esboçar uma Curva A lista a seguir pretende servir como um guia para esboçar uma curva à mão Nem todos os itens são relevantes para cada função (Por eemplo, uma curva pode não ter uma assíntotas ou possuir simetria) No entanto, o roteiro fornece todas as informações necessárias para fazer um esboço que mostre os aspectos mais importantes da função A Domínio - É frequentemente útil começar determinando o domínio D de f, isto é, o conjunto dos valores de para os quais f() está denida B Intersecções com os Eios - A intersecção com o eio é f() Para encontrarmos as intersecções com o eio, fazemos = e isolamos (Você pode omitir esse passo se a equação for difícil de resolver) C Simetria (i) Se f( ) = f() para todo D, isto é, a equação da curva não muda se for substituído por, então f é uma função par, e a curva é simétrica em relação ao eio Isso signica que nosso trabalho ca cortado pela metade Se soubermos como é a curva para, então precisaremos somente reetir em torno do eio para obter a curva completa Alguns eemplos são: =, = 4, = e cos (ii) Se f( ) = f() para todo D, então f é uma função ímpar e a curva é simétrica em relação à origem Novamente, podemos obter a curva completa se soubermos como ela é para [Gire 8 em torno da origem] Alguns eemplos simples de funções ímpares são =, = 3, = 5 e = sen (iii) Se f( + p) = f() para todo D, onde p é uma constante positiva, então f é chamada função periódica, e o menor desses números p é chamado período Por eemplo, = sen tem o período p e = tg tem período p Se soubermos como é o gráco em um intervalo de comprimento p, então poderemos usar a translação para esboçar o gráco inteiro Retirado do livro Cálculo (vol), James Stewart

2 D Assíntotas (i) Assíntotas horizontais Lembre-se de que se lim ± f() = L, então a reta = L é uma assíntota horizontal da curva = f() Se resultar que lim + f() = + (ou ), então não temos uma assíntota à direita, o que também é uma informação, proveitosa no esboço da curva (ii) Assíntotas verticais Lembre-se de que a reta = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes armativas for verdadeira: lim a + f() = + lim a f() = + lim a + f() = lim a f() = (Para as funções racionais, você pode localizar as assíntotas verticais igualando a zero o denominador, após ter cancelado qualquer fator comum Mas para outras funções esse método não se aplica) Além disso, ao esboçar a curva é muito útil saber eatamente qual das armativas acima é verdadeira Se f(a) não estiver denida, mas a for uma etremidade do domínio de f, então você deve calcular lim a + f() ou lim a f(), seja esse limite innito ou não (iii) Assíntotas oblíquas Conforme discutido em sala e eplicado mais adiante no eemplo 6 Intervalos de Crescimento ou Decrescimento - Use o Teste C/D Calcule f () e encontre os intervalos nos quais f () é positiva (f é crescente) e os intervalos nos quais f () é negativa (f é decrescente) F Valores Máimos e Mínimos Locais - Encontre os números críticos de f [os números c nos quaisf (c) = ou f (c) não eiste] Use então o Teste da Primeira Derivada Se f muda de positiva para negativa em um número crítico c, então f(c) é um máimo local Se f muda de negativa para positiva em c, então f(c) é um mínimo local Apesar de ser usualmente preferível usar o Teste da Primeira Derivada, você pode usar o Teste da Segunda Derivada se f (c) = e f (c) Então f (c) > implica que f(c) é um local mínimo, enquanto f (c) < implica que f(c) é um máimo local G Concavidade e Pontos de Ineão - Calcule f () e use o Teste da Concavidade A curva é côncava para cima se f () >, e côncava para baio se f () < Os pontos de ineão ocorrem quando muda a direção da concavidade H Esboço da Curva Usando as informações nos itens A-G, faça o gráco Coloque as assíntotas como linhas tracejadas Marque as intersecções com os eios, os pontos de máimo e de mínimo e os pontos de ineão Então, faça a curva passar por esses pontos, subindo ou descendo de acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo às assíntotas Se precisão

3 G Concavidade e Pontos de Infleão Calcule f () e use o Teste da Concavidade A curva adicional for é desejada côncava para próimo cima se de f () algum, e ponto, côncava você para baio poderá se f () calcular Os opontos valorde dainfle- ão ocorrem quando muda a direção da concavidade derivada aí A tangente indica H Esboço a direção da Curva nausando qual aas curva informações segue nos itens A G, faça o gráfico Coloque as assíntotas como linhas tracejadas Marque as intersecções com os eios, os pontos de máimo e de mínimo e os pontos de infleão Então, faça a curva passar por esses pontos, subindo ou descendo de acordo com E, com a concavidade de acordo com G e tendendo às assíntotas Se precisão adicional for desejada próimo de algum ponto, você poderá calcular o valor da derivada aí A tangente indica a direção na qual a curva segue Eemplos f (c) implica que f (c) é um máimo local Use o roteiro para esboçar a curva EXEMPLO A O domínio é,,, B As intersecções com os eios e são ambas C Uma vez que f ( ) f (), a função f é par A curva é simétrica em relação ao eio D lim l l Portanto, a reta é uma assíntota horizontal Uma vez que o denominador é zero quando, calculamos os seguintes limites: l lim lim l l l Consequentemente, as retas e são assíntotas verticais Essa informação sobre os limites e as assíntotas permite-nos traçar um esboço preliminar na Figura 5 mostrando as partes da curva próimas das assíntotas f 4 4 Como f quando e f quando, f é crescente em, e, e decrescente em, e, Calculo4:calculo7 6//3 6:3 AM Page 83 F O único número crítico é Uma vez que f muda de positiva para negativa em, f () é um máimo local pelo Teste da Primeira Derivada G f Uma vez que 4 para todo, temos f &? e f &? Assim, a curva é côncava para cima nos intervalos, e, e côncava para baio em (, ) Não há ponto de infleão, já que e não estão no domínio de f H Usando a informação em E G, finalizamos o esboço da Figura 6 &? Esboce o gráfico de f EXEMPLO s A Domínio, B As intersecções com os eios e são ambas C Simetria: nenhuma D Uma vez que l s não há assíntota horizontal Como s l quando l e f () é sempre positiva, temos = =_ = FIGURA 6 Esboço final de = -

4 tão no domínio e f de f &? =_ Esboço final de = = Assim, a curva é côncava para cima nos intervalos, H Usando a informação em E G, finalizamos o esboço da Figura 6 - e, e côncava para baio em (, ) Não há ponto de infleão, já que e não estão no domínio de f FIGURA 6 Esboce o gráfico de f Esboço final de = H Usando a informação em E G, finalizamos o esboço da Figura 6 - EXEMPLO s A Domínio, Esboce o gráfico de f EXEMPLO B As intersecções com os eios e são ambas s C Simetria: A nenhuma Domínio, D Uma vez B que As intersecções com os eios e são ambas C Simetria: nenhuma D Uma vez que l s não há assíntota horizontal Como s lim quando l e f () é sempre positiva, temos l s não há assíntota horizontal lim Como s l quando l e f () é sempre positiva, temos l s então a reta é uma assíntota vertical l s então f a reta s é uma assíntota (s vertical ) Vemos que f quando f s (note que (s ) não está no domínio 3 de f), então 3 o único número crítico é Como f quando e f quando, f é decrescente Vemos (, que ) f e crescente quando em, (note que 4 3 não está no domínio de f), então o único F Uma vez que número f crítico e fé muda Como de fnegativa para quando positiva em, f () e f é um mínimo quando, f é local (e absoluto) decrescente pelo Teste em (, da Primeira ) e crescente Derivada em, F Uma G f vez que f e f muda de negativa para positiva em, f () é um mínimo local (e absoluto) pelo Teste da Primeira Derivada = œ + Observe G que o denominador f é sempre positivo O numerador é o polinômio quadrático , que é sempre positivo, pois seu discriminante é b = 4ac 3, que é negativo, e o Observe coeficiente que de o denominador é positivo Assim, é sempre f positivo para O numerador todo no domínio é o polinômio de f, oquadrático que significa 3 que 8 f é côncava 8, que é para sempre cima positivo, em, pois e seu não discriminante há ponto de infleão é b FIGURA 7 =_ œ + 4ac 3, que é negativo, esboçada e o coeficiente na Figura 7 de é positivo Assim, f para todo no domínio de f, o =_ H A curva está que significa que f é côncava para cima em, e não há ponto de infleão FIGURA 7 EXEMPLO 3H Esboce A curva o está gráfico esboçada de f () na Figura e 7 A O domínio é B As intersecções EXEMPLO com 3 Esboce os eios o gráfico e são de ambas f () e C Simetria: A nenhuma O domínio é D Como ambos B As intersecções e e tornam-se com grandes os eios quando e são l ambas, temos que lim l e Quando l C, contudo, Simetria: enenhuma l e temos um produto indeterminado que requer o uso da Regra de l Hôspital: D Como ambos e e tornam-se grandes quando l, temos que lim l e Quando l, contudo, e l e temos um produto indeterminado que requer o uso da Regra de l Hôspital: lim l e l e l e e l Assim, o eio é uma assíntota lim horizontal l e l e l e e l f e e e Assim, o eio é uma assíntota horizontal Uma vez que e é sempre positiva, vemos que f quando e f f e quando Logo, f é crescente em, e e decrescente e em Calculo4:calculo7 6//3 6:3 AM Page 84, Uma vez que e é sempre positiva, vemos que f quando e f quando Logo, f é crescente em, e decrescente em, FIGURA 8 =e F Como f e f muda de negativa para positiva em, f e é um mínimo local (e absoluto) (_, _/e) G f e e e Visto que f se e f se, f é côncava para cima em, e côncava para baio em, O ponto de infleão é, e H Usamos essa informação para traçar a curva da Figura 8 EXEMPLO 4 Esboce o gráfico de f cos sen A O domínio é B A intersecção com o eio é f As intersecções com o eio ocorrem quando cos, ou seja, (n ) p/, em que n é um número inteiro

5 (_, _/e), e côncava para baio em, O ponto de infleão é, e H Usamos essa informação para traçar a curva da Figura 8 EXEMPLO 4 Esboce o gráfico de f cos sen A O domínio é B A intersecção com o eio é f As intersecções com o eio ocorrem quando cos, ou seja, (n ) p/, em que n é um número inteiro C f não é nem par nem ímpar, mas f ( p) f () para todo ; logo, f é periódica e tem um período p Dessa forma, precisamos considerar somente e então estender a curva por translação na parte H D Assíntotas: nenhuma f sen sen cos cos sen sen sen Logo, f quando sen &? sen &? Assim, f é crescente em (7p/6, p/6) e decrescente em (, 7p/6) e (p/6, p) F A partir da parte E e do Teste da Primeira Derivada, vemos que o valor mínimo local é f 7 6 s3 e o valor máimo local é f 6 s3 G Se usarmos a regra do quociente novamente, obtemos cos sen f sen 3 Como sen 3 e sen para todo, sabemos que f quando cos, ou seja, 3 Assim, f é côncava para cima em p, 3p e côncava para baio em, e 3, Os pontos de infleão são (p/, ) e (3p/, ) H O gráfico da função restrita a é mostrado na Figura 9 Então, nós o estendemos, usando a periodicidade, para completar o gráfico na Figura π 6 œ 3, π π 3π π _π π π 3π FIGURA 9 7π - 6, œ 3 FIGURA EXEMPLO 5 Esboce o gráfico de ln(4 ) A O domínio é 4 4, B A intersecção com o eio é f () ln 4 Para encontrarmos a intersecção com o eio, fazemos ln 4 Sabemos que ln, de modo que temos 4? 3 e, portanto, as intersecções com o eio é s3

6 ponto de infleão H Usando essa informação, esboçamos a curva na Figura Assíntotas Oblíquas Algumas curvas têm assíntotas que são oblíquas, isto é, não são horizontais nem verticais Se lim f m b l onde m, então a reta m b é chamada assíntota oblíqua, pois a distância vertical entre a curva f () e a linha m b tende a, como na Figura (Uma situação similar eiste se l ) Para funções racionais, assíntotas oblíquas acorrem quando a diferença entre os graus do numerador e do denominador é igual a Neste caso, a equação de uma assíntota oblíqua pode ser encontrada por divisão de polinômios, como no eemplo a seguir =ƒ ƒ-(m+b) =m+b EXEMPLO 6 Esboce o gráfico de f 3 A O domínio é, B As intersecções com os eios e são ambas C Visto que f ( ) f (), f é ímpar, e seu gráfico, simétrico em relação à origem D Como nunca é, não há assíntota vertical Uma vez que f l quando l e f l quando l, não há assíntotas horizontais Mas a divisão de polinômios fornece FIGURA f 3 f l quando l Logo, a reta é uma assíntota oblíqua f 3 3 Calculo4:calculo7 6//3 6:37 AM Page 86 3 Uma vez que f para todo (eceto ), f é crescente em, F Embora f, f não muda o sinal em, logo não há máimo ou mínimo local = 3 + G f Visto que f quando ou s3, montamos a seguinte tabela: 3œ 3 _œ 3,- 4 3œ 3 œ 3, 4 pontos de infleão Intervalo 3 3 f f s3 CC em (, s3 ) s3 CB em ( s3,) s3 CC em (, s3 ) s3 CB em (s3, ) = FIGURA 3 Os pontos de infleão são ( s3, 3 4s3 ),, e (s3, 3 4s3 ) H O gráfico de f está esboçado na Figura 3 45 Eercícios 54 Use o roteiro desta seção para esboçar a curva sec tg, 39 sen 4 sen cos cos 4 arctg e 4 e 43 e 44 e sen, 45 ln 46 e e